ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HOC ——————–o0o——————– NGUYEN HỒNG VIfiT VE PHÂN TÍCH PHO CUA Hfi đNG LUC Tễ-Pễ LUắN VN THAC S TON HOC H N®i - 2019 ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HOC ——————–o0o——————– NGUYEN HỒNG VIfiT VE PHÂN TÍCH PHO CUA Hfi đNG LUC Tễ-Pễ LUắN VN THAC S TỐN HOC Chun ngành: Tốn giai tích Mã so: 8460102 NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC TS LÊ HUY TIEN Mnc lnc Lài cam ơn Ma đau 1 Kien thÉc chuan b% 1.1 Tính giãn đong phơi 1.2 Tính bóng cna đong phơi 10 1.3 Đong phôi Anosov tôpô 16 Phân tích cua hắ đng lEc tụpụ 23 2.1 Tắp quay lui xích 23 2.2 T¾p őn đ%nh khơng őn đ%nh 29 2.3 Phân tích ph cna hắ đng lnc tụ-pụ 35 Ket lu¾n 44 Tài li¾u tham khao 45 i LèI CAM ƠN Lu¾n văn đưoc thnc hi¾n tai Trưịng Đai HQc khoa HQc tn nhiên - Đai HQc Quoc gia Hà n®i hồn thành dưói sn hưóng dan cna TS Lê Huy Tien Em xin đưoc bày to lòng biet ơn sâu sac chân thành tói thay giáo hưóng dan khoa HQc cna mình, ngưịi đ¾t van đe nghiên cúu, dành nhieu tâm huyet, thịi gian hưóng dan t¾n tình giai đáp nhung thac mac cna em suot q trình làm lu¾n văn Em xin trân khoa HQ c TRQNG cam ơn Ban Giám hi¾u Trưịng Đai tn nhiên, Ban Chn nhi¾m Khoa Tốn-Cơ-Tin HQ c, HQ c B® mơn Tốn giai tích, giang viên tham gia giang day, tao MQI đieu ki¾n tot nhat đe em HQ c t¾p nghiên cúu Đong thòi, em xin gui lòi cam ơn tói t¾p the lóp cao hQc Tốn HQ c (khóa 2016-2018), cam ơn gia đình ban bè đ®ng viên giúp đõ em rat nhieu trình HQ c H Nđi, ngy 15 thỏng 11 nm 2019 HQc viên Nguyen Hồng Vi¾t Ma đau L%ch su lý thuyet hắ đng lnc bat au oc biet en boi IssacNewton, ngưịi mà mơ ta quy lu¾t chuyen đng v phỏt hiắn lnc hap dan Trong lý thuyet cna Newton, cỏc chuyen đng mđt hắ đng lnc oc mụ ta boi cỏc hắ phng trỡnh vi phân Sau đó, cuoi the ky 19, Poincaré phát trien lý thuyet đ%nh tính phương trình vi phân Poincaré nghiên cúu tính chat nghi¾m thay tìm đưoc cơng thúc giai tích cna nghi¾m Nhieu năm sau đó, nhà khoa HQc phát trien lý thuyet nghiờn cỳu %nh tớnh hắ đng lnc c so lý thuyet tơpơ Trong đó, vi¾c nghiên cúu đong phơi giãn bóng m®t chn đe lón nhung năm qua Tính chat bóng xuat phát tù vi¾c giai so phương trình vi phân Tính chat bóng có nghĩa ton tai m®t quy đao gan m®t gia quy đao cho trưóc Tính bóng đưoc nghiên cúu đau tiên boi Anosov, Bowen, Sinai, tác gia cho rang liên quan đen tốn őn đ %nh ton cuc