ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN ——————- Nguyen Viet Đai HÀM RIÊNG CÚA TOÁN TÚ STURM-LIOUVILLE TRÊN KHOÁNG HUU HAN VÀ TRÊN KHOÁNG Vễ HAN LUắN VN THAC S H Nđi - 2019 ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN ——————- Nguyen Viet Đai HÀM RIÊNG CÚA TOÁN TÚ STURM-LIOUVILLE TRÊN KHOÁNG HUU HAN VÀ TRÊN KHOÁNG VƠ HAN Chun ngành: Tốn giãi tích Mã so: 8460101.02 LUắN VN THAC S KHOA HOC Cỏn bđ hỏng dan: TS ắng Anh Tuan H Nđi - 2019 LốI CÁM ƠN Trưác trình bày n®i dung cua khóa lu¾n, em xin bày tõ lịng biet ơn tái thay Đ¾ng Anh Tuan Thay t¾n tình hưáng dan đe em có the hồn thành lu¾n văn Thay khơng chi hưáng dan em ve m¾t chun mơn tốn, thay cịn day em nhieu đieu cu®c song Nhung lài day bão cua thay giúp em nhìn ve MQI chuy¾n, giúp em vưat nhung khúc mac, nhung yeu đuoi ve m¾t tâm lý mà tưãng chùng không the vưat qua đưac Em xin lői thay nhieu yeu đuoi muon bõ cu®c, em ngat MQI liên lac vái thay, neu thay không bao dung van ln quan tâm đen em em không the tiep tnc đưac Em xin bày tõ lịng biet ơn chân thành tái tồn the thay giáo khoa Tốn - Cơ - Tin HQC, Đai HQC Khoa HQC Tn Nhiên, Đai HQC Quoc Gia H Nđi ó day bóo em tắn tỡnh suot q trình HQC t¾p tai khoa Nhân d%p em xin cám ơn tái ơng n®i , ông bà ngoai, bo me c¾u ma cua em nhung ngưài thương yêu , quan tâm che chã cho em Ngoài em xin cãm ơn trung tâm anh ngu ViViAn t¾n tình chi day cho em đe thi đưac bang tieng anh B1 Em xin cãm ơn anh Đő Duy Hieu nh¾n em vào làm ã trung tâm cua anh đe có tien trang trãi cu®c song suot thài gian ã Hà N®i, em xin lői bõ mà khơng nói lài Em xin cãm ơn Vi¾n Tốn kí hap đong vái em tháng, neu khơng có bãn hap đong làm đ®ng lnc đe quay lai em se khơng the vưat qua đưac tieng anh B1 Cuoi em xin cãm ơn ban Tô Th% Vân Anh ban Nguyen Đúc Ngà, ban Vân Anh liên lac GQI em lai HQC tieng anh chuyên ngành, ban Ngà hưáng dan em cỏc bỏc lm thu tnc bóo vắ H Nđi, ngày tháng 12 năm 2018 HQC VIÊN Nguyen Viet Đai LèI Mé ĐAU Tù đai so tuyen tính huu han chieu, cho bat k mđt ma trắn oi xúng ta đeu tìm thay m®t sã trnc chuan cua khơng gian gom tồn vectơ riêng cua ma tr¾n Khi ta có khai trien nhat v= n ∑ ( v, vk) vk k=1 vái vk vectơ riêng đưac chuan hóa cua ma tr¾n A Ngồi ta có n |(v, vk)|2 Tù lý thuyet ve chuői Fourier bat kì thúc Pythagoras |v|2 = ∑k= m®t hàm f tuan hồn chu kì 2π khã vi liên tnc R đeu có khai trien +∞ ∑ f (x) = k=− ( f , vk)vk(x) √ ∞ vk(x) = eikx / 2π hàm riêng đưac chuan hóa úng vái giá tr% riêng k2 cua tốn tu vi phân d2 − Ngồi ta có thúc Parseval thưàng dx2 xuat hi¾n ta giãi phương trình || f ||2 = ∑+∞ |( f , vk)|2 Chuői Fourier −∞ truyen nhi¾t, dao đ®ng sai dây, dao đ®ng màng mõng, bang phương pháp tách bien Sn tương tn giua van đe cua đai so tuyen tính lý thuyet phương trình đưac nhà tốn HQC thay tù rat lâu trưác Tuy nhiên D.Hilbert ngưài đau tiên h¾ thong lai nhung tương tn vi¾c làm ve lý thuyet phương trình tích phân, xem [5] Mđt cỏc ket quó cua viắc lm ny lm sinh khơng gian Hilbert l2 sau khơng gian Hilbert tőng qt Xây dnng tốn HQC CHO không gian l2 không gian Hilbert trùu tưang dan đưàng cho sn phát trien manh me ve lý thuyet phő cua toán tu tn liên hap không gian Hilbert Lý thuyet phő trùu tưang ve bãn hồn thi¾n, đ%nh lý sã cua tồn b® lý thuyet đ%nh lý khai trien phő M®t tốn tu tn liên hap khơng gian Hilbert se đưac khai trien thông qua phép chieu phő Eλ (cịn GQI HQ phő ho¾c giãi thúc đơn v%) Tuy nhiên trưàng hap toán tu cn the thơng tin ve ti¾m c¾n giá tr% riêng, hàm riêng HQ phő rat Trong lu¾n văn em ĐQC hieu trình bày chi tiet lai ket quã ve khai trien hàm riêng cua toán tu Sturm-Liouville cho hai trưàng hap khoãng huu han nua ng thang Nđi dung cua luắn gom chương 1.Chương 1: kien thúc chuan b% 2.Chương 2: khai trien khoãng huu han 3.Chương 3: khai trien nua đưàng thang N®i dung chương trình bày cơng thúc ti¾m c¾n ve giá tr% riêng hàm riêng cua toán tu Sturm-Liouville, chúng minh sn ton tai m®t dãy đem đưac giá tr% riêng bang cách khác nhau: su dnng đ%nh lý Rouche, lý thuyet dao đ®ng Sturm, phương pháp phương trình tích phân Ngồi chương có cách chúng minh khác cho đ%nh lý khai trien hàm riêng : phương pháp phương trình tích phân, phương pháp th¾ng dư Cauchy e cuoi chương chi đ%nh lý bãn , h®i tn điem cua khai trien hàm riêng Sturm-Liouville giong h®i tn điem cua chuői Fourier thơng thưàng N®i dung chương 3, xây dnng hàm phő ρ(λ) (cịn GQI đ® đo phő) tù đ%nh nghĩa bien đői Fourier tőng quát thu đưac thúc Parseval đ%nh lý khai trien ã dang tương tn chương Đong thài chương trình bày phân loai giái han điem, giái han trịn cua tốn tu SturmLiouville nhiên em chưa tìm hieu ve xuat phát điem v¾t lý cua khái ni¾m Ngồi chương trình bày bieu dien tích phân cua giãi thúc, chi rõ HQ phő Eλ cua toán tu Sturm-Liouville e cuoi chương chi ánh xa f (x) ›→ F(λ) đ¾t tương úng hàm f (x) ∈ L2(0, ∞) vái bien đői Fourier tőng quát cua F(λ) ∈ Lρ(λ (−∞, +∞) ánh xa Unitary ( song ánh bão toàn chuan) Các ket quã mnc 2.2 tham khão [7] [9], mnc 2.3 tham khão [4] [11], mnc 2.4 2.5 tham khão [4] [9], mnc 2.6 tham khão [8] [9], chương tham khão [9], HQ phő Eλ trình bày trùu tưang có the tìm ĐQC [6] ho¾c phn lnc [9] Hà