... công thức (8.8.9) - (8.8.10) v hệ số ak v ck xác định theo công thức (8.7.5) v (8.7.7) hệ số bk v dk xác định theo công thức (8.8.6) v (8.8.7) với h m ga , gc , hb v hd xác định theo công thức ... = g1(x) - g1(0) gc(x) = hb(y) = = hd(y) = = (8.8.11) Kết hợp công thức (8.7.4), (8.7.6), (8.8.6), (8.8.7) v (8.8.8) suy công thức + k k k u(x, y) = u0(x, y) + a k sh (d y) + c k sh y sin ... có nghiệm v ổn định xác định theo công thức k k u(x, y) = b k sh x sin y với bk = d d k =1 + kch d h kl b (y) sin k ydy (8.8.6) d d Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 151 d o o c m C m o d o...
... h a n g e Vi e w N y bu to k c Giả sử hình tròn B(0, R) h m g có cực điểm khác không ak với k = n Theo công thức tính tích phân Cauchy (4.7.6) ta có n Re sF(a k =1 k ... DE2c có nghiệm v ổn định xác định theo công thức + u(x, y) = c k sh k =1 Trang 148 k k k y sin x với ck = gc (x) sin l xdx kd l l lsh l Giáo Trình Toán Chuyên Đề l (8.7.7) d o m o w w w d o C ... 2], 3) thoả m n g(0) = g(2), h(0) = h(2) Chuỗi h m (8.6.11) với hệ số ak , bk , ck v dk xác định từ hệ phơng trình (8.6.12) l nghiệm v ổn định b i toán DE1b Đ7 B i toán Dirichlet hình chữ nhật...
... ( * ) 2(-1) k e ( k) t e t sin kx k(4 k 1) Nhận xét Bằng cách kéo d i liên tục, công thứcsửdụng đợc trờng hợp h m f v g có đạo h m liên tục khúc Đ6 B i toán Dirichlet hình tròn Xét toán ... t x u(x, 0) = x(1 - x) v u(0, t) = u(1, t) = Theo công thức (8.4.8) ta có Ví dụ Giải b i toán (-1) k = 3 k (2n + 1) Thế v o công thức (8.4.7) suy nghiệm b i toán 2 + u(x, t) = e ( n +1) ... Toán Chuyên Đề Trang 141 d o o c m C m o d o w w w w w C lic k to bu y N O W ! XC er O W F- w PD h a n g e Vi e ! XC er PD F- c u -tr a c k c h a n g e Vi e w N y bu to k c Đ5 B i toán hỗn hợp không...
... I(t) + J(t) = e a t sinx + t3 Nhận xét Bằng cách kéo d i liên tục h m liên tục khúc, công thứcsửdụng đợc trờng hợp h m f v g có đạo h m liên tục khúc Đ3 B i toán giả Cauchy B i toán SP1a Cho ... sinx v u(0, t) = Do h m f v g l h m lẻ nên h m kéo d i lẻ f1 = f v g1 = g Thay v o công thức (8.2.2) v sửdụng tích phân (8.2.3) , ta có Ví dụ Giải b i toán u(x, t) = + sin(x + 2a t s)e s ds ... công thức (8.3.2) ta có u(x, 0) = Đổi biến tích phân (8.3.2) x x2 h(t ) / e a d t h( t x2 4a e d = a2 uxx x2 )e s ds 2 4a s 2a t Suy u(0, t) = h(t) Tính v ổn định suy từ công thức...
... k +1 sin kt sin kx t k k Nhận xét Bằng cách kéo d i liên tục h m liên tục khúc, công thứcsửdụng đợc trờng hợp h m g v h có đạo h m liên tục khúc B i tập chơng Đa tắc phơng trình đạo ... B() = g() sin( )d Thay v o công thức (8.1.3) v biến đổi u(x, t) = + + ( a ) t g() cos ( x)d e d Đổi thứ tự lấy tích phân Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 133 d o m C lic c u -tr ... suy công thức sau u(x, t) = + g(x + 2a t s)e s2 ds = + g()e 2a t ( x )2 4a 2t d (8.1.5) Định lý Cho h m g C(D, 3) B(D, 3) B i toán CP1a có nghiệm v ổn định xác định theo công thức (8.1.5)...
