ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Phạm Thị Thảo VỀ PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER PHÂN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2012 Phạm Thị Thảo VỀ PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán học tính tốn Mã số: 60 46 30 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS NGUYỄN MINH TUẤN Hà Nội - 2012 Lời cảm ơn Trước hết, tơi xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc đến thầy tôi, PGS TS Nguyễn Minh Tuấn, người thầy kính mến hết lịng dạy bảo, hướng dẫn, giúp đỡ động viên suốt trình thực luận văn Thạc sỹ năm trước tơi thực khóa luận tốt nghiệp Tôi xin cảm ơn thầy cô khoa Toán-Cơ-Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội nhiệt tình dạy bảo tạo điều kiện thuận lợi cho suốt năm học vừa qua Đồng thời, xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy cô anh chị Seminar "Giải số phương trình vi phân" thuộc mơn Tốn học Tính toán Toán ứng dụng, trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội trao đổi khoa học quý báu Nhân dịp này, xin gửi lời cảm ơn chân thành tới anh chị em đồng nghiệp, bạn bè anh chị em nhóm Tốn học Tính tốn, Cao học 2009-2011 hỗ trợ, chia sẻ giúp đỡ suốt thời gian học tập thực luận văn Cuối cùng, tơi muốn bày tỏ lịng biết ơn vơ hạn đến gia đình tơi, người ủng hộ, động viên giúp đỡ suốt năm tháng qua để tơi hồn thành luận văn i Lời mở đầu Những kiến thức ban đầu liên quan đến phép biến đổi Fourier phân xây dựng từ năm 1920-1930 Sau đó, phép biến đổi nhiều lần phát triển Trong suốt thập niên 1980, nhận quan tâm số nhà toán học [7, 9] Trong [7, 9], tác giả V Namias, A.C McBride F.H Kerr không đưa định nghĩa chuẩn cho phép biến đổi Fourier phân tổng quát hóa phép biến đổi Fourier thơng thường mà cịn phát triển phép toán tử cho biến đổi đồng thời ứng dụng để giải vấn đề học lượng tử Tuy nhiên, phép biến đổi Fourier phân thực quan tâm mạnh mẽ từ sau loạt báo ứng dụng quang học, xử lý tín hiệu [2, 3, 8, 10] Từ đến nay, trở thành một cơng cụ hiệu xử lý tín hiệu có tần số phụ thuộc thời gian xử lý tín hiệu quang học Nhiều nghiên cứu phép biến đổi Fourier phân thực nhằm giải toán ứng dụng quang học, xử lý tín hiệu, hệ động lực học, q trình ngẫn nhiên Trong thời gian gần lý thuyết tích chập phép biến đổi Fourier phân nhiều tác giả quan tâm [6, 12, 4, 13] Dựa kết có tích chập phép biến đổi Fourier, tác giả tập trung xây dựng tích chập phép biến đổi Fourier phân ứng dụng tích chập thiết kế lọc Nội dung luận văn phần mở đầu kết luận, gồm hai chương: i Chương trình bày kiến thức tảng phép biến đổi Fourier phân bao gồm định nghĩa, biểu diễn tích phân, tính chất phép tốn tốn tử Trong chương này, luận văn giới thiệu vài ứng dụng phép biến đổi Fourier phân học lượng tử xử lý tín hiệu Chương xây dựng tích chập có