KỲ VỌNG VÀ PHƯƠNG SAI Quy luật phân phối xác suất biến ngẫu nhiên (dưới dạng bảng phân phối xác suất, hàm phân phối xác suất hay hàm mật độ xác suất) hoàn toàn xác định biến ngẫu nhiên Tuy nhiên, nghiên cứu biến ngẫu nhiên, đánh giá thông qua quy luật phân phối xác suất biến ngẫu nhiên ta khơng dễ dàng so sánh được, đánh giá biến ngẫu nhiên với đặc tính Vì cần có số thể thông tin cô đọng biến ngẫu nhiên Các số gọi số đặc trưng biến ngẫu nhiên Các số đặc trưng biến ngẫu nhiên gồm có kỳ vọng, phương sai, độ lệch chuẩn số đặc trưng khác Chúng ta tìm hiểu kỳ vọng phương sai Kỳ vọng tốn: Kỳ vọng tốn thường kí hiệu: E: Expectation; E(X) = X = M(X) = µ(X)M: Mean 1.1 Định nghĩa: + Nếu X biến ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất: Thì X x1 x2 … xn P[X=xi] p1 p2 pn …… ……… E(X) = x1p1 + x 2p + + x n p n + = ∑ x i p i E(X) = +∞ −∞ i =1 ∞ ∑| x | p < +∞ ∫ xf (x)dx Chú ý: i =1 +∞ i i ∫ | x | f (x)dx < +∞ −∞ ∑p i =1 +∞ + Nếu X biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ f(x) ∞ i =1 1.2 Ví dụ: Ví dụ Bắn liên tiếp ba viên đạn độc lập vào mục tiêu Gọi X số viên đạn trúng đích viên Xác suất trúng đích viên đạn 0,5 Tìm phân phối xác suất X Tính kỳ vọng X 1.3 Ý nghĩa kỳ vọng: Kỳ vọng biến ngẫu nhiên giá trị trung bình biến ngẫu nhiên (tính theo độ tập trung xác suất) Nó phản ánh giá trị trung tâm biến ngẫu nhiên Vậy kỳ vọng E(X) trung bình có trọng lượng Nếu lặp lại n lần độc lập phép đo đại lượng ngẫu nhiên X, ta nhận kết Dưới số giả thiết định hội tụ kỳ vọng E(X) Vì với n đủ lớn ta xem X1 , X , , X n X1 + X + + X n X= n n→∞ X ≈ E(X) Ví dụ 3: Thời gian hai chuyến xe bến đại lượng ngẫu nhiên liên tục X (phút) có hàm mật độ xác suất: x x ∈ (0, 10)  f (x) =  50 0 x ∉ (0,10) Tính thời gian chờ xe trung bình khách 1.4 Tính chất kỳ vọng toán: a) E(c) = c (với c số) b) Nếu X, Y có kỳ vọng có kỳ vọng c) Nếu X, Y hai biến ngẫu nhiên độc lập có kỳ vọng E(X), E(Y) E(XY) = E(X).E(Y) d) X±Y c số) ± E(Y) E(X(với ± Y) = E(X) Ta tiếp tục tìm hiểu tính chất quan trọng sau đây: E(cX) = cE(X) Giả sử biến ngẫu nhiên Y hàm biến ngẫu nhiên X, Y = ϕvà (X)có kỳ vọng Eϕ(X) Khi đó: P[X = x i ] = pi , i = 1, 2, + Nếu X có phân phối rời rạc +∞ E(Y) = E(ϕ(X)) = ∑ ϕ(x i )pi i =1 + Nếu X biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ f(x) +∞ E(Y) = E(ϕ(X)) = ∫ ϕ(x)f (x)dx −∞ 1.5 Ứng dụng kỳ vọng toán: Khái niệm kỳ vọng toán lúc đầu xuất trị chơi may rủi để tính giá trị mà người chơi mong đợi nhận Hiện khái niệm áp dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực kinh doanh quản lý tiêu chuẩn để định tình cần lựa chọn nhiều chiến lược khác Trong kinh tế, kỳ vọng tốn đặc trưng cho suất trung bình phương án sản xuất, lợi nhuận trung bình danh mục đầu tư, trọng lượng trung bình tuổi thọ trung bình loại sản phẩm… Do kinh tế, kỳ vọng toán tiêu chuẩn để định có