Đang tải... (xem toàn văn)
Báo cáo BTL giải tích 1, trường đại học bách khoa tp.HCM, cung cấp các kiến thức, tính chất, kĩ năng, công thức liên quan đến đạo hàm; cách thức giải một số bài toán tối ưu của hàm số một biến số bằng cách tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất.
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MƠN GIẢI TÍCH ĐỀ TÀI CÁC BÀI TỐN VỀ TỐI ƯU HĨA VÀ ỨNG DỤNG THỰC TẾ TRONG VẬT LÍ, KINH TẾ,… GVHD: Huỳnh Thị Vu Lớp: L10 Nhóm: L10-4 ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MƠN GIẢI TÍCH ĐỀ TÀI CÁC BÀI TỐN VỀ TỐI ƯU HĨA VÀ ỨNG DỤNG THỰC TẾ TRONG VẬT LÍ, KINH TẾ,… GVHD: Huỳnh Thị Vu Lớp: L10 Nhóm: L10-4 Danh sách thành viên: Họ tên MSSV Nguyễn Hữu Bình 2112901 Nguyễn Phạm Việt Hà 2110147 Hồ Sỹ Tài 2112209 Trần Tống Tú Tài 2112227 Vũ Ngọc Thuận 2112394 TP HỒ CHÍ MINH, tháng năm 2022 LỜI MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Giải tích mơn học quan trọng sinh viên ngành khoa học tự nhiên kỹ thuật Sự phát triển nhiều ngành khoa học Vật lí học, Hóa học,… gắn liền với phát triển Tốn học nói chung Giải tích nói riêng Giải tích hàm số biến số nội dung quan trọng chương trình Giải tích 1, có tính ứng dụng thực tiễn cao đời sống, kinh tế, khoa học, kĩ thuật,… Nhiều tình sống, hoạt động kinh tế, kỹ thuật công nghệ, người ta phải quan tâm tới tốn tìm phương án tốt để đạt mục tiêu mong muốn điều kiện ràng buộc định Đó tốn tối ưu Để hiểu rõ chất, ý nghĩa, nội dung, công thức liên quan ứng dụng thực tiễn lĩnh vực, nhóm phân cơng đề tài “Các tốn tối ưu ứng dụng thực tế kinh tế, vật lí,…” Mục đích đề tài Để tài nhóm làm rõ khái niệm, định nghĩa, tính chất, giới thiệu phương pháp chung tính tốn đạo hàm, tìm giá trị lớn - giá trị nhỏ nhất… cơng thức tính tốn liên quan Từ giới thiệu ứng dụng số toán tối ưu áp dụng kinh tế, vật lí,… Nội dung đề tài Bài báo cáo chia làm hai phần chính: - Phần lý thuyết - sở lý thuyết: định nghĩa, tính chất; cơng thức tính tốn: đạo hàm, giá trị lớn - giá trị nhỏ nhất; - Phần tập tính tốn toán tối ưu - ứng dụng thực tế kinh tế, vật lí,… MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU II MỤC LỤC III BẢNG PHÂN CÔNG CÔNG VIỆC IV Chương 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 Khái niệm đạo hàm hàm số biến số 1.1.1 Hàm số biến số 1.1.2 Định nghĩa đạo hàm hàm biến 1.1.3 Các quy tắc đạo hàm 1.1.4 Đạo hàm hàm ngược 1.1.5 Đạo hàm hàm lũy thừa - mũ .2 1.1.6 Đạo hàm hàm tham số 1.2 Đạo hàm cấp cao 1.2.1 Đạo hàm cấp 1.2.2 Đạo hàm cấp n 1.3 Tính đơn điệu hàm số - Bảng biến thiên 1.3.1 Tính đơn điệu hàm số .3 1.3.2 Cách biểu diễn bảng biến thiên .3 1.4 Giá trị lớn (GTLN) - Giá trị nhỏ (GTNN) 1.4.1 Định nghĩa 1.4.2 Tìm giá trị lớn - giá trị nhỏ .4 1.5 Bài toán tối ưu 1.5.1 Giới thiệu toán tối ưu 1.5.2 Các bước giải toán tối ưu Chương 2: BÀI TẬP TÍNH TỐN - ỨNG DỤNG THỰC TẾ 2.1 Một số toán ứng dụng kinh tế 2.1.1 Bài toán .5 2.1.2 Bài toán .5 2.1.3 Bài toán .6 2.1.4 Bài toán .7 2.1.5 Bài toán .8 2.2 Một số tốn ứng dụng vật lí 2.2.1 Bài toán .8 2.2.2 Bài toán .9 2.2.3 Bài toán .10 2.2.4 Bài toán .11 2.2.5 Bài toán 10 12 2.3 Một số toán ứng dụng lĩnh vực khác 12 2.3.1 Bài toán 11 12 2.3.2 Bài toán 12 13 2.4 Kết luận 13 TÀI LIỆU THAM KHẢO 14 PHỤ LỤC 15 BẢNG PHÂN CÔNG CÔNG VIỆC Chương 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT Họ tên Nguyễn Hữu Bình MSSV Phân cơng Hồn thành 2112901 Lý thuyết mục 1.1.4-1.1.6; toán 100% số 2, Nguyễn Phạm Việt Hà 2110147 Lý thuyết mục 1.2.1,1.2.2, 1.3.1; 100% Hồ Sỹ Tài toán số 3, 2112209 Lý thuyết mục 1.3.2, 1.4.1, 1.4.2; 100% Trần Tống Tú Tài toán số 4, 2112227 Lý thuyết mục 1.5.1, 1.5.2; toán 100% Vũ Ngọc Thuận số 5, 10 2112394 Lý thuyết mục 1.1.1 -1.1.3; toán 100% số 1, 6, 11 12; Lời mở đầu, Kết luận, Phụ lục 1.1 Khái niệm đạo hàm hàm số biến số 1.1.1 Hàm số biến số Định nghĩa: Hàm số biến số f xác định tập hợp X ℝ quy tắc cho ứng với x X phần tử y ℝ Kí hiệu: f: X ℝ y = f(x) Khi đó, tập hợp X gọi tập xác định hàm số f ký hiệu D(f) Tập hợp f(X) = {y= f(x) ℝ} gọi tập giá trị hàm số f ký hiệu E(f) 1.1.2 Định nghĩa đạo hàm hàm biến Cho hàm số y = f(x) xác định lân cận điểm x0 Giới hạn (nếu có) lim x x0 f ( x) f ( x0 ) x x0 tỷ số: gọi đạo hàm hàm số y = f(x) x0 ký hiệu f ’(x0) hay y’(x0) 1.1.3 Các quy tắc đạo hàm Định lí 1: Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm hữu hạn u’(x0) điểm x0, hàm số y=cu=cu(x) với c ℝ có đạo hàm hữu hạn điểm x0: [1] y’=cu’=cu’(x0) (1.1) Định lí 2: Nếu hàm số u = u(x) v = v(x) có đạo hàm hữu hạn u’(x0) v’(x0) điểm x0, hàm số y=u v=u(x) v(x) có đạo hàm hữu hạn điểm x0 [1] y’=u’ v’=u’(x0) v’(x0) (1.2) Định lí 3: Nếu hàm số u = u(x) v = v(x) có đạo hàm hữu hạn u’(x0) v’(x0) điểm x0, hàm số y=u.v=u(x).v(x) có đạo hàm hữu hạn điểm x0 [1] y’=u’.v+u.v’=u’(x0).v(x0)+u(x0).v’(x0) (1.3) Lưu ý: Ta mở rộng cho tích hữu hạn hàm số (u.v….w)’=u’.v….w+u.v’….w+…+u.v….w’ (1.4) Định lí 4: Nếu hàm số u = u(x) v = v(x) có đạo hàm hữu hạn u’(x0) v’(x0) u u ( x) v v( x ) có đạo hàm hữu hạn điểm x0 cho v(x0) 0, hàm số y= y' điểm x0: [1] u '.v u.v' u ' ( x0 ).v( x0 ) u ( x0 ).v' ( x0 ) v2 v ( x0 ) (1.5) Định lí (đạo hàm hàm hợp): Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm hữu hạn u’(x0) điểm x0, hàm số y=f(u) có đạo hàm hữu hạn f’(u0) điểm tương ứng u0=u(x có đạo hàm hữu hạn điểm x0 [1] 0) xuất [1] Nguồn truy Tàihợp liệuy=f(u) tham khảo Khitại đómục hàm y’(x0) = f’(u0).u’(x0) (1.6) 1.1.4 Đạo hàm hàm ngược Cho hàm số tăng (hoặc giảm) liên tục khoảng có đạo hàm hữu hạn điểm Khi hàm ngược có đạo hàm hữu hạn điểm tương ứng , ln có đẳng thức: [1] (1.7) 1.1.5 Đạo hàm hàm lũy thừa - mũ Định nghĩa: Cho hàm số xác định tập hợp hàm số gọi hàm lũy thừa – mũ Nếu hàm số u v có đạo hàm hữu hạn điểm x0 hàm số có đạo hàm hữu hạn điểm ta có đẳng thức: [1] (1.8) 1.1.6 Đạo hàm hàm tham số Cho hàm số xác định lân cận điểm Nếu chúng có đạo hàm hàm có đạo hàm và: [1] (1.9) 1.2 Đạo hàm cấp cao 1.2.1 Đạo hàm cấp Cho hàm y = có đạo hàm Nếu đạo hàm có đạo hàm khoảng (a,b) đạo hàm gọi đạo hàm cấp f(x), kí hiệu là: Vậy = ()’ [1] (1.10) 1.2.2 Đạo hàm cấp n Đạo hàm cấp n hàm số f(x) tính theo công thức: [1] = ()’ , n ℕ (1.11) Tính chất: Nếu f(x) g(x) có đạo hàm cấp n thì: c1 f(x) + c2 g(x), c1, c2 ℝ có đạo hàm cấp n: [1] (c1 f(x) + c2 g(x))(n) = c1 f (n)(x) + c2 g(n)(x) (1.12) f(x) g(x) có đạo hàm cấp n (công thức Leibnitz): [1] Nguồn truy xuất mục Tài liệu tham khảo [1] (1.13) 1.3 Tính đơn điệu hàm số - Bảng biến thiên 1.3.1 Tính đơn điệu hàm số Giả sử hàm số y = f(x) xác định K: Hàm số y=f(x) đồng biến (tăng) K với cặp x1, x2 thuộc K mà x1 nhỏ x2 f(x1) nhỏ f(x2), tức là: x1 < x2 f(x1) < f(x2) Hàm số y=f(x) nghịch biến (giảm) K với cặp x1, x2 thuộc K mà x1 nhỏ x2 f(x1) lớn f(x2), tức là: x1 > x2 f(x1) > f(x2) Định lí: a) Nếu f’ (x) > với x thuộc K hàm số f(x) đồng biến K b) Nếu f’ (x) < với x thuộc K hàm số f(x) nghịch biến K 1.3.2 Cách biểu diễn bẳng biến thiên Ví dụ: Giả sử hàm số y = f(x) xác định có f’ (x) > khoảng (- ,x0) f’ (x) < khoảng (x0,+ ), ta có bảng biến thiên sau: x - f’ (x) f(x) + + x0 (*) f (x0) - Hình 1.2 Đồ thị hàm số y = f ’(x) Hình 1.1 Đồ thị hàm số y = f(x) 1.4 Giá trị lớn (GTLN) - Giá trị nhỏ (GTNN) 1.4.1 Định nghĩa Hàm số y = f(x) đạt GTLN d f(d) f(x) x D Số f(d) gọi GTLN f D Hàm số y = f(x) đạt GTNN a f(a) f(x) x D Số f(a) gọi GTNN f D Hình 1.3 Minh họa GTLN-GTNN 1.4.2 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ (*) f ’(x0) không xác định TH1: y = f(x) liên tục khoảng (a,b) (a - , b + ) Lập bảng biến thiên Kết luận TH2: y = f(x) liên tục đoạn [a, b] Tìm f ’(x) tìm điểm xi mà f ’(xi) = KHÔNG TỒN TẠI đạo hàm Loại điểm xi [a, b] Tính giá trị f(x) điểm xi [a,b] So sánh f(a), f(b) f(xi) với xi [a,b] GTLN, GTNN 1.5 Bài toán tối ưu 1.5.1 Giới thiệu tốn tối ưu Có nhiều tình xã hội, sống đời thường, người ta phải quan tâm tới tốn tìm phương án tốt để đạt mục tiêu mong muốn điều kiện ràng buộc định Đó tốn tối ưu Trong thực tiễn, đạo hàm thường mang ý nghĩa tốc độ biến thiên đai lượng theo tham số Vì lĩnh vực kinh tế, toán tối ưu thường tốn tìm phương án cho lợi nhuận lớn nhất, chi phí nguyên liệu thấp nhất, kế hoạch sử dụng công cụ để đảm bảo lợi nhuận,…; lĩnh vực vật lí, kĩ thuật: đạo hàm quãng đường mang ý nghĩa vận tốc,… nên ứng dụng để tìm quãng đường, thời gian di chuyển ngắn tối ưu hóa hiệu suất động nhiệt,… Để giải toán thực tiễn này, thử thách lớn chuyển đổi tốn lời dạng tốn tối ưu hóa miêu tả hàm số Trong khn khổ chương trình Giải tích 1, giải tốn tối ưu phương pháp đơn giản tìm GTLN, GTNN hàm số biến số 1.5.2 Các bước giải tốn tối ưu Phân tích tốn, giả thiết; gọi biến (chẳng hạn x,y,…) có liên quan Vẽ biểu đồ, sơ đồ, hình minh họa (nếu cần) Tìm điều kiện biến 4 Biểu diễn mối quan hệ đại lượng - Thành lập hàm số f(x) theo giả thiết Sử dụng phương pháp tìm GTLN - GTNN Kết luận Chương 2: BÀI TẬP TÍNH TỐN - ỨNG DỤNG THỰC TẾ 2.1 Một số toán ứng dụng kinh tế 2.1.1 Bài tốn [2] (tối ưu hóa lợi nhuận) Khi nuôi cá hồ, người ta thấy rằng: đơn vị diện tích mặt hồ có n cá trung bình cá sau vụ cận nặng P(n) = 0,48 - 0,02n (kg) Biết kg cá bán 30.000 đ Vậy lợi nhuận lớn sau vụ đơn vị diện tích mặt hồ là? Giải Nếu đơn vị diện tích mặt hồ có n cá, sau vụ, số cá đơn vị diện tích mặt hồ trung bình cân nặng: f(n) = n.P(n) = 0,48n -0,02n2(kg) Giả sử ni số lượng vô hạn cá đơn vị diên tích n (0,+ ) Đạo hàm f theo n, ta được: f ’(n) = 0,48 - 0,04n Cho f ’(n) = 0,48 - 0,04n = n = 12 (con) Lập bảng biến thiên: n f + ’(n) f(n) + 12 - f(12) = 2,88 Vậy lợi nhuận lớn sau vụ đơn vị diện tích mặt hồ là: 2,88 x 30.000 đ = 86.400đ, ni 12 cá đơn vị diện tích mặt hồ 2.1.2 Bài tốn [2] (tối ưu hóa lợi nhuận) Một đại lý bán loại sản phẩm với giá x đơla/đơn vị Với giá bán bán 500-7x sản phẩm tuần Biết đại lý mua loại sản phẩm với giá 30 đôla/đơn vị từ nhà phân phối Hỏi đại lý bán sản phẩm lợi nhuận hàng tuần lớn nhất? Giải Gọi u = u(x) = 500 - 7x (sản phẩm) số đơn vị sản phẩm bán tuần y = y(x) (đôla) tổng lợi nhuận hàng tuần Giá bán sản phẩm phải số dương nên x (0,+ ) Tổng lợi nhuận hàng tuần = (giá bán - giá nhập) x số lượng sản phẩm bán y(x) = (x - 30).u(x) = (x - 30).