MỘT SỐ KIẾN THỨC ĐẠI SỐ 1 *Phương trình đường tròn : ( ) ( ) 2 22 Rbyax =−+− Hay : 0cby2ax2yx 22 =+−−+ Cótâm là: ( ) b;aI và bán kính : cbaR 22 −+= ≥ 0 *Phương trình những điểm trong đường tròn và trên đường tròn là: ( ) ( ) 2 22 Rbyax ≤−+− ( là miền gạch hình 2) *Phương trình những điểm ngoài đường tròn và trên đường tròn là: ( ) ( ) 2 22 Rbyax ≥−+− (là miền gạch hình 3) 2 *Đường thẳng : ax + by + c = 0 chia mặt phẳng tọa độ thành 2 phần ax + by + c ≥ 0 và ax + by + c ≤ 0 để biết phần nào lớn hơn 0 hay nhỏ hơn 0, thông thường ta lấy 1 điểm trên miền thế vào. Nếu không thoả ta lấy miền ngược lại . Xét đường thẳng : -x + y – 2 ≤ 0 (như hình vẽ).Ta lấy điểm (0;0) thế vào (-x + y – 2) ta được -2 ≤ 0 . Nên ta lấy miền chứa (0;0) đó chính là miền gạch như trên hình vẽ * cho hàm số : y = f(x) có mxđ là D , gtnn = m ,gtln = M ta nói: Hàm số y = f(x) có nghiệm khi : m ≤ y ≤ M trong mxđ f(x) α ≥ có nghiệm khi M α ≥ trong mxđ f(x) α ≥ đúng ∀ x khi m α ≥ trong mxđ f(x) ≤ α có nghiệm khi m α ≤ trong mxđ f(x) ≤ α đúng ∀ x khi M α ≤ trong mxđ *Cho A(x 0 , y 0 ) và đường thẳng ( ∆ ) có phương trình : ax + by + c = 0 , khoảng cách từ A đến đường thẳng là : d(A; ∆ ) = 22 00 ba cbyax + ++ *Công thức đổi trục : [ gs I(a;b) ] Đổi trục oxy → IXY    += += bYy aXx phần1 GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm. ( ) * my2cosx2cos 2 1 ysinxsin      =+ =+ Giải : Đặt u = sinx , v = siny Bài toán trơ thành tìm m để hệ sau có nghiệm : (*) ⇔ ( ) ( ) ( ) ( )          ≤ ≤ − =+ =+ 41 31 2 2 2 1 2 1 22 v u m vu vu Các điểm thỏa (3)(4) là những điểm nằm trên và trong hình vuông ABCD như hình vẽ ,(2) là phương trình đường tròn tâm I(0,0) bán kính R = 2 m2 − , do số giao điểm của đường thẳng 3 và đường tròn chính là số nghiệm . Vậy để hệ phương trình có nghiệm đường tròn phải cắt đường thẳng u + v = 2 1 nằm trong hình vuông. Dễ thấy M(1 ; - 2 1 ) và OM = ON OM = 4 5 , OH = 2 2 1 − = 8 1 , suy ra ycbt là 8 1 ≤ 2 m2 − ≤ 4 5 ⇔ - 2 1 ≤ m ≤ 4 7 Cho hệ phương trình.    =−+ =−+ 0xyx 0aayx 22 (*) a) tìm tất cả các giá trị của a để hệ có 2 nghiệm phân biệt. b)gọi (x 1 ; y 1 ) , (x 2 ; y 2 ) là 2 nghiệm của hệ ,chứng minh rằng . (x 2 – x 1 ) 2 + (y 2 – y 1 ) 2 ≤ 1 Giải : a) Hệ đã cho có thể viết lại : (*) ⇔      =+− =−+ )2( 4 1 y) 2 1 x( )1(0)1y(ax 22 4 Ta nhận thấy (1) là phương trình đường thẳng ,luôn qua điểm cố định (0;1) . (2) là phương trình đường tròn có tâm I( 2 1 ;0) bán kính R = 2 1 . Do số giao điểm của đường thẳng và đường tròn chính là số nghiệm . Vậy để hệ phương trình có 2 nghiệm khi : D(I ;d) = 2 1 0. 2 1 a aa + −+ < 2 1 ⇔ 0 <a < 3 4 b) ta có AB = 2 12 2 12 )yy()xx( −+− ≤ 2R (x 2 –x 1 ) 2 + (y 2 – y 1 ) 2 ≤ 4R 2 =1 (đpcm) Dấu (=) xảy ra khi đường thẳng qua tâm : Hay : 2 1 - a = 0 ⇔ a = 2 1 Cho hệ phương trình.      =−++++ <+− 02aax)1a2(x 04x5x 22 24 (*) Tìm a sao cho hệ sau đây có nghiệm. Giải : Hệ đã cho có thể viết lại : 5 ( ) ⇔*         −<<− << =++−+ )3(1x2 )2(2x1 )1(0)2ax)(1ax( Các điểm M(x;y) thỏa(1) là những điểm nằm trên 2 đường thẳng như hình vẽ Các điểm M(x;y) thỏa (2) là những điểm nằm trên 2 miền gạch Ta có A(-2;0) , B(-2;3) , C(-1;2) , D(1;0) , E(2;-1) , F(-1;-1) , K(1;-3) , M(2;-4) . Vậy từ đồ thị hệ có nghiệm khi : -4<a<-3 , -1<a<0 , 2<a<3. Cho hệ phưong trình.      =+ =++−+ 222 2 myx 02)yx(3)yx( (*) Tìm m sao cho hệ sau đây có 3 nghiệm . Giải : Hệ đã cho có thể viết lại : (*) ⇔    =+ =−+−+ )2(myx )1(0)1yx)(2yx( 222 Các điểm M(x;y) thỏa (1) là những điểm nằm trên 2 đường thẳng như hình vẽ Các điểm M(x;y) thỏa (2) là những điểm nằm trên đường tròn tâm I(0;0) bán kính R = m , do số giao điểm của đường thẳng và đường tròn chính là số nghiệm . Vậy để hệ phương trình có 3 nghiệm thì : R = ON , mà ON = 2 2 = 2 (áp dụng đktx) do đó : m = 2 ⇔     −= = 2m 2m 6 Biện luận theo a về số nghiệm của phương trình.    =−− =+ 0)ay)(a2x( 2y2x Giải : Ta đổi trục cho dễ về việc tính toán và biện luận: Đổi trục oxy → 0XY      = = 2 Y y Xx Hệ đã cho có thể viết lại : ( ) ( )    =−− =+ 20)a2Y)(a2X( 12YX 7 Ta nhận thấy các điểm M(x;y) thoả mãn (1) là hình vuông A,B,C,D trong đó A(-2;0) , B(0;2) , C(2;0) , D(0;-2) .Các điểm thỏa mãn (2) nằm trên 2 đường: X = 2a ,Y= 2a , mà giao điểm I của chúng luôn luôn di động trên Y = X , dễ thấy điểm I / (1;1) như hình vẽ , do số giao điểm của 2 đường thẳng và hình vuông ABCD chính là số nghiệm . nên ta có : Nếu    −< > 2a2 2a2 ⇔    −< > 1a 1a hệ vô nghiệm. Nếu    −= = 2a2 2a2 ⇔    −= = 1a 1a hệ có 2 nghiệm. Nếu      −≠ ≠ <<− 12 12 222 a a a ⇔          −≠ ≠ <<− 2 1 a 2 1 a 1a1 hệ có 4 nghiệm. Nếu    −= = 1a2 1a2 ⇔      −= = 2 1 a 2 1 a hệ có 3 nghiệm. Tìm a để phương trình sau có 2 nghiệm . xaxx 2 −=− (*) Giải : Với điều kiện x – x 2 ≥ 0 , đặt y = 2 xx − ≥ 0 8 (*) trở thành ( ) ( ) ( )      ≥ =−+ =+ 30y 20xxy 1axy 22 ⇔ ( ) ( ) ( )      ≥ =+− =+ 30y 2 4 1 y) 2 1 x( 1axy 22 (2) và (3) là phương trình nửa đường tròn lấy phần dương như hình vẽ , có tâm I( 2 1 ;0) bán kính R = 2 1 . (1) là phương trình đường thẳng x +y = a , do số giao điểm của đường thẳng và đường tròn chính là số nghiệm . Vậy để hệ phương trình có 2 nghiệm thì đường thẳng x +y = a phải lớn hơn hoặc bằng x + y = 1 và nhỏ hơn tiếp xúc trên , mà tiếp xúc trên bằng .        > = − 1a 2 1 2 a 2 1 ⇔       − = + = )l( 2 21 a )n( 2 21 a hay 1 ≤ a < 2 21+ định a để phương trình sau có 4 nghiệm . axxxx +−=+− 5452 22 (*) Giải : Đặt 4 9 4 9 2 5 x4x5xt 2 2 −≥−       −=+−= (*) ⇔ tt24aa4tt2 −=−⇔+−= ( ) ( )    ≥=− <−=− ⇔ 0t,2t4a 0t,1t34a 9 Nhận xét ∀ t 4 9 −> thì ta được 2 nghiệm x , theo ycbt ta cần có 2 nghiệm t 4 9 −> Dễ thấy A( 4 27 ; 4 9 − ) (1) là phương trình y = -3t để thoả bài toán thì ( 0t 4 9 <<− ) (2) là phương trình đường thẳng y = t , t∀ ≥ 0 Vậy để phương trình có 4 nghiệm x hay có 2 nghiệm t thì: 4 27 4a0 <−< ⇔ 4 43 a4 << Cho hệ bất phưong trình. ( ) ( ) ( ) ( )      ≤++ ≤++ 2ay1x 1a1yx 2 2 2 2 (*) Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất . Giải : Bất phương trình (1) là những điểm nằm trên và trong đường tròn tâm O 2 (0;-1) bán kính R 2 = a . (như hình vẽ) Bất phương trình (2) là những điểm nằm trên và trong đường tròn tâm O 1 (-1;0) bán kính R 1 = a . Vậy hệ có nghiệm duy nhất khi : R 1 + R 2 = O 1 O 2 Hay : 2 a = ( ) ( ) 22 0110 +−++ 2 1 =⇔ a 10 [...]... 2 4 Từ (2) suy ra một số kết quả sau đây Định lí 1 : nếu ∆ < 0 phương trình (1) vô nghiệm và a.f(x) > 0 Định lí 2: nếu ∆ = 0 thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất Định lí 3: nếu ∆ > 0 thì phương trình (1) có 2 nghiệm −b± ∆ x1, 2 = 2a Ơ định lí (3) - nếu a.f(x) < 0 khi x1 < x < x2 - nếu a.f(x) > 0 khi x < x1 hoặc x > x2 * từ đó ta thu được một số hệ quả sau Hệ quả1 : trên trục số thực xét khoảng... vẽ Các điểm M(x;y) thỏa (2) là phương trình đường tròn tâm O(-1;-1) bán kímh R = m Do số giao điểm của đường thẳng và đường tròn chính là số nghiệm Vậy để hệ phương trình có nghiệm khi : ON ≤ R ≤ OM 1 Mà : ON = ( áp dụng đktx) , OB = 5 2 Vậy 1 2 ≤ m ≤  2 ≤m≤ 5  ⇔ 2 5  2 − 5 ≤ m ≤ − 2  đó là ycbt 18 MỘT SỐ BÀI TẬP Tìm m để phương trình có nghiệm 1 + sin x + 1 + cos x = m Cho phương trình ... 3 2 nghiệm x = 3 Nếu a ≠ 0 (1) ⇔ (4a+2b +c) + ( a + 2b + 4c ) + c =0 1 1 ⇔ f(2) + 4f( ) + f(0) ⇔ af(2) + 4af( ) + af(0) =0 2 2 Vậy tồn tại ít nhất một số hạng âm hoặc 3 số hạng bằng không , hay phương trình (2) có nghiệm Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng phương trình 36 ... = 2x  ⇔  2 1 x = 9  MỘT SỐ BÀI TẬP Tìm a để hệ sau đây có nghiệm 5x 2 + 2xy − y 2 ≥ 3   2 3a 2 6x + 6xy + 3y ≤ a −1  ( *) Tìm a , b để phương trình sau đây có nghiệm đúng ∀ x sao cho x ≤ 1 4x 3 + ax 2 + bx ≤ 1 ( *) Tìm a để hệ sau đây có nghiệm duy nhất 35  xy + ( x + y ) z 2 = a   2  x + y 2 + 2009 z 2 = a  ( *) Phần 4 PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH Xét tam thức bậc hai f(x) = ax2... vẽ Các điểm M(x;y) thỏa (2) là phương trình đường tròn tâm O(0;0) bán kímh R = m Do số giao điểm của đường thẳng và đường tròn chính là số nghiệm Vậy để hệ phương trình có 8 nghiệm khi : OH < R < OB 1 Mà : OH = ( áp dụng đktx) , OB = 1 2 Vậy 1 2 < m . MỘT SỐ KIẾN THỨC ĐẠI SỐ 1 *Phương trình đường tròn : ( ) ( ) 2 22 Rbyax =−+− Hay : 0cby2ax2yx 22 =+−−+ Cótâm. chính là miền gạch như trên hình vẽ * cho hàm số : y = f(x) có mxđ là D , gtnn = m ,gtln = M ta nói: Hàm số y = f(x) có nghiệm khi : m ≤ y ≤ M trong