1 Về bài toán chụp cắt lớp của máy CT-scanner TS Huỳnh Lơng Nghĩa, Trờng Đại học Kỹ thuật Lê Quý Đôn Tóm tắt Bài báo giới thiệu cách đặt bài toán cơ bản trong kỹ thuật chụp cắt lớp máy tính X-quang và thuật toán giải quyết. Đồng thời chỉ ra các đặc điểm của việc ứng dụng thuật toán trong thực tế liên quan tới vấn đề rời rạc hoá và biến đổi Fourie nhanh ( FFT). Abstract The article set up a image reconstructions task which is implemented by retrieving the data supplied from X-ray. Also the problems concerned about solving algorithm are disscused. Especially attension is paid to digitizing the X-ray data and FFT ( Fast Fourier Transformation ) application in optimizing computerized tomography algorithm 1. Đặt bài toán cơ bản của chụp cắt lớp X-quang. 1.1.Định luật hấp thụ tổng quát Ber Từ việc nghiên cứu các cơ chế hấp thụ tia X của vật chất, ta có thể xây dựng biểu thức định lợng biểu diễn mối quan hệ giữa cờng độ tia X I(x) và độ suy giảm tuyến tính à (x) nh sau. Trong quá trình tơng tác với vật chất, cờng độ chùm tia Rơnghen trên một đơn vị diện tích bề mặt vuông góc với phơng truyền sẽ giảm đi. Trong những điều kiện nhất định có thể coi sự suy giảm này tỷ lệ thuận với quãng đờng đi. Để dẫn ra công thức cơ bản về sự thay đổi của cờng độ I, ta xét một chùm tia chiếu đến với cờng độ không đổi I o trên mặt phân giới A- A (hình 1). Với những giả thiết ban đầu nh trên hình vẽ, ta có: )()()()( 1dxxIxxdI = à Hệ số tỷ lệ à trong (1) đợc gọi là hệ số hấp thụ tuyến tính, trong đó dấu trừ lấy từ điều kiện à dơng. Hệ số này là hàm số của 3 toạ độ không gian (x,y,z)= (x 1 ,x 2 ,x 3 ) tạo thành vectơ bán kính x . Hệ số à(x) là đại lợng đặc trng cơ bản cho cấu trúc vật chất, đợc xác định nhờ các phơng pháp chụp cắt lớp máy tính và đợc dùng làm cơ sở trong việc tái tạo hình ảnh chụp cắt lớp. Tiến hành lấy tích phân biểu thức (1) ta đợc : )())(exp()( 2 0 dxxIxI x o = à Biểu thức (2) là định luật hấp thụ tổng quát Ber. Từ đây có thể rút ra một số nhận xét: Khi x càng lớn (lớp vật chất càng dày) thì cờng độ chùm tia ló càng nhỏ, tức là tia Rơnghen bị hấp thụ càng nhiều. X x x+dx I(x+dx) I(x) I O Hình 1.: Sơ đồ biểu diễn mối tơng quan I(x) theo à (x): A , A 2 Khi à càng lớn thì chùm tia Rơnghen cũng bị hấp thụ càng nhiều. 1.2. Khái niệm hình chiếu chụp cắt lớp Sơ đồ ghi chụp thông tin về đối tợng do Haunsfield và Mac-Cormac đề xuất và thực hiện đầu tiên đợc chỉ ra trên hình 2. Nguồn tia Rơnghen tập trung (dới dạng chùm hẹp) di chuyển dọc theo đoạn định hớng AA', còn phần thu thì dọc theo đoạn BB'. Phần phát và phần thu chuyển dịch một cách đồng bộ, việc chụp ( lấy ) thông tin - là cờng độ tia ở đầu ra phần phát và đầu vào phần thu - đợc tiến hành với các bớc thiết lập trớc. Logarit của tỉ số cờng độ tia ở đầu vào phần thu đối với cờng độ ban đầu đợc