(500 - 7x) = - 7x2 + 710x - 15000 Đềxuất bàitạiyêu định khảo số lượng sản phẩm bán (u) lợi nhuận [2] Nguồn truy mụccầu Tài xác liệu tham lớn Ta khảo sát hàm số y theo tham số u thay theo tham số x Theo công thức (1.9)(*), đạo hàm hàm tham số: y’u = Cho y’u = 14x - 710 = x= Bảng biến thiên: x u’(x ) u(x) y’(x ) y’(u + - - + 145 - - + ) (cực đại) (**) Vậy đại lý bán 145 đơn vị sản phẩm lợi nhuận hàng tuần lớn 2.1.3 Bài toán [3] (tiết kiệm chi phí sản xuất): Khi sản xuất vỏ lon sữa bị hình trụ nhà thiết kế ln đặt mục tiêu cho chi phí ngun liệu làm vỏ lon nhất, tức diện tích tồn phần hình trụ nhỏ Muốn thể tích khối trụ diện tích tồn phần hình trụ nhỏ bán kính đáy là? Giải Gọi x bán kính đáy lon sữa Điều kiện: x > Khi đó, thể tích lon sữa là: V h x (h chiều cao lon) Diện tích tồn phần lon sữa là: Bài tốn qui tìm GTNN hàm số Đạo hàm S theo x, ta được: Lập bảng biến thiên: x S’(x ) S(x) - + 0.6827 + S(0.6827) (*) Xem Chương mục trụ 1.1, tiểu mục Đểtạithể tích 1, khối 1.1.6 diện tích tồn phần hình trụ nhỏ bán (**) Do u’(x) 0) S = (x + 4)(y + 6) (2) Ta có S0 = x.y = 384 (m2) y = (1) Từ (1) (2) ta có: Diện tích mảnh đất sau định là: S= = Ta có = Cho S’ = ta được: Ta thấy giá trị nhỏ S 600 m2 y = 24m x = 16m Chiều dài sau thay đổi: 24 + = 30 ( mét ) Chiều rộng sau thay đổi: 16 + = 20 ( mét ) Khi chu vi ta cần tìm : C = ( 30 + 20 ) = 100 ( mét) 2.2 Một số toán ứng dụng vật lí 2.2.1 Bài tốn [5] (thời gian chuyển động ngắn nhất): Một ô tô xuất phát từ điểm A đường khoảng thời gian ngắn đến điểm B cánh đồng Điểm B cách đường đoạn (m) Hỏi ô tô phải rời đường từ điểm C cách điểm D đoạn bao nhiêu? Biết vận tốc ô tô chạy cánh đồng giảm lần so với chạy đường Giải Từ đề bài: BD = (m) Đặt AD = L0 > 0(m), CD = x (m); Vận tốc ô tô đường v0 > 0; Vận tốc ô tô cánh đồng v > [4], [5] Nguồn truy xuất mục Tài liệu tham khảo t AC L0 x Thời gian chuyển động đường là: v0 v0 Vận tốc cánh đồng giảm lần so với đường cái: (s) v v0 (m / s) BC ( ) x t2 v0 v0 Thời gian chuyển động cánh đồng: (s) L0 x (2 ) x v v0 Tổng thời gian: T = t1+t2 = (s) hàm số theo x Do CD AD nên x [0,L0] Đạo hàm T theo x ta được: (( ) x )' 2x L0 x (2 ) x 2 v0 v0 (2 ) x v0 v0 12 x v0 T’ = ( v0 )’ = 1 2x 2x 0 2 v v0 v0 12 x Cho T’ = v0 12 x 2x = 12 x 4x2-x2-12 = x1 = 2(m) x2 = -2(m) Loại x2 = -2 x2 [0,L0] Vậy T đạt GTNN x2 = hai dầu mút xa = 0, xb = L0 Lần lượt thay vào 48 L0 L0 L0 v0 T Ta được: T(2) = v0 ; T(0) = v0 ; T(L0) = L0 So sánh giá trị, ta thấy T(2) = v0 giá trị nhỏ giá trị L0 v0.