... ơng pháp 3 : dùng bấtđẳngthức quen thuộc
A/ một số bấtđẳngthức hay dùng
1) Các bấtđẳngthức phụ:
9
Tơng tự
3
b
+
3
c
cb
2
1
+
c
3
+
3
a
ac
2
1
+
Cộng các bấtđẳngthức ta có :
accbbacba
222333
3222
+++++
... tơng đơng
L u ý:
Ta biến đổi bấtđẳngthức cần chứng minh tơng đơng với bấtđẳngthức đúng hoặc
bất đẳngthức đà đợc chứng minh là đúng.
Chú ý các hằng đẳngthức sau:
( )
22
2
2 BABABA
++=+
... 2 )Bất đẳngthức Cô sy:
n
n
n
aaaa
n
aaaa
321
321
++++
Với
0
>
i
a
3 )Bất đẳngthức Bunhiacopski
( )
( )
( )
2
2211
22
2
2
1
22
2
2
2
nnnn
xaxaxaxxaaa
+++++++++
4) Bấtđẳng thức...
... dương a, b, c thỏa a.b.c=1. Tìm GTNN của biểu thức:
2 2 2 2 2 2
= + +
+ + +
bc ca ab
P
a b a c b c b a c a c b
(ĐHNN – 2000)
36) Chứng minh các bấtđẳngthức sau với giả thiết
, , 0a b c >
:
1.
5 ... Cho
0 4; 0 y 3≤ ≤ ≤ ≤x
. Tìm GTLN của
( ) ( ) ( )
3 4 2 3= − − +A y x y x
33) Tìm GTLN của biểu thức:
2 3 4− + − + −
=
ab c bc a ca b
F
abc
với
3; b 4; c 2≥ ≥ ≥a
34) Cho x, y, z > 0 và x ... x, y, z là 3 số dương. Chứng minh
3 2 4 3 5+ + ≥ + +x y z xy yz zx
11) Cho a, b, c là 3 số thựcbất kỳ thoả a+b+c = 0. Chứng minh
8 8 8 2 2 2+ + ≥ + +
a b c a b c
12) Chứng minh với mọi số thực...
... ≤
Tìm GTNN của
2 2
1 1
2
S
a b ab
= +
+
Giải:
2 2 2
4 4
4
2 ( )
S
a b ab a b
≥ = ≥
+ + +
Dấu đẳngthức xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1/2
( )
4
4 4
8) :
8
a b
CMR a b
+
+ ≥
Giải:
( )
( ) ( )
2
2
2...
... dụng bấtđẳngthức Cauchy-Schwarz,ta có:
Áp dụng 2 bấtđẳngthức trên,ta có:
Giả sử và đặt .
Ta cần chứng minh
Bất đẳngthức cuối dễdàng chứng minh bằng cách xét 2 trường hợp: và
Đẳng thức ... dụng bấtđẳngthức Schur,
Do đó
Bất đẳngthức được chứng minh.
Ví dụ 4 : Arqady
Cho a,b,c là các số không âm,trong đó không có 2 số nào đồng thời bằng 0.Chứng minh rằng:
Lời giải:
Bất đẳngthức ... 2:
Sử dụng bấtđẳngthức AM-GM,ta có:
Bất đẳngthức cuối đã rất quen thuộc,ta có đpcm.
Ví dụ 3 : VMO 2002-Trần Nam Dũng
Chứng minh rằng với mọi ,ta có:
Lời giải:
Sử dụng bấtđẳngthức AM-GM,ta...
... lý)
Vậy trong 2 bấtđẳngthức
ba 4
2
<
và
dc 4
2
<
có ít nhất một các bấtđẳngthức sai
17
2-Dùng bấtđẳngthứcđể giải phơng trình và bất phơng trình
3-Dùng bấtđẳngthức giải phơng ... dùng bấtđẳngthức quen thuộc
A/ một số bấtđẳngthức hay dùng
1) Các bấtđẳngthức phụ:
a)
xyyx 2
22
+
b)
xyyx
+
22
dấu( = ) khi x = y = 0
c)
( )
xyyx 4
2
+
d)
2
+
a
b
b
a
2 )Bất đẳngthức ... dcbadbca
++++++
8
Chuyênđề : Bấtđẳng thức
A- Mở đầu:
Bấtđẳngthức là một trong những mảng kiến thức khó nhất của toán học phổ thông .
Nhng thông qua các bài tập về chứng minh bấtđẳngthức học sinh...
