... : 9
100
- 1 chia hết cho 1000 => 3
399 98
= 9
199 9
= 9
100p + 99
= 9
99
(9
100p
- 1)
+ 9
99
= 1000q + 9
99
(p, q Є N).
Vậy ba chữ số tận cùng của 3
399 98
cũng chính là ba chữ số ... 1 số có dạng :
199 91 ; 199 92 ; ; 199 9104 + 1.
Lập luận tương tự bài toán 2 ta được :
( 199 9m - 199 9n) chia hết cho 104 (m > n)
hay 199 9n ( 199 9m-n - 1) chia hết cho 104
Vì 199 9n và 104 nguyên ... Các chuyênđềsốhọc
Xột 199 5 s cú dng : 199 4 ; 199 4 199 4 ; ; .
Nếu một trong các số trên chia hết cho 199 5 thì dễ dàng có đpcm.
Nếu các số trên đều không chia hết cho 199 5 thì khi chia từng số...
... sao?
Bài giải: Không. Vì ngoài số nguyên dương
và số nguyên âm tập Z còn gồm cả số 0
Đ
Đ
Đ
S
Đ
Đ S
Mở rộng: Nói tập Z bao gồm hai bộ phận là
số tự nhiên và số nguyên âm có đúng
không? Vì ... N gồm số 0 và số
nguyên dương
N
Z
1. Bài18(Trang 57-SBT)
a)Sắp xếp các số nguyên sau theo thứ
tự tăng dần:
5; -15; 8; 3; -1; 0
b)Sắp xếp các số nguyên sau theo thứ
tự giảm dần:
-97 ; 10; ... dạng bài tập
1. So sánh số nguyên
2. Tìm số đối và giá trị tuyệt đối của một số nguyên
3. Củng cố khái niệm tập hợp N và tập hợp Z
4. Tính giá trị của biểu thức
5. Tìm số liền trước, liền sau
IV....
... : 9
100
- 1 chia hết cho 1000 => 3
399 98
= 9
199 9
= 9
100p + 99
= 9
99
(9
100p
- 1)
+ 9
99
= 1000q + 9
99
(p, q Є N).
Vậy ba chữ số tận cùng của 3
399 98
cũng chính là ba chữ số ... 104 + 1 số có dạng :
199 91 ; 199 92 ; ; 199 9104 + 1.
Lập luận tương tự bài toán 2 ta được :
( 199 9m - 199 9n) chia hết cho 104 (m > n)
hay 199 9n ( 199 9m-n - 1) chia hết cho 104
Vì 199 9n và 104 ... tại số có dạng 199 4 199 4 199 400 0 chia hết cho 199 5.
Lời giải :
Xét 199 5 số có dạng : 199 4 ; 199 4 199 4 ; ; .
Nếu một trong các số trên chia hết cho 199 5 thì dễ dàng có đpcm.
Nếu các số trên đều...
... (dạng tìm số)
Một số A có 2 chữ số . Nếu ta viết thêm số 1 vào trước số đó thì ta được một
số có 3 chữ số , nếu thêm chữ số 1 vào sau số đó ta cũng được một số có 3
chữ số . Biết rằng số viết ... 12:Không dùng máy tính và bảng số hÃy chứng tỏ
1, 099 101
>
Giải
99 101
2
99 101
+
=
Vì 0 <
100 299 101
<+
( Suy ra từ bài 10a )
12
Phần I: SỐ HỌC
MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN GHI NHỚ
1/ neáu ... A=
.99 98 321
33333
+++++
Hỏi A có chia hết cho 6 không?
Hớng dẩn: Đặt S=1+2+3+4+ +98 +99 . Theo bài 2 ta có A-S chia hết cho
6,trong đó S=
625.33.6
2
) 199 (99
MS
=
+
. Do đó A
6M
.
Bài4:(Thi học...
... các số nguyên dương p, q, r sao cho
pqr - 1
⋮
(p - 1)(q - 1)(r - 1).
Bài 13. Chứng minh rằng tồn tại một số tự nhiên có 199 7 chữ số gồm toàn chữ số 1 và 2
sao cho số ñó chia hết cho 2
199 7
. ... ++++
là một số nguyên.
