ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN LU¾N VĂN THAC SĨ “VE NHUNG BÀI TOÁN TO HeP VÀ XÁC SUAT” HOC VIÊN: NGUYEN THANH TÂN CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CAP Mà SO: 60460113 CÁN B® HƯéNG DAN: PGS TS NGUYEN MINH TUAN H NđI - 2015 Li cam n Luắn oc hồn thành dưói sn chi bao hưóng dan cna PGS TS Nguyen Minh Tuan Thay dành nhieu thòi gian hưóng dan giai đáp thac mac cna tơi suot q trình làm lu¾n văn Tù t¾n đáy lòng em xin bày to sn biet ơn sâu sac đen thay M¾c dù rat nghiêm túc q trình tìm tịi, nghiên cúu chac chan n®i dung đưoc trình bày lu¾n văn khơng tránh khoi nhung thieu sót Em rat mong nh¾n đưoc sn đóng góp cna q thay ban đe lu¾n cna em oc hon thiắn hn H Nđi, thỏng năm 2015 Tác gia Nguyen Thanh Tân Mnc lnc Ma đau Chương 1: NhEng toán đem 1.1 Cơ so 1.1.1 lý thuyet tő hop Quy tac c®ng quy tac nhân 1.1.2 1.1.3 Giai thùa hoán v% Chinh hop 5 1.1.4 1.1.5 Tő hop Chinh hop có l¾p, hốn v% có l¾p tő hop có l¾p 1.2 Các dang tốn đem 1.2.1 Các phương pháp đem 1.2.2 Các toán đem Chương 2: NhEng toán ve xác suat 23 2.1 Cơ so lý thuyet xác suat .23 2.1.1 2.1.2 2.1.3 M®t so đ%nh nghĩa ban cna xác suat 23 Quan h¾ giua bien co 26 Các cơng thúc tính xác suat 28 2.2 M®t so toán xác suat 31 2.2.1 Tính xác suat bang đ%nh nghĩa cő đien 31 2.2.2 Tính xác suat bang cơng thúc c®ng nhân xác suat 37 2.2.3 Tính xác suat bang cơng thúc xác suat có đieu ki¾n 44 2.2.4 Tính xác suat bang cơng thúc xác suat đay đn Bayes 48 2.2.5 Tính xác suat bang công thúc Becnoulli 57 2.2.6 Tính xác suat bang đ%nh nghĩa hình HQc 62 2.2.7 Các tốn ve bien ngau nhiên rịi rac 67 Ket lu¾n 72 Tài li¾u tham khao 73 Ma đau Tő hop xác suat m®t nhung lĩnh vnc tốn HQc đưoc nghiên cúu tù sóm, đưoc khai thác úng dung rat nhieu vào đòi song san xuat Hi¾n giáo duc phő thơng, tő hop xác suat m®t nhung n®i dung quan TRQNG, thưịng xun xuat hi¾n đe thi đai HQc, cao đang, th¾m chí kỳ thi HQc sinh gioi quoc gia quoc te M¾c dù n®i dung khơng khó hQc sinh thưịng xun g¾p khó khăn giai quyet tốn này, nhat toán liên quan đen xác suat Lu¾n văn chn yeu t¾p trung vào dang tốn xác suat, tù giúp HQc sinh có cách nhìn nh¾n sâu sac ve tốn liên quan đen xác suat Lu¾n văn đưoc chia thành hai chương Chương Nhung toán ve tő hop Chương Nhung toán ve xác suat Tat ca tốn tő hop chương nen móng đe xây dnng giai quyet m®t so toán xác suat chương Hy vQNG se l mđt ti liắu huu ớch giang day cng HQc t¾p cna thay, em HQc sinh Chương NhEng toán đem Chương ta se nhac lai mđt so lý thuyet ve hop lý thuyet ban cna tő hop hốn v%, chinh hop, tő hop, m®t so ngun lý đem t¾p có liên quan chương trình phő thơng 1.1 1.1.1 Cơ sa lý thuyet to hap Quy tac c®ng quy tac nhân Quy tac cđng Gia su mđt cụng viắc cú the thnc hi¾n theo phương án A ho¾c phương án B , có n cách thnc hi¾n phương án A, m cách thnc hi¾n phương án B Khi cơng vi¾c có the đưoc thnc hi¾n boi n + m cách Tőng qt, gia su mơt cơng vi¾c có the thnc hiắn theo mđt k phng ỏn