... luyện t duy
và hình thành phơng pháp chứng minh cũng nh cách thức để hình thành bấtđẳng thức
mới từ bấtđẳngthức đà biết.
Từ bấtđẳngthức (I):
(a b)
2
0 a
2
+ b
2
2ab
ở cả 3 BĐT (I), ... x, y.
Dấu = xảy ra khi
y
x
b
a
=
Bất đẳngthức cuối cùng là đúng.
Vậy (a
2
+ b
2
)(x
2
+ y
2
) (ax + by)
2
- Phơng pháp 3 : Sử dụng bấtđẳngthức đà biết
+ Cách 3 : Ta có (ay - bx)
2
0
... = xảy ra khi a = b.
B. Khai thác tính chất luỹ thừa bậc hai.
I/.Khai thác bấtđẳngthức (I): (a b)
2
0
Từ bấtđẳngthức (I) ta có thể đổi biến đặt A = ay; B = bx khi đó (I) trở thành:
(ay ...
... một số trường hợp có thể biến đổi bấtđẳngthức cần chứng minh thành một bấtđẳngthức
luôn đúng ( được nêu ở ví dụ 1, 3, 7, 8…).
3. Nên thuộc lòng và bấtđẳngthức thông dụng được giới thiệu ... 2
a b c d e ab ac ad ac
+ + + + ≥ + + +
Khi nào đẳngthức xảy ra?
* Hướng dẫn:
Tìm bấtđẳngthức tương đương bằng cách biến đổi bấtđẳngthức đã cho về dạng:
2 2 2 2
0
2 2 2 2
a a a a
b ... minh:
4 4 4
( )
a b c abc a b c
+ + ≥ + +
12
Chương III
BẤT ĐẲNGTHỨC BẰNG BẤTĐẲNGTHỨC
BUNHIACOPXKI ( B.C.S)
I. Bấtđẳngthức bunhiacopxki:
Cho 2 n số thực (
2
n
≥
)
a
1
, a
2
,...
... kỹ thuật chọn điểm rơi trong bấtđẳng thức.
Các bấtđẳngthức trong các đề thi đại học thông thường là đối xứng với các biến và ta dự đoán dấu bằng xảy
ta khi các biến bằng nhau và xảy ra ... :
2
3 2 3 , 0x m mx m+ ≥ > . Đẳngthức xảy ra khi
2
3x m=
2
4 2 4 , 0y n ny n+ ≥ > . Đẳngthức xảy ra khi
2
4y n=
2
5 2 5 , 0z p pz p+ ≥ > . Đẳngthức xảy ra khi
2
5z p=
Bây giờ ...
2
25 25
3 2 3.
3 3
x x+ ≥
. Đẳngthức xảy ra khi
2
25
3
3
x =
.
2
25 25
4 2 4.
4 4
y y+ ≥
. Đẳngthức xảy ra khi
2
25
4
4
y =
.
2
5 5 2 5.5z z+ ≥
. Đẳngthức xảy ra khi
2
5 5z =
.
Cộng...
... kỹ thuật chọn điểm rơi trong bấtđẳng thức.
Các bấtđẳngthức trong các đề thi đại học thông thường là đối xứng với các biến và ta dự đoán dấu bằng xảy
ta khi các biến bằng nhau và xảy ra ... + + + + ≥ ≥ =
.
Đẳng thức xảy ra khi
1
2
a b c= = =
.
Cách khác :
Chọn :
1 1 1
; , ; , ;u a v b w c
a b c
= = =
Dùng bấtđẳngthức vecto
u v ... chăng những hằng đẳng
thức códạng :
( )
( )
( )
2 2
2
2
0 ?.ax by ax by axby
− ≥ ⇔ + ≥
•
Phân tích :
2 2
2ax ay axy+ ≥
.Đẳng thức xảy ra khi
x y=
2 2
2by cz bcyz+ ≥
.Đẳng thức xảy ra khi...
... kỹ thuật chọn điểm rơi trong bấtđẳng thức.
Các bấtđẳngthức trong các đề thi đại học thông thường là đối xứng với các biến và ta dự đoán dấu bằng xảy
ta khi các biến bằng nhau và xảy ra ...
2
25 25
3 2 3.
3 3
x x
+ ≥
. Đẳngthức xảy ra khi
2
25
3
3
x =
.
2
25 25
4 2 4.
4 4
y y
+ ≥
. Đẳngthức xảy ra khi
2
25
4
4
y =
.
2
5 5 2 5.5
z z
+ ≥
. Đẳngthức xảy ra khi
2
5 5
z
=
.
Cộng ... số 27
Giải:
Nhận xét : Các đa thức tham gia trong bài toán cùng bậc
2005 1975 30
= +
, đồng thời số mũ của các biến
tương ứng bằng nhau.
Áp dụng bấtđẳngthức trung bình cộng , trung...
... kỹ thuật chọn điểm rơi trong bấtđẳng thức.
Các bấtđẳngthức trong các đề thi đại học thông thường là đối xứng với các biến và ta dự đoán dấu bằng xảy
ta khi các biến bằng nhau và xảy ra ... 2 3 , 0
x m mx m
+ ≥ >
. Đẳngthức xảy ra khi
2
3
x m
=
2
4 2 4 , 0
y n ny n
+ ≥ >
. Đẳngthức xảy ra khi
2
4
y n
=
2
5 2 5 , 0
z p pz p
+ ≥ >
. Đẳngthức xảy ra khi
2
5
z p
=
...