N®i, ngày tháng 12 năm 2018 HQC VIÊN Nguyen Viet Đai Mnc lnc Lài má đau Kien thúc chuan b% 1.1 Tính trù m¾t 1.2 M®t so đ%nh lý cua phương trình vi phân thưàng 1.3 M®t so đ%nh lý cua giãi tích phúc 1.4 M®t so ket q ve tích phân Khai trien khoáng huu han 2.1 11 Giái thiắu v mđt so tớnh chat 11 2.2 Cơng thúc ti¾m c¾n cho giá tr% riêng hàm riêng 14 2.3 Phân bo không điem cua hàm riêng 24 2.4 Hàm Green, toán tu compact đoi xúng 30 2.5 Đ%nh lý khai trien thúc Parseval 37 2.6 Chúng minh đ%nh lý khai trien bang tích phân Cauchy 41 2.7 H®i tn điem cua khai trien hàm riêng Khai trien núa đưàng thang 57 3.1 Đang thúc Parseval vái nua đưàng thang 3.2 Giái han điem, giái han tròn 52 57 65 3.3 Bieu dien tích phân cua giãi thúc 73 3.4 79 Tính trnc giao cua khai trien Tài li¾u tham kháo 93 Chương Kien thúc chuan b% 1.1 Tính trù m¾t Ký hi¾u C[a, gianphãi cáctai hàm giáliên tr%tnc phúc, liênb.tnc khỗng mã huu hanb(]a,làb)khơng , liên tnc a trái tai Khơng gian C[a, b] có tích vơ hưáng cho bãi: ( f , g) = ∫ b f (x )g ∗(x )dx,f , g ∈ C[a, b], a ãđ%nh g∗ (x) liên hap phúc cua g(x) Cho D(L) t¾p cua C[a, b] xác bãi D(L) = {y(x) ∈ C2[a, b] : BCa(y) = BCb(y) = 0}, BCa (y) = y( a)cos(α) + yJ ( a)sin(α) = 0, BCb (y) = y(b)cos( β) + yJ (b)sin( β) = (α, β ∈ R), C(2a, [a,b)b, ]khã không giá tr% vi liên hai vi liêngian tnc cap hàm hai bên phãiphúc, tai akhã bên tráitnc taicap b Khi ta có khang đ%nh sau: Bo D(L) trù m¾t khơng gian C[a, b] vái chuan cãm sinhđe tn 1.1.1 tích vơ([2]) hưáng 1.2 M®t so đ%nh lý cua phương trình vi phân thưàng 1.2 M®t so đ%nh lý cúa phương trình vi phân thưàng Bo đe 1.2.1 (Cơng thúc Liouville) ([4]) Xét phương trình yJJ ( x ) + p( x )yJ ( x ) + q( x )y( x ) = 0, vái p(x), q(x) ∈ C[a, b] Giã su y1(x) y2(x) hai nghi¾m cua phương trình Khi đ%nh thnc W {y1 , y2 }( x ) = y1 ( x )yJ ( x ) − yJ ( x )y2 ( x ) Wronskian cua y1(x) y2(x) đưac cho bãi công thnc Liouville: W {y1 , y2 }( x ) = c.exp ∫x p(t)dtΣ ∀ x ∈ [ a, b], (1.2.1) a vái c hang so Bo 1.2.2âm, (Batliên vi phân) ([4]) Cho η(.) m®t hàmđekhơng tncthúc trênGronwall-dang [0, T] thõa mãn bat thnc vi phân η j (t) ≤ φ(t)η (t) + ψ(t), ∀t ∈ [0, T ], φ(t), ψ(t) hàm khơng âm liên tnc [0, T] Khi đó: η(t) ≤ e∫ t φ(r)dr [η(0) + ∫ 0t ψ(s)ds], ∀t ∈ [0, T] Bo đe không 1.2.3 (bat thúc Gronwall-dang tíchmãn phân) ξ(thnc t) làtích m®t hàm âm, liên tnc [0, T] thõa theo([4]) t batCho phân: ξ(t) ≤ C ∫ t 0ξ(s)ds + C , vái hang so C1, C2 ≥ Khi đó: ξ(t) ≤ C2(1 + C1teC1 t), ≤ t ≤ T Đ%nh 1.2.1 ton αtai∈duy ([9]) ) Neu q(x) m®t hàm liên tnc lý [a,(đ%nh b], váilýmői R, nhat λ ∈nghi¾m