nhiều phương án lựa chọn khác Ví dụ 6: Bài tốn: Trị chơi “Bầu cua tôm cá” công hay thiên vị? Tại sao? Luật chơi: Giả sử đặt a (đồng) vào ô B Gieo ngẫu nhiên xúc xắc Nếu xuất i mặt B thưởng i lần a đồng (i = 1, 2, 3) Ngược lại khơng xuất mặt B số tiền đặt vào Trị chơi “Bầu cua tơm cá” cơng hay thiên vị? Giả sử đặt a (đồng) vào “ô cá” Gọi X số tiền thu sau lần tham gia (tức lần đặt tiền) X nhận giá trị: -a, a, 2a, 3a Ta xem việc gieo xúc xắc (xí ngầu) thực dãy phép thử Bernoulli, với n = 3, p =     125 P[X = −a] = C  ÷  ÷ =     216 75    P[X = a] = C3  ÷ ÷ = 216    15 1 5 P[X = 2a] = C3  ÷  ÷ =     216 31 5 P[X = 3a] = C3  ÷  ÷ =     216 Số tiền trung bình thu sau lần tham gia là: 125 75 15 −17a E(X) = (−a) + a + 2a + 3a = Vậy C nhận thiết kế E(X) = ( −6, 4) × 0, 06 + (−3, 7) × 0,14 + ( −0,1) × 0, 24 + 2, × 0,56 = 0, 53 Phương sai: Trước hết ta xem ví dụ sau: Có hai nhóm người có chiều cao trung bình 160,8 cm Nhóm Nhóm 160 142 160 150 167 187 Như vậy, giá trị trung bình khơng phản số liệu Chúng ta cần đến 156 ánh hết phân tán 180 giá trị khác Đó giá trị phương sai 161 145 E(X) =160,8 cm E(X) = 160,8 cm Phương sai: 2.1 Định nghĩa: Phương sai thường kí hiệu: D(X) = var(X) = σ (X) = σ 2 var (variance) X D(X) = E(X − EX) 2.2 Ý nghĩa phương sai: Về mặt toán học, phương sai cho biết độ sai bình phương trung bình (Tức trung bình bình phương sai số X so với giá trị trung bình E(X)) Trung bình bình phương sai số tức độ lệch X E(X), tức phương sai cho biết mức độ phân tán giá trị X so với vị trí kỳ vọng E(X) Quay trở lại ví dụ trên: Có hai nhóm người có chiều cao trung bình 160,8 cm Nhóm 1: D(X) = 15,7 Nhóm 2: D(X) = 443,7 Ta thấy chiều cao người nhóm có khác biệt nhiều người nhóm Tức giá trị đo đạc nhóm cách xa giá trị trung bình giá trị đo đạc nhóm 2.3 Tính chất phương sai: a) Dc = (với c số) b) D(cX) =(với c DX c số) c) DX = E(X ) − (EX) 2 (Trung bình bình phương trừ bình phương trung bình) Ví dụ 8: Giả sử biến ngẫu nhiên X có phân phối là: X 0,1 0,2 0,3 0,2 0,2 Tính kỳ vọng, phương sai X E(X) = × 0,1 + × 0,2 + × 0,3 + × 0,2 + × 0,2 = 4,6 E(X ) = × 0,1 + × 0,2 + × 0,3 + × 0,2 + × 0,2 = 24 2 2 DX = E(X ) − (EX) = 24 − 4,6 = 2,84 Ví dụ 9: Giả sử X có phân phối đoạn [0; 1] Tính phương sai X ... Các số đặc trưng biến ngẫu nhiên gồm có kỳ vọng, phương sai, độ lệch chuẩn số đặc trưng khác Chúng ta tìm hiểu kỳ vọng phương sai 1 Kỳ vọng toán: Kỳ vọng tốn thường kí hiệu: E: Expectation;... tiếp ba viên đạn độc lập vào mục tiêu Gọi X số viên đạn trúng đích viên Xác suất trúng đích viên đạn 0,5 Tìm phân phối xác suất X Tính kỳ vọng X 1.3 Ý nghĩa kỳ vọng: Kỳ vọng biến ngẫu nhiên giá... học, phương sai cho biết độ sai bình phương trung bình (Tức trung bình bình phương sai số X so với giá trị trung bình E(X)) Trung bình bình phương sai số tức độ lệch X E(X), tức phương sai cho