2
25 25
3 2 3.
3 3
x x
+ ≥
. Đẳngthức xảy ra khi
2
25
3
3
x =
.
2
25 25
4 2 4.
4 4
y y
+ ≥
. Đẳngthức xảy ra khi
2
25
4
4
y =
.
2
5 5 2 5.5
z z
+ ≥
. Đẳngthức xảy ra khi
2
5 5
z
=
.
Cộng...
... > 0.
Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bấtđẳngthức
7
II. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI:
1. Chứng minh:
+++³³
(ab)(bc)(ca)8abc;a,b,c0
÷ Áp dụng bấtđẳngthức Côsi cho hai số không âm:
... +³
+
++
22
112
1ab
1a1b
(«)
Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bấtđẳngthức
1
PHẦN I: LUYỆN TẬP CĂN BẢN
I. Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất cơ bản:
1. Cho a, b > 0 chứng minh:
++
æö
³
ç÷
èø
3
33
abab
22
...
æöæöæö
++³++
ç÷ç÷ç÷
èøèøèø
xxx
xxx
121520
345
543
Khi nào đẳngthức xảy ra?
44. (Đại học khối D 2005)
Cho các số dương x, y, z thoả mãn xyz = 1. Chứng minh rằng:
++++
++
++³
3333
33
1xy1yz
1zx
33
xyyzzx
Khi nào đẳngthức xảy ra?...
... ứng dụng cho các bài toán trong các tam
giác từ các bài toán trên.
Với tam giác ABC bất kì ta luôn có sinA, sinB, sinC là các số dương nên hoàn toàn
tương tự ta cócácbấtđẳngthức về góc ... độ khác bằng cách
biến đổi các điều kiện của các biến số mở ra một lớp các bài toán về bấtđẳngthức
khá hay và đẹp cũng được ứng dụng trong rất nhiều kì thi chọn học sinh giỏi và các
Sáng ... giải
Cách 1
Áp dụng bđt Cô si cho 3 số dương ta có
Sáng kiến kinh nghiệm Cao Tiến Trung
Www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online Page 1
2. Các kiến thứccơbản được sử dụng
a, Bất đẳng...
... xây dựng bài toán cực trị
vật lý lấy chất liệu chính từ cácbất ñẳng thức toán học thường dùng.
II. CƠ SỞ THIẾT KẾ :
1. Bất ñẳng thức Cauchy : (không mở rộng)
Thiết lập năm 1821.
ðiều ... “ñẹp”
hơn từ các thầy trong tổ Vật lý - Kỹ thuật.
Tổ Vật lý-Kỹ thuật
Trường THPT Tôn ðức Thắng.
LẠM BÀN VỀ VIỆC THIẾT KẾ
BÀI TOÁN CỰC TRỊ VẬT LÝ
DỰA VÀO CÁCBẤT ðẲNG THỨC PHỔ DỤNG. ... Bunhiacovxki là dẫn xuất của Savart bằng
cách bình phương 2 vế. Thiệt ra, Bunhiacovxki công bố vào năm 1859, trong
khi Savart sử dụng bất ñẳng thức trong các công trình của ông mãi tận năm
...
... là các trường hợp dấu đẳngthức xảy ra, tôi viết chuyên đề
“Chọn điểm rơi trong giải toán bấtđẳngthức .
III. NỘI DUNG
1. Bổ túc kiến thức về bấtđẳng thức
a) Tính chất cơbản của bấtđẳng thức
Định ... ĐT. Trong kỳ thi tuyển sinh Đại học
thì bài toán bấtđẳngthức là bài toán khó nhất trong đề thi mặc dù chỉ cần sử dụng một số bất
đẳng thứccơbản trong Sách giáo khoa nhưng học sinh vẫn gặp ... ⇔ + ≥ +
•
a b
a c b d
c d
≥
⇒ + ≥ +
≥
•
1 1
0a b
a b
≥ > ⇒ ≤
b) Một số bấtđẳngthứccơ bản
•
Bất đẳngthức Cauchy
Cho
n
số thực không âm
1 2
, , , ( 2)
n
a a a n ≥
ta luôn có
1...
... TẮC CHUNG TRONG CHỨNG MINH BẤTĐẲNGTHỨC SỬ
DỤNG BẤTĐẲNGTHỨCCÔ SI
Quy tắc song hành: hầu hết các BĐT đều có tính đối xứng do đó việc sử dụng các chứng minh một cách song
hành, tuần tự sẽ giúp ... bấtđẳngthức đã cho tương đương với bấtđẳngthức sau:
6
2 2 2
y z x z x y x y z y x z x y z
x y z x y x z z y
Bất đẳngthức ... CỦA BẤTĐẲNG THỨC
Áp dụng BĐT để giải phương trình và hệ phương trình
Bài 1: Giải phương trình
1
1 2 ( )
2
x y z x y z
Giải
Điều kiện : x 0, y 1, z 2. Áp dụng bấtđẳng thức...