C tốn Cauchy: (1.2.2) yJJ ( x ) + (λ − q( x ))y( x ) = 0, ϕ(x0, λ) = sin(α), ϕ x( x0, λ) = −cos(α), (x0 ∈ [a, b] co đ%nh ) có nhathàm ϕ(x, λ), xcua ∈ [λ,a,tnc b]là Vỏi x co %nh [a, b] mđt hm nghiắm (x, λ) m®t ngun hàmmői chinh hình thu®c tồn m¾t phang phnc C 3.4 Tính trnc giao cua khai trien a + ∫ b |ψ(t, z)|2 dt ≤ 3G 86 Như v¾y cho b → ∞ (3.4.3) ta chúng minh đưac (3.4.2) Vái trưàng hap f (x) ∈ L2(0, ∞) bat kỳ, ta đ¾t fn(x) = f (x) neu x ∈ [0, n] fn(x) = neu x > n Khi ta có ϕ ( x , λ) z − λ Fn(λ)dρ(λ), (3.4.4) (R z E ∆ f n ) (x) = vái ∫ ∆ F n(λ) = ∫ n f (ϕ x()ϕ x,(x, λ)λ)dx z − λ F(λ)dρ(λ), Cho n → ∞ trong(3.4.4) ta thu đưac (R z E ∆ f ) (x) = ∫ ∆ Tù hồn thành chúng minh xét: (x) ∈ 0, ∞ Nhân g(xNh¾n ) sau layCho tíchgphân tù L0 (đen n)ta đưac cã hai ve cua (3.4.2) vái Gn( λ )F ( λ ) ∫ n (RzE∆ f ) ( x)g (x) dx =∫ ∆ ∫ Gn (λ) = n g (x )ϕ (x, λ)dx Cho n → ∞ ta đưac ∫ ∞ F(λ)zG− (λλ) d (Rz E∆ f ) (x) g( x)dx ρ( ) , =∫ λ ∆ (3.4.5) ∫ G ( λ) = n→ ∞ n g(x)ϕ(x, λ)dx l.i.m HQ CÁC toán tu E∆ có tính chat sau M¾nh đe 3.4.1 ([9]) Cho f , g ∈ L2(0, ∞) Khi (i) tn liên hap: (E∆ f , g) = ( f , E∆g), (ii) đơn đi¾u: neu ∆J ⊂ ∆ (E∆J f , f ) ≤ (E∆ f , f ), (iii) đay đu: (E(−∞,+∞) f , g) = ( f , g) = (iv) trnc giao: E∆ E∆J = E∆·∆J ∫ ∞ f (x) g( x)dx, 3.4 Tính trnc giao cua khai trien ∆ · ∆J giao cua ∆J vái ∆ 87 Chnng minh Nhân cã hai ve cua (3.4.1) vái g(x) sau lay tích phân theo x tù đen n ta đưac ∫ n g( x ) ∫ ∞ E ( x, t) f (t)dtΣ dx = Gn( ) ρ(λ) ∆ F( λ ) d λ ∫ 0 ∆ Cho n → ∞ ta đưac F( ) ρ( ) (3.4.6) ( E∆ f , g) = ∫∞g( x ) ∫ ∞ ∫ E∆ ( x, t) f (t)dtΣ dx λ = 0 G ( λ) d λ ∆ Tù (3.4.6) tính đoi xúng cua hàm E∆(x, t) ta thu đưac (i) Lay g = f (3.4.6) trã thành (E∆ f , f ) = ∫ F (λ)dρ(λ) ∆ Tù thúc ta thu đưac (ii) Tù (3.4.6) thúc Parseval ta thu đưac (iii) Đ¾t Eλ = E(−∞,λ) Khi đe chúng minh (iv) ta chi can chúng minh E∆ Eλ = E∆ E(−∞,λ) = E∆·(−∞,λ) Th¾t v¾y, neu ∆J = (λj , λj + ∆J ) E∆ E∆J = E∆ ,E(−∞,λJ +∆J ) − E(−∞,λJ ) , = E∆ E(−∞,λJ +∆J ) − E∆ E(−∞,λJ ) = E∆·(−∞,λJ +∆J ) − E∆·(−∞,λJ ) = E∆·[(−∞,λJ +∆J )−(−∞,λJ )] = E∆·∆J Tù (3.4.6) lay ∆ = (−∞, λ) ta đưac ∫ (Eλ f , g) = λ −∞ F( ) λ ) (λ) G(λ dρ Tù tính chat (ii) ta thu đưac hàm so λ ›→ (Eλ f , g) hàm đơn đi¾u tăng theo λ, ngồi dλ(Eλ f , g) = F(λ)G(λ)dρ(λ) Khi (3.4.5) đưac viet lai thành (R E f , g) = ∫ ∞ ( R E − − 3.4 Tính trnc giao cua khai trien dλ(E(−∞,λ)·∆ f , f) dλ(∫E∞ λ f , g) = g) (x) 88 g (x) dx =∫ z ∆ z ∆ ∆ λ z− ∞ z λ (3.4.7) M¾t khác (3.3.12) thay f bang E∆ f ta đưac ∫ ∞ (Rz E∆ f ) (x)g (x)dx = dλ(E(−∞,λ)E∆ f , g ) z−λ ∫ (3.4.8) ∞ −∞ Tù (3.4.7) (3.4.8) tính nhat cua