GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP SONG KIẾM HỢP BÍCH (Cẩm nang ôn thi đại học!) TG: Ngô Viết Văn Trong tác phẩm “Thần điêu đại hiệp” của Kim Dung, Dương Quá và Long Nữ hành tẩu giang hồ vô đối vì họ có tuyệt học song kiếm hợp bích do Vương Trùng Dương Chân Nhân phái Toàn Chân và Tổ Sư Bà phái Cổ Mộ sáng lập để lại. Bất cứ ai muốn học kiếm pháp này cần biết kiếm pháp Toàn Chân và Cổ Mộ, sự kết hợp “vi diệu”của Ngọc Nữ kiếm pháp và Toàn Chân kiếm pháp. Giác ngộ được sự kết hợp này là đạt đến đỉnh của võ học. Trên ba khía cạnh của song kiếm hợp bích, tôi đề xuất đến một phương pháp giải hệ phương trình đại số trong những đề thi đại học gần đây là tạo PT đơn giản từ PT(1) hoặc từ PT (2) hoặc từ PT (1) và (2).  TỪ MỘT PHƢƠNG TRÌNH ĐỂ CHO PHƢƠNG TRÌNH ĐƠN GIẢN “Một tay xây dựng cơ đồ Bấy lâu bể Sở sông Ngô tung hoành” VD1: (ĐH B 02)        )2(2 )1( 3 yxyx yxyx ĐS: (1;1), (3/2; 1/2) Sau khi ĐK, ta nâng luỹ thừa sáu hai vế phương trình (1) để ra PT tích đơn giản: x = y; x = y + 1 thế vào (2) là giải được hệ phương trình. Như vậy bằng phương pháp luỹ thừa hai vế ta đã tạo ra phương trình (1) đơn giản. Ta hãy xem một cách khác để tạo phương trình đơn giản. VD2: (Học viên Kỹ Thuật Quân Sự)        )2(3 )1(12 22 22 xyyx yyx ĐS(-1; 2), (2; -1)…. Từ phương trình (1) ta phân tích thành nhân tử để ra phương trình tích đơn giản: y = 1 + x và y = 1-x, nhớ là 22 )1(12  yyy . Như vậy ta dùng hằng đẳng thức đáng nhớ để tạo PT tích và từ đó tạo PT đơn giản, sau đó thế vào (2) để tìm nghiệm. Ta hãy tìm cách khác để tạo PT đơn giản từ PT(1). VD3: (ĐH D 2008) 22 xy x y x 2y (1) x 2y y x 1 2x 2y (2)              ĐS: (5; 2). ĐK; từ PT (1) người ta đã khéo léo tách -2y 2 để tạo thành 6 số và chia làm ba cặp, đặt nhân tử chung và ra PT tích. Ta không khéo được như thế thì giải PT bậc 2 ẩn y để có y = -x; y = (x + 1)/2 và thế vào PT (2). Một cách khác để tạo ra PT đơn giản là quy đồng MS và rút gọn. VD 4: (ĐH A 2003)        )2(12 )1( 11 3 xy y y x x ĐS (1; 1)…. Ta thấy nếu thế (2) vào (1) thì PT bậc thật lớn, ta ĐK, quy đồng MS (1) ra PT tích đơn giản: ) 1 1)(( xy yx  = 0. Hay x = y; xy = -1 và thế vào (2). Nếu bạn không muốn phân tích thành nhân tử PT (1) thì có thể giải PT bậc 2 ẩn x ta cũng được x = y và x = 1/y VD5:(ĐH D 02) 3x 2 x x 1 x 2 5y 4y (1) 42 y (2) 22           ĐS: (0; 1) và (2; 4) Để ý rằng PT (2) sẽ rút gọn thành: y = 2 x và thế vào PT (1) và được PT mũ khá đơn giản. Chúng ta sẽ dùng logarit để rút gọn. VD 6: (ĐH A 2004)        )2(1 1 log)(log )1(25 4 4 1 22 y xy yx ĐS: (3;4). Từ PT (2), ta ĐK, đổi cơ số, dồn lại: 1/ 4 yx log 1 y 4x /3 y     và thay vào (2). VD7:(ĐH B05)        )2(3log)9(log3 )1(121 3 3 2 9 yx yx ĐS (11), (2;2) Ta ĐK, và từ (2) biến đổi cùng cơ số, dồn lại, được: yxxy  33 loglog , thế vào (1) được PT khá gọn.  TỪ HAI PHƢƠNG TRÌNH ĐỂ CHO PHƢƠNG TRÌNH ĐƠN GIẢN “Trai anh hùng gái thuyền quyên Phỉ nguyền sánh phƣợng đẹp duyên cƣỡi rồng” VD 8: (ĐH B 08)        )2(662 )1(922 2 2234 xxyx xyxyxx ĐS(-4; 17/4) Nhận thấy (1) có thể biến thành bình phương của tổng và lúc đó có thể thế (2) vào khá gọn.        2/33 92)( 2 22 xxxy xxyx VD 9: (ĐH B 03)            )2( 2 3 )1( 2 3 2 2 2 2 y x x x y y ĐS: (1;1) Nhận thấy VT > 0 nên ĐK x, y > 0. Quy đồng MS và lấy (1) trừ (2) ra 3xy + x + y = 0 (VN) và x = y thay vào (1) hoặc (2). Như vậy nếu tạo PT mới từ (1) và (2) thì thay vào (1) hoặc (2). Còn tạo PT mới từ (1) thì phải thay vào (2). Cũng có khi chia hai PT cho nhau để tao PT đơn giản. Sau đó kết hợp với một trong hai PT đều được VD 10:        )2( )1(1 2255 33 yxyx yx ĐS: (0;1), (1;0) Lấy (2) chia (1) rồi nhân chéo ta được: ))(( 332255 yxyxyx  rút gọn ta được: (x + y) = 0 không thoả (1), xy = 0  x = 0 hoặc y = 0 và thế vào (1). Với PT đối xứng loại 2 người ta thường trừ hai PT để tạo PT đơn giản. Với PT đối xứng loại 1 người ta hay biến đổi cả hai PT ra tổng và tích và đặt S = x + y; P = xy, (S 2  4P) để ra PT đơn giản.  