gọi là hình chiếu. Các đoạn định hớng AA' và BB' đợc cố định trên cùng một khung; khung này có thể xoay quanh trục O cố định. Đối với mỗi vị trí của khung ngời ta tiến hành đo một bộ các hình chiếu tơng ứng với tổ hợp các tia song song; bộ các hình chiếu này đôi lúc đợc gọi là bộ hình quét. Để khôi phục lại cấu trúc bên trong của đối tợng đợc chiếu tia X cần phải có tập hợp các bộ hình quét cho tất cả các vị trí có thể của khung. Trên thực tế việc chụp ( lấy ) thông tin đợc tiến hành tơng ứng với một tập hợp rời rạc các góc quay có bớc nhất định . Các thuật toán khôi phục cấu trúc (tái tạo ảnh) đối với các sơ đồ chụp thông tin phức tạp cũng trở nên rắc rối hơn, tuy nhiên tất cả chúng đều có thể nhận đợc từ các thuật toán xử lý thông tin đợc xây dựng cho sơ đồ các tia song song. Vì lý do này nên chỉ cần xét sơ đồ quét bằng chùm các tia song song. Để trình bày tiếp tục ta đa ra các định nghĩa, ký hiệu và giả thuyết sau đây. Giả sử rằng các kích thớc chiều ngang của tia Rơnghen vô cùng nhỏ và có thể bỏ qua ảnh hởng của tán xạ. Lúc này có thể đặc trng tia bằng cờng độ của nó I ( x ) tại điểm x đã cho trong tia. Sự thay đổi cờng độ I ( x )dọc theo tia sẽ đợc xác định chỉ bằng hệ số hấp thụ tuyến tính à ( x ) phù hợp với công thức Ber (2). Gọi phân bố à (x ) theo tiết diện quét cho trớc là cấu trúc của đối tợng. Chọn trong mặt phẳng quét một hệ toạ độ Đề-các cố định Oxy với tâm O trên trục quay của hệ thống (hình 3). Gắn vơí khung di chuyển ( quay) một hệ toạ độ Đề-các di động O có trục O hớng từ phần phát đến đầu thu dọc theo tia trung tâm ( đi qua trục quay ). Trục O định hớng nh chỉ ra trên hình 3. Vị trí của hệ toạ độ di động so với hệ toạ độ cố định đợc xác định bởi góc sao cho: Hình 2. Sơ đồ thu chụp thông tin A A B B 3 = xcos + ysin , = -xsin + ycos (3) x = cos - sin y = sin + cos (4) Tơng ứng với công thức (2) ta có dạng: [] ),exp(),( 0 à dyxII R R = (5) , trong đó à[x,y] là hệ số hấp thụ tuyến tính à đợc lấy trên tia với vị trí hiện thời đợc xác định bằng góc và khoảng cách tính từ tia hiện thời đến tia trung tâm (xem hình 3); I 0 là giá trị cờng độ tia Rơnghen tại đầu ra phần phát, 2R là quãng đờng tia đi qua. Tiếp theo ta giả thiết rằng: bên ngoài đối tợng nghiên cứu ( trong không khí ) à = 0, do đó tích phân trong công thức (5) chỉ đợc lấy theo phần nằm bên trong cơ thể bệnh nhân, tuy nhiên rõ ràng là có thể coi giới hạn của tích phân này là vô cùng và điều này sẽ đợc sử dụng sau đây. Ta chính xác hoá khái niệm hình chiếu đã giới thiệu trớc đây: tích phân p( , ) sau đợc gọi là hình chiếu: [] à dyxIIp == ,]),(ln[),( 0 (6) 1.3. Bài toán cơ bản của chụp cắt lớp Rơnghen máy tính Bài toán cơ bản của chụp cắt lớp Rơnghen máy tính là xác định ( biểu diễn ) đại lợng à (x,y) qua tập hợp các hình chiếu p(,). Hiển nhiên là hệ số hấp thụ tuyến tính à (x,y) đặc trng cho cấu trúc bên trong đối tợng nghiên cứu, còn tập hợp các hình chiếu thì biết đợc thông qua các kết quả đo đạc bên ngoài đối tợng. Vì vậy bài toán chụp cắt lớp máy tính ( CT ) thờng đợc gọi là bài toán khôi phục cấu trúc hoặc tái tạo hình ảnh. 2. Thuật toán xác định hệ số hấp thụ tuyến tính à(x,y). 