cna hắ đng lnc Cỏc tỏc gia ny đeu tiep c¾n tính bóng bang phương pháp hình HQc Trong lu¾n văn này, chúng tơi se trình bày van e Ve phõn tớch cia hắ đng lUc tơ-pơ ” Trong đó, chúng tơi se trình bày chi tiet ve đong phơi khơng giãn bóng có phân tớch ph Nđi dung luắn oc chia lm chương Trong đó, • Chương 1: Kien thúc chuan b% Trong chương này, chúng tơi se trình bày kien thúc đong phơi giãn cna m®t khơng gian mêtric tơpơ tính chat liên quan, tính bóng cna đong phơi đong phơi Anosov tơpơ • Chương 2: Phõn tớch ph cua hắ đng lnc tụpụ Cỏc nđi dung quan chúng minh chi tiet ve phân tích phő theo Smale Bowen se đưoc trình bày TRQNG Tài li¾u đưoc tham khao khao hồn thành lu¾n văn [2] Ngồi ra, chúng tơi tham khao tài li¾u [1], [7] Chương Kien thÉc chuan b% Chương se trình bày mđt so kien thỳc c ban ve hắ đng lnc, ánh xa liên tuc tính chat cna h¾ Anosov ánh xa Anosov tơpơ Bên canh đó, chúng tơi trình bày m®t so van đe ve đong phơi giãn tính chat gia quy đao Các tài li¾u đưoc tham khao cho kien thúc o chương [2] 1.1 Tính giãn đong phơi Trong muc này, chúng tơi se trình bày đ%nh nghĩa, tính chat cna m®t đong phơi giãn Tù dan đen tính chat cna ánh xa giãn dương, ánh xa c-giãn m®t khơng gian mêtric compact Trong phan này, ta ln gia thiet khụng gian pha cna mđt hắ đng lnc m®t đa tap kha vi Đ%nh nghĩa 1.1.1 Tồn ánh liên tnc f : M → N cua m®t khơng gian mêtric đưac GQI m®t đong phơi neu m®t đơn ánh ánh xa ngưac f −1 : N → M liên tnc Không gian mêtric M đưoc GQI m®t đa tap tơpơ n-chieu neu ton tai t¾p mo Ui ⊂ M đong phơi αi bien tương úng 1-1 moi t¾p Ui thnh mđt mo cna khụng gian Rn, cho {Ui} phn M Đ%nh nghĩa 1.1.2 Cho X không gian mêtric vái mêtric d Đong phôi f : X → X đưac cho GQI đong phôi giãn neu ton tai hang so e > vái x ƒ= y, x, y ∈ X ta có d(fn(x), fn(y)) > e, vái n so nguyên Hang so e đưac GQI hang so giãn cua f Hơn nua, tính chat phn thu®c vào cách CHQN mêtric đoi vái X X compact Ta a khỏi niắm đ phn thuđc nhay cam vào đieu ki¾n ban đau Đieu ki¾n yeu đieu ki¾n giãn, túc vói moi x ∈ X, ton tai δ > lân c¾n U cna x mà ton tai y ∈ U n ∈ Z cho d(fn(x), fn (y)) > δ Tù khái ni¾m suy X khơng có điem l¾p X → X tính có tính truyen úng tôpô neu ton tai x0 ∈ X saoĐong Tiep phơi theo,fta: đưa nchat truyen úng tơpơ cna m®t đong phôi cho quy đao Of (x0 ) = {f (x0) : n ∈ Z} trù m¾t X Vói khái niắm ny, ta cú mđt so ket qua sau õy Đ%nh lý 1.1.3 