... x t x = sinxcos2t + 2xt + x x xt + (t - )sin(t - ) với (x, t) 3+ì 3+ 2 Nhận xét Phơng pháp sửdụng để giải b i toán giả Cauchy khác Đ7 B i toán hỗn hợp B i toán HH1a Cho miền D = [0, l], H ... h(0) = h(l) = Chuỗi h m (7.7.7) với hệ số ak v bk tính theo công thức (7.7.8) l nghiệm v ổn định b i toán HH1a Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 127 d o o c m C m o d o w w w w w C lic k to bu ... Suy chuỗi h m (7.7.7) với hệ số ak v bk tính theo công thức (7.7.8) l hội tụ v chuỗi đạo h m riêng đến cấp hai hội tụ miền H Do đạo h m từ hai lần theo x, theo t miền H Kiểm tra trực tiếp thấy...
... Bằng cách kéo d i liên tục h m liên tục khúc, công thức (7.5.2) sửdụng đợc trờng hợp h m f, g v h có đạo h m liên tục khúc Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 123 d o o c m C m o d o w w w w w C ... cố định, kí hiệu B = [x - aT, x + aT] v HT = B ì [0, T] Từ công thức (7.4.3) có ớc lợng sau (x, t) HT , | u(x, t) | T supB | h() | Từ suy h = h1 - h2 = u = u1 - u2 = || h || = || h1 - h2 ... xác định theo công thức sau t u(x, t) = v(x, , t )d Chứng minh Do h m f C(H, 3) nên h m v C1(H ì 3+, 3) suy h m u C2(H, 3) Kiểm tra trực tiếp Trang 122 Giáo Trình Toán Chuyên Đề (7.5.1)...
... phơng trình không gọi l b i toán không Để đơn giản giáo trình n y giới hạn b i toán phạm vi không gian hai chiều Tuy nhiên phơng pháp giải v công thức nghiệm mở rộng tự nhiên cho trờng hợp không gian ... Lúc không dao động dây nằm T đoạn [0, l] v độ d i dây không thay đổi P P M2 M1 suốt trình dao động B i toán đòi hỏi x1 x x2 l xác định độ lệch u(x, t) điểm ho nh độ x v o thời điểm t Giả sử dây ... (7.2.1) t x gọi l phơng trình truyền sóng không gian chiều Trong trờng hợp dao động tự ngoại lực tác động : f(x, t) = 0, phơng trình Trang 116 Giáo Trình Toán Chuyên Đề w d o m C lic c u -tr a c k...
... phơng trình (7.1.1) có dạng ellipse Giả sử ánh xạ : D , (x, y) (, ) với J(x, y) = x y y x (7.1.2) l phép đổi biến từ miền D v o miền Theo công thức đạo h m h m hợp u u u u u u = , ... trình (7.1.1) có dạng tắc 2u u u = F1(, , u, , ) Giả sử (x, y) l nghiệm riêng không tầm thờng phơng trình (7.1.3) Chúng ta có (x , y) (0, 0) không giảm tổng quát xem y Khi phơng trình (x, y) ... x Suy 1(, ) = b1 - a1c1 = (x, y)J2(x, y) Tức l có định lý sau Định lý Phép đổi biến không suy biến không l m thay đổi dạng phơng trình đạo h m riêng tuyến tính cấp Nếu v l nghiệm riêng...
... hợp với hớng pháp vectơ n Khi công thức Stokes viết lại dạng vectơ nh sau < F, T > ds = < rotF, n > dS (6.5.3) S Chọn S l nửa mặt cầu tâm A, bán kính Từ công thức (6.5.3) v định lý trị trung ... w Từ định nghĩa suy trờng vectơ F l trờng rot F = rot (grad u) = Chúng ta chứng minh điều ngợc lại (6.7.2) Định lý Trờng vectơ (D, F ) l trờng v rot F = Chứng minh Điều kiện cần suy từ công thức ... ta có grad u = F Từ suy trờng vectơ F l trờng v h m u l h m vị Từ kết suy ý nghĩa học trờng nh sau Trong trờng điểm xoáy rot F = Ho n lu dọc theo đờng cong kín nằm gọn miền D không K= < F, T...
