ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ———————– TRẦN PHƯƠNG DUNG MỘT SỐ MÔ HÌNH NGẪU NHIÊN TRONG TÀI CHÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2012 Mục lục Lời mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Quá trình ngẫu nhiên 3 1.1.1 Quá trình ngẫu nhiên 1.1.2 Q trình ngẫu nhiên thích nghi với lọc 1.1.3 Martingale 1.1.4 Thời điểm dừng 1.1.5 Quá trình Wiener hay chuyển động Brown 1.1.6 Kì vọng có điều kiện σ− trường 1.2 Tích phân ngẫu nhiên 5 1.2.1 Tích phân Itô 1.2.2 Vi phân ngẫu nhiên Itô công thức Itô 1.2.3 Phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính 1.2.4 Phép biến đổi độ đo định lí Girsanov 1.3 Các khái niệm tài 1.3.1 Thị trường tài 1.3.2 Quyền chọn 10 1.3.3 Danh mục đầu tư .11 1.3.4 Danh mục tự cân đối tài 11 1.3.5 Ac-bit (Cơ hội có độ chênh thị giá) .12 1.3.6 Xác suất trung hòa rủi ro 12 Một số mơ hình ngẫu nhiên tài 13 2.1 Mơ hình định giá trái phiếu .13 2.1.1 Định giá trái phiếu với lãi suất cố định 14 2.1.2 Định giá trái phiếu với lãi suất ngẫu nhiên 17 2.2 Mơ hình định giá cổ phiếu 19 2.2.1 Mơ hình nhị phân 19 2.2.2 Mơ hình GBM 2.3 Mơ hình định giá quyền chọn 24 26 2.3.1 Mơ hình nhị phân định giá quyền chọn 27 2.3.2 Quyền chọn kiểu Âu 32 2.3.3 Quyền chọn kiểu Mỹ 34 2.4 Từ mơ hình với thời gian rời rạc đến mơ hình với thời gian liên tục 2.4.1 Tổng hợp kết thời gian rời rạc 37 37 2.4.2 Giới hạn mơ hình CRR 39 2.4.3 Mơ hình Black - Scholes 41 2.4.4 Danh mục tự cân đối tài phòng hộ 45 2.5 Hàm lỗ - lãi số tính chất 47 2.5.1 Lãi - lỗ chiến lược khả đoán 48 2.5.2 Biểu diễn martingale 49 2.5.3 Hàm P &L martingale 2.5.4 Thị trường Acbit (Khơng kinh doanh chênh lệch giá) 2.5.5 Sự tồn P∗ 51 53 53 Kết luận 55 Tài liệu tham khảo 56 Lời mở đầu Hiện nay, mơ hình ngẫu nhiên trở thành đối tượng nghiên cứu quan trọng lí thuyết tốn tài chính, giúp có cơng cụ để phân tích định giá tài sản tài cách tốt Cơng trình có tính chất cách mạng việc tính tốn tài xuất vào năm 1973 F.Black M.Scholes tính giá trị hợp lý quyền chọn (“Pricing of Option and Corporate Liabilities”) Tiếp đó, có loạt cơng trình tính giá hợp lý quyền chọn loại hoạt động chứng khoán với mơ hình nhiều cấp độ từ đơn giản đến phức tạp khác nhau, đáng ý công trình J Cox, A Ross M Rubinstein năm 1976 Trong năm gần đây, có nhiều tài liệu nghiên cứu mơ hình ngẫu nhiên này, nhiên số chưa có nhiều tài liệu trình bày cách có hệ thống chưa thấy liên hệ số mơ hình, chẳng hạn mơ hình ngẫu nhiên trường hợp thời gian rời rạc với trường hợp thời gian liên tục Mục đích luận văn hệ thống lại cách số mơ hình ngẫu nhiên tài chính, mối liên hệ số mơ hình rời rạc liên tục, cụ thể hợp đồng quyền chọn Luận văn cung cấp toán ứng dụng để làm rõ vấn đề nêu Bố cục luận văn bao gồm chương: • Chương