Cho f : X → X đong phơi cua khơng gian mêtric compact Khi đó, (a) Đong phơi f có tính chat truyen úng tơpơ chs vái t¾p má khác rőng U, V , ton tai so nguyên n ∈ Z cho f n (U ) ∩ V ƒ= ∅ (b)Neu gia thiet thêm X t¾p vơ han, đong phơi f có tính chat truyen úng tơpơ Per(f ) = {x ∈ X : fn(x) = x, n > 0} trự mắt X thỡ f phn thuđc nhay cam vào đieu ki¾n ban đau Chú ý rang, vói f : X → X đong phôi cna không gian mêtric compact o ký hi¾u cl(E) bao đóng cna t¾p E Khi đó, m®t phn mo huu han α cna X phan tu sinh (phan tu sinh yeu) T đoi vói f neu vói MQI dãy kép {An } cna α: giao vô han ∞ n=−∞ f −n (cl(An )) tai nhieu nhat m®t điem Neu α, β phn mo cna X hop cna chúng α ∨ β đưoc xác đ%nh boi α ∨ β = {A ∩ B : A ∈ α, B ∈ β} Ta nói rang β m%n α neu MQI phan tu cna β đeu t¾p cna phan tu thu®c α ta ký hi¾u α ≤ β Rõ ràng α ≤ α∨β β ≤ α ∨ β Hơn nua, neu f : X → X tồn ánh liên tuc f −1(α) = {f −1 (A) : A ∈ α} m®t phn mo cna X Ta có the thay rang neu f −1(α ∨ β) = f −1(α) ∨ f −1(β) f −1 (α) ≤ f −1(β) neu α ≤ β Đ%nh lý 1.1.4 Cho f : X → X đong phôi cua không gian mêtric compact Khi đó, khang đ%nh sau tương đương (1) f giãn, (2) f có m®t phan tu sinh, (3) f có m®t phan tu sinh yeu Chúng minh Rõ ràng (2) ⇒ (3) hien nhiên Trưóc vào chúng minh phan tiep theo, ta nhac lai rang vói X m®t khơng gian mêtric compact α m®t phn mo huu han cna X Neu vói bat kỳ t¾p A ⊂ B ∈ α ln thoa mãn diam (A) < δ δ đưoc gQI so Lebesgue cna α Ta se chúng minh (3) ⇒ (2) Th¾t v¾y, cho β = {B1, B2, , B2} phan tu sinh yeu cna f δ > so Lebesgue cna Ký hiắu l mđt phn mo huu han chúa t¾p Ai vói đưịng kính diam (cl(Ai)) ≤ δ Neu {Ain } m®t dãy đơi α vói MQI n, ton tai jn cho cl(Ajn ) ⊂ Bj nên ∞ ∞ n=[−∞ f −n cl(Aj n) n=\ f −n (Bj n) −∞ ⊂ Do đó, α phan tu sinh (1) ⇒ (2): Cho δ > hang so giãn cna f α m®t phn huu han chúa hình cau mo bán kính δ/2 Gia thiet rang x, y T ∈ n n n Bδ/4(ωj ) vói j nên ta suy Bδ/4 (ωj ) ⊂ Bδ/2 (f n0 N (x)) Lay ω ∈ f n0 N (Bε (z)) ∩ Bδ/2 (f n0 N (x)) ∩ CR(f ) Khi đó, δ-gia đao quy { , f −2(ω), f −1 (ω), f n0 N (x), f n0 N +1 (x), } đưoc xây dnng CR(f ) Neu y ∈ CR(f ) m®t điem viet-ε cna δ-gia s −n0 N quy đao y ∈ Wε s (f n0 N (x)) f −n0 N (y) ∈ W (y) ε (x) Do đó, f ∈ Bε (x) Vì f −n0 N (ω) ∈ Bε (z) d(f −n0 N (y), f −n0 N (ω)) < ε nên ta suy −n0 N d(f (y), z) < 2ε, W s ∩ B2ε (z) =ƒ ∅ Vì z đưoc lay C bat kỳ nên W s (x) ∩C trù m¾t C 2.3 Phân tích cua h¾ đ®ng