2.1. Định lý về tiết diện trung tâm A A ) B B ) X Y O R Hình 3. Vị trí tơng quan của các hệ toạ độ 4 Thực chất của định lý này là ở chỗ nó liên hệ ảnh Fourier của các hình chiếu đo đợc với ảnh Fourier của hệ số hấp thụ tuyến tính cần tìm. Để phát biểu chính xác và chứng minh định lý cần có các định nghĩa sau. Định lý 1 : Gọi f (x) là hàm thực của biến thực x; biến đổi Fourier của hàm f (x) ( hay gọi ngắn gọn là ảnh Fourier ) đợc gọi là hàm phức f * () với biến thực đợc xác định theo công thức sau đây: f * () = (2) -1/2 dxxixf )exp()( (7) Biến đổi ngợc Fourier có dạng: f(x) = (2 ) -1/2 dxif )exp()( * (8) Định lý 2 : Trong không gian n chiều biến đổi Fourier của hàm f ( )x với n biến thực ( )x = (x 1 , x 2 , x n ) đợc xác định bằng tích phân bội n theo công thức: xdxixf )exp()( )(2=) (*f n/2- (9) Trong đó nn2211 x xxx. +++= là tích vô hớng của vectơ và x; dx là phần tử thể tích trong không gian n chiều. Biến đổi ngợc trong không gian n chiều có dạng: dxifx )exp()(* )(2=) f( n/2- (10) áp dụng các công thức vừa nêu có thể chứng minh định lý sau : Định lý tiết diện trung tâm. Tồn tại đẳng thức sau: à* (,) = (2) -1/2 p*(, +/2) (11) , trong đó , là toạ độ cực trong mặt phẳng = ( 1 , 2 ) = (u,v) u = cos( ); v = sin( ), (12) Dấu * ở vế trái công thức (11) có nghĩa là biến đổi Fourier hai chiều, còn ở vế phải - là biến đổi Fourier một chiều (theo đối số thứ nhất). Nh vậy, biến đổi Fourier 2 chiều à*(, ) của hệ số hấp thụ tuyến tính à(x,y) khi cố định giá trị = bằng biến đổi Fourier 1 chiều của hình chiếu p tại giá trị góc quay + /2 ý nghĩa của ảnh Fourier à*(,) khi = const chính là " mặt cắt " ( tiết diện ) mặt phẳng z = à *( , ) bằng mặt phẳng = = const và điều này giải thích tên của định lý. 2.2. Phơng pháp biến đổi Fourier ngợc Đẳng thức nhận đợc (11) trong định lý về tiết diện trung tâm là cơ sở để giải bài toán cơ bản đợc đặt ra trong mục 1.3 - bài toán tìm phân bố của hệ số hấp thụ tuyến tính bên trong đối tợng theo các hình chiếu đo đợc bên ngoài đối tợng. Có thể xác định lời giải hình thức của bài toán trên cơ sở công thức biến đổi Fourier ngợc ( 11 ) : ++ dudvvyuxip ))((exp)2/,(*)(2=y) x,( 3/2- à (13) Trên thực tế khi sử dụng công thức ( 13 ) ( đôi lúc đợc gọi là phơng pháp Fourier tổng hợp [ 14 ] ) xuất hiện một số vấn đề. 5 Hãy để ý là ta chỉ biết các gía trị của hàm dới dấu tích phân p*(,) tại các nút của lới toạ độ cực rời rạc ( hình 4 ) không trùng với các nút của lới toạ độ Đề-các khi rời rạc hoá công