... là: (1 − a1 ) (1 − a ) (1 − a k ) ≥ 2 Ta có: (1 − a1 ) (1 − a ) (1 − a k +1 ) = (1 − a1 ) (1 − a ) (1 − a k 1 ) [1 − (a k + a k +1 ) + a k a k +1 ] 1 ≥ (1 − a1 ) (1 − a ) (1 − a k 1 ) [1 − ... mãn: 11 + + + ≥ Chứng minh rằng: 1+ a 1+ b 1+ c 1+ d abcd ≤ 81 Giải Từ giả thiết ta có: 11 − 1+ − 1+ − 1+ − ≥ 3− 1+ a 1+ b 1+ c 1+ d a b c d ⇒ + + + 1 1+ a 1+ a 1+ a 1+ a a (1 + b) + b (1 + ... k bk ) + 2a1b1 a k +1bk +1 + 2a b2 a k +1bk +1 + + + 2a k bk a k +1bk +1 + a k +1bk2 +1 ≥ (a1b1 + a b2 + + a k bk ) + (a1b1 + a b2 + + a k bk ) a k +1bk +1 + a k +1 bk2 +1 ≥ (a1b1 + a b2 +...
... t Khi đó: P x 1 t 11 | Trang x 1 z z 1 x x 1 z 11 1 t t 2 t 1 www.noon.vn Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Xét hàm số f t t 2 , t 1 t 1 12 t Ta có f ' t ... a 1 a b 1 b a b a b a c a b b c ab a b b c c a ab 1 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1.1 a.b 1 a 1 b 1 c 1 a 1 b ... a 1 b Do đó: P ab ab ab ab 1 a 1 b Bất đẳng thức – Bài toán Min - Max 1 a b c2 c 1 c 1 ab ab a b ab 1 c2 c 1 c 16 c2 16 c 1 1; ...
... > 1 + + = 1+ x 1+ y 1+ z Tìm giá trị lớn biểu thức P = xyz Hướng dẫn: Tách 1 y z yz = 1 − + ≥2 + 1 − = 1+ x 1+ y 1+ z y +1 z +1 ( y + 1) ( z + 1) Tương tự xz xy ≥2 ; ≥2 1+ ... sau : 2 11 2 2 P = (1 + x ) 1 + y + (1 + y ) 1 + x Bài 13 : [ĐVH] Xét số thực dương thỏa mãn a + b + c = Tìm GTNN biểu thức P = 11 + + + 2 a +b +c ab bc ca Bài 14 : [ĐVH] ... x − = 1. ( x − 1) ≤ xy Lại có → ( x − 1) ( y − 1) ≤ y − = 1. ( y − 1) ≤ y Từ dễ dàng suy P ≥ BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Bài 1: [ĐVH] Cho a, b, c > Chứng minh rằng: a) a b c 11 1 + 2+ ≤...
... 1 11 y 1 z 11 Đặt u , v u, v Khi P 2 y z 1 x 1 u 1 v 1 x 1 u 1 v Theo bđt Côsi: P 1 x 1 u 1 v 1 ... x 1 x y z yz yz y z 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z y2 1 y z2 1 z yz 1 y 1 z 1 x 1 x 1 1 y ... NĂM 2 016 - LẦN 1) ĐÁP ÁN Bài 31: Cho a, b, c l| c{c số thực dương v| thoả mãn: a b c Ta có BĐT sau đúng: x12 y12 x22 y22 x1 x2 y1 y2 2 (1) Thật vậy, 1 x12 y12 ...
... có 1 + + , nên : x y z 1 y -1 z -1 (y - 1) (z - 1) (1 - ) + (1 - ) = ( )+( )2 (1) x y z y z yz 1 x -1 z -1 (x - 1) (z - 1) (1 - ) + (1 - ) = ( )+( )2 (2) y x z x z xz 1 x -1 y -1 (x - 1) (y ... yz zx xy z yz x zx y 1 z 1 x 1 y (1 x) (1 y) (1 y) (1 z) (1 x) (1 z) 33 1 z 1 x 1 y 3 (1 x) (1 y ) (1 y ) (1 z ) (1 x) (1 z ) Vậy Min P = x = y = z = ... xy (1 x ) (1 xy) (1 y ) (1 xy) 1 x x( y x) (1 x2 ) (1 xy) Từ (1) , (2), suy ra: y( x y) (1 y ) (1 xy) 1 x2 0 1 y2 ( y x)2 ( xy 1) (1 x2 ) (1 y ) (1 xy)...
