... kiến: Ứngdụng số phức để chứng
minh bấtđẳngthức và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức ” nhằm giúp
học sinh giải một lớp bài toán chứngminhbấtđẳng thức( hoặc tìm cực trị của biểu
thức) ... điều phải chứng minh.
Đẳngthức xảy ra khi
1
3
3
u v w a b c= = = ⇔ = = =
.
Ví dụ 5. Chứngminh rằng
2 cos sin cos 1x x x+ + ≥
(1)
Nhận xét. Để vận dụng số phức chứngminhbấtđẳngthức (1) ... y z+ +
Bất đẳngthức cần chứngminh tương đương với
3 3 3
. . . . . .y z x z x y x y z y z z x x y x y z− + − + − ≥ − − − + +
Sử dụng *3) và bấtđẳngthức tam giác ta có điều phải chứng minh.
...
... > 0∀x, y
V. Sử dụng tam thức bậc 2 để chứngminh các bấtđẳng thức
tổng quát
Ví dụ 30. (Đề thi HSG TP. Hồ Chí Minh 2005-2006)
Cho dãy số thực a
1
; a
2
; a
n
∈ [0; 1]. Chứngminh rằng
(1 + a
1
+ ... 21.
Chứng minhbấtđẳngthức với A, B, C là 3 đỉnh của 1 tam giác và x, y, z là các số thựcbất kì:
x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2(xy. cos 2C + yz. cos 2A + xz. cos 2B) ≥ 0
Lời giải:
Bất đẳngthức cần chứng ... đồ thị hàm số của tam thức bậc 2 ta có thể rút ra 1 số quan hệ về
dấu của f(x) với a và ∆, từ đó đi đến 1 số tính chất của tam thức bậc 2 để áp dụngchứngminh bất
đẳng thức:
Cho tam thức bậc...
... nâng cao chất lợng dạy và học về bấtđẳng
thức, đem lại cho học sinh cách nhìn mới về bấtđẳng thức, tôi nghiên cứu đề tài: Sử
dụng vectơ trongchứngminhbấtđẳng thức.
II. Ph ơng pháp nghiên ... C. Phần kết luận.
I. Kết quả ứng dụng.
Việc sử dụng vectơ để chứngminh các bài toán về bấtđẳngthức đà đợc tôi vận
dụng khi bồi dỡng cho học sinh về bấtđẳng thức. Kết quả là các em đà có ... sử dụng phơng pháp này khi gặp các bài toán chứngminhbấtđẳng thức
có chứa tổng của các căn bậc hai mà biểu thứctrong dấu căn bậc hai có thể đa về tổng
của các bình phơng.
Ví dụ 1: Chứng minh...
... là kĩ thuật mà chúng ta hay gặp trongchứngminhbấtđẳngthức thuần nhất.
Qua các hai bài tốn trên ta th
ấy nhờ việc chuẩn hố mà ta có thể đưa được bấtđẳng
thức đã cho về dạng (*) hoặc (**). ... số bài tập để chúng ta rèn luyện kĩ năng sử dụng tiếp tuyến
trong chứngminhBấtđẳng thức.
Chun đ s dng tip tuyn đ tìm li gii
trong chng minh bt đng thc
GV: Nguyễn Tất Thu
GV: ... có đđpcm.
Qua các bài tốn trên ta th
ấy sử dụng tiếp tuyến trongchứngminhbấtđẳngthức cho ta
cách tìm l
ời giải ngắn gọn và đơn giản. Kĩ năng áp dụng địi hỏi sự linh hoạt và khéo
léo.
Cu
ối...
... 1
1
cos
1
2
1
cos
1
2
= tan
2
một số phơng pháp lợng giác để chứng minh
bấtđẳngthức đại số
I. Dạng 1: Sử dụng hệ thức sin
2
+ cos
2
= 1
1) Phơng pháp:
a) Nếu thấy x
2
+ y
2
= 1 thì ... )(sin)cos()sin(
(đpcm)
VD4: Chứngminh rằng:
c,b,a
)a1)(c1(
|ac|
)c1)(b1(
|cb|
)b1)(a1(
|ba|
222222
++
++
+
++
Giải:
Đặt a = tg, b = tg, c = tg. Khi đó bấtđẳngthức
)tg1)(tg1(
|tgtg|
)tg1)(tg1(
|tgtg|
)tg1)(tg1(
|tgtg|
222222
++
++
+
++
+
cos.cos
)sin(
.coscos
cos.cos
)sin(
.coscos
cos.cos
)sin(
.coscos
... +
2
3
=
( )
[ ]
2
3
1
2
1
+β+α−βα−β+α )sinsincos(cos.coscos
G.NTH
4
Chứng minh rằng: a
2
+ b
2
+ 2(b-a) - 1
Giải:
Biến đổi bấtđẳng thức: a
2
+ b
2
+ 2(b-a) - 1 (a-1)
2
+ (b + 1)
2
1
Đặt
=+
=
cosR1b
sinR1a
với...