thức ( 13 ) ( ở đây rời rạc hoá đợc hiểu là việc chuyển tính toán từ vùng các đối số và hàm số liên tục sang tính toán tại các điểm riêng biệt với số lợng hữu hạn). Lời giải tự nhiên của vấn đề này là ngoại suy các gía trị của hàm số tại điểm cha biết qua các gía trị của nó tại các điểm đã biết ( dới đây sẽ đợc nói kỹ hơn ). Một vấn đề nghiêm trọng hơn là trong công thức ( 13 ) khi các gía trị (ux+vy) tăng, hàm dới dấu tích phân sẽ dao động nhanh, dẫn đến các công thức cầu phơng chuẩn không còn đúng nữa. Thông thờng sử dụng hai cách để giải quyết vấn đề này: trong cách thứ nhất ngời ta dùng các thuật toán và chơng trình máy tính đặc biệt để lấy tích phân của các hàm dao động nhanh [4]. Cách thứ hai liên quan tới một chi tiết là: trong mức độ chính xác khôi phục ảnh cho trớc, các thành phần cao tần của lời giải không mang thông tin hữu ích và thờng chỉ chứa nhiễu ( sai số ) thiết bị. Vì vậy nếu vứt bỏ các thành phần này ( các " đuôi cao tần " ) thì vẫn có thể sử dụng các chơng trình tính toán mẫu. 2.3. Phơng pháp chiếu ngợc Phơng pháp này cũng dựa trên việc biểu diễn hình chiếu nh trong mục trên, tuy nhiên thứ tự tính toán và biểu thức cuối cùng khác với lời giải (13). Hình chiếu ngợc đợc xác định theo công thức: g(x,y) = (2 ) -1 + 2 0 d),cosysinx(p (14) Thực chất đây là giá trị trung bình theo góc của tập hợp các hình chiếu ban đầu p. Lu ý rằng việc xử lý sơ bộ thông tin ban đầu theo công thức này sẽ dẫn đến sự cải thiện đáng kể kết quả cuối cùng là hình ảnh cắt lớp - do tính chất lọc ( đối với nhiễu thiết bị ) của toán tử chiếu ngợc. Sử dụng một số phép biến đổi trong lý thuyết hàm phức và tính chất của định lý tích chập ta có thể xây dựng lời giải bài toán cơ bản của chụp cắt lớp máy tính dới dạng biến đổi ngợc Fourier của hình chiéu ngợc g(x,y) nh sau: à(x,y) = + dudvvyuxihg )(exp()()( ** 1 2 1 (15) Trong đó =( 1 , 2 ) (u,v); U V O Hình 4. Mối tơng quan giữa hệ toạ độ cực và hệ toạ độ vuông góc 6 h*( ) là biến đổi ngợc Fourier của hàm h(x,y) = 1 r Nếu biết trớc gốc hàm của )(*),(* hg thì có thể nhận đợc ngay lời giải dới dạng tích chập của các gốc hàm này, vì vậy phơng pháp này đợc gọi là phơng pháp chập với hình chiếu ngợc hay đơn giản là phơng pháp chập. Nh thực tế chỉ ra : cả phơng pháp biến đổi Fourier lẫn phơng pháp chập khi thực hiện đều cho sai số lớn, đôi khi đến mức không cho phép do bài toán khôi phục cấu trúc bên trong đợc đặt ra không chuẩn . Trên thực tế sự không chuẩn bắt đầu thể hiện từ một ngỡng rời rạc hoá nhất định: tức là càng muốn giải chính xác bao nhiêu ( bằng cách làm dầy các mắt lới rời rạc, tăng số lợng các số hạng trong chuỗi triển khai của lời giải cần tìm ), thì lời giải nhận đợc lại càng tồi tệ bấy nhiêu. Điều này có liên quan tới các thành phần tần số cao ( dao động nhanh ) của lời giải và đợc giải