trọng, tích chập suy rộng phép biến đổi Fourier phân ngược đồng thời áp dụng chập để giải phương trình tích phân dạng chập Mặc dù cố gắng thời gian kiến thức hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận đóng góp thầy cô bạn để nội dung luận văn hoàn thiện Tác giả xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, năm 2012 Học viên Phạm Thị Thảo ii Bảng ký hiệu DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU FT Phép biến đổi Fourier FRFT Hn(x) Hn φn(x) Phép biến đổi Fourier phân Đa thức Hermite bậc n: n −x2 n xe d (x) = (−1) với n ∈N dxn e x Hàm Hermite bậc n: φn(x) = e− Hn(x) ∫ • Khơng gian L1 (R) := f : R → C : |f (x)| dx < +∞Σ ∫ R 1 √Với φn(x) dx, • f ∈ L (R) | kí hiệu | Nn := 2π|sin α| √ ǁf ǁ0 := 2π |sin α| ∫ |f (x)| dx, R √ ǁf ǁ1 R ∫ Nn := 2π |sin α| R |f (x)| dx iii Mục lục Lời cảm ơn i Lời mở đầu i Danh mục ký hiệu iii Phép biến đổi Fourier phân 1.1 Định nghĩa phép biến đổi Fourier phân 1.2 Biển diễn tích phân phép biến đổi Fourier phân 1.3 Phép tính tốn tử tổng qt 1.4 Phép biến đổi Fourier phân số hàm thường dùng 11 1.5 Ứng dụng phép biến đổi Fourier phân 14 1.5.1 Ứng dụng học lượng tử .14 1.5.2 Ứng dụng xử lý tín hiệu 19 Tích chập phép biến đổi Fourier phân 29 2.1 Về tích chập biến đổi Fourier phân .29 2.2 Một số tích chập có trọng biến đổi Fourier phân 31 2.3 Ứng dụng 42 Kết luận 45 iv Chương Phép biến đổi Fourier phân 1.1 Định nghĩa phép biến đổi Fourier phân Phép biến đổi Fourier phép biến đổi Fourier ngược không gian L2(R) định nghĩa sau ∫∞ f (x) g(u) = √ 2π −∞ e f √ (x) = 2π −iu x dx, ∫∞ g(u) iu du, x e (1.1.1) (1.1.2) −∞ Phương trình (1.1.1) thường xem Fourier Phương trình (1.1.2) Fourier ngược Chuyển sang dạng toán tử, phép biến đổi cho công thức sau ∫∞ f F π [f (x)] = √ (x) e 2π −iu x dx, (1.1.3) dx (1.1.4) −∞ ∫∞ f F − π [f (x)] = √ (x) e iu x 2π −∞ Toán tử π F liên hợp phức nhau, thỏa mãn hệ thức F − π Fπ F− π = F− π Fπ = Chúng ta ý 2 2 F π [f (x)] = g(u) F 2 π [g(u)] = f (−x), (1.1.5) 2.2 Một số tích chập có trọng biến đổi Fourier phân 41 (t)dudvdt ∫+∞∫+∞ +∞ ∫ × eia[x +t +u −v −2xb(t+u−v)] f (u)g(v)φ 2 2 n −∞ −∞ −∞ Sử dụng phép đổi biến s = t + u − v, u = u, v = v ta √ √ − i cot α + cot2 α inα φn(x)Fα(x) [f ]=(x)F [g] e −α √ 2π 2π ∫+∞ ∫+∞ ∫+∞ × −∞ −∞ √−∞ = einα ∫+ ∞ 1−i √ α cot 2π ia(x +s2−2xbs ) n 2.2 Một số tích chập có trọng biến đổi phân iaFourier u2 −v −2xbs] [x + e 41 f (u)g(v)φ  ∫+ ∫+ 2π | sin α| ∞ ∞ ia(2u2−2us−2uv+2sv) e (s−u+v)2 + 2.2 Một số tích chập có trọng biến đổi (s − u+ v)dudvd s Fourier phân  ×∞ − e −∞ −∞ 41 2.2 Một số tích chập có trọng biến đổi Fourier phân n(s − u + f (u)g(v)φ 41 2.2 Một số tích chập có trọng biến đổi Vậy tíchphân chập cho (2.2.14) thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa (2.2.19) Fourier 41 Bằng kỹ thuật tương tự trường hợp