... z số thực dương thỏa mãn y z x y z Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 1 x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z Trường THPT Nguyễn Văn Trỗi – Lần Câu 13 6: Cho x, y số thực ... x y y Trường THPT Sông Lô – Lần Câu 11 2: Cho hai số thực a, b 0 ;1 thỏa mãn: a3 b3 lớn biểu thức: P 1 a 1 b a b ab 1 a 1 b Tìm giá trị 3ab a b Trường ... Q 16 a b VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977. 413 .3 41 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN 15 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2 016 Trường THPT Thạch Thành – Thanh Hoá– Lần Câu 11 6: Cho số thực...
... x=2 x 1 Giải: phương trình ⇔ Xét f ( x ) = x 1 x 1 −x=0 − x R ta có: 2 x ln x 3 1 f ( x) = 1 2 ln x 3 1 x ln 2 x 3 1 '' f ( x) = + > 0∀x ⇒ hàm số lõm Vây phương trình nghiệm Mà f ( 1) = f ... Bước 3: Vậy phương trình (1) có nghiệm hai nghiệm Ta x1 , x2 ∈ D cho f ( x1 ) = f ( x2 ) = + Bước 4: Kết luận Ví dụ 1: Giải phương trình x + = 3x − x + Giải ĐKXĐ: x ≥ 1 -4- Tập san khối chuyên ... ( x ) = m ( m − 1) x > 0, ∀x > 2 Do f ( x ) hàm lõm khoảng ta có kết quả: Với n số x1 , x2 , , xn > ta có m m x1m + x2m + + xn x1 + x2 + + xn ≤ n n Dấu “=” xảy ⇔ x1 = x2 = = xn ...
... - ðà L t ⇒∫ 11 x 1 (1 + x ) n 1 n Vậy : ∫ (1 + x ) 0 1 − n 1 n 1 n ex (1 + x ) e∫ dx 1 e (1 + x ) n (1 + x ) n n (1 + x ) n dx 1 n ex 1 n ex ∫ (1 + x ) dx ( x + 1) ⇔ e⇒ ex Chuyên ... x+7 + -7 + 11 - ր ց ⇒3 11 f ( x) ⇒ 54 ∫ ( ⇒ ∫ dx −7 ) 11 ∫ x + + 11 − x dx −7 11 −7 f ( x ) dx 11 ∫ dx −7 10 8 Xét hàm số : f(x) = x (1- x2) ; ∀x ∈ [ 0 ,1] ⇒ f ' ( x) = 3x - x + 1 ∨ x =1 1 +∞ 27 ր ... Tích Phân 1 + t + t ; ∀t < 11 hay − e x 1 + ; x > x x 2x 10 0 10 0 − 10 0 11 ⇒ ∫ 1 − dx ∫ e x dx ∫ 1 − + dx 10 10 10 x x 2x 10 0 90 − ln10 ≤ ∫ e x dx < 90 + + ln10 10 200 * Là...
... đẹp Kĩ thuật ứng dụng cho ví dụ sau Ví dụ a,b,c số dương có tổng Chứng minh bất đẳng thức sau 11 2 2 2 4a b c a 4b c a b 4c 2 Cauchy-Schwarz inequality Lời giải Sử dụng tư ... 2c ab Thật ta có a2 a2 bc 2 1 2a2 bc 2a bc 2a bc Nhưng mà theo bất bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có bc (bc)2 (ab bc ca) 1 2a2 bc 2a bc (bc)2 (ab)2 2 ... đẳng Cauchy-Schwarz ta a2 a2 a2 1 ( ) 2 2 2 3a (b c) (2a 2bc) (a b c ) 2a 2bc a b c Sử dụng ước lượng ta a2 a2 a2 a2 ( ( 2 ) ( 1) 3a2 (b c)2 2a 2bc a...
... Bunhiacopxki: 11 Dấu " = " xảy 36 Chứng minh (1) (do x > 0) (2) nên (1) chứng minh 37 Cho số thực x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức: , 38 Cho hai số thực thỏa ... Dấu “ ” xảy 15 Cho số dương thoả mãn Chứng minh: Ta có: 16 Chứng minh Ta có: BĐT cho đúng, “ 17 Cho ” xảy Chứng minh Ta có: bất đẳng thức cho đúng, dấu “ ” xảy 18 Chứng minh Dấu xảy 19 Chứng minh ... thỏa mãn giả thiết Vậy , đạt 12 39 Chứng minh độ dài ba cạnh tam giác có chu vi Có Do theo Côsi: Đẳng thức xảy 40 Cho Chứng minh : (1) Cộngvế với vế suy ra: (1) 41 Với thỏa mãn đẳng thức Chứng...