(*) Vậy ô tô phải rời đường từ điểm C cách điểm D đoạn x = x1 = 2(m) để thời gian di chuyển ngắn 2.2.2 Bài tốn (tối ưu hóa lượng tiêu hao): Một thuyền bơi ngược dòng để vượt khoảng cách 300km Vận tốc dòng nước 6km/h Nếu vận tốc bơi thuyền nước đứng yên v (km/h) lượng tiêu hao thuyền t cho cơng thức Trong c số, E tính jun Tìm vận tốc bơi thuyền so với bờ bơi ngược dòng nước để lượng tiêu hao Giải Gọi v(km/h) vận tốc thuyền nước đừng yên, v = 6(km/h) vận tốc dòng nước Vận tốc thuyền so với bờ bơi ngược dòng là: v’ = v - v0 = (km/h) Thời gian để thuyền bơi ngược dòng vượt khoảng cách 300km là: Năng lượng tiêu hao thuyền là: (*) Xem bước tìm GTLN-GTNN: Chương 1, mục(jun) 1.4, tiểu mục 1.4.2, TH2 Để thuyền bơi ngược dòng v’ > hay v > Đạo hàm E theo v: Cho: Lập bảng biến thiên: v E’(v ) E(v) - + + E(9) Vận tốc bơi thuyền so với bờ ngược dịng để lượng tiêu hao v’= - = 3(km/h) 2.2.3 Bài toán [5] (hiệu suất động nhiệt): Một động nhiệt hoạt động theo chu trình Carnot, với hiệu suất (tỉ lệ công sinh lượng nhiệt 1 cung cấp) cho công thức T2 T1 , T T nhiệt độ nguồn nóng nguồn lạnh, tính chất đặc trưng mà tỉ lệ nhiệt độ nguồn lạnh nguồn nóng hàm biến đổi theo thời gian với công thức: t t (t thời gian sau tính từ khởi động - tính giờ) Biết điều này, người ta điều chỉnh tỉ lệ cho phù hợp thời điểm hiệu suất động thấp nhằm tối ưu hóa hoạt động Hỏi hiệu suất thấp động thời điểm nào? Giải t T2 t Theo đề bài, ta có: T1 (t 0) tt (t ) 1 Thay vào công thức hiệu suất ta số theo t: Đạo hàm hiệu suất động theo thời gian theo công thức (1.8)(*), ta được: ' (t) t t 1 1 (t )' (t lnt.( )' t 2 t t 1 t t' ) t 1 (t lnt.( ) t t t 1 t ) t 2t 1 t ( lnt 1) (*) Xem Chương 1, mục 1.1.5 Đạo hàm hàm lũy thừa - mũ ' (t ) xuất 0 tạimục ln t Tài 1 tham t khảo e 2.7( h) [5] Nguồn liệu Cho truy Lập bảng biến thiên: t ’(t) (t) - + e + (e) Vậy hiệu suất thấp động (e), thời điểm 2.7 sau hoạt động 2.2.4 Bài toán (tối ưu hóa diện tích khung dây): Động điện xoay chiều đơn giản có cấu tạo gồm nam châm khung dây hình chữ nhật xoay với vận tốc góc khơng đổi Diện tích khung dây lớn suất 10 điện động tạo lớn Tuy nhiên, dây có chiều dài 10m Để có suất điện động lớn chiều dài cạnh khung dây bao nhiêu? Giải Để có suất điện động lớn nhất, diện tích khung dây phải lớn Chiều dài dây điện làm khung chu vi khung quay: C = L = 10(m) 11 Gọi chiều dài chiều rộng khung dây x y, ta có: C=2x+2y=10 y= Diện tích khung dây là: S = x.y = x.