Bài 11. (Canada - 97 )Tìm số các cặp số nguyên a, b (a
≤
b) thoả mãn
Nguyễn Văn Thảo Chuyên ñề SốHọc - Phần I
12
I.2 Ước số chung lớn nhất - Bội số chung nhỏ ... là một số nguyên tố, a là một số nguyên bất kì không chia hết cho p. Khi ñó
a
p-1
≡ 1 (mod p).
Chứng minh
Nguyễn Văn Thảo Chuyên ñề SốHọc - Phần I
16
Ví dụ 8. (APMO - 199 9) Tìm số nguyên...
... 3
n+1
chia hết cho 17.
Bài 8. Tìm n ∈ N sao cho 2n
3
+ 3n = 198 5 198 6.
Bài 9. Viết liên tiếp 2000 số 199 9 ta được số X = 199 9 199 9 ··· 199 9.
Tìm số dư trong phép chia X cho 10001.
Bài 10. Chứng minh rằng ... ·1000
777
+ 112 ·1000
776
+ ··· + 888.
Do 1000
k
≡ 1 (mod 99 9), ∀k ∈ N nên
A ≡ 111 + 112 + ···+ 888 ≡ 0 (mod 99 9).
Suy ra 99 9 | A, và (99 9, 2) = 1 nên 199 8 | A.
Ví dụ 3.20. Chứng minh rằng 7 | 5555
2222
+ ... cho 2003
10
.
Bài 6. Biết rằng ba số a, a + k, a + 2k đều là các số nguyên tố lớn hơn
3. Chứng minh rằng khi đó k chia hết cho 6.
Chuyên đềSốhọc Diễn đàn Toán học
Vuihoc24h.vn
3.2. Phương pháp...
... Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất để các phân số sau tối giản:
a.
1
n
199 6
+ 199 5n + 2
,
b.
2
n
199 6
+ 199 5n + 3
,
c.
199 4
n
199 6
+ 199 5n + 199 5
,
d.
199 5
n
199 6
+ 199 5n + 199 6
.
Bài 21. Cho 20 số ... 1234567 89; a = 98 7654321. Ta nhận thấy a và b đều
chia hết cho 9.
Ta lại có :
a + b = 1111111110
=
10
10
− 10
9
.
⇔ 9a + 9b = 10
10
− 10
(1.1)
Mặt khác :
10b + a = 99 999 999 99
= 10
10
− 1.
(1.2)
Chuyên ... Toán họcChuyênđềSố học
4 1.2. Bội số, bội số chung, bội số chung nhỏ nhất
Trừ (1.2) và (1.1) vế theo vế ta được b−8a = 9. Do đó nếu đặt d = (a; b)
thì 9
.
.
.d.
Mà a và b đều chia hết cho 9, ...
... bốn chữ số cuối cùng của số:
197 6 197 4 197 5 197 3
197 6 197 4 197 6 197 4a
.
29. Tìm ba chữ số tận cùng của số
10000
199 5
199 4
199 3
M
.
3. DÃY SỐ VÀ SỐHỌC
1. Cho dãy số
n
u
... có một số chính phương.
31.(IMO 199 4). Cho dãy số
2
0 1
: 199 4;
( )
1
n
n n
n
a
a a a n N
a
. Chứng minh rằng khi
0 99 8
n
thì
199 4
n
a n
32. (Bulgaria 199 9). Cho ... .
Sau 199 7 lần thay thế như trên ta đặt
199 7 199 7 199 7 199 7
, , ,
a a b b c c d d
.
Hỏi tất cả các số , ,
bc ad ac bd ab cd
có đồng thời là các số nguyên tố hay
không?...
...
222.22
) 19( 191 9
199 4 199 4 194 5
==
21/. Ta coù
09 10 09 499 22
=
91 010 .9 991 0.224
1n2nn2
+++
++
=
91 010).110(10.224
1n2n2nn2
++−+
++−
=
91 010.110.1010.224
1n2n2n2nn2
++−+
+++−
=
91 0101010.224
1n2nn2n2
++−+
++
= ... chữ số 50 chữ số
50 chữ số
50 chữ số
199 5 số 1
10/. Vì n có 2 chữ số neân 10 ≤ n ≤ 99 neân 21 ≤ 2n + 1 ≤ 199 . Các số
chính phương lẻ trong khoảng trên là 25; 49; 81; 121; 1 69.