trình bày số kiến thức chuẩn bị cần thiết, bao gồm trình ngẫu nhiên, tích phân ngẫu nhiên, khái niệm thị trường tài cấu trúc • Chương chương chính, trình bày số mơ hình ngẫu nhiên tài chính, bao gồm mơ hình định giá trái phiếu, mơ hình định giá cổ phiếu mơ hình định giá quyền chọn, định giá quyền chọn đề cập đến mô hình với thời gian rời rạc thời gian liên tục, đánh giá hội tụ từ trường hợp rời rạc đến liên tục, cụ thể từ mơ hình CRR đến mơ hình Black - Scholes Ngồi chương luận văn cịn trình bày hàm lỗ lãi chiến lược khả đoán với tính chất Luận văn hồn thành nhờ có hướng dẫn giúp đỡ tận tình Tiến sĩ Trần Trọng Nguyên Qua đây, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy Cuối em xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo giảng dạy trường Đại học Khoa học tự nhiên tận tình cung cấp kiến thức tảng cho em năm học vừa qua Hà Nội, tháng 2012 Trần Phương Dung Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.1.1 Quá trình ngẫu nhiên Quá trình ngẫu nhiên Cho (Ω, F , P) khơng gian xác suất Một q trình ngẫu nhiên (Xt, t ≥ 0) hàm hai biến X(t, ω) xác định R+ × Ω, lấy giá trị R hàm đo σ - trường tích BR+ × F, BR+ σ - trường tập Borel R+ Trong tài chính, q trình giá chứng khốn St, giá trái khốn Pt, giá sản phẩm phái sinh Ct xem trình ngẫu nhiên 1.1.2 Quá trình ngẫu nhiên thích nghi với lọc Một họ σ - trường (Ft, t ≥ 0) F gọi lọc thỏa mãn điều kiện thơng thường nếu: • (Ft) họ tăng theo t, tức Fs ⊆ Ft s ≤ t, • (Ft) liên tục phải, tức Ft = ∩s>0Ft+s, • Nếu A ∈ F P(A) = A ∈ F0 Một trình ngẫu nhiên Y = (Yt, t ≥ 0) gọi thích nghi với lọc (Ft, t ≥ 0) với t, Yt đo σ - trường Ft Xét trình ngẫu nhiên X = (Xt) σ - trường F X sinh tất t X biến ngẫu nhiên Xs với = σ(Xs, s ≤ t) σ - trường chứa t s ≤ t : F đựng thông tin diễn biến khứ trình X thời điểm t Ta gọi lọc tự nhiên trình X, lịch sử X Khi q trình X = (Xt, t ≥ 0) thích nghi với lịch sử 1.1.3 Martingale Định nghĩa 1.1 Cho trình ngẫu nhiên X = (Xt)t≥0 thích nghi với lọc (Ft) khả tích E|Xt| < ∞ với t ≥ Giả sử s t hai giá trị cho s ≤ t Khi đó: Nếu E(Xt | Fs) ≤ Xs X gọi martingale trên; Nếu E(Xt | Fs) ≥ Xs X gọi martingale dưới; Nếu E(Xt| Fs) = Xs X gọi martingale lọc (Ft)t≥0 1.1.4 Thời điểm dừng Cho không gian xác suất (Ω, F , P) lọc (Ft) Một biến ngẫu nhiên τ gọi thời điểm Markov với t ≥ {ω ∈ Ω : τ (ω) ≤ t} ∈ Ft Một thời điểm Markov gọi thời điểm dừng τ hữu hạn hầu chắn, tức P{ω ∈ Ω : τ (ω) < ∞} = 1.1.5 Quá trình Wiener hay chuyển động Brown Một trình ngẫu nhiên X = (Xt)t≥0 trình Wiener hay chuyển động Brown nếu: X0 = hầu chắn Hiệu Xt − Xs biến ngẫu nhiên chuẩn với kì vọng phương sai t − s, (s < t) Các số gia Xt4 − Xt3 Xt2 − Xt1 (với t1 ≤ t2 ≤ t3 ≤ t4) biến ngẫu nhiên độc lập Kí hiệu W = (Wt, t ≥ 0) chuyển động Brown