lEc tơ-pơ Trong phan này, chúng tơi se trình bày đ%nh lý phân tích phő đói vói ánh xa Anosov tơpơ Đây ket qua cna chương Trong phan này, ta gia thiet X không gian mêtric compact vói mêtric d f : X → X toàn ánh liên tuc Nhac lai rang, x ∈ X điem bat đ®ng neu vói bat kỳ lân c¾n mo U cna x, ton tai n > cho f n (U ) ∩ U ƒ= ∅ Ký hi¾u Ω(f ) t¾p gom tat ca điem bat đ®ng cna f Khi đó, Ω(f ) t¾p đóng, khác rong f (Ω(f )) ⊂ Ω(f ) Đ%nh lý 2.3.1 Cho f : X → X đong phôi cua khơng gian mêtric compact Neu f có tính bóng f (Ω(f )) = Ω(f ) Chúng minh Bây giò, ta se gia thiet phan chúng rang Ω(f )−f (Ω(f )) ƒ= ∅ Khi đó, ton tai x ∈ Ω(f ) − f (Ω(f )) ε > cho Bε(x) = {y ∈ X : d(x, y) ≤ ε} ⊂ X − f (Ω(f )) Gia su δ so vói tính chat đ%nh nghĩa tính chat gia quy đao Vì x ∈ Ω(f ) nên ton tai n > m®t δ-gia quy đao n-tuan hồn (xi) ∈ X Z vói x0 = x Vì f có tính chat gia quy đao nên ton tai (yi) ∈ Xf cho d(yi , xi ) < ε vói (xi ) = MQI i ∈ Z, X f = {(xi ) ∈ X Z : f xi+1, i ∈ Z} Vì the, n ) : ≤ i < ∞} ⊂ B (x ) {f (y ε i ni Vì X compact nên dãy cna dãy {f (y )} h®i tu y J ∈ X nvà Jdo đó, n y J nam t¾p giói han-w cna y0 Vì f (y J ) ∈ Bđen ε (x) f (y ) ∈ f (Ω(f )), mâu thuan V¾y Ω(f ) = f (Ω(f )) nghĩa Vói Ω(f ) cỏc iem bat đng cna ton ỏnh liờn tuc đưoc đ %nh Ωf = {(xi) ∈ Ω(f )Z : f (xi) = xi+1, i ∈ Z} Khi đó, vói CR(f ) t¾p quay lui xích cna f , theo Đ%nh lý 2.1.2 Ω(f ) = CR(f ) nên ta suy f (CR(f )) ⊂ CR(f ) tù đ%nh lý Đ%nh 2.3.2 tồn tnc f có tính bóng f|Ω(f ) có tínhlýbóng HơnNeu nua, nenh f|Ω(fliên ) c-giãn tat điem tuan hồn P er(f ) trù m¾t Ω(f ) Chúng minh Vói ε > δ > so vói tính chat đ %nh nghĩa tính chat gia quy đao Vì Ω(f ) = CR(f ), quan h¾-δ đưoc xác đ%nh Ω(f ) Muc 3.1 đưoc ký hi¾u ∼δ Tù quan h¾ này, Ω(f ) đưoc phân tích hop cna t¾p tương đương rịi rac Aλ sau [ Ω(f ) = Aλ λ ) Trưóc het, ta se chỳng minh moi A l mđt mo Ω(f ∈ y Aλ, cho x0 = x, x1, , Th¾t v¾y, lay x co đ%nh Aλ Vói xp = y m®t δ-gia quy đao Ω(f ) Bang cách cHQN < γ < δ cho f (Uγ(x0)) ⊂ Uδ(x1), ta thay rang Uγ(x0) ∩ Ω(f ) ⊂ Aλ Đieu ny cú ngha l A l mđt mo J Vói xΩ(f UγVì (x0x, ) ∩yΩ(f ), {x)0Jnên , xδ-gia , , xp } m®t δ-gia quy ∈ ) đao ∈ Ω(f quy đao O = {y = y, y1, , yl = x} ton tai Neu f (yl−1 ) ∈ cl(Uγ (x0 )) ∩ Ω(f ) thì0 (O \ {yl }) ∪ {y0 , y1 , , yl−1 , xJ0 } δ-gia đao d(f (yl−1), xJ ))thì ≤ ton 2γ tai neu i ƒ= j Đ¾t δ1 = min{d(Ai , AJ ) : i ƒ= j} Vói < α < min{δ, δ1}, cho (x α-gia quy Ω(ftrong )Z Khi i) viet-ε đao cna (xđao ) đưoc cHQN Ω đó, ta can phai chúng minh quy i f Neu xliên ∈ Ai vói i moi điem cna (xi) thu®c Ai x ln đưoc ket-α đen f vói moi x ∈ Ω(f ) Lay xa, xb ∈ (xi), a < b Khi đó, chu αkỳ (k1 + k 2) cho vói i ≥ xa ∼ xb, tù ta có the tìm m®t δ-gia quy đao (zi) ∈ Ω(f )Z tuan hoàn xa = za, za+1, , xb = zk1 , , xa = zk1+k2 , Đe đơn gian hóa, đ¾t k = k1 + k2 Vì f có tính chat gia quy đao nên ton a,b tai y ∈ X cho d(fi(ya,b), zi) < ε, vói i ≥ nên d(f k−+j (y a,b ), zj ) < ε, i ≥ 0, ≤ j < k Neu D = cl{f ki (y a,b ) : i ≥ 0} rịi=rac ton tai l > cho f l (y a,b ) ya,b ya,b ∈ Ω(f ) Neu D khơng rịi rac ton tai dãy cna dãy {f ki (y a, ) : i ≥ 0} b h®i tu đen z a,b ∈ X d(f j (z a,b ), zj ) ≤ ε vói ≤ j < k Do đó, ta có z a,b ∼αj z a,b vói αJ > bat kỳ Th¾t v¾y, tù khang đ%nh vói MQI αJ > 0, ton tai i0 > đn lón cho d(f kin (y a,b ), z a,b ) < αJ , d(f kin+1 (y a,b ), f (z a,b )) < αJ , vói in ≥ i0 Do đó, z a,b ∈ CR(f ) = Ω(f ) Ta đ¾t ziJ = f i (z a,b ) vói i ≥ a cHQN zaJ −1 ∈ f −1 (z a,b ) ∩ Ω(f ) zaJ −i−1 ∈ f −1 (zaJ −i ) ∩ Ω(f ) vói i ≥ J Khi đó, d(zi , xi ) ≤ ε vói a ≤ i ≤ b Vì Ω compact J z a,b = (zi ) ∈ Ω(f ) nên ton tai m®t dãy cna dãy {z a,b } h®i tu đen z = (zi ) ∈ Ω(f )Z a → −∞ b → +∞ Do đó, d(zi , xi ) ≤ ε vói i ∈ Z d(ziJ , xi ) ≤ ε vói a ≤ i ≤ b a, b bat kỳ Rõ ràng, z = (zi ) ∈ Ωf l > vàminh δ-giatính quy trù đaom¾t (xi )cna ∈ Ω(f )Z tuan kỳ l vói x0ton = tai x Đe chúng P er(f ), ta hoàn lay xchu ∈ Ω(f ) Khi đó, Vì f|Ω(f ) có tính chat gia quy đao nên ton tai (zi ) ∈ Ωf cho d(zi , xi ) < ε vói i ∈ Z Khi đó, d(zl+1 , zi ) ≤ 2ε vói i ∈ Z CHQN ε > nho hang so c-giãn, ta có (zl+i ) = (zi ) f l (z0) = zl = z0 ∈ Uε (x) Z Trưóc đưa ý sau đây, ta đưa khang đ%nh rang đong phôi tai x0trong ∈ X fsao O+gian (x0) mêtric = {x0,cóftính (x0), truyen } làúng trù m¾t : X cho → Xquy cnađao không chat tôpô neu ton X Chú ý 2.2 Vói X khơng gian mêtric compact, tồn ánh liên tuc f : X → X có tính chat truyen úng tơpơ chi vói U, V t¾p mo khác rong, ton tai n > cho f n (U ) ∩ V ƒ= ∅ Đe chúng minh chi tiet khang đ%nh này, ta gia su O+(x0) trù m¾t X U, V t¾p mo khác rong Khi đó, ton tai so n > m>0 cho f n(x0 ) ∈ U fm (x0) ∈ V Do đó, f k (U ) ∩ V ƒ= ∅ vói k = n− m Ký hi¾u {Uj : j ≥ 1} so đem đưoc cna X Vói moi x ∈ X, có cáctatương đương sau cl(O+(x)) ƒ= X, + ⇔O (x) ∩ Un = ∅ vói n ⇔fm (x) ∈ X \ Un vói MQI