Chỉ có số ... Số nào là số chính phương; số nào không là số chính
phương?
a) 2
1000
b) 3
199 3
c) 4
161
d)
194 5
2
19
21/. (Dạng 1) Chứng minh rằng số
09 10 09 499 22
là số chính
phương
22/. (Dạng...
... 199 8 sao cho A
n
⋮
199 9.
b) Gọi k là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho A
k
⋮
199 9. Chứng minh rằng
199 8
⋮
2k.
Bài 26. Cho hai số nguyên dương m và n sao cho n + 2
⋮
m. Hãy tính số ... luôn tồn tại ba số
tự nhiên phân biệt a, b, c sao cho a
2
+ b
2
⋮
c
2
.
Bài 25. Cho số tự nhiên A
n
= 199 8 199 8 199 8 (gồm n số 199 8 viết liền nhau)
a) Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương ...
Bài 37. (Nga - 199 9) Cho tập A là tập con của tập các số tự nhiên n sao cho trong 199 9số
tự nhiên liên tiếp bất kì luôn có ít nhất một số thuộc A.
Chứng minh rằng tồn tại hai số m, n thuộc A...
... Shortlist 199 1) Tìm số nguyên dương k lớn nhất thỏa mãn 199 1
k
là ước của
199 0
199 1
199 2
+ 199 2
199 1
199 0
.
Lời giải. Đặt a = 199 1 thì a là số nguyên tố lẻ. Do đó theo Định lý 2 thì
v
a
(a − 1)
a
a+1
+ ... v
2
( 199 8) = v
2
(n) + 5
Để thỏa mãn 2
2013
| 199 9
n
− 1 thì v
2
(n) + 5 2013 hay v
2
(n) 2008.
Vậy số nguyên dương n nhỏ nhất thỏa mãn đề ra là 2
2008
.
Ví dụ . (IMO Shortlist 199 1) Tìm số nguyên ... thành
viên của Diễn đàn Mathscope, bao gồm các chủ đề: Cấp và căn nguyên thuỷ, Các bài toán số
học hoán vị vòng quanh, Dãy sốsố học, Hàm số học, Bổ đề nâng số mũ LTE, Phần nguyên,
47
Xét 0 < a
0
<...
... Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất để các phân số sau tối giản:
a.
1
n
199 6
+ 199 5n + 2
,
b.
2
n
199 6
+ 199 5n + 3
,
c.
199 4
n
199 6
+ 199 5n + 199 5
,
d.
199 5
n
199 6
+ 199 5n + 199 6
.
Bài 21. Cho 20 số ... nguyên tố có 93 chữ số lập thành cấp số cộng
Sau đây là một số nguyên tố gồm 93 chữ số:
10 099 697 24 697 1424763778665558 796 98403 295 093 246 891 90041
80360341775 890 43417033488821 590 672 297 19
Kỷ lục này ... Ước số, ước số chung, ước số chung lớn nhất 1
1.2 Bội số, bội số chung, bội số chung nhỏ nhất 4
1.3 Bài tập đề nghị 6
9
Chương 2
Số Nguyên Tố
2.1 Một số kiến thức cơ bản về số nguyên tố 9
2.2...
... ra: 9
100
− 1 chia hết cho 1000 ⇒
3
399 98
= 9
199 9
= 9
100p + 99
= 9
99
(9
100p
− 1) + 9
99
= 1000q + 9
99
(p, q ∈ N).
Vậy ba chữ số tận cùng của 3
399 98
cũng chính là ba chữ số tận ... ta tìm số dư của phép chia 99 cho 4: 9
9
− 1 = (9 − 1) (9
8
+
9
7
+ … + 9 + 1) chia hết cho 4 ⇒ 99 = 4k + 1 (k ∈ N) ⇒ 7
99
= 7
4k + 1
= 7
4k
.7
Do 7
4k
có chữ số tận cùng là 1 ⇒ 7
99
có ... minh rằng các số sau là số chính phương:
a. A = 22 499 91 00… 09
n-2 chữ số9 n chữ số 0
b. B = 11…155…56
n chữ số 1 n-1 chữ số 5
a. A = 224.10
2n
+ 99 9. 10
n+2
+ 10
n+1
+ 9
= 224.10
2n
...