trên, Định lý sau chứng minh Định lý 2.2.6 Nếu f, g ∈ L1(R) biểu diễn tích phân sau xác định chập suy rộng f F φn Σ inα , g (s) = e ∗ 2π |sin α F −α ,F α| α ∫+∞ +∞ eia(2v +2us−2uv−2sv) f × ∫ (u)g(v)φ n (s + u − v)dudv (2.2.17) −∞ −∞ thỏa mãn bất đẳng thức chuẩn đẳng thức nhân tử hóa Σ φn f Fα , ,Fα g ∗ φn Σ α F α f F , F ,F ∗ − α g F ≤ ǁf ǁ1 ǁgǁ1 (2.2.18) − (x) = φn(x)F−α [f ] (x)Fα [g] (x) α (2.2.19) 2.3 Ứng dụng 2.3 42 Ứng dụng Xét phương trình tích phân eαin λϕ(x) + 2π |sin α| ∫+∞ +∞ ei cot ∫ α(v−x)(v−u) φn (x + u − v) k (u) ϕ (v) dudv = p(x), −∞ −∞ (2.3.1) α ƒ= kπ số thực, λ ∈ C cho trước, hàm số k, p ∈ L1(R) ϕ ∈ L1(R) hàm cần tìm Trong phương trình (2.3.1), hàm inα ∫+∞ ei cot e K (x, v) 2π |sin −∞ = α| α(v−x)(v−u) φn (x + u − v) k (u) du (2.3.2) gọi nhân Đặt A(x) := λ + φnF−α [k] (x) Định lý 2.3.1 Giả sử A(x) ƒ= với x ∈ R Fα [k] A ∈ L1 (R) Σ Σ Fα [ k ] ∈ − A α Phương trình (2.3.1) có nghiệm L1 (R) F L1 (R) Trong trường hợp này, nghiệm phương trình xác định Fα ϕ = F−α Σ Σ ∈ L1 (R) [k] A Chứng minh Điều kiện cần Giả sử phương trình (2.3.1) có nghiệm ϕ ∈ L1 (R) Tác động Fα vào hai vế phương trình (2.3.1) đồng thời sử dụng đẳng thức nhân tử hóa ta λFα [ϕ] (x) + φn(x)F−α [k] (x)Fα [ϕ] (x) = Fα [p] (x) Điều tương đương với A(x)Fα [ϕ] (x) = Fα [p] (x) Vì A(x) ƒ= với Fα [ k ] [ p] x ∈ R nên Fα [ϕ] = FAα Do ∈ L1 (R) nên tác động F− vào hai vế α ta ϕ = F−α Σ Σ ∈ L1 A (R) Fα [ k ] Fα A Điều kiện đủ Xét hàm ϕ = F−α Σ Σ Theo giả thiết ϕ ∈ L1 (R) [k] 2.3 Ứng dụng 43 [ p] nên Fα [ϕ] = FAα Điều tương đươngAvới A(x)Fα [ϕ] (x) = Fα [p] (x) Sử dụng đẳng thức nhân tử hóa ta suy  ∫+∞ ∫+∞ einα  Fα λϕ(x) 2π |sin + α| −∞ −∞ ei cot  φn (x + u − v) k (u) ϕ (v) dudv α(v−x)(v−u) = Fα [p(x)] Vậy hàm ϕ thỏa mãn phương trình (2.3.1) Ví dụ 2.3.1 Giải phương trình tích phân sau inα ∫+∞ +∞ (x+u−v) e i cot α(v−x) e− e 2π| sin α∫ (v−u) −∞ e | −∞ −(3i cot α+csc α) x 1+i = −2 + e e cot α 4+cot2 α 2+i , 1cot α ϕ ∈ L (R) hàm cần tìm ϕ(x) + −u22 ϕ (v) dudv (2.3.3) Lời giải So sánh phương trình (2.3.3) với phương trình (2.3.1) ta thấy 1+i −(3i cot α+csc α) x cot α −x2 − , p(x) = e 4+cot2 α λ = 1, n = 0, e 2 k(x) = e + i cot α + Suy A(x) = + φ0(x)F−α Σ −x2 Σ (x) = +e e x − e − x2 =1+ e−x ƒ= ∀x ∈ R Sử dụng công thức biến đổi Fourier phân hàm Gaussian tổng quát ta thu Σ −x2 Fα e Σ Từ 1−i cot α suy ( 3i cot α−csc2 α) x (x) = 3i e2 Σ −x2 Σ F−α e Vì F α Σ (x) = 1+i cot α 2+i cot α − i cot α 1+i (− 4+cot2 α cot α−csc α) cot α e 2 + i cot α 4+cot2 α α) Σ (−3i cot α−csc 4+cot2 (x) = e e −x2 Do Fα [p] (x) = e−x + e− , dẫn đến x 2 Fα [p] =e − x +e x x2 = e−1 ∈ (R) L − 2 A Suy Σ F− α x 1−+ e F α [p] Σ A Σ − eΣ (x) = F−α x (x) = e − x2 (R) ∈L Áp dụng Định lý (2.3.2) ta thu nghiệm phương trình (2.3.3) ϕ(x) = F−α (x) = e Σ Fα Σ [p] A x2 − ∈ L1 (R) Kết luận Luận văn giải mục tiêu