A1, A2, , Ak, có n1 cách thnc hi¾n phương án A1, n2 cách thnc hi¾n phương án A2 , , nk cách thnc hi¾n phương án Ak Khi cơng vi¾c có the đưoc thnc hi¾n boi n1 + n2 + · · · + nk cách Bieu dien dưói dang t¾p hop So phan tu cna t¾p huu han A đưoc kí hi¾u | A| Neu A1, A2, , An n t¾p huu han, tùng đơi m®t khơng giao |A1 ∪ A2 ∪ ∪ An| = |A1| + |A2| + · · · + |An| n hay n [ k=1 Σk |Ak| =1 Ak = Quy tac nhân Gia su cơng vi¾c bao gom hai cơng đoan A B , cơng đoan A có the làm theo n cách, cơng đoan B có the làm theo m cách Khi cơng vi¾c có the thnc hi¾n theo nm cách Tőng qt, gia su mđt cụng viắc no ú bao gom k công đoan A1, A2, , Ak, ông đoan A1 có the thnc hi¾n theo n1 cách, cơng đoan A2 có the thnc hi¾n theo n2 cách, cơng đoan A3 có the thnc hi¾n theo n3 cách, , cơng đoan Ak có the thnc hi¾n theo nk cách Khi cơng vi¾c có the thnc hi¾n theo n1n2 nk cách Bieu dien dưói dang t¾p hop Neu A1, A2, , An n t¾p huu han vói |Ak| = mk (k = 1, 2, , n) Khi n Y |A1 × A2 × · · · × An| = m1 × m2 × · · · × mn = mk k=1 1.1.2 Giai thÈa hoán v% Giai thÈa Đ%nh nghĩa n giai thùa, kí hi¾u n! tích cna n so tn nhiên liên tiep tù đen n n! = · · · · · (n − 1) · (n), n ∈ N∗ Quy ưóc 0! = 1, 1! = Hoán v% Đ%nh nghĩa Cho t¾p hop A gom n phan tu (n ≥ 1) Mđt cỏch sap thỳ tn n phan tu cna hop A đưoc gQI m®t hốn v% cna n phan tu Kí hi¾u Pn so hốn v% cna n phan tu Pn = n! = · · · · (n − 1)n 1.1.3 Chinh hap Đ%nh nghĩa Cho t¾p hop A gom n phan tu (n ≥ 1) Ket qua cna vi¾c lay k phan tu khác tù n phan tu cna hop A v sap xep chỳng theo mđt thỳ tn no ú oc GQI l mđt chinh hop chắp k cna n phan tu cho Công thúc Ak = n! n = n(n − 1)(n − k + 1) (vói ≤ k ≤ n) (n − k)! Chỳ ý Mđt chinh hop chắp n cna n phan tu m®t hốn v% cna n phan tu Ann = Pn = n! 1.1.4 To hap Đ%nh nghĩa Gia su t¾p A gom n phan tu n ≥ Moi t¾p gom k phan tu cna A oc GQi l mđt t hop chắp k cna n phan tu cho (1 ≤ k ≤ n) Kí hi¾u Cnk (1 ≤ k ≤ n) so tő hop ch¾p k cna n phan tu Cơng thúc Ck = n n! k!(n − k)! Chú ý Cn0 = Ckn = Cn−k n ( ≤ k ≤ n) C k + Ck+1 = Ck+1 (1 ≤ k ≤ n) n 1.1.5 n n+ Chinh hap có l¾p, hốn v% có l¾p to hap có l¾p Chinh hap có l¾p Đ%nh nghĩa Gia su t¾p A gom n phan tu (n ≥ 1) Moi dãy có đ® dài k phan tu cna A, mà moi phan tu có the l¾p lai nhieu lan đưoc sap xep theo m®t thú tn nhat %nh oc GQI l mđt chinh hop lắp ch¾p k cna n phan tu Chú ý So chinh hop l¾p ch¾p k cna n phan tu nk Hốn v% l¾p Đ%nh nghĩa Hốn v% ú moi phan tu xuat hiắn ớt nhat mđt lan đưoc GQI hốn v% l¾p Chú ý So hoỏn v% lắp cna n phan tu thđc k loai, mà phan tu tù loai i (1 ≤ i ≤ k) xuat hi¾n n lan đưoc kí hi¾u P (n1, n2, , nk) đưoc tính bang cơng thúc n! P (n1, n2, , n! ! nk) = n nk! To hap l¾p Đ%nh nghĩa Gia su t¾p A gom n phan tu (n ≥ 1) Mđt t hop chắp m (m khụng nhat thiet phai nho n) cna n phan tu thu®c A m®t b® gom m phan tu, mà moi phan tu m®t phan tu cna A Chú ý So tő hop có l¾p ch¾p m cna n phan tu Cm = Cm n n+m−1 1.2 Các dang toán đem 1.2.1 Các phương pháp đem n−1 = Cn+m−1 Phương pháp