Khi Wt martingale lọc tự nhiên nó, với Ft t= F W = σ(Ws, s ≤ t) σ− trường nhỏ sinh khứ W tính đến thời điểm t 1.1.6 Kì vọng có điều kiện σ− trường Cho (Ω, F , P) không gian xác suất, G ⊂ F σ− trường F, X : (Ω, F) → (R, BR) biến ngẫu nhiên Khi đó, biến ngẫu nhiên X ∗ gọi kì vọng có điều kiện X σ− trường G nếu: • X ∗ biến ngẫu nhiên đo G • Với tập A ∈ G ta có ∫ ∫ X dP = ∗ A A XdP Biến ngẫu nhiên X ∗ kí hiệu E(X|G) Mệnh đề 1.1 Cho X, Y biến ngẫu nhiên Ω Khi có tính chất sau: E(X|{Ω, ∅}) = EX Với a, b hai số thực E(aX + bY |G) = aE(X|G) + bE(Y |G) Nếu Y ∈ G E(XY |G) = Y E(X|G) Nếu G1 ⊆ G2 E(E(X|G2)|G1) = E(X|G1) Nếu X độc lập với G E(X|G) = EX 1.2 1.2.1 Tích phân ngẫu nhiên Tích phân Itơ Cho f (t, ω) q trình ngẫu nhiên Wt chuyển động Brown tiêu chuẩn, tất quỹ đạo f W xác định đoạn a ≤ t ≤ b Xét phân hoạch đoạn [a, b]: a = t0 < t1 < < tn = b lập tổng tích phân Sn(ω) = Σn−1 f (ti, ω)[W (ti+1, ω) − W (ti, ω)] i= f (ti, ω) giá trị f (t, ω) t = ti Khi max |ti+1 − ti| → 0, tồn biến ngẫu nhiên S∗(ω) cho Mệnh đề 2.6 Cho trình V martingale Q, giả sử tồn hàm v cho V (t) = v(t, S(t)) Khi danh mục xác định xt = vx(t, S(t)) yt = V (t) − xtS(t) danh mục tự cân đối tài giá trị chiết khấu V Chứng minh Từ phần trước ta biết v nghiệm phương trình đạo hàm riêng vt(t, x) +21 σ2x2vxx(t, x) = Ta có dV (t) = vt(t, S(t))dt + vx(t, S(t))dS(t) +2 σ2S(t)2vxx(t, S(t))dt Các số hạng chứa dt bị triệt tiêu, phương trình trở thành dV (t) = vx(t, S(t))dS(t) Chọn xt = vx(t, S(t)) yT = V (t) − xtS(t), ta điều cần chứng minh Mệnh đề có hệ sau Hệ 2.1 Mọi quyền chọn X = F (S(T )) với EQ|X| < ∞ phịng hộ Chứng minh Ta biết tồn hàm v cho martingale EQ[X|Ft] viết v(t, S(t)) = F (S(T )), suy điều phải chứng minh Tích phân Itơ sử dụng để tìm chiến lược phịng hộ quyền chọn phức, quyền chọn có cấu trúc đặc biệt Chúng phụ thuộc vào S(T ) tích phân xác định S(t) Một ví dụ cho kiểu quyền chọn quyền chọn mua châu Á với thời điểm đáo hạn T giá thực K, thu hoạch ∫ T ( T1 S(t)dt − K)+ ∫ t Đặt Z(t) = g(u, S(u))du với hàm g : R2 → R Xét quyền chọn F (S(T ), Z(T )) Giả sử phịng hộ quyền ( với danh mục tự cân đối tài chính) Khi giá trị chiết khấu danh mục với giá chiết khấu quyền chọn martingale Vậy ta có V (t) = EQ[F (S(T ), Z(T ))|Ft] Nếu biểu diễn V (t) = v(t, S(t), Z(t)) với hàm v thuận tiện Ta tính tốn với kì ∫T vọng có điều kiện F (S(T ), S(t ) = ∫ T ∫ t ∫ Tg(u, S(u))du) Phân tích S(T g(u, S(u))du g(u, S(u))du Khi S(t) = s )và Z(t) = S (0T ) g(u, S(u))du =0 t S(t) ∫T S(T) vọng có điều kiện trở thành kì vọng khơng điều kiện s, zS(t+ z kì S(t EQF ( t ) ) g(u, S(u)s)du), biểu thức s z Giống quyền chọn đơn, ta v nghiệm phương trình đạo hàm riêng với điều kiện biên Định lí 2.4 Cho v hàm trơn t, z, x nghiệm phương trình đạo hàm