... hợp với hớng pháp vectơ n Khi công thức Stokes viết lại dạng vectơ nh sau < F, T > ds = < rotF, n > dS (6.5.3) S Chọn S l nửa mặt cầu tâm A, bán kính Từ công thức (6.5.3) v định lý trị trung ... w Từ định nghĩa suy trờng vectơ F l trờng rot F = rot (grad u) = Chúng ta chứng minh điều ngợc lại (6.7.2) Định lý Trờng vectơ (D, F ) l trờng v rot F = Chứng minh Điều kiện cần suy từ công thức ... ta có grad u = F Từ suy trờng vectơ F l trờng v h m u l h m vị Từ kết suy ý nghĩa học trờng nh sau Trong trờng điểm xoáy rot F = Ho n lu dọc theo đờng cong kín nằm gọn miền D không K= < F, T...
... công thức (8.8.9) - (8.8.10) v hệ số ak v ck xác định theo công thức (8.7.5) v (8.7.7) hệ số bk v dk xác định theo công thức (8.8.6) v (8.8.7) với h m ga , gc , hb v hd xác định theo công thức ... = g1(x) - g1(0) gc(x) = hb(y) = = hd(y) = = (8.8.11) Kết hợp công thức (8.7.4), (8.7.6), (8.8.6), (8.8.7) v (8.8.8) suy công thức + k k k u(x, y) = u0(x, y) + a k sh (d y) + c k sh y sin ... NE2b có nghiệm v ổn định xác định theo công thức k k u(x, y) = b k sh x sin y với bk = d d k =1 + kch d h kl b (y) sin k ydy (8.8.6) d d Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 151 d o o c m C m o d o...
... h a n g e Vi e w N y bu to k c Giả sử hình tròn B(0, R) h m g có cực điểm khác không ak với k = n Theo công thức tính tích phân Cauchy (4.7.6) ta có n Re sF(a k =1 k ... DE2c có nghiệm v ổn định xác định theo công thức + u(x, y) = c k sh k =1 Trang 148 k k k y sin x với ck = gc (x) sin l xdx kd l l lsh l Giáo Trình Toán Chuyên Đề l (8.7.7) d o m w Chơng Phơng Trình ... 2], 3) thoả m n g(0) = g(2), h(0) = h(2) Chuỗi h m (8.6.11) với hệ số ak , bk , ck v dk xác định từ hệ phơng trình (8.6.12) l nghiệm v ổn định b i toán DE1b Đ7 B i toán Dirichlet hình chữ nhật...
... ( * ) 2(-1) k e ( k) t e t sin kx k(4 k 1) Nhận xét Bằng cách kéo d i liên tục, công thứcsửdụng đợc trờng hợp h m f v g có đạo h m liên tục khúc Đ6 B i toán Dirichlet hình tròn Xét toán ... t x u(x, 0) = x(1 - x) v u(0, t) = u(1, t) = Theo công thức (8.4.8) ta có Ví dụ Giải b i toán (-1) k = 3 k (2n + 1) Thế v o công thức (8.4.7) suy nghiệm b i toán 2 + u(x, t) = e ( n +1) ... Toán Chuyên Đề Trang 141 d o o c m C m o d o w w w w w C lic k to bu y N O W ! XC er O W F- w PD h a n g e Vi e ! XC er PD F- c u -tr a c k c h a n g e Vi e w N y bu to k c Đ5 B i toán hỗn hợp không...
... I(t) + J(t) = e a t sinx + t3 Nhận xét Bằng cách kéo d i liên tục h m liên tục khúc, công thứcsửdụng đợc trờng hợp h m f v g có đạo h m liên tục khúc Đ3 B i toán giả Cauchy B i toán SP1a Cho ... sinx v u(0, t) = Do h m f v g l h m lẻ nên h m kéo d i lẻ f1 = f v g1 = g Thay v o công thức (8.2.2) v sửdụng tích phân (8.2.3) , ta có Ví dụ Giải b i toán u(x, t) = + sin(x + 2a t s)e s ds ... công thức (8.3.2) ta có u(x, 0) = Đổi biến tích phân (8.3.2) x x2 h(t ) / e a d t h( t x2 4a e d = a2 uxx x2 )e s ds 2 4a s 2a t Suy u(0, t) = h(t) Tính v ổn định suy từ công thức...
... k +1 sin kt sin kx t k k Nhận xét Bằng cách kéo d i liên tục h m liên tục khúc, công thứcsửdụng đợc trờng hợp h m g v h có đạo h m liên tục khúc B i tập chơng Đa tắc phơng trình đạo ... B() = g() sin( )d Thay v o công thức (8.1.3) v biến đổi u(x, t) = + + ( a ) t g() cos ( x)d e d Đổi thứ tự lấy tích phân Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 133 d o m C lic c u -tr ... suy công thức sau u(x, t) = + g(x + 2a t s)e s2 ds = + g()e 2a t ( x )2 4a 2t d (8.1.5) Định lý Cho h m g C(D, 3) B(D, 3) B i toán CP1a có nghiệm v ổn định xác định theo công thức (8.1.5)...
... x t x = sinxcos2t + 2xt + x x xt + (t - )sin(t - ) với (x, t) 3+ì 3+ 2 Nhận xét Phơng pháp sửdụng để giải b i toán giả Cauchy khác Đ7 B i toán hỗn hợp B i toán HH1a Cho miền D = [0, l], H ... h(0) = h(l) = Chuỗi h m (7.7.7) với hệ số ak v bk tính theo công thức (7.7.8) l nghiệm v ổn định b i toán HH1a Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 127 d o o c m C m o d o w w w w w C lic k to bu y ... Suy chuỗi h m (7.7.7) với hệ số ak v bk tính theo công thức (7.7.8) l hội tụ v chuỗi đạo h m riêng đến cấp hai hội tụ miền H Do đạo h m từ hai lần theo x, theo t miền H Kiểm tra trực tiếp thấy...
... Bằng cách kéo d i liên tục h m liên tục khúc, công thức (7.5.2) sửdụng đợc trờng hợp h m f, g v h có đạo h m liên tục khúc Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 123 d o o c m C m o d o w w w w w C ... cố định, kí hiệu B = [x - aT, x + aT] v HT = B ì [0, T] Từ công thức (7.4.3) có ớc lợng sau (x, t) HT , | u(x, t) | T supB | h() | Từ suy h = h1 - h2 = u = u1 - u2 = || h || = || h1 - h2 ... xác định theo công thức sau t u(x, t) = v(x, , t )d Chứng minh Do h m f C(H, 3) nên h m v C1(H ì 3+, 3) suy h m u C2(H, 3) Kiểm tra trực tiếp Trang 122 Giáo Trình Toán Chuyên Đề (7.5.1)...
... phơng trình không gọi l b i toán không Để đơn giản giáo trình n y giới hạn b i toán phạm vi không gian hai chiều Tuy nhiên phơng pháp giải v công thức nghiệm mở rộng tự nhiên cho trờng hợp không gian ... Lúc không dao động dây nằm T đoạn [0, l] v độ d i dây không thay đổi P P M2 M1 suốt trình dao động B i toán đòi hỏi x1 x x2 l xác định độ lệch u(x, t) điểm ho nh độ x v o thời điểm t Giả sử dây ... (7.2.1) t x gọi l phơng trình truyền sóng không gian chiều Trong trờng hợp dao động tự ngoại lực tác động : f(x, t) = 0, phơng trình Trang 116 Giáo Trình Toán Chuyên Đề w d o m C lic c u -tr a c k...
... phơng trình (7.1.1) có dạng ellipse Giả sử ánh xạ : D , (x, y) (, ) với J(x, y) = x y y x (7.1.2) l phép đổi biến từ miền D v o miền Theo công thức đạo h m h m hợp u u u u u u = , ... trình (7.1.1) có dạng tắc 2u u u = F1(, , u, , ) Giả sử (x, y) l nghiệm riêng không tầm thờng phơng trình (7.1.3) Chúng ta có (x , y) (0, 0) không giảm tổng quát xem y Khi phơng trình (x, y) ... h m điều ho (6.8.5) Từ kết suy ý nghĩa học trờng ống nh sau Trong trờng điều ho điểm xoáy, điểm nguồn rot F = v div F = Ho n lu dọc theo đờng cong kín nằm gọn miền D không K= < F, T > ds =...