... Bấtđẳngthức và cực trị của hàm đa biến
Bất đẳngthức và cực trị của hàm đa biến
Ths.Phạm Huy Tân - Trờng THPT Lơng Tài
I/ ... =A
18
106
32 +++
yx
yx
Bất đẳngthức và cực trị của hàm đa biến
Bài tập tự luyện
1) Cho ab>0, c . Chứng minh:
2) Cho a, b, c dơng. Chứng minh:
a)
b)
II. Phơng pháp sử dụng bấtđẳngthức Côsi
Ví dụ ... mọi x
1
,x
2
, ,x
n
dơng
Giải: áp dụng BĐT Côsi ta có
và Nhân vế với vế 2 bấtđẳngthức trên ta đợc
Đpcm. Đẳngthức xảy ra khi x
1
= x
2
= = x
n
.
ã Bài tập áp dụng:
1) Với mọi a,b,c dơng,...
... nhiều.
E.mail: hieucqt@gmail.com
Thân chào !
CHUYÊN ĐỀ : BẤTĐẲNGTHỨC AM-GM
I. Bổ túc kiến thức về bấtđẳng thức
a) Tính chất cơ bản của bấtđẳng thức
Định nghĩa:
0a b a b≥ ⇔ − ≥
•
a b
a c
b ... ⇔ + ≥ +
•
a b
a c b d
c d
≥
⇒ + ≥ +
≥
•
1 1
0a b
a b
≥ > ⇒ ≤
b) Một số bấtđẳngthức cơ bản
•
Bất đẳngthức AM-GM.
Cho
n
số thực không âm
1 2
, , , ( 2)
n
a a a n ≥
ta luôn có
1 2
1 ... Tổ Toán bài viết này. Các Bác Tổ Toán có
chuyên đề nào về "Phương trình hàm", "dãy số" không thì
cho tui với. Các bác muốn tìm chuyênđề nào tui có thể
chia sẻ. Tui cũng có...
... ChuyênđềBấtđẳngthức Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp
9
II. Ph-ơng pháp sử dụng bấtđẳngthức cô si
1. Bấtđẳngthức Côsi
a) Cho
a 0, b 0
. Khi đó
a b
ab
2
. Đẳngthức xảy ... yours now!
Chuyên đềBấtđẳngthức Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp
18
2 2 2
a b c
a b c
b c a
Phân tích bài toán:
* Tr-ớc hết ta nhận thấy nếu áp dụng ngay bấtđẳngthức Cô si ... printer and thats it! Get yours now!
Chuyên đềBấtđẳngthức Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp
22
Nh- thế ta chọn
0
sao cho
3
2
(số 3 trong đề bài), có thể thấy ngay
một số
2
....
... nâng cao
PHầN 4 : ứng dụng của bấtđẳng thức
1- Dùng bấtđẳngthứcđể tìm cực trị
2-Dùng bấtđẳngthứcđể giải phơng trình và bất phơng trình
3-Dùng bấtđẳngthức giải phơng trình nghiệm nguyên
... 1
Ph ơng pháp 3 : dùng bấtđẳngthức quen thuộc
A/ một số bấtđẳngthức hay dùng
1) Các bấtđẳngthức phụ:
Trờng THCS Nam Hoa Nam Trực Nam Định 9
Chuyên đê : Bấtđẳngthức
Nguyễn Công ...
Chuyên đê : Bấtđẳngthức
Nguyễn Công Minh
phơng pháp 2 : Dùng phép biến đổi tơng đơng
L u ý:
Ta biến đổi bấtđẳngthức cần chứng minh tơng đơng với bấtđẳngthức đúng hoặc
bất đẳng thức...
... nâng cao
PHầN 4 : ứng dụng của bấtđẳng thức
1- Dùng bấtđẳngthứcđể tìm cực trị
2-Dùng bấtđẳngthứcđể giải phơng trình và bất phơng trình
3-Dùng bấtđẳngthức giải phơng trình nghiệm nguyên
...
Chuyên đê : Bấtđẳngthức
Nguyễn Công Minh
phơng pháp 2 : Dùng phép biến đổi tơng đơng
L u ý:
Ta biến đổi bấtđẳngthức cần chứng minh tơng đơng với bấtđẳngthức đúng hoặc
bất đẳngthức ... nâng cao 23
17. ứng dụng của bấtdẳngthức
28
18.
Dùng bấtđẳngthứcđể tìm cực trị 29
19.
Dùng bấtđẳngthức để: giải phơng trình hệ phơng trình 31
20.
Dùng bấtđẳngthứcđể : giải phơng trình...
... để y đạt GTNN.
−
= + +
−
x 1 2 1
y
2 x 1 2
Áp dụng bấtđẳngthức Côsi cho hai số không âm
−
−
x 1 2
,
2 x 1
:
11
Tuyển tập Bấtđẳngthức Trần Duy Thái
⇔
( )
− − + + − ≥
2
2 2
a
a b c b c ... a b
17
Trần Duy Thái Tuyển tập Bấtđẳng thức
II. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI:
1. Chứng minh:
+ + + ≥ ≥(a b)(b c)(c a) 8abc ; a, b, c 0
Áp dụng bấtđẳngthức Côsi cho hai số không âm:
⇒ ... minh:
( ) ( )
≥ − −
3
a 3 a b b c c
.
