... Trờng THPT Huỳnh Thúc Kháng
GV : Chu Quốc Hùng
Ch để 1. Chứngminhcácđẳngthức Vectơ
VD1. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. CMR : (bằng nhiều cách khác nhau)
a)
AB CD AD CB+ = +
uuur uuur uuur uuur
b) ... N, P là trung điểm các cạnh AB, BC, CA. Chứngminh rằng :
a)
AN BP CM O+ + =
uuur uuur uuur ur
b)
AN AM AP= +
uuur uuur uuur
c)
AM BN CP O+ + =
uuur uuur uuur ur
VD3. (Hệ thức về trung điểm) ... IP− = −
uur uur uur
.
d) Tổng quát tính chất trên.
VD3. (Hệ thức về trọng tâm) Cho tam giác ABC và G là trọng tâm của tam giác.
a) Chứngminh rằng
AG BG CG O+ + =
uuur uuur uuur ur
. Với I bất...
... đổi bất đẳngthức cần chứngminh tơng đơng với bất đẳngthức
đúng hoặc bất đẳngthức đà đợc chứngminh đúng.
Bài 3.1: a. Với a,b, c > 0. Chøng minh:
b. Cho a ≥ c > 0, b c. Chứng minh: ... 3 số dơng a,b, c. Chứngminh rằng: 1 <
Giải:
Vì nên
Tơng tự:
Cộng các bất đẳngthức trên lại ta đợc điều phải chứng minh.
Bài 6.2: Cho a, b, c, d là các số dơng. Chứngminh rằng:
A = không ... SSSS
++=
.
3
1
321
SSSS
≥++
AC
MP
AC
MP
S
S
AC
MP
S
S
=⇒
=
1
2
1
22
2
=
=
AC
PC
AC
QE
S
S
Các phơng pháp chứng minh
bất đẳng thức
A. Kiến thức cơ bản.
* Một số bất đẳngthức cần nhớ:
1. a
2
≥ 0; ; -
, dÊu " = " xảy ra khi và chỉ khi ab 0
2. Bất đẳngthức Cô...
... ≤
)
Suy ra: Bất đẳngthức đúng với
1
n k
= +
.
Vậy theo nguyên lý quy nạp, ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 2: Cho
n N
∈
,
1
n
≥
,
0, 1,2, ,
i
a i n
> =
. Hãy chứng minh:
( )
2
1 ... ≥
Giải:
*
1
1
1
1: .n a
a
2
= =1
: Bất đẳngthức luôn đúng.
*
n k
=
: Giả sử bất đẳngthức đúng là:
5
Giải:
Bất đẳngthức (1) tương đương với:
2
( ) ( ) 2 ( )( )
c a ... − − ≥
đây là bất đẳngthức đúng (đpcm)
Ví dụ 8:
Chứngminh rằng đối với mọi
, ,
a b c R
∈
, ta có:
2
2 2
2
4
a
b c ab ac bc
+ + ≥ − +
(1)
Giải:
Bất đẳngthức (1) tương đương với:...
... 04)1(
2
acb
Chứng minh rằng hệ đã cho vô nghiệm.
Giải:
Bất đẳngthức http://thptyenvien.edu.vn/forum - ducduyspt
1
CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNGMINH
BẤT ĐẲNGTHỨC
Bất đẳngthức http://thptyenvien.edu.vn/forum ... bất đẳngthức sau có một bất đẳngthức đúng:
1,1,1
333
abccabcbabca
PHƯƠNG PHÁP 6: Phương pháp hình học
I. Phương pháp vecto
Một số bất đẳngthức có thể được chứngminh bằng các ... Cmr trong 3 bất đẳngthức sau có ít nhất một bất đẳngthức đúng:
222222222
)()(2,)()(2,)()(2 baacaccbcbba
Bài 4: Cho a,b,c >0 và abc=1.Cmr 3
cba
Bất đẳngthức http://thptyenvien.edu.vn/forum...
... ðúng theo BÐT Schur. Vậy bài toán ðýợc chứngminh
Ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1.
Thí dụ 3. Cho bốn số a,b,c,d dýõng thoả mãn abcd=1. Chứngminh rằng:
1 1 1 1
2
a(1 b) b(1 c) c(1 ... ðó BÐT (2) ðúng
Vậy (1) ðýợc chứng minh. Ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1 1
b d
a c
.
Thí dụ 4 (IMO 2000). Cho ba số dýõng a,b,c thoả mãn abc=1. Chứngminh rằng:
1 1 1
1 1 1 1
a b ... tin
1
MỘT PHÝÕNG PHÁP CHỨNGMINH BẤT ÐẲNG THỨC
CÓ ÐIỀU KIỆN TÍCH CÁC BIẾN BẰNG 1.