(5-x) = -x2 + 5x (0 < x < 10) Đạo hàm S theo x, ta được: S’= -2x + Cho S’ = x = 2.5 (m) Bảng biến thiên: x S’(x) S(x) 2.5 S(2.5) + 10 - Từ bảng biến thiên, ta thấy diện tích khung dây lớn nhát x = 2.5 (m) Chiều dài chiều rộng khung dây x=2.5(m) y=5-2.5=2.5(m), diện tích khung dây lớn S = 2.5 x 2.5 = 6.25(m2) 2.2.5 Bài tốn 10 [7] (cơng suất mạch điện xoay chiều): Đặt vào hai đầu mạch truy điệnxuất xoay chiều điện khảo có giá trị hiệu dụng U=100 (V); cảm kháng, [7] Nguồn mục Tàihiệu liệu tham dung kháng điện trở mắc nối tiếp với có giá trị Z L = 100 ( ), ZC = 60 ( ) R = x ( ) Biết công suất tiêu thụ mạch tính U2 R R ( Z L Z C ) (W) Tính cơng suất lớn mạch tiêu theo công thức P = thụ Giải Thay R = x, ta được: P(x) = x 100 10000 x 2 x (100 60) x 1600 Đạo hàm P theoo x: x ' ( x 1600) ( x 1600)' x ( x 1600) x 10000( x 1600) 10000 10000 ( x 1600) ( x 1600) ( x 1600) P’= Cho P’ = x = 40 Bảng biến thiên x P’ P + 40 P(40) + - Từ bảng biến thiên, ta thấy mạch tiêu thụ công suất lớn R=x=40( ) Vậy công suất tiêu thụ lớn mạch P(40)=125 (W) 2.3 Một số toán ứng dụng lĩnh vực khác 2.3.1 Bài toán 11 (tronh lĩnh vực sinh học): Mức kháng thể xuất sau tiêm vaccine máu, tính theo mg/cm 3, người sau t tháng tiêm t2 C (t ) 2t (t > 0) Người ta thấy để có hiệu tốt cho hàm số: miễn dịch, người ta tiêm vaccine mũi nhắc lại sau tháng kể từ lượng kháng thể máu đạt giá trị lớn Hỏi sau người ta tiêm vaccine nhắc lại sau kể từ lần tiêm vaccine đầu tiên? Giải Đạo hàm C theo t, ta được: C ' (t ) (t )' (2t 1) (2t 1)' t 2t (2t 1) 6t t 2t 2t ( 2t 1) (2t 1) (2t 1) Cho C’(t) = t=0 (loại), t=1 (nhận) t C’(t) C(t) C(1) + + - Lượng kháng thể đạt giá trị lớn sau t =1 tháng sau tiêm Vậy người ta nên tiêm mũi nhắc lại sau 1+3=4 tháng kể từ lần tiêm 2.3.2 Bài toán 12: Hằng ngày mực nước kênh lên xuống theo thủy triều độ sâu h (m) mực nước kênh tính theo thời gian t (h) ngày cho công thức h 3 cos( t ) Khi mực nước kênh cao với thời gian ngắn nhất? Giải Ta có: h' 3( t t t )' sin( ) sin( ) 6 h' 0 t sin( ) 0 t 6k , (k Z ) Ở ta xét số giá trị: k t 16 22 Vì đề yêu cầu tìm thời gian ngắn mực nước đạt giá trị lớn nhất, ta thay giá trị t vào h so sánh Ta suy h đạt GTLN t =10 (h) 2.4 Kết luận Đề tài nêu lên khái niệm, định nghĩa, tính chất, cơng thức liên quan, số phương pháp tính toán đạo hàm phương pháp chung để giải tốn tối ưu khn khổ Giải tích 1, tìm giá trị lớn - giá trị nhỏ hàm số biến số dựa đạo hàm Bên cạnh cịn giới thiệu số ứng dụng thực tiễn toán tối ưu lĩnh vực kinh tế tối ưu hóa lợi nhuận, chi phí,… linh vực Vật lí với tốn tìm thời gian ngắn nhất, tới ưu hóa hiệu suất động ,… số lĩnh vực khác sinh học,… giúp có kinh nghiệm giải tốn tương xử lí tình thực sau TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Đình Huy (Chủ biên), Giáo trình Giải tích 1, Chương 3: Đạo hàm vi phân hàm số biến số, tr.61-97 [2] Bài toán tối ưu kinh tế (2021) Truy xuất từ https://kkhtn.duytan.edu.vn /Home/ArticleDetail/vn/92/2768/ [3] Võ Minh Phổ, Lý thuyết tối ưu, Chương 1: Bài toán tối ưu kiên thức sở, tr.1-14 [4] Ứng dụng đạo hàm vào toán thực tiễn (2017) Truy xuất từ https://www.kienthucviet.vn/Thuvien/danhchohocsinh/THPT/Lop12/Toanh oc/ [5] Trần Văn Lượng (Chủ biên), Bài tập Vật lí đại cương A1, Chương 1: Động học chất điểm, tr.36; Chương 5: Các nguyên lý nhiệt động lực học, tr.217 [6] Nguyễn Hải Thanh, Tối ưu hóa - Giáo trình cho ngành tin học Cơng nghệ thơng tin, Chương I: Bài tốn tối ưu tổng quát ứng dụng, tr.7-10; Chương II: Bài tập ứng dụng, tr.62-74 [7] Công suất cực đại điện xoay chiều (2018) Truy xuất từ https://mpc247 com/vat-li-pho-thong/5006/ [8] James Stewart, Calculus Early Transcendentals Sixth Edition, Thomson Brooks/Cole, 2008 PHỤ LỤC Đạo hàm hàm sơ cấp 1.1 Hàm hằng: y = C = const y’ = 1.2 Hàm lũy thừa: y= x y’= x y = x y’ = y x y ' 1 y y ' x x y n x y ' x n x n n y a x , (a 0, a 1) y ' a x ln a 1.3 Hàm mũ: y e x y ' e x (vì ln e 1) y loga | x |, (a 0, a 1) y ' 1.4 Hàm logarit: y ln | x | y ' x ln a x 1.5 Hàm lượng giác: y = sin x y’ = cos x y tan x y ' y = cos x y’ = -sin x cos x y cot x y ' sin2 x 1.6 Hàm lượng giác ngược: y arcsin x, ( x ( 1,1)) y ' 1 x y arctan x, ( x ( ,)) y ' 1 x2 y arccos x, ( x ( 1,1)) y ' 1 x2 y arc cot x, ( x ( ,)) y ' 1 x2 1.7 Hàm hyperbolic y = sinhx y’ = coshx y tanh x y ' cosh x y = coshx y’ = sinhx y cosh x y' sinh2 x Một số công thức đạo hàm cấp cao (ax)(n) = ax.lnna (ex)(n) = ex n n ) (cos ax) ( n ) a n cos(ax ) 2 ( 1) n (n 1)! ( 1) n (n 1)! (n) (log a | x |) ( n ) (ln | x |) x n ln a xn (( ax b ) ) ( n ) a n ( ) ( n )( ax b ) n (sin ax) ( n ) a n sin(ax ... Hà 211 014 7 Lý thuyết mục 1. 2 .1, 1.2.2, 1. 3 .1; 10 0% Hồ Sỹ Tài toán số 3, 211 2209 Lý thuyết mục 1. 3.2, 1. 4 .1, 1. 4.2; 10 0% Trần Tống Tú Tài toán số 4, 211 2227 Lý thuyết mục 1. 5 .1, 1. 5.2; toán 10 0%... 1. 5.2 Các bước giải toán tối ưu Chương 2: BÀI TẬP TÍNH TỐN - ỨNG DỤNG THỰC TẾ 2 .1 Một số toán ứng dụng kinh tế 2 .1. 1 Bài toán .5 2 .1. 2 Bài toán .5 2 .1. 3 Bài toán. .. toán .11 2.2.5 Bài toán 10 12 2.3 Một số toán ứng dụng lĩnh vực khác 12 2.3 .1 Bài toán 11 12 2.3.2 Bài toán 12 13 2.4 Kết luận 13 TÀI LIỆU