... b c Ta có: a + b + c ≥ abc 111 + + ≥3 a b c a b c ( a + b + c) + + ≥ abc abc a b c ( a + b + c) + + ≥ a b c đẳng thức xảy a = b = c (đpcm) Bài tập nhà luyên tập làm hết ... lớn nào? * Hình chữ nhật có diện tích không đổi, chu vi bé nào? HĐ 10 : b) Đối với số không âm a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ a+b+c ≥ abc H 11 : Ví dụ 4: a>0, b>0, c>0, chứng minh: ( a + b + c) + + ≥ a ... vuông HĐ6: Giải câu hỏi (H1) - ∆ABC ∆ gì? Tổ Toán – Trường THPT Hai Bà Trưng ) a − b = a + b − ab ≥ a+b ⇔ ≥ ab Định lý: ∀a ≥ 0, b ≥ ta có a+b ≥ ab a+b = ab ⇔ a = b Ví dụ 1: a ≥ 0, b ≥ chứng minh...
... Dấu “=” xảy ⇔ a = b * Nếu a ≥ ≥ Tổ Toán – Trường THPT Hai Bà Trưng Làm tập sgk :Số 1, 2, 3, 5, 7, 8, 10 , 12 Mở rộng bất đẳng thức Cô Si cho số không âm ... 0(hiển nhiên) Dấu “=” xảy ⇔ a = b Ta có: a + b ≥ ab , dấu “=” xảy ⇔ a = b 1 + ≥ , dấu “=” xảy a b ab ⇔ a = b Từ suy 1 ⇔ (a + b)( + ) ≥ a b Dấu “=” xảy ⇔ a = b a+b ≥ ab Hệ Nếu hai số dương ... Dấu “=” xảy ? gọi bất đẳng thức Côsi Hoạt động 5.Vận dụng Cho hai số dương âm a b Chứng minh 1 (a + b)( + ) ≥ ? a b Dấu “=” xảy ? hình vẽ đây, cho AH = a, BH = b Hãy tính đoạn OD HC theo...
... Trang4 1 1 (a+b) + ≥ a b Các hs khác nhận xét làm tập áp dụng vào Chọn có kết nhanh Hoạt động 2: tập 1, 2 sgk tr79 Hoạt động HS Hoạt động GV 1/ d x 2/ -1 Giải thích:vì x>5 5
... minh rằng: 1+ y 1+ z 1+ x xyz = Sai lầm thường gặp: 1 + y ≥ y 2 2 x y z ( xyz ) Sai lầm 1: P = , mặt khác 1 + z ≥ z , suy ra: + + ≥3 1+ y 1+ z 1+ x (1 + y ) (1 + z ) (1 + x) 1 + x ≥ x ... = + + = Sai lầm 1: Ta có P ≤ x y z x y z x y z 18 x y z 10 ⇒ MaxP = Sai lầm 2: 11 1 1 1 1 1 10 P≤ + + ≤ + + + + + + + + = 3 xyz 3 x.2 yz 3 xy z 3 ... , MaxP = x = y = z = 16 x y z x y z x y z 1 Cách 2: Ta có x + y + z = x + x + y + z ≥ x.x y.z ⇒ x + y + z ≤ , mặt khác: x yz P≤ Trang 1111111 2 1 ≤ + + + ⇒ ≤ ...
... + b 11 ≥ ≥ ( a1 ≥ b1 ≥ c1 ) b1 + c1 c + a1 a1 + b 11 ≥ ≥ a1 + b b1 + (b1 + c1 ) 2(b1 + c1 ) 1 ≥ ≥ a1 + c c1 + (b1 + c1 ) 2(b1 + c1 ) 111 ⇔ + ≥ ⇔ , , a1 + b a1 + c b1 + c1 b + c c + a1 a1 + ... kì, chứng minh rằng: (b1 + c1 ) cos A + (c1 + a1 ) cos B + (a1 + b1 ) cos C ≤ (b1 + c1 )(c1 + a1 ) (c1 + a1 )(a1 + b1 ) (b1 + c1 )(a1 + b1 ) + + ≤ a1 + b b1 + c c + a1 Dấu đẳng thức xảy nào? Chứng ... 111 a 1+ p (uc) 1+ p + c 1+ p (wa) 1+ p ≤ a p + c p p p +1 (uc + wa) p +1 Lũy thừa p + hai vế ta có: 1 p +111 ⇔ ac u 1+ p + w 1+ p GV hướng dẫn: TS Nguyễn Vũ Lương 1 ≤ ap + cp a 1+ p (uc) p +1 + c 1+ p...