nghiên cứu đặt ban đầu xây dựng tích chập có trọng phép biến đổi Fourier phân ngược đồng thời áp dụng chập xây dựng vào giải lớp phương trình tích phân dạng chập Kết luận văn gồm: Trình bày cách tổng quan phép biến đổi Fourier phân: định nghĩa, tính chất, biểu diễn tích phân, phép toán toán tử, số ứng dụng biến đổi học lượng tử xử lý tín hiệu; Trình bày số tích chập xây dựng phép biến đổi Fourier phân; Xây dựng sáu tích chập có trọng cho biến đổi Fourier phân, khảo sát tính chất tích chập đồng thời áp dụng để giải tốn phương trình tích phân dạng chập Một số hướng nghiên cứu mở rộng luận văn: Tiếp tục xây dựng tích chập có trọng, tích chập suy rộng biến đổi Fourier phân; Áp dụng tích chập xây dựng để giải lớp tốn phương trình tích phân dạng chập khác; Tiếp tục nghiên cứu ứng dụng chập xây dựng xử lý tín hiệu 45 Tài liệu tham khảo [1] Alexander D Poularikas, Transforms and Applications Handbook, CRC Press, 2010 [2] T Alieva, V Lopez, F Agullo-Lopez and L B Almeida, The fractional Fourier transform in optical propagation problems, J Mod Opt., 41 (1994), 1037-1044 [3] L B Almeida, The fractional Fourier transform and timefrequency representation, IEEE Trans Sig Proc., 42 (1994), 3084-3091 [4] L B Almeida, Product and convolution theorems for the fractional Fourier transform, IEEE Signal Processing Letters, 4(1) (1997), 15- 17 [5] G E Andrews, R Askey, and R Roy, Special functions, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 71 ( 1999), Cambridge University Press, Cambridge [6] S.-G Liu, H.-Y Fan, Convolution theorem for the threedimensional entangled fractional Fourier transformation deduced from the tripar- tite entangled state representation, Teoret Mat Fiz., 161(3) (2009), 459–468 [7] A.C McBride and F.H Kerr, On Namias’s fractional order Fourier transform, IMA Journal of applied mathematics, 39 (1987), 159–175 46 Tài liệu tham khảo 47 [8] D Mendlovic and H M Ozaktas, Fractional Fourier transforms and their optical implementation, I J Opt Soc Amer A, 10 (1993), 1875- 1881 [9] V Namias, The fractional Fourier transform and its application to quantum mechanics, Journal Institute of Mathematics and Applica- tions, 25 (1980), 241-265 [10] H M Ozaktas and D Mendlovic, Fractional Fourier transforms and their optical implementation, II J Opt Soc Amer A, 10 (1993), 2522- 2531 [11] H M Ozaktas, Z Zalevsky and M A Kutay, The fractional Fourier transform with applications in optics and signal processing, John Wilay and Sons, New York, 2001 [12] A K Singh and R Saxena, On Convolution and Product Theorems for FRFT, Wireless Personal Communications, 10 February 2011, 1-13 [13] A I Zayed, A convolution and product theorem for the fractional Fourier transform, IEEE Signal Processing Letters, 5(4) (1998), 102- 103 [14] M.A