riêng vt (t, x, z) + x(t, x, z) + xrv σ2x2v x x (t, x, z) − rv(t, x, z) = 0, (2.75) với điều kiện biên v(T, x, z) = F (x, z) Danh mục gồm xt = vx(t, S(t), Z(t)) yt = (v(t, S(t), Z(t)) − xtS(t))e−rt danh mục tự cân đối tài phịng hộ cho quyền chọn F (S(T ), Z(T )) Chứng minh Áp dụng công thức Itơ nhiều chiều cho q trình V (t) = v(t, S(t), Z(t)) ta có dV (t) = vtdt+vxdS(t)+vzdZ(t)+ vxxd(S)t = vtdt+vxrS(t)dt+vxσS(t)dW (t)+ vzg(t, S(t))dt + xxxσ2S(t)2dt = rV (t)dt + vxσS(t)dW (t) Do giá trị chiết khấu V (t) = e−rtV (t) thỏa mãn dV (t) = −rV (t)dt + e−rtdV (t) (2.76) = e−rtvxσS(t)dW (t) (2.77) = vxdS(t) (2.78) Do có danh mục khẳng định định lí ta có V (t) = xtS(t) + yt giá trị chiết khấu danh mục, dV (t) = xtdS(t), tức danh mục tự cân đối tài Từ điều kiện biên ta thu v(T, S(T ), Z(T )) = F (S(T ), Z(T )), danh mục phòng hộ cho quyền chọn F (S(T ), Z(T )) Ta có hệ trực tiếp sau Hệ 2.2 Mọi quyền chọn F (S(T ), Z(T )) thỏa mãn điều kiện khả tích phòng hộ Danh mục phòng hộ xác định định lí (2.4) 2.5 Hàm lỗ - lãi số tính chất Xét mơ hình CRR mà đó, St = S0uJtdk−Jt, t = kδt ∈ [0 T ]δt, Σvới Jkδt = i=1 k δJiδt , (δJiδt)i=1 n biến ngẫu nhiên độc lập Bernoulli, δJiδt)i=1 n ~ B(1, p), với p = R−d, R = erδt, < d < R < u, tất biến ngẫu nhiên Jkδt biến u−d ngẫu nhiên Nhị thức, Jkδt ~ B(k, p), tất nhiên khơng độc lập Kí hiệu (Ω, P) khơng gian xác suất hữu hạn, biến (δJiδt)i=1 n xác định Ta giả sử mục trước r = 0, R = 1, d < < u Đặt Ft S := σ(Sδt, S2δt, , Skδt), t = kδt, xét lọc F(S) := (Fδ Dễ thấy t t S )t∈[0 T ] S J Ft = Ft := σ(Jδt, J2δt, , Jkδt) = Ft δJ := σ(δJδt, , δJkδt) Ta định nghĩa δSt := St − St−δt = St−δt(uδJtd1−δJt − 1), tất nhiên ta có F t S = σ(δSδt, , δSkδt)t = F δS Bây dễ thấy S E(S | Ftt−δt ) = St−δt (2.79) S Thật vậy, St−δt ∈ , E(S| Ft S ) = δJ , δJ Ftđộc lập t− = t− t−δt t−δt S δt F F δt 1−δJt δJt δJ )= E(St−δtuδJtd1−δJt | F t− ) = St−δtE(uδJt d1−δJt | F δJt− ) = St−δt, E(u d 1−d u−1 δt δt pu + (1 − p)d = u + d = u−d u−d Công thức (2.5) chứng tỏ (St )t∈[0 T ]δt martingale Ví dụ 2.9 • Từ cơng thức (2.5), áp dụng mệnh đề trước, với r = 0, mơ hình S := (St)t∈[0 T ]δt (P, F(S))-martingale • Từ định lí định giá quyền chọn, mơ hình CRR, r = giá quyền chọn kiểu Âu (Vanilla hay ngoại lai) (P, F(S))martingale Thật vậy, r = Πt = E(ΠT | F S ) nên với s ≤ t t [0 T ] S S F ⊂ F , ta có s t E(Πt | F S t) = E(E(ΠT | F S t ) | FsS ) = E(ΠT | Fs S ) = Πs 2.5.1 Lãi - lỗ chiến lược khả đốn Khi xác định phịng hộ quyền chọn, đại lượng αt cổ phiếu danh mục phòng hộ xếp tăng dần, thời điểm t − δt, biết St−δt Một trình (αt)t∈[0 T ]δt gọi F(S)- khả đoán Định nghĩa 2.3 Cho F = (Ft)t∈[0 T ] lọc Ω Một trình F- thích nghi (αt)t∈(0 T ]δt gọi F- khả đốn với t ∈ (0 T ]δt, αt Ft−δt đo Định nghĩa 2.4 Cho F = (Ft)t∈(0 T ] lọc Ω α := (αt)t∈(0 T ]δt trình F- khả đốn Hàm lãi - lỗ chiến lược α thay đổi xác định bởi: S trình (P t δ t S &L (α))t∈(0 T ] P &LtS(α) := Σ αsδSs, với δS = Ss − St−δt (2.80) s∈(0 t]δt Tại thời điểm s − δt, ta giữ αs cổ phiếu mức giá Ss−δt, thời điểm s, giá S thay đổi δS = Ss − Ss−δt, ta có lãi lỗ αsδSs, s t ta lại giữ αs+δt bước (và biết thơng tin F S ) Do P &LS(α) tổng lãi lỗ đến thời điểm t St − S0 P t&LS(1), lãi - lỗ chiến lược mua nắm giữ (P &LSt(α))t∈[0 T ] tích phân ngẫu nhiên Itơ: ∫ T αsI{s≤t}dµs, với µs := k(s) pj (1 − p)k(s)−j δS Σ Σ n j ^ uj dk(s)−j , j=0 αs = αk(s), s ∈ [k(s)δt, (k(s) + 1)δt), k(s) ∈ N Kí hiệu ^ P &LS(α) := t ∫ t αsdSs (2.81) Đối với tích phân Itơ, hàm P &L mơ hình CRR có tính chất bật sau Định lí 2.5 Với chiến lược F(S)- khả đốn (αt)t∈[0 T ]δt, q trình lãi - lỗ (P &LtS δ (P, P(S))- martingale t (α))t∈∈[0 T ] Chứng minh P &LS(α) Σ t Σ Σ := s∈[0 t] αs.δSs F S - tương thích, ta có: t αs.δSs − ∈ Ft S , s∈[0 t+δt] αt+δt s∈[0 t] αs.δSs = αt+δt.St+δt F(S) - tương thích Hơn E(δP &Lt+S (α) | Ft S ) = E(αt+δt.δSt+δt(α) | Ft δt S ) = αt+δt.E(δSt+δt(α) |t F S ) = 2.5.2 Biểu diễn martingale Ta biết α tích phân ngẫu nhiên chiến lược khả đoán, tích phân ngẫu nhiên thiết martingale Vậy martingale cho trước có tương ứng với hàm P &L chiến lược khả đốn hay khơng? Định nghĩa định lí sau giúp giải câu hỏi Định nghĩa 2.5 Cho F(S) lọc (P, F(S))- martingale S = (St)t∈[0 T ]δt M = (Mt)t∈[0 T ] (P, F(S))- martingale Một S- biểu diễn M q trình F(S)-khả đốn α = (αt)t∈[0 T ] cho với t ta có: ∫ t S Mt − M0 = P &L αsdS t (α) s = Định nghĩa 2.6 Cho S = (St)t∈[0 T ] (P, F(S))- martingale Ta nói có tính chất biểu diễn martingale (P, F(S))martingale M = (Mt)t∈[0 T ] thừa nhận S- biểu diễn khả đốn Định lí 2.6 Một mơ hình CRR S = (St)t∈[0 T biểu diễn martingale (MRP) ]δt ln có tính chất Để chứng minh định lí ta cần bổ đề sau Bổ đề 2.1 Với kδt = t hàm đặc trưng f : Rk → R, với mơ hình CRR (St)t∈[0 T ] ta có E(f (Sδt , , St−δt , Stt− )|F δt , St−δt , St−δt d) S ) = pf (Sδt , , St−δt , St−δt u)+(1−p)f (Sδt , Chứng minh St = St−δtUt, với Ut := uδJtd1−δt ∈ {u, d} độc lập với F t− δt định nghĩa S Ta X = f (Sδt , , St−δt , St ) Y := pf (Sδt , , St−δt , St−δt u)+(1−p)f (Sδt , , St−δt , St−δt d) Ta phải với A ∈ Ft−δt E(XIA) = E(Y IA), Ω hữu hạn nên kiểm tra tính chất trường hợp A nguyên tử F đủ, tức S t−δt A = {Sδt = sδt, , St−δt = st−δt} Khi ta có E(XIA ) = E(f (Sδt , , St−δt , St )I{Sδt =sδt , ,St−δt=st−δt } ) , , t−δ = E(f (sδt, , st−δt, t =st−δt } ) δ =s S t st−δtUt)I{S , , t−δ = E(f (sδt, , st−δt, t =st− }) tính độc lập δ =s S t t δt st−δtU ))E(I{S = pf (sδt, , st−δt, st−δtu) + (1 − p)f (sδt, , st−δt, st−δtd)E(IA) Ut := uδJtd1−δJt , với δJt ~ B(1, p), = E(pf (sδt, , st−δt, st−δtu) + (1 − p)f (sδt, , st−δt, st−δtd)IA) E tuyến tính, = E(pf (Sδt, , St−δt, St−δtu) + (1 − p)f (Sδt, , St−δt, St−δtd)IA) = E(Y IA) δt δt Bây ta xác định chiến lược α = (αt)t∈[0 T ] = (αkδt)k=1 n công thức quy nạp theo k Lấy α0 = giả sử αs xác định với s ≤ (k − 1)δt ∈ [0 T ]δt Σ S Do M(k−1)δt − M0 = ( ∈ F −1)δt s∈(0 (k−1)δt ]αs δSs Ta cần chọn αkδt k cho αkδtδSkδt = δMkδt = m(kδt, Sδt, , S(k−1)δt) (2.82) với hàm đặc trưng m(t, s1, , sk−1) Áp dụng bổ đề trên, với S M martingale nên ta có: St−δt = E(St | F S ) = pSt−δtu + (1 − p)St−δtd =: pS+ + (1 − p)St− δt t− δt − Vì Mt ∈ Ft S nên tồn f : Rk → R cho Mt = f (Sδt, , St), S Mt−δt = E(Mt | F ) = pf (Sδt, , St−δt, St−δtu) + (1 − p)f (Sδt, , t− δt St−δt, St−δtd) =: pM + + (1 − Suy t−δt p(M+ t− δt − p)Mt− δt − Mt−δt) = (p − 1) (Mt− δt − − Mt−δt) 50 t− p(S+ t− δt − St−δt) = (p − 1) − − St−δt), (St− δt + Mt− δt − Mt− + δt St− δt − St−δ t Mt− = − Mt− =: α (2.83) δt −δt − St−δ − t S−δt t , St = St−δtUt với Ut ∈ {u, d}, ta suy từ (2.83) với giá trị Ut ta có Dễ thấy α∈ F S t− δt αδSkδt = α(St−δtUt − St−δt) = f (Sδt, , St−δt, St−δtUt) − Mt−δt = δMt 50 Vì ta chọn α := α S đo Fkδt t−δt Nhận xét Với Mt = E(X | F S )tlà giá trị danh mục đầu tư phịng hộ quyền chọn Âu hàm thu hoạch X F S đo tỉ số t + αkδt = α = Mt− δt + St− δt − Mt− (2.84) δt − − St−− δt gọi tỉ số phòng hộ quyền chọn (tỉ số hiệu hai giá trị có quyền chọn với hiệu hai giá trị có tài sản) Do tỉ số đại lượng dự báo giá tài sản mà danh mục đầu tư phòng hộ chứa đựng thời điểm Trong chương đầu ta giới thiệu thị trường khơng hồn hảo, tức mơ hình cổ phiếu mà đóTtính chất F S - đo với thu hoạch Πt khơng phịng hộ, tức khơng có q trình Ft- khả đốn α = (αt)t≤T cho P &LS (α) = Πt − Π0, với phần bù tối thiểu Π0 T (khơng ngẫu nhiên) Trong mơ thế, phương pháp định giá quyền chọn giá trị danh mục đầu tư phịng hộ rủi ro khơng cịn áp dụng nữa, phải khái quát thành gọi phương pháp Acbit (kinh doanh chênh lệch giá) Xét toán Stanley Pliska - nhà sáng lập tài đại, gồm bước δt = T , S0 = 5, Sδt nhận giá trị 3, 4, Xét phái sinh S, có hàm thu hoạch π(Sδt) Nếu ta muốn phòng hộ rủi ro với α cổ phiếu khoản khơng rủi ro β, α, β thỏa mãn:  3α + βR = π(3) 4α + βR = π(4) R = erδt =  6α + βR = π(6) (giả sử r = 0) Hệ có nghiệm π(6) − 3π(4) + 2π(3) = Ví dụ cho thấy hồn hảo mơ hình CRR liên quan đến luật phân phối δSt+δt biết Ft phân phối Nhị thức 2.5.3 Hàm P &L martingale Vẫn giả sử Ω hữu hạn, P({ω}) > với ω ∈ Ω có số hữu hạn thời điểm t ∈ T := [0 T ]δt, nδt = T , gọi S trình ngẫu nhiên S : Ω × T ›→ R, S(ω, t) =: St(ω) Mơ hình hóa thơng tin có sẵn t đại số Ft ⊆ P(Ω), cho biến ngẫu nhiên St Ft- đo (tức giá cổ phiếu t phụ thuộc vào thông tin có sẵn t), F S ⊆ Ft không thiết F S = Ft Một thị trường 