m ≥ n ∞ ⇔x ∈ ⇔x ∈ Theo gia thiet S∞ −m f (X m \= ∞ [ ∞\ \ Un ) vói n f −m (X \ Un ) n=1 m=0 −m m=0 f ∞ [ X \ (Un ) trù m¾t X nên \ m ∞ − (X \ f (Un )) f −m (U ) = n m=0 m=0 khơng trù m¾t nơi Do đó, ∞ \ ∞ [ n=1 −m f (X \ Un ) = ∞ ∞ [ \ (X \ f −m (Un )) n=1 l thuđc m=0 pham trự thỳ nhat Vì Xm=0 khơng gian mêtric compact nên {x X : cl(O+(x)) = X} l thuđc pham trù thú nhat Trong phan tiep theo, ta trình bày Đ%nh lý 2.3.3 n®i dung cna tồn bđ luắn ny õy l trũng hop tng quỏt cho Đ %nh lý 2.1.7.Chúng minh cna Đ%nh lý 2.1.7 đưoc suy tù chúng minh cna đ%nh lý Ket qua đ%nh lý sn phân tích phő tơpơ Đ%nh lý 2.3.3 (Đ%nh lý phân tích tơpơ) Cho f : X → X tồn ánh liên tnc cua m®t khơng gian mêtric compact Neu f : X → X ánh xa Anosov tôpô tính chat sau đúng: (1)(Đ%nh lý phân tích phő theo Smale) Ω(f ) chúa m®t dãy huu han Bi (1 ≤ i ≤ l) cua t¾p bat bien f cho Sl (i) Ω(f ) = i= Bi (ii) f |Bi : Bi → Bi có tính chat truyen úng tơpơ (các t¾p Bi đưac GQI t¾p sá) (2)(Đ%nh lý phân tích theo Bowen) Vái t¾p sá B, ton tai a > m®t dãy huu han Ci (0 ≤ i ≤ a − 1) cua t¾p đóng cho (i) Ci ∩ Cj = ∅ (i ƒ= j), f (Ci) = Ci+1 f a(C i ) = Ci, Sa−1 (ii) B = i= Ci , a (iii) f |C : Ci → Ci l trđn tụpụ (cỏc Ci ac GQI t¾p cơi ban) Chúng minh Vì f : X → X có tính chat bóng nên ta có the chúng minh Ω(f ) = CR(f ) Đ%nh lý 2.1.2 Do đó, Ω(f ) có the phân tích thành hop lóp tương đương Bλ dưói quan h¾ tương đương ∼ đưoc xác đ%nh CR(f ) Khi đó, ta có the viet Ω(f ) = [Bλ λ Moi t¾p Bλ đóng f (Bλ) = Bλ Neu Bλ t¾p mo Ω(f ) ta S k có the viet Ω(f ) = i= Bi vói so ngun k > Ω(f ) compact Trong trưịng hop này, f|Bi có tính chat truyen úng tơpơ Gia su U V t¾p mo khơng rong Bi Vì x ∼ y vói x ∈ U y ∈ V nên ta có the tìm Bi m®t điem bóng cna gia quy đao tù x đen y f|Bi có tính bóng Đieu chúng to rang U ∩ f l (V ) ƒ= ∅ vói l > > 0, minh ton tai(1), δ> cho bat kỳtính δ-gia đao f|Ω(f ) ε-bóngvói Đeεchúng ta can chúng minh moquy cna Bλ.cna Th¾t v¾y, theo m®t điem Ω(f ) Khi đó, vói p ∈ Uδ(Bλ) ∩ Per(f ), ton tai y ∈ Bλ cho d(y, p) < δ, Uδ(Bλ) lân c¾n mo cna Bλ Ω(f ) Theo Bő đe 1.3.3, ta có [ s W (y) = f −i (Wε s (f i u)) i≥0 W (x) = u [ f i (Wε u (σ −i (x))), i≥0 s u vói x ∈đao X f tuan Vì fhồn |Ω(f ) có tính bóng nên ta có W s(y) ∩ W u((pi )) ƒ= ∅ vói quy (pi ) ∈ Ωf , p0 = p W (p) ∩ W ((yi )) ƒ= ∅ vói quy đao (yi ) ∈ Ωf , y0 = y Vì ta có the cHQN cho moi yi thu®c quy đao (yi ) nam