LÊ XUÂN ÐẠI
(GV Trýờng THPT Chuyên Vĩnh Phúc)
Có một số bài toán bất ðẳng thức (BÐT) với n biến số...
... x>0
Bài 7. Cho n
+
chứngminh rằng :
1
n
x x
<
1
2ne
với mọi
( )
0;1x
Giải
Hớng dẫn học sinh chứngminh bất đẳngthức tơng tơng với chứngminh bất
đẳng thức
( )
2
1
n
x x
< ... Sử DụNG BấT ĐẳNGTHứC CÔSI
I. Các quy tắc cần chú ý khi sử dụng bất đẳngthức côsi
- Quy tắc song hành: hầu hết các BĐT đều có tính đối xứng do đó việc sử dụng
các chứngminh một cách song hành, ... 2. Chứngminh bất đẳngthức bằng đạo hàm
ơng pháp 2. Chứngminh bất đẳngthức bằng đạo hàm
Trong phần này ta sử dụng phơng pháp đạo hàm qua việc khảo sát hàm số
hoặc dùng định lý Lagrage để chứng...
...
ABC
, chứngminh rằng:
2
3
coscoscos CBA
II. Dùng hình học để chứngminh bất đẳngthức
Một số định lý tính chất cơ bản trong hình học thường dùng trong chứng
minh bất đẳngthức hình ... bất đẳngthức sau có một bất đẳngthức đúng:
1,1,1
333
abccabcbabca
PHƯƠNG PHÁP 6: Phương pháp hình học
I. Phương pháp vecto
Một số bất đẳngthức có thể được chứngminh bằng các ... bayy
2
0
2
2
0
)()2( bayy
Bất đẳngthức http://thptyenvien.edu.vn/forum - ducduyspt
1
CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNGMINH
BẤT ĐẲNGTHỨC
Bất đẳngthức http://thptyenvien.edu.vn/forum...
... phương pháp sử dụng bất đẳngthức vectơ trong
chứng minh bất đẳngthức
4
SKKN: Dạy học sinh sử dụng bất đẳngthức vectơ để giải các bài toán chứngminh bất đẳng thức
Dấu “=” xảy ra khi và ... bất đẳngthức (I.1) và (I.2)
2. Dấu hiệu nhận biết dùng bất đẳngthức vectơ để chứngminh bất đẳng thức
Sử dụng bất đẳngthức vectơ là một phương pháp hay và rất có hiệu quả để
chứng minh ...
chứng minh bất đẳng thức. Các bài toán chứngminh bất đẳngthức có thể áp dụng
được phương pháp này, nếu như bản thân các bất đẳngthức đó tiềm ẩn các dữ kiện
của hình học giải tích. Các dấu hiệu...
... Kiến thức:
Để chứngminh bất đẳngthức đúng với
0
nn ta thực hiện các bước sau :
1 – Kiểm tra bất đẳngthức đúng với
0
nn
2 - Giả sử BĐT đúng với n =k (thay n =k vào BĐT cần chứngminh ... 2:
PHẦN II
CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNGMINH BẤT ĐẲNGTHỨC
Phương pháp 1 : Dùng định nghĩa
Kiến thức : Để chứngminh A > B. Ta lập hiệu A –B > 0
Lưu ý dùng hằng bất đẳngthức M
2
0 ...
3- Ta chứngminh bất đẳngthức đúng với n = k +1 (thay n = k+1vào BĐT cần
chứng minh rồi biến đổi để dùng giả thiết quy nạp)
4 – kết luận BĐT đúng với mọi
0
nn
Ví dụ1: Chứngminh rằng...
... biến thiên suy ra bất đẳngthức cần chứng minh.
- Các trường hợp:
+ Chứngminh f(x)≥ A nghĩa là chứngminh min f(x)≥ A, ở đây A là hằng số.
+ Chứngminh f(x)≤ A nghĩa là chứngminh max f(x)≤A, ở ... đoạn
4
1
;0
8
SKKN – Tô Minh Hải – THPT Trưng Vương
Chuyên đề II
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ CHỨNGMINH BẤT ĐẲNG THỨC
Để chứngminh bất đẳngthức dạng: f(x) > g(x) ta thực hiện như ... nghiệm:
x
2
+ x – y = 1 – 2m
31
SKKN – Tô Minh Hải – THPT Trưng Vương
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM CHỨNGMINH BẤT ĐẲNG
THỨC
GIẢI CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ, BÀI TOÁN ĐIỀU KIỆN
VỀ NGHIỆM...