đ® đo Stieltjes ta đưac (E(−∞,λ)·∆ f , g) − (E(−∞,λ) E∆ f , g) = c Lay λ = +∞, tù tính đay đu ta đưac c = Do f , g ∈ L2(0, ∞) bat kỳ nên E(−∞,λ)·∆ = E(−∞,λ) E∆ Bo đe 3.4.5 ([9]) Cho E∆(x, t) = ∫ ∫∞ E∆ ( x, u) E∆J (u, t)du = ∫ ∆·∆ ∆ J ϕ(x, λ)ϕ(t, λ)dρ(λ) Khi ϕ( x, λ) ϕ(t, λ)dρ(λ) = E∆·∆J ( x, t) (3.4.9) Chnng minh Cho x co đ%nh thu®c (0, ∞), vái MQI f (t) ∈ L2 (0, ∞) ta có: ∞ ∫ ∫ ∞ ∫ E ( x, u ) E J ( u, f ( t ) dt E∆J (u, t) f (t)dtΣ du E∆(x, ∞ ∫ ∞ ∆ ∆ t)duΣ u) = 0 ∫∞ = E∆(x, E∆J f (u)dt ∫ Σ u) Do E∆· J ( x, t) ∆ ∫ ∞ E ∆ E ∆ J f ( x) Σ = Σ ∞ = E∆·∆J f ( x ) = E∆·∆J ( x, t) f (t)dt E∆ ( x, u∆) E J (u, t)du hàm liên0 tnc theo t thúc xãy vái MQI f (t) ∈ L ∫ ∞ (0, ∞) nên vái MQI t ∈ (0, ∞) ta có: E∆ ( x, u) E∆J (u, t)du = E∆·∆J ( x, t) ta đưac đieu phãi chúng minh Do x lay bat kỳ nên ∫ Bo đe 3.4.6 ([9]) Cho E∆(x) = ∆ ϕ(x, λ)dρ(λ) F∆(λ) bien đői Fourier cua E∆(x) Khi vái hau khap nơi λ (theo đ® đo ρ(λ)) ta có: F∆(λ) = neu λ ∈ ∆ F∆ (λ) = neu λ ∈/ ∆ Chnng minh Xét trưàng hap sin(α) ƒ= Lay x = t = (3.4.9) ta đưac ∫∞ ∫ ∆·∆ E∆ (t) E∆J (t)dt = J ρ (λ ) (3.4.10) Vái hap(3.4.9) sin(αtheo ) = x, ta thut đưac cáchtrưàng đao hàm t roi layvan x= = 0.đang thúc bang Chia cã hai ve cua (3.4.10) ∫ ∞ cho ρ(λj ) ta đưac ∫ 1 E∆ (t) E∆J (t)dt = ρ(λ) J J ∆·∆ ρ (∆ ) J Cho →còn tùvebőphãi đe 3.4.4 ve trái cuaλđang trên0 tien F∆ (λ khap∆nơi, tien tái neu ∈ ∆, thúc tien tái neutái λ ƒ= ∆.) hau ϕ(x, λ) Green G(x,t,z) Bo đe 3.4.7 ([9]) Vái mői x co đ%nh, mői z không thnc bien đői Fourier cua hàm z−λ Chnng minh Tù bieu dien tích phân cua giãi thúc ta có ∫ ∞ G(x, t, (t)dt = ∫ z)E ∞ ϕ(x, λ) ) d ( ) F ( ∆ ∆ z− λ −∞ λ ρ λ Su dnng bő đe 3.4.6 thúc viet lai thành ∫ ∞ G(x, t, (t)dt = z)E ∫ ∆ ρ(∆) ta đưac Chia hai ve cho z)E ∫ ∞ G(x, t, ρ(∆) ϕ(x, λ) z −λ ρλ ∆ (t)dt = ∫ ϕ(x, λ) ∆ ∆ d ( ) z− λ d ρ (λ) (∆) ve trái cua thúc tien tái bien Cho ∆ tien ve 0, su dnng bő đe ρ 3.4.4 ϕ ( x , λ) đői Fourier cua hàm Green G(x,t,z), ve phãi tien tái , tù ta đưac z−λ đieu phãi chúng minh Bây già ta quay lai chúng minh đ%nh lý cua mnc Đ%nh lý 3.4.2 ([9]) Cho ρ(λ) xây dnng đ%nh lý 3.1.1 Khi vái bat kỳ hàm F(λ) ∈ Lρ(λ (−∞, +∞) ton tai m®t hàm f (x) ∈ L2(0, ∞) cho ∫N f (x ) = l.i.m thõa mãn thnc Parseval: N→ ∞ −N F(λ)ϕ(x, λ)dρ(λ) ∫ ∫ +∞ −∞ F ( λ)d ρ(λ) = ∞ f (x )dx Chnng minh tiên ta xem xét FN (λ) m®t hàm liên tnc, có giá nam [− N, NĐau ] Ta đ¾t gN (x) =∫ N −N FN (λ)ϕ(x, λ)dρ(λ) Ta se chúng minh rang ∫∞ g2N(x)dx ≤ ∞ (3.4.11) Cho λ0 = − N, λ1, λ2, , λn = N m®t phân hoach cua khỗng (−N, N), cho ξi ∈ [λi−1, λi] Ta đ¾t N gn ( n x) = ∫ λi λi− FN ∑ ϕ(x λ) ρ(λ) i= (