51 t t gọi ba (Ω, S, F) 52 Như ta xây dựng chiến lược khả đốn q trình α = (αt)t∈[0 T ], tức αt ∈ Ft−δt với t ∈ [0 T ]δt hàm P &L S xác định Σ S P &L (α) = αsδSs, δSs = Ss − Ss−δt t s∈[0 T ] Mệnh đề 2.7 Cho (Ω, S, F) thị trường đó, P∗ xác suất Ω, kí hiệu E ∗ kì vọng P∗ Khi đó, S (P∗ , F)- martingale E∗(P < (α)) = với chiến lược F- khả đốn Chứng minh Ta S martingale.t Vì F S ⊆ Ft với t nên S F - tương thích Với t0 ∈ [0 T ]δt A ∈ Ft , ta xác định αt = αA,t0 t sau: αA,t := t I t = t + δt ≥ A 0 t ƒ= t0 + δt ≥ có nghĩa A t = t0 mua cổ phiếu bán sau t = t + δt Do αt đặc trưng t ƒ= t0 + δt Ft0 đo t = t0 + δt, α = (αt) F - khả đốn Bây ta có Σ S P T&L (α) = αtδSt = IAδSt0+δt, t∈[0 T] theo giả thiết: = E∗ (P &LS (α)) = E∗ (IAδSt T +δt ), điều với t0 ∈ [0 T ] A ∈ Ft0 bất kì, E∗ (δSt0 +δt | Ft0 ) = với t0 ∈ [0 T ] Do S martingale Ngược lại, S (P∗ , F) - martingale E∗ (δSs | Fs−δt ) = 0, s ∈ [0 T ] Gọi α chiến lược F - khả đốn, αs Fs−δt đo Áp dụng tính chất kì vọng có điều kiện điều kiện Ft−δt : Σ S ∗ E∗(P &L (α)) = E ( αsδSs) = E∗(E∗(αsδSs | Fs−δt)) T Σ s∈[0 T ] = Σ s∈[0 T ] s∈[0 T ] E∗(αsE∗(δSs | Fs−δt)) = 2.5.4 Thị trường khơng có Acbit (Khơng kinh doanh chênh lệch giá) Định nghĩa 2.7 Ta nói chiến lược F- khả đoán α chiến lược Acbit (hay Acbit) thị trường (Ω, S, F) P &LS (α) ≥ T 0, tồn ω0 ∈ Ω S cho P &L (α)(ω0) > T Nói cách khác, chiến lược Acbit chiến lược khả đoán mà ta bắt đầu khơng có tiền mà phải vay khoản αδtS0, kết thúc khơng cịn nợ với giá trị ω ∈ Ω (P &LS (α) ≥ 0), thu T lãi ω0 ∈ Ω Như đề cập, mơ hình Acbit dường khơng dễ nhận ra, ta quan tâm đến thị trường khơng có Acbit (Ω, S, F) Định lí 2.7 Một thị trường (Ω, S, F) không Acbit tồn xác suất P∗ , P∗ ({ω}) > với ω ∈ Ω bất kì, cho S = (St )t∈[0 T ] (P∗ , F)- martingale Ví dụ 2.10 Vẫn xét ví dụ Pliska, δt = T, S0 = 5, Sδt ∈ {3; 4; 6} Đặt p = P∗ {Sδt = 3}; q = P∗ {Sδt = 4}, − p − q = P∗ {Sδt = 6} Giả sử F0 = {∅, Ω}, S = (St )t∈[0 T ] (P∗ , F)- martingale |F)= 5= 0= δ ) = 3p + 4q + 6(1 − p − q) = − 3p − 2q ⇔ q = − 2p t S E∗(S δ E∗(S t Cuối cùng, S martingale 3p + 2q = P∗ {Sδt = 3} = p ∈ 3(0; ), dẫn tới q = P∗ {Sδt = 4} ∈ (0; ) − p − q = P∗ {Sδt = 6} ∈ ( ; ) Do 2 theo định lí trên, mơ hình Pliska không Acbit p3 ∈ (0; ) =: (p−; p+) Mệnh đề 2.8 Giả sử S (P∗ , F)- martingale α chiến lược Fkhả đốn Khi P &L(α) (P∗ , F)- martingale 2.5.5 Sự tồn P∗ Bổ đề 2.2 Nếu tồn xác suất P∗ cho S (P∗, F)- martingale thị trường (Ω, S, F) hữu hạn khơng Acbit Chứng minh Đặt α = (αt) chiến lược F khả đốn, theo mệnh đề P &L(α) (P∗ , F) martingale Do P &L0 (α) = E∗ (P < (α) | F0 ), theo định nghĩa, P &L0(α) = 0, E∗(P < (α)) = E∗(E(P < (α)) | F0) = E∗(P &L0(α)) = E∗(0) = Do α khơng ac-bit Ta chứng minh chiều nghịch bổ đề Giả sử thị trường (Ω, S, F) ac-bit, ta