đem trEc tiep Tùy theo tốn ta có the chia trưịng hop hay khơng chia trưòng hop đe đem trưòng hop thoa mãn u cau tốn Phương pháp đem v% trí + B1 CHQN v% trí cho so thú nhat theo u cau tốn, suy so v% trí cho so tiep theo + B2 Sap xep so lai Phương pháp đem loai trÈ + B1 Đem so phương án xay bat kỳ ta có ket qua n1 + B2 Đem so phương án không thoa mãn u cau tốn ta có ket qua n2 + B3 So phương án n = n1 − n2 Ta su dung phương pháp đem loai trù phương pháp đem trnc tiep có nhieu trưòng hop Phương pháp lay trưác roi xep sau + B1 CHQN trưóc cho đn so lưong thoa mãn tích chat mà tốn u cau + B2 Sap xep Phương pháp dùng cho tốn có sn sap xep, canh nhau, có m¾t Phương pháp tao vách ngăn + B1 Sap xep m đoi tưong vào m v% trí se tao m + vách ngăn 2.2.6 Tính xác suat bang đ%nh nghĩa hình HQC Đây phan xác suat nâng cao nham boi dưõng HQc sinh gioi, giúp em có tư sâu sac ve xác suat Các tốn xác suat hình HQc se đơn gian rat nhieu neu tiep xúc, làm quen nhìn nh¾n tùng van đe an chúa Bài t¾p 2.51 Hai ngưịi ban hen g¾p tai m®t đ%a điem đ%nh trưóc khoang thòi gian tù 19h đen 20h Hai ngưòi đen cho hen đc lắp vúi v quy úc rang ngũi đen trưóc se chi đoi ngưịi đen sau 10 phút, neu khơng g¾p se Tính xác suat đe hai ngưịi có the g¾p Lài giai Đây tốn quen thu®c mo đau cho phan tính xác suat theo đ%nh nghĩa hình HQc GQI A = {hai ngưịi g¾p nhau}, ta can tính P (A) GQI x so phút tai thòi điem ngưòi thú nhat đen điem hen, ≤ x ≤ 60 y so phút tai thòi điem ngưòi thú hai đen điem hen, ≤ y ≤ 60 Neu ta bieu dien so phút x theo truc hoành so phút y theo truc tung so phút lúc đau cna ca hai ngưịi đưoc bieu dien bang m®t điem có TQA đ® (x, y) nam hình vng canh 60 (ta lay phút làm đơn v%) Đó mien Ω Ω = {(x, y) : ≤ x ≤ 60, ≤ y ≤ 60} Đe hai ngưịi g¾p so phút lúc đen x, y cna moi ngưịi phai thoa mãn |x − y| ≤ 10 ⇔ x − 10 ≤ y ≤ x + 10 Ta có hình bieu dien V¾y điem (x, y) thích hop cho vi¾c g¾p nam phan gach chéo giua hai đưòng thang y = x − 10 y = x + 10 Theo cơng thúc xác suat hình HQc ta có di¾n tích mien 602 − 502 A P (A) = = di¾n tích mien Ω 602 11 = 36 = 0, 3056 Bài t¾p 2.52 Xét hình vng (H) giói han boi ≤ x ≤ 1, ≤ y ≤ hai √ đưòng cong y = x2 y = x Lay ngau nhiên m®t điem M thu®c hình vng (H) Tìm xác suat đe M thu®c hình giói han boi đưịng cong Lài giai Ta có di¾n tích hình vng (H) bang S = Hai đưòng cong y = x2, y = √ x cat tai O(0, 0) A(1, 1) hai đinh cna hình vng (H) Σ Di¾n tích giói han S = J ∫1 √ ( x− x )dx x2 − = = SJ V¾y xác suat can tìm P= S = ≈ 0, 33 1 3 x Bi 2.53 Mđt đoan thang có đ® dài l Be gãy ngau nhiên thành đoan Tìm xác suat đe đoan tao thnh mđt tam giỏc Li giai iem chia OM = x, ON = y, < x < y < l Ta có đoan x, y − x, l − y Xét M (x, y) trờn mắt phang TQA đ Vỡ < x < y < l nên không gian mau tam giác OAB có di¾n tích S = l2 Đieu ki¾n đe đoan tao thành tam giác  x+y−x>l − y x + (l − y) > y − x  (y − x) + (l − y) > x l y>   l ⇔ y 1) c) Tính kỳ vQNG, phng sai v đ lắch chuan cna X Lài giai Gieo