... đã nói ở trên, các phương pháp chứngminhbấtđẳngthức đối xứng thì rất nhiều
nên nếu ta có thể chuyển một bấtđẳngthức hoán vị về dạng đối xứng thì việc chứng
minh không còn gì khó khăn cả. ... 900.
Bất đẳngthức của ta được chứngminh xong. Đẳngthức xảy ra khi và chỉ khi a = 0, b =
1, c = 2 và các hoán vị tương ứng.
5
+ Nếu xz = 0, ta giả sử z = 0, khi đó x = 1 y và bấtđẳngthức ... là số hạng nhỏ nhất trong các số a, b, c, d. Khi đó, ta có
c
3
d + d
3
a (c
3
a + d
4
) = (c
3
d
3
)(a d) 0,
nên để chứngminhbấtđẳngthức đã cho, ta chỉ cần chứngminh được
a
3
b + b
3
c...
... toán chứngminh xong khi ta chứngminh ñược bất ñẳng thức sau
[ ]
(
)
3
6
3
2
3
1
5
3
5
5,6;1,1,0 xxxxSix
ii
+++≥+−=∈∀
Do ñó ta xây dựng bài toán như sau
Do tính ñồng bậc của bất ñẳng thức ...
1212
33
2
2
3
1
1
≤
−++
++
−++
+
−++
n
n
xSn
x
xSn
x
xSn
x
Trong ñó
33
1
3
1
n
xxxS +++=
Giải
Bài toán chứngminh xong khi ta chứngminh ñược bất ñẳng thức sau
[
]
(
)
nii
xxxxSnnix +++≥−++=∈∀ , ... tính ñồng bậc của bất ñẳng thức và bất ñẳng thức hoán vị , vậy ta chọn
(
)
(
)
kn
=
+
−
−
α
α
11
ta tìm ñược ngay
n
nk 1
−
+
=
α
do ñó ñể bất ñẳng thức ñúng thì
ta cần chứngminh
∑∑
=
−
−+
=
−+
≥
n
i
n
nk
i
n
i
n
nk
i
aa
1
1
1
1
1
...
... của đồ thị hàm số để chứngminhbấtđẳng thức) nhưng có hiệu quả khi
giải quyết một lớp bài toán về chứngminhbấtđẳngthức (BĐT) hay tìm giá trị lớn
nhất và nhỏ nhất của một biểu thức. Điều ... về ứngdụng tính đơn điệu
của hàm số; dùngđạohàm để chứngminh BĐT; ứngdụng cực trị vào tìm giá
trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số; ứngdụng của tích phân hay tổ hợp và xác
suất; …
12
Xét hàm ... khái niệm này.
Chứng minhbấtđẳngthức là một bài toán hay và khó và thường gặp trong
các kì thi vào đại học, cao đẳng và các kì thi học sinh giỏi. ứng trước một bất
đẳng thức, học sinh thường...
... một
bất đẳngthức quen thuộc, đơn giản và một số bài toán áp dụngbấtđẳngthức này.
Bài toán: Với hai số dương x và y ta có:
)
11
(
4
11
yxyx
+≤
+
(1)
Đẳngthức xảy ra khi x =y.
Bấtđẳngthức ... t.
Trên đây là một số bài toán áp dụngbấtđẳngthức (1) sau đây là một số bài tập tương
tự:
Bài 1. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứngminh các bấtđẳng thức:
+
+
+
+
+
≤
++
+
++
+
++
+
+
+
+
+
≤
++
+
++
+
++
bcabcabacacbcba
accbbabacacbcba
2
1
2
1
2
1
2
1
32
1
32
1
32
1
/2
4
1
.
111
)(32
1
)(32
1
)(32
1
/1
... ÷
+ + +
Vậy BĐT đuợc chứng minh.
TỪ MỘT BẤTĐẲNGTHỨC ĐƠN GIẢN
“Tìm được lời giải cho một bài toán là một phát minh (Polya). Sẽ thông minh hơn nếu ta
biết vận dụng nó để sáng tạo và tìm...
... cách đặt lượng giác trongchứngminhbấtđẳngthức
Từ những đẳng thức, bấtđẳngthức trên, ta có thể tìm ra được những cách đặt lượng
giác để có thể giải bài toán bấtđẳngthức một cách dễ ... ta chứngminhbấtđẳng phụ sau:
Với 3 số dương a;b;c ta luôn có bấtđẳngthứcđúng sau:
222
212( )a b c abc ab bc ca+++ +≥ + + (*)
Dấu “=” xảy ra khi a=b=c=1.
Chứng minh
:
Áp dụngbấtđẳng ... ban đầu trở về một bấtđẳngthức lượng giác cơ bản (^_^).
To: My Special Friend
Một số cách đặt trongchứngminhbấtđẳngthức
Lời nói đầu:
Bất đẳngthức luôn là miền đất...