cần xây dựng xác suất P∗ mà xác suất giả thiết mệnh đề 2.3 đúng, tức kì vọng E∗(P < (α)) hàm cuối chiến lược khả đốn Nhắc lại định lí tách Haln - Banach: Cho H ⊆ Rd không gian đầy đủ Rd Γ ∩ Γ = ∅ tồn ánh xạ tuyến tính Λ : Rd → R cho Λ(h) = với h ∈ H Λ(γ) > với γ ∈ Γ Áp dụng định lí tách cho trường hợp Rd = RΩ, không gian hữu hạn chiều tất biến ngẫu nhiên Ω, xét hai tập con: Σ H := {P < (α) | α F khả đoán } Γ := {X ∈ (R+)Ω | ω∈Ω X(ω) = 1} Rõ ràng H, K thỏa mãn điều kiện định lí tách, đặc biệt thị trường (Ω, S, F) khơng có ac-bit cho ta điều kiện H ∩ Γ = ∅ Gọi Λ : RΩ → R ánh xạ tuyến tính tách tương ứng, xác định λω, ω ∈ Ω cho với X ∈ Rd bất kì,Σ Λ(X) = ω∈Ω λ ω X(ω) (tọa độ Λ sở không gian dạng tuyến tính RΩ gồm phép chiếu: X ›→ X(ω), ω ∈ Ω) Σ Ta kiểm tra P∗ xác định P∗(ω) = p|Λ| λω , với Λ| := λω Thật ω = ω∈ Ω vậy, xét ω0 ∈ Ω, biến ngẫu nhiên I{ω0} ∈ Γ thỏa mãn < Λ(I{ω0}) = λω0 , Σ pω > ∀ω ∈ Ω ω∈Ω pω = Điều định nghĩa xác suất P∗ cho P∗({ω}) > với ω ∈ Ω có Σ E∗(X) = p∗ X(ω) = Λ(X), ω ω∈Ω |Λ| Vì E∗(P < (α)) = với chiến lược α khả đốn P < (α) ∈ H⊆ Ker(Λ), theo mệnh đề (2.7) S (P∗ , F) martingale Kết luận Luận văn giải cơng việc là: • Trình bày lí thuyết phân tích định giá tài sản tài có chứa đựng yếu tố ngẫu nhiên • Chỉ mối liên hệ trường hợp thời gian rời rạc liên tục mô hình định giá quyền chọn • Cung cấp nhiều tốn áp dụng thực tế định giá phịng hộ tài sản tài Tuy nhiên thời gian thực khơng nhiều kiến thức cịn hạn chế, luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót, em mong nhận góp ý thầy bạn đọc để luận văn hoàn chỉnh Tài liệu tham khảo [1] Trần Trọng Nguyên (2010) Bài giảng tốn tài [2] Trần Hùng Thao (2009) Nhập mơn tốn tài chính, NXB Khoa học kĩ thuật [3] Hồng Đình Tuấn (2011) Mơ hình phân tích định giá tài sản tài chính, tập 1, NXB Khoa học kĩ thuật [4] Hồng Đình Tuấn (2011) Mơ hình phân tích định giá tài sản tài chính, tập 2, NXB Khoa học kĩ thuật [5] Marc, Francine Diener (2007) Discrete stochastic models for finance [6] Francine Diener (2009) Continuous time models in Finance and Stochastic calculas [7] P.J.C Spreij (2012) Introduction to stochastic finance in continuous time ... trình bày số kiến thức chuẩn bị cần thiết, bao gồm q trình ngẫu nhiên, tích phân ngẫu nhiên, khái niệm thị trường tài cấu trúc • Chương chương chính, trình bày số mơ hình ngẫu nhiên tài chính, bao... 12 Một số mơ hình ngẫu nhiên tài 13 2.1 Mơ hình định giá trái phiếu .13 2.1.1 Định giá trái phiếu với lãi suất cố định 14 2.1.2 Định giá trái phiếu với lãi suất ngẫu nhiên 17 2.2 Mô. .. luận 55 Tài liệu tham khảo 56 Lời mở đầu Hiện nay, mô hình ngẫu nhiên trở thành đối tượng nghiên cứu quan trọng lí thuyết tốn tài chính, giúp có cơng cụ để phân tích định giá tài sản tài cách