mơt đong tiên ba lan khơng gian mau có 23 = phan tu a) T¾p giá tr% cna X {0, 1, 2, 3} Ta có P (X = 0) = , P (X = 1) = , P (X = 2) , P (X = 3) = = 8 Bang phan bo xác suat cna X X P 8 b) P (X > 1) = P (X = 2) + P (X = 3) = 8 c) Kỳ vQNG Phương sai 1 + = 3 E(X) = + + + = 1, 8 8 3 V (X) = 02 + 12 + 22 + 32 − (1, 5)2 = 0, 75 8 8 đ lắch chuan σ(X) = √ V (X) = 0, 866 Bài t¾p 2.63 Gieo m®t xúc sac cân đoi ba lan GQI X so lan xúc sac xuat hi¾n m¾t sáu cham a) L¾p bang phân bo xac suat cna X b) Tính E(X) V (X) Lài giai a) GQI Ai bien co “lan gieo thú i cho ta m¾t cham” (i = 1, 2, 3), H bien co “có m®t lan giéo xúc sac xuat hi¾n m¾t cham” Ta có H = A A A ∪ A A 2A ∪ A A A P (X = 1) = P (H) = P (A1A2A3) + P (A1A2A3) + P (A1A2A3) 25 25 25 75 = + = 216 216 216 + 216 X P Tương tn 125 216 P (X = 2) = 75 216 15 216 216 15 + P (X = 3) 216 216 = V¾y bang phân phoi xác suat cna X b) Kỳ vQNG Phương sai E(X) = 125 75 15 + + + = 0, 216 216 216 216 125 216 216 V (X) = 02 + 12 + 22 + 32 − (0, 5) = 12 216 216 75 75 75 Bài 2.64 So ca cap cỳu o mđt bắnh viắn vào toi thú m®t bien ngau nhiên rịi rac có bang phân bo xác suat sau Biet rang neu có ca cap X P 0,15 0,2 0,3 0,2 0,1 0,05 cúu phai tăng cưịng thêm bác sĩ trnc a) Tính xác suat đe phai tăng cưịng thêm bác sĩ trnc vào toi thú b) Tính xác suât đe xay nhat m®t ca cap cúu vào toi thú Lài giai a) Vì neu có hai ca cap cúu phai tăng cưịng thêm bác sĩ trnc nên xác suat đe phai tăng cưòng thêm bác sĩ trnc vào toi thú bay P (X > 2) = P (X = 3) + P (X = 4) + P (X = 5) = 0, + 0, + 0, 05 = 0, 35 b) Xác suat đe xay nhat m®t ca cap cúu vào toi thú bay P (X ≥ 1) = P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) + P (X = 4) + P (X = 5) = 0, + 0, + 0, + 0, + 0, 05 = 0, 85 Bài t¾p 2.65 Anh A hàng ngày tù nhà đen quan phai qua bon ngó t cú cđt ốn tớn hiắu giao thụng, xỏc suat g¾p đen đo o moi ngã tư 0,4 thịi gian chị đèn đo trung bình moi lan ba phút a) L¾p bang phân bo xác xuat theo so lan anh A g¾p đèn đo b) Hoi trung bình moi lan tù nhà tói quan anh A phai chò đèn đo mat phút Lài giai a) GQI X bien ngau nhiên chi so ngã tư anh A g¾p đèn đo moi lan tù nhà đen quan, X nh¾n giá tr% {0, 1, 2, 3, 4} Ta có P (X = k) = Ck0,44k0, 64−k, k = 0, 1, 2, 3, V¾y P (X = 0) = C00, 400, 64 = 0, 1296, P (X = 1) = C1 0, 410, 63 = 0, 3456, P (X = 2) = C2 0, 420, 62 = 0, 3456, P (X = 3) = C30, 430, 61 = 0, 1536, P (X = 4) = C40, 440, 60 = 0, 0256 Bang phân bo xác suat cna X X P 0,1296 0,3456 0,3456 0,1536 0,0256 b) Kỳ vQNG E(X) = x0p0 + x1p1 + x2p2 + x3p3 + x4p4 = 0.0, 1296 + 1.0, 3456 + 2.0, 3456 + 3.0, 1536 + 4.0, 0256 = 1, V¾y thịi gian trung bình moi lan tù nhà đen quan anh A phai chò đèn đo 1, 6.3J = 4J 48JJ Bi 2.66 (xem [2]) Hai xa thn đc lắp vúi cựng ban vo mđt tam bia Moi ngưịi ban m®t viên Xác suat ban trúng cna xa thn thú nhat 0,7, cna xa thn thú hai 0,8 GQI X so viên đan trúng bia Tính kỳ vQNG cna X Bài t¾p 2.67 (xem [6]) Xác suat ban trúng vòng 10 cna An 0,4; An