quyết dựa trên cơ sở lọc các thành phần tần số cao của lời giải. Tuy cách tiếp cận này hạn chế độ chính xác của việc tái lập cấu trúc, tuy nhiên nếu giới hạn của độ chính xác là chấp nhận đợc trên thực tế thì phơng pháp có hiệu quả. 2.4. Phơng pháp chiếu ngợc với bộ lọc Biểu thức (13) là cơ sở của phơng pháp này. Để cụ thể chúng ta xét lời giải (13) mà trong đó ta chuyển sang các toạ độ cực trên cả mặt phẳng (u,v) lẫn mặt phẳng (x,y). x=rcos , y = rsin, u = cos, v=sin (16) Kết quả của phép thế (16) là tích phân ở vế phải đẳng thức (13) đợc viết lại dới dạng sau: à (r,) = (2) -3/2 + + 2 00 ))cos(exp()2/,(* dripd (17) Lu ý rằng: cos(-)=- )2/3,(p)2/,(p),cos( ** +=++ (18) Công thức thứ nhất trong (18) là đẳng thức lợng giác cơ bản, công thức thứ 2 rút ra từ điều kiện thực hiện vật lý. Tính đến các công thức này có thể viết tích phân ở vế phải đẳng thức (17) dới dạng: () () ()() += à 0 * 2/3 cosexp2/,2),( dripd (19) Trên thực tế khi thực hiện công thức (19) biểu thức dới dấu tích phân đợc nhân trớc với một hàm A ( ) đợc chọn một cách đặc biệt và đợc gọi là hàm apodize có tác dụng cắt các hài bậc cao. Theo thuật ngữ sử dụng trong lý thuyết điều khiển tích của hạt nhân || trong phép chập (19) với hàm apodize đợc gọi là bộ lọc, còn toán tử giải phơng trình chập (19) có sử dụng hàm apodize đợc gọi là phép lọc. Do hàm nhận đợc sau khi tính tích phân bên trong của (19) đợc biến đổi theo công thức tơng tự nh phép chiếu ngợc nên nói chung phơng pháp này mang tên là phơng pháp chiếu ngợc dùng lọc. Trên thực tế ngời ta dùng các hàm apodize dới các dạng sau: a. A * = > max max khi khi 0 b. A * = ( ) > + max maxmax /cos)( khi khi 0 1 7 c. A * = () > max maxmax /cos khi khi 0 2 và một số dạng khác nữa. 3. Rời rạc hóa trong chụp cắt lớp máy tính Vì chụp cắt lớp sử dụng máy tính để điều khiển việc ghi nhận thông tin từ các phần tử cảm biến, sau đó lu giữ và chuẩn bị thông tin cho việc chẩn đoán, nên một trong số các vấn đề cơ bản là rời rạc hóa - tức là chuyển từ các phân bố liên tục theo toạ độ và thời gian sang các hàm rời rạc với các đối số rời rạc. Nói chung, các khía cạnh thực tế cơ bản liên quan đến vấn đề rời rạc hóa bao gồm: 1. Biến đổi Fourier rời rạc 2. Thuật toán biến đổi Fourier nhanh (FFT) 3 .Thiết lập ngỡng rời rạc hoá cần thiết (Định lý Kachenhicop Sennon) 4. Các phơng pháp nội suy 5. Các phơng pháp lặp khôi phục cấu trúc. Trong số này chỉ có khía cạnh cuối cùng là mang tính đặc thù của bài toán chụp cắt lớp nên ta xét kỹ dới đây. Các phơng pháp lặp khôi phục cấu trúc. Xét lại phơng trình cơ bản (6) của chụp cắt lớp máy tính và giả thiết hàm ) y , x (à đã đợc cho trớc một cách gần đúng trong vùng D bằng một số hữu hạn các tham số, ví dụ nh các giá trị s , , ààà 21 tại các nút của mạng lới các phần tử hữu hạn. Sử dụng một phép nội suy nào đó cho hàm ) y , x (à trong vùng, có thể tính tích phân dới dạng hàm tuyến tính nào đó của các tham số i à cho mỗi tia với các tham số , : i i i Ap à),(),( )( (20) Lúc này trong tổng ở vế phải chỉ hiện diện các giá trị của hàm ) y , x (à tại các phần tử mà tia đang xét đi qua. Tiến hành đo cho s M vị trí của tia; sau đó ký hiệu hình chiếu ),( p với ki , == là ik p , thừa số )i( A với ji , àà = = là ij A , ta nhận đợc hệ phơng trình sau: = = s N i iki i jk pA 1 à )( (21) với ma trận hệ số đợc mở rộng thành ma trận vuông bằng các trị số 0. Sử dụng dạng ghi chuẩn của hệ phơng trình với ma trận vuông hoặc ma trận chữ nhật thay cho hệ (21) ta có: = = s N i ijij pA 1 à (22) Để giải hệ (22) có thể sử dụng các thuật toán chuẩn của đại số tuyến tính, tuy nhiên nếu chú ý rằng để đạt tới độ phân giải chấp nhận đợc của thiết bị phải sử dụng hàng nghìn giá trị ) y , x (à , thì ma trận ij A sẽ chứa khoảng 10 10 phần tử. Điều này dẫn đến là trên thực tế để giải các hệ dạng (22) ngời ta chỉ sử dụng phơng pháp lặp. Ngoài ra các phơng pháp lặp còn đợc sử dụng để giải các hệ vô định và phiếm định, đồng thời chúng cũng dễ cải tiến để khắc phục các vấn đề liên quan với tính không chuẩn của bài toán xác định cấu trúc bên trong theo kết quả đo bên ngoài cấu trúc. Dới đây liệt kê một số các thuật toán lặp phổ biến nhất dùng để giải các bài toán chụp cắt lớp máy tính [3]. 8 a) Phơng pháp lặp đơn giản. Thuật toán của phơng pháp này là: )()()()( ( k l l jlj j k ijk kk i APH à à à += +1 (2.102) , trong đó k là số vòng lặp; trong trờng hợp đơn giản nhất ijij H = , trong đó ij là ký hiệu Croneker ( tức ij H là ma trận đơn vị ). Tham số k và ma trận )(k ij H đợc chọn từ điều kiện hội tụ tốt nhất của phơng pháp lặp. b) Phơng pháp trợt nhanh nhất. c) Thuật toán ART (algebraic reconstruction technique). 4. Kết luận Nh đã thấy, chụp cắt lớp máy tính X-quang là bài toán phức tạp cả về nội dung toán học lẫn cách thực hiện vật lý. Nhng chính vì vậy nên việc giải quyết nó rất đa dạng và cho phép cải tiến bằng nhiều cách khác nhau, trong đó việc phối hợp hợp lý phần mềm ( các thuật toán lọc và lặp ) và phần cứng ( các hệ thống đo lờng điều khiển ) đã và đang mang lại những kết quả rất đáng khích lệ. Hy vọng theo hớng này trong tơng lai không xa sẽ có sự đóng góp của các chuyên gia Việt nam. 5. Tài liệu tham khảo [1] ồaỗ [2] ễốỗốờa õốỗúaởốỗaửốố ốỗợỏaổồớốộ õ ỡồọốửốớồ. ẽồ. ủ aớóở. . 2-ừ ũợỡaừ. ẽợọ ồọ. ẹ. ểýỏỏa. è., èố, 1991. ềợỡ 1 407 ủ., ũợỡ 2- 406 ủ. [3] ễ ồọợ ợ [4] aừõa ở . [] à dyxIIp == ,]),(ln[),( 0 (6) 1.3. Bài toán cơ bản của chụp cắt lớp Rơnghen máy tính Bài toán cơ bản của chụp cắt lớp Rơnghen máy tính là xác định ( biểu. 1 Về bài toán chụp cắt lớp của máy CT -scanner TS Huỳnh Lơng Nghĩa, Trờng Đại học Kỹ thuật Lê Quý Đôn Tóm tắt Bài báo giới thiệu cách đặt bài toán