8
Trần Duy Thái Tuyển tập Bấtđẳng thức
PHẦN II. ĐỀ THI ĐẠI HỌC
1. (CĐGT II 2003 dự bị)
Cho 3 số bất kì x, y, z. CMR:
+ + + + ≥ +
2 2 2 2 2 2
x xy y x xz+z...
... trong tam giác
Ta phải áp dụng linh hoạt các bấtđẳngthức trên để có thể tìm đợc cực trị
Khi tìm cực trị của các biểu thức ta nên xem xét các biểu thức phụ nh -A;
1
A
; A
2
để bài toán thêm ... 0
b
2
(a - c) + a
2
(b - c)
2
+ c
2
(a - b)
2
0 ( Luôn đúng do a ; b ; c > 0 )
Vậy bấtđẳngthức đợc chứng minh.
VD3: Cho a , b , c là độ dài 3 cạnh của
Cm:
a b c a c b
1
b c a c b ... x z y z
≤ + + +
÷
+ +
≤ + + +
÷
+ +
12
Phép biến đổi tơng đơng
áp dụng bấtđẳngthứcđể tìm cực trị
I - Phép biến đổi tơng đơng
1) Phơng pháp chung
- Từ 1 BĐT ban đầu biến...
... (n
+
1) n (n
+
1)
n
ç
è
ç
—
n n
+
1
÷
ø
.
CHUYÊN ĐỀ: CHỨNG MINH BẤTĐẲNG
THỨC
÷
÷
ú
2 2
2
A. KIẾN THỨC CƠ
BẢN
1. Khái
niệm:
A > B A
—
B > 0 ... <
0.
B. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤTĐẲNG
THỨC
1. Phương pháp biến đổi tương
đương
Bài 1:
Ch
ứ
ng
minh: a + b
≥
ab (1) a, b > 0. (Bất đẳngthức
Côsi)
2
H D: (1) a + b
—
ab
=
a ... CHUYÊN DỀ: CHỨNG MINH BẤTDẲNG
THỨC
Trang
5
DỖ TRUNG THÀNH
—
GIÁO VIÊN
THCS
Bài 47:
Ch
ứ
ng
minh:
1
+
1
+
...
... nạp
PP7: Dùng bấtđẳngthức Cauchy
26
PP8: Dùng bấtđẳngthức Bunhiacopski
PP9: Biến dạng của bấtđẳngthức Bunhiacopski
PP10: Dùng bấtđẳngthức Bunhiacopski mở rộng
PP11: Dùng bấtđẳngthức Bernoulli
PP12: ... minh
bấtđẳngthức
I. Bài toán chứng minh bấtđẳngthức đại số
Khái niệm: Cho hai biểu thức đại số f, g có tập xác định lần lợt là D
1
, D
2
. Quan
hệ f
(
) g cho ta một bấtđẳngthức đại ... minh bấtđẳngthức nhiều biến (dạng f
g
f g
0):
B ớc 1: Xác định vai trò các đại lợng biến thiên.
35
Chứng minh bấtđẳngthức bằng phơng pháp hàm
số
đặt vấn đề
Chứng minh bấtđẳng thức...
... minh bấtđẳngthức ta thường bắt gặp hai loại bấtđẳngthức phổ
biến là: Bấtđẳngthức không điều kiện và bấtđẳngthức có điều kiện
Ο Phương pháp 1: Dùng định nghóa và các tính chất của bấtđẳng ...
22
22
2
22
2
22
2
22
3
22
3
22
3
cba
ac
ca
cb
bc
ba
abcba
ac
c
cb
b
ba
a
++
≤
+
+
+
+
+
⇔
++
≥
+
+
+
+
+
Nguyễn Văn Anh Trang
5
BỒI DƯỢNG HỌC SINH GIỎI ĐẲNGTHỨC – BẤTĐẲNGTHỨC
Chuyên đề: Đẳngthức – Bấtdẳngthức
I – KIẾN THỨC CƠ BẢN:
* Các tính chất cơ bản:
0
≥−⇔≥
baba
bcacbcacba
+≥+⇔−≤−⇔≥
... Điều kiện ràng buộc của các bấtđẳngthức cơ bản như: Cô – si; Bunhiacốpxki; ….
Các ví dụ minh hoạ:
Nguyễn Văn Anh Trang
3
BỒI DƯỢNG HỌC SINH GIỎI ĐẲNGTHỨC – BẤTĐẲNG THỨC
Chứng minh qui nạp:...