Bλ nên trong tưòng hop ta có the gia thiet (yi ) nam Bλ Khi đó, ta có y ∼ p p ∈ Bλ Do đó, Bλ ⊃ cl(Uδ(Bλ) ∩ Per(f )) ⊃ Uδ(Bλ) ∩ cl(Per(f )) = Uδ(Bλ) y p Bλ Uδ(Bλ) Đe chúng minh (2), ta lay p ∈ Per(f )∩B vói fm(p) = p đ¾t Cp = cl(Ws(p) ∩ B) Khi đó, Cp mo B Lay q ∈ Uδ(Cp) ∩ Per(f ) ∩ B, f n (q) = qvói n > ta có the tìm đưoc x ∈ W s(p) ∩ B cho d(x, q) < δ Cho (qi ) ∈ B f quy đao tuan hoàn chu kỳ n vói q0 = q Vì f|B có tính chat gia quy đao nên ton tai xJ cho xJ ∈ W u ((qi )) ∩ W s (x) ∩ B d(xJi , qi ) → i → −∞, vói (xJi ) ∈ B f , xJ0 = xJ Vì xJ0 = xJ ∈ W s (x) = W s (p) nên ta có d(f i (xJ0 ), f i (p)) → i → +∞ Chú ý rang J x−mn → q k → +∞ Co đ%nh k > cho j = mnk + i vói k i ≥ d(f j (xJ Khi −mn k đó, ), f j (p)) = d(f i (xJ0), f i (p)) → 0, i → +∞, mnk J s f (x − mnk ) = xJ0 f mnk (p) = p Do đó, mnk ∈ W (p) vói k ≥ − xJ q ∈ Cp Đieu chúng to rang Cp t¾p mo B Tiep theo, ta se chúng minh Cp = Cq vói q ∈ Cp ∩ P er(f ) Th¾t v¾y, cho f m (p) = p f n (q) = q Vói γ > 0, gQI nγ xác đ%nh Bő đe 1.3.2 Co đ%nh ε > cHQN δ > đ%nh nghĩa cna tính chat gia quy đao Gia su x ∈ W s (q) ∩ B Khi đó, ton tai Jγ > δ cho d(fmnJγ (x), q) < Vì ∈q C nên ta có the cHQN ≥ mnJγ nγ p y ∈ Uδ/2(q) ∩ W s (p) ∩ B d(fmnJγ (x), y) < δ V¾y nên W u ((f mnJγ xi )) ∩ W s (y) =ƒ∅, vói (xi) quy đao thu®c BfB, xsao =x f|B có tính bóng Tù dan đenquy ton đao tai m®t (zγ) ∈ cho f γ z i ∈ Wu((fmnJγ xi)) ∩ Ws(y), γ d(f i(z ), fi(y)) → i → ∞ d(zγ mnJ γ )) = d(zγ , x) < γ −mnJγ , f γ −mnJ γ (x−mnJ Vì zγ ∈ Ws(y) = Ws(p) nên ta có d(fi(z0γ), fi(p)) = d(fmnJγ −mnJ ), fmnJγ +i(p)) → i → ∞, γ +i (zγ zγ ∈ W s (p) ∩B Vì γ bat kỳ nên ta có x ∈ Cp Cq ∈ γ C q Mđt mắt khỏc, gia su rang p / Cq Khi đó, ta có < d = d(K, Cq ), K = Cp − Cq Vì q ∈ Cp nên ton tai z ∈ W s (p) ∩ B cho d(z, q) < d Rõ ràng z ∈ Cq −mnJ d(fmnj(z), p) = d(fmnj(z), fmnj(p)) → j → ∞ nên suy f mnj (z) ∈/ Cp , đieu mâu thuan De dàng kiem tra đưoc rang neu Cq ∩ Cq ƒ= ∅ vói q, q J ∈ P er(f ) ∩B J m Cq = Cq Bên canh đó, ta thay rang f (p) = p nên Cf m (p) = Cp , tù J suy ton tai so nguyên a > nho nhat cho a ≤ m Cfa(p) = C p Do đó, B = Cp ∪ Cf(p) ∪ · · · ∪ Cfa−1(p), f|B có tính truyen úng cau tôpô Cuoi cùng, ta se chúng minh fa tr®n tơpơ Gia su U V |Cp t¾p mo khơng rong Cp Lay q ∈ V ∩ P er(f ) vói f n (q) = q CHQN ε > vói Uε(q) ⊂ V Khi đó, vói ≤ j ≤ n−1, ton tai zj ∈ U∩W s (f aj (q)) Bj > cho vói t ≥ Nj d(fant+an−aj (zj ), fant+an(q)) = d(fa(nt+n−j (zj ), q) < ε Do đó,max{N f a(bt+n−j) (U ) ∩ V ƒ= ∅ vói t ≥ Nj ≤ j ≤ n − asĐ¾t N = j : ≤ j ≤ n − 1} Khi vói s ≥ nN f (U ) ∩ V ƒ= ∅ V¾y a f|C p cú tớnh trđn tụpụ Vắy %nh lý oc chỳng minh Ket lu¾n Trong lu¾n văn này, chúng tơi ó e cắp en phõn tớch ph cna mđt hắ đ®ng lnc Đây m®t phan quan TRQNG lý thuyet %nh tớnh nghiờn cỳu hắ đng lnc vúi so lý thuyet tôpô Cu the đã: Trình bày chi tiet khái ni¾m, tính chat cna m®t đong phơi giãn, giãn dương, c-giãn M®t so tính chat ban cna đưịng gia quy đao gan vói ánh xa khơng gian mêtric compact, vói t¾p chuoi truy hoi, khái ni¾m tính chat cna t¾p őn đ%nh, khơng őn đ %nh đưoc đưa Trình bày chi tiet chúng minh tính chat cna ánh xa Anosov tụpụ Tự ú dan en bat đng v Đ%nh lý phân tích phő cna đong phơi Anosov tơpơ Tài li¾u tham khao [1] Ahmadi, Seyyed Aliriza, On the topology of the chain recurrent set of a dynamical system, Applied general topology, number 2, 167174, 2014 [2] Aoki, Nobuo and Hiraide, Topological theory of dynamical systems: recent advances, Volume 52, Elsevier, 1994 [3]B.Derrida, A.Gervois and Y.Pomeau, Iteration of endomorphisms on the real axis and representation of number, Ann Inst Henri Poincaré 29 (1978), 305-356 [4]C Robinson, Stability theorems and hyperbolicity in dynamical system, Rocky Mountain J.Math, (1977), 425-437 [5]E.Coven, I.Kan and J.Yorke, Pseudo-orbit shadowing in the family of tent maps, Trans Amer Math Soc 308 (1988), 227-241 [6]J.Banks, J.Brooks, G.Cains, G Davis and P.Stacey, On Devaney’s definition of chaos, Amer Math Month 99, 332-334, 1992 [7]N.Aoki, On homeomorphisms with pseudo orbit tracing property, Tokyo J.Math (1983), 329-334 [8]P.Walter, On the pseudo-orbit tracing property and its relationship to stability, Lecture Notes in Math, 668, Springer-Verlag, 1978, 231144 ... tơpơ f đong phơi Anosov t? ?pô chi g đong phôi Anosov t? ?pô, f đong phôi Anosov t? ?pô chi g đong phôi Anosov t? ?pô, f đong phơi Anosov tơpơ đ¾c bi¾t chi g đong phôi Anosov t? ?pô đ¾c bi¾t Đ%nh nghĩa... Đong phôi Anosov t? ?pô 16 Phân tích cua h¾ đng lEc tụpụ 23 2.1 Tắp quay lui xớch 23 2.2 T¾p őn đ%nh khơng őn đ%nh 29 2.3 Phân tích phő cna h¾... tap tơpơ đóng Neu f őn đ%nh t? ?pô láp đong phôi t¾p điem tuan hồn Per(f ) trù m¾t Ω(f ) Chương Phân tích cua h¾ đ®ng lEc tơpơ Chương se trình bày ket qua chính, phân tích phő cna đong phơi khơng