Kutay, H.M.Ozaktas, O Arikan, L Onural, Optimal filtering in fractional Fourier domains, IEEE Trans Signal Proc, 45(5) (1997), 1129-1143 [15] F Hlawatsch and F.G Bourdeaux-Bartels, Linear and quadratic time- frequency signal representations, IEEE Signal Processing Mag., 9(2) (1992), 21-67 [16] L Cohen, Time-frequency distributions-A review, Proc IEEE, 77(7) (1989), 941-981 [17] H M Ozaktas, O Arıkan, M A Kutay, and G Bozdagı, Digital computation of the fractional Fourier transform, IEEE Trans Signal Pro- cessing, 44 (1996), 2141–2150 [18] L Durak, S Aldirmaz, Adaptive fractional Fourier domain filtering, Signal Processing, 90(4) (2010), 1188–1196 [19] H M Ozaktas, B Barshan, D Mendlovic, Convolution and filtering in fractional Fourier domains, Optical Review, 1(1) (1994), 15–16 [20] M F Erden, M A Kutay, H M Ozaktas, Applications of the fractional Fourier transform to filtering, estimation and restoration, Proceedings of the IEEE-EURASIP Workshop on Nonlinear Signal and Image Processing (NSIP’99), Antalya, Turkey, 1999, 481–485 [21] I Djurovic, S Stankovic, I Pitas, Digital watermarking in the frac- tional Fourier transformation domain, Journal of Network and Com- puter Applications, 24(2) (2001), 167–173 [22] F Q Yu, Z K Zhang, M H Xu, A digital watermarking algorithm for image based on fractional Fourier transform, Proceedings of the 2006 IEEE Conference on Industrial Electronics and Applications, Singapore, May 24–26, 2006, 1–5 [23] D Cui, Dual digital watermarking algorithm for image based on frac- tional Fourier transform, Proceedings of the Second Pacific-Asia Conference on Web Mining and Web-based Application (WMWA ’09), Wuhan, China, June 6–7, 2009, 51–54 [24] Q Ran, H Zhang, J Zhang, L.Tang, J Ma, Deficiencies of the cryptog- raphy based on multiple-parameter fractional Fourier transform, Optics Letters, 34(11) (2009), 1729–1731 [25] B Barshan, B Ayrulu, Fractional Fourier transform preprocessing for neural networks and its application to object recognition, Neural Networks,15(1) (2002), 131–140 [26] D Wei, Q Ran, Y Li, J Ma, L Tan, A convolution and product theorem for the linear canonical transform, IEEE Signal Processing Letters, 16(10), (2009), 853-856 ... phần thực Đường nét đứt: phần ảo 1.5 Ứng dụng phép biến đổi Fourier phân 1.5 14 Ứng dụng phép biến đổi Fourier phân Biến đổi Fourier phân có nhiều ứng dụng học lượng tử [9], xử lý tín hiệu [14,... phép biến đổi Fourier phép biến đổi Laplace, phép tính tốn tử xây dựng dựa phép biến đổi Fourier phân Phép biến đổi tích Cho f (x) hàm thuộc lớp hàm L2(R), ta cần phép biến đổi Fourier phân xmf... đổi Fourier phân 29 2.1 Về tích chập biến đổi Fourier phân .29 2.2 Một số tích chập có trọng biến đổi Fourier phân 31 2.3 Ứng dụng 42 Kết luận 45 iv Chương Phép biến đổi Fourier