ban lan GQI X so lan trúng vịng 10 a) L¾p bang phân bo xác suat cna X b) Tính E(X) V (X) Bài t¾p 2.68 CHQN ngau nhiên ba đúa tre sáu trai bon gái GQI X so bé gái so ba đúa tre đưoc cHQN L¾p bang phân bo cna X, tính E(X), V (X) Bài t¾p 2.69 Có hai túi, túi thú nhat chúa ba tam the đánh so 1, 2, túi thú hai bo tam the đánh so 4, 5, 6, Rút ngau nhiên tù moi túi m®t tam the roi c®ng hai so ghi hai tam the vói GQI X so thu đưoc a) L¾p bang phân bo xác suat cna X b) Tính E(X), V (X), σ(X) Bài t¾p 2.70 Mđt bi trac nghiắm cú bon cõu Moi cõu có năm phương án tra lịi chi có m®t phương án Neu tra lịi đưoc năm điem, tra lịi sai khơng đưoc điem An làm thi bang cách cHQN ngau nhiên m®t phương án tra lịi GQI X tőng so điem An nh¾n đưoc a) L¾p bang phân bo xác suat cna X b) Tính E(X), V (X), σ(X) Ket lu¾n Lu¾n ó trỡnh by mđt cỏch khỏ hắ thong v chi tiet ve lý thuyet tő hop xác suat Các t¾p ví du đưoc tác gia cHQN LQc ti mi phong phú nham làm női b¾t phan lý thuyet trình bày Cu the chương m®t, tác gia phân tích m®t so dang tốn tő hop hay g¾p chương trình phő thụng, ong thũi ket hop vúi mđt so bi nâng cao nham phát trien tư cho HQc sinh e chương hai, tác gia sâu vào m®t so dang toán ve xác suat, tù đơn gian đen phúc tap, phù hop vói MQI đoi tưong HQc sinh Đ¾c bi¾t o phan xác suat nâng cao, tác gia chi nhieu cách giái cho m®t tốn xác suat, tù giúp ngưịi ĐQc có nh¾n thúc sâu sac ve xác suat, m®t mang kien thúc mà HQc sinh trung HQc phő thơng cịn rat mơ ho M¾c dù nghiêm túc, co gang het súc q trình làm lu¾n văn thịi gian lnc cna ban thân nhieu han che nên lu¾n văn khơng the tránh khoi nhung thieu sót Tơi kính mong nh¾n đưoc nhung góp ý, bő sung cna thay, cô ban ĐQc đe lu¾n văn đưoc hồn thi¾n Tài li¾u tham khao [1] Các chuyên đe tő hop xác suat mang internet [2] Nguyen Huy Đoàn, Nguyen Xuân Liêm, Nguyen Khac Minh, Đồn Quỳnh, Ngơ Xn Sơn, Đ¾ng Hùng Thang, Lưu Xn Tình, “Bài t¾p đai so giai tích 11 nâng cao”, NXB Giáo duc, 2007 [3] Đào Huu Ho,“Hưóng dan giai tốn xác suat úng dung”, NXB Đai HQc Quoc gia Hà N®i, 1996 [4] Đào Huu Ho, “Xác suat thong kê”, NXB Đai HQc Quoc gia Hà N®i, 1996 [5] Hồng Huu Như, Nguyen Văn Huu, “Bài t¾p xác suat thong kê tốn HQc”, NXB Đai HQc Trung HQc chun nghi¾p Hà N®i, 1976 [6] Lê Hồnh Phị, “Phân loai phương pháp giai toán tő hop xác suat”, NXB HQc Quoc gia H Nđi, 2008 [7] ắng Hựng Thang, “Mo đau ve lý thuyet xác suat úng dung”, NXB Giáo duc Vi¾t Nam, 2012 ... giai quyet toán này, nhat tốn liên quan đen xác suat Lu¾n văn chn yeu t¾p trung vào dang tốn xác suat, tù giúp HQc sinh có cách nhìn nh¾n sâu sac ve toán liên quan đen xác suat Lu¾n văn đưoc chia... Tính xác suat bang cơng thúc c®ng nhân xác suat 37 2.2.3 Tính xác suat bang cơng thúc xác suat có đieu ki¾n 44 2.2.4 Tính xác suat bang công thúc xác suat đay đn Bayes 48 2.2.5 Tính xác. .. 1.2 Các dang toán đem 1.2.1 Các phương pháp đem 1.2.2 Các toán đem Chương 2: NhEng toán ve xác suat 23 2.1 Cơ so lý thuyet xác suat