Lý thuyết hàm số lũy thừa

Cập nhật: 10/01/2015

Lý thuyết hàm số lũy thừa

Có thể bạn quan tâm

Ham so luy thua

“ ... xÃ hội loài người hội loài người 4 triệu nămNăm 476 Thời cổ đại 3 nghìn năm TCNNăm 15 66Năm 19 17 Đến nay xÃ hội nguyên thủy XH chiếm hữu nô lệXÃ hội phong kiến XÃ hội TBCNXÃ ... 3 câu trên HẾTTHỜI GIAN 12 345 1. Sự xuất hiện loài người và đời sống bầy người nguyên thủy:2. Người tinh khôn & óc sáng tạo :3. Cuộc cách mạng thời đá mới: * Củng cố Câu hỏi ... hơn và vui hơn  “Cuộc cách mạng đá mới” 1. Sự xuất hiện loài người và đời sống bầy người nguyên thủy:2. Người tinh khôn & óc sáng tạo :3. Cuộc cách mạng thời đá mới: Bài 1 :”

1. Khái niệm hàm số lũy thừa

Hàm số lũy thừa là các hàm số dạng y= xα, với α là một số thực đã cho. Các hàm số lũy thừa có tập xác định khác nhau, tùy theo α:

- Nếu α ∈ ℤ+ thì tập các định là ℝ.

- Nếu α ∈ ℤ ℤ+ thì tập các định là ℝ{0}.

- Nếu α ∈ ℤ thì tập các định là (0; +∞).

Chú ý: Hàm số y= có tập xác định là [0;+∞), hàm số y= có tập xác định ℝ, trong khi đó các hàm y= , y= đều có tập xác định (0; +∞). Vì vậy y= và y= ( hay y= và y= ) là những hàm số khác nhau.

2. Đạo hàm của hàm số lũy thừa với số mũ tổng quát

- Hàm số y= xα có đạo hàm tai mọi x ∈ (0; +∞) và (xα)’= αxα-1

- Nếu hàm số u=u(x) nhận giá trị dương và có đạo hàm trong khoảng J thì hàm số

y= uα(x) cũng có đạo hàm trên J và (uα(x))’= αuα-1(x)u’(x).

3. Đạo hàm của hàm số lũy thừa với số mũ nguyên dương

Trong trường hợp số mũ nguyên dương, hàm số lũy thừa y= xn có tập xác định là ℝ và có đạo hàm trên toàn trục số. Công thức tính đạo hàm số lũy thừa tổng quát được mở rộng thành ∀x, (xn)’= nxn-1 và ∀x ∈ J, (un(x))’= nun-1(x)u’(x) nếu u= u(x) có đạo hàm trong khoảng J.

4. Đạo hàm của hàm số lũy thừa với số mũ nguyên âm

Nếu số mũ là số nguyên âm thì hàm số lũy thừa y= xn có tập xác định là ℝ và có đạo hàm tại mọi x khác 0, công thức đạo hàm hàm số lũy thừa tổng quát được mở rộng thành ∀x # 0,(xn)’= nxn-1 và ∀x ∈ J, (un(x))’= nun-1(x)u’(x) nếu u= u(x) # 0 có đạo hàm trong khoảng J.

5. Đạo hàm của căn thức

Hàm số có thể xem là mở rộng của hàm lũy thừa ( tập xác định của y= chứa tập xác định của y= và trên tập xác định của y= hai hàm số trùng nhau).

Khi n lẻ thì hàm số y= có tập xác định ℝ. Trên khoảng (0; +∞) ta có y= = và = , do đó = . Công thức này còn đúng cả với x < 0 và hàm số y= không có đạo hàm tại x= 0.

Khi n chẵn hàm y= có tập xác định là [0;+∞), không có đạo hàm tại x= 0 và có đạo hàm tại mọi x > 0 tính theo công thức

= .

Tóm lại, ta có đúng với mọi x làm cho vế phải có nghĩa. Sử dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp ta suy ra: Nếu u=u(x) là hàm có đạo hàm trên khoảng J và thỏa mãn điều kiện u(x) > 0, ∀x ∈ J khi n chẵn, u(x) # 0, ∀x ∈ J khi n llẻ thì ∀x ∈ J,

6. Đồ thị hàm số y=xα trên khoảng (0; +∞)

Chú ý khi khảo sát hàm số y= xα với α cụ thể cần xét hàm số trên toàn tập xác định của nó( chứ không phải chỉ xét trên khoảng (0; +∞) như trên).