TỪ HAI PHƢƠNG TRÌNH + ĐẶT ẨN PHỤ CHO PT ĐƠN GIẢN “Bốn bề bát ngát mênh mông Khéo tay gặp gỡ cũng trong chuyển vần” VD11 (ĐH Bách Khoa)        65 20 33 22 yx xyyx ĐS (1;4), (4;1) Biến đổi thành tổng và tích cả hai PT:      65)(3)(]3))[(( 20)( 32 yxxyyxxyyxyx yxxy Rồi đặt ẩn phụ được SP = 20, S 3 -3SP = 65 có S = 5 và P = 4, từ đó tìm được x,y. Không phải PT đối xứng loại 1 nào cũng dễ dàng biến đổi thành tổng và tích, khi đó đặt ẩn phụ khéo là một vấn đề. VD12: (CĐ SP)        4 282 22 yx xyyx ĐS (2;2) Xem ra đối xứng loại 1 thì rõ ràng rồi mà biến thành tổng và tích để đặt ẩn phụ cho gọn thì hơi ngại! Đặt vyux  ; sẽ được u + v = 4 và thế vào PT còn lại 282)(2)216( 22  uvuvuv và được uv = 4 Vậy u = v = 2 dẫn đến x = y = 4. VD13:      12)1()1( 7 22 yyxx yyxx ĐS: (1;4), (4;1)…. Đặt: u = x 2 + x ; v = y 2 + y ta được u + v = 7 và uv = 12 VD 14 (ĐHSP)        )2(38923 )1(143 22 22 yxyx yxyx ĐS:          0; 2 133 ,… Nhận thấy có thể đặt ẩn phụ u = x 2 -3x, v = y 2 + 4y cho ta PT khá đơn giản u + v = 1 và 3u - 2v = 3. Bây giờ ta sẽ giải một số hệ PT mà trước khi đặt ẩn phụ phải biến đổi rất khéo. VD 15 (ĐH A 08)        )2(4/5)21( )1(4/5 24 232 xxyyx xyxyyxyx ĐS:(1;-3/2) Nhận thấy (2) có thể biến đổi một phần thành bình phương một tổng: 4/5)( 22  xyyx . Còn (1) VT có 5 đại lượng tách thành hai nhóm có dư theo các đại lượng (2): 4/5)( 22  xyyxxyyx , ta đặt vxyuyx  ; 2 sẽ được: u + uv + v = -5/4 và u 2 + v = -5/4. VD 16 (ĐH B 09) 2 2 2 xy x 1 7y (x,y ) x y xy 1 13y           ĐS: (3;1), (1/3; 1) Thấy y = 0 không là nghiệm của hệ, chia hai vế của PT (1) cho y và PT (2) cho y 2 và đặt x + 1/y = u; x/y = v ta được: u + v = 7 và u 2 -v = 13. Thật là phu xướng phụ tòng! Hài hoà vô cùng! VD 17 (ĐH D 09) 2 2 x(x y 1) 3 0 5 (x y) 1 0 x              ĐS: (1;1), (2; -3/2) Nhận thấy x = 0 không là nghiệm, nên chia hai vế của PT thứ nhất cho x và đặt x + y = u; 1/x = v ta được: u-3v + 1 = 0 và u 2 -5v 2 + 1 = 0  GIẢI TOÁN CÓ THƯỞNG (10-11-12) Giải hệ PT        023 )()(8 23 444 xy yxyx Các bạn hãy gửi bài về Thầy giáo Ngô Viết Văn nhé! 1) Hệ số của 2n x là M = nnn 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 12   Để ý: 2 2 3 n 2 4 2n 1 1 1 1 1 1 1 2M 2 2 2 2 2 2 2             Vậy M = n nn 2 2 2.3 22.32  . 2) ĐK: 5x  . 22 5 14 9 20 5 1      x x x x x 22 5 14 9 5 1 20       x x x x x Bình phương:         22 2 4 5 3 4 5 4 5 4x x x x x x        Đặt 2 45 , 0. 4 xx tt x    Ta được: 2 3 2 5 3 0 1, 2 t t t t      . Vậy PT có nghiệm 5 61 ,8 2 xx   . 3) PT x 3 + 2mx 2 + (m + 3)x + 4 = x + 4       (*)022 0 2 mmxx x Để (d) cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt A(0;4), B, C thì pt (*) có 2 n 0 phân biệt khác 0 2 2 431 );( 2 );2();1;( 020.20 0'                dMd m m mm Ta có: dt 28);(. 2 1  dMdBCMBC Nên: BC = 25616 2 28.2 2  BC Gọi x B , x C là nghiệm của pt (*) ta có: BC 2 = (x B –x C ) 2 + (y B –y C ) 2 = 2(x B + x C ) 2 -8x B x C Mà x B + x C = -2m, x B x C = m + 2 Nên: 2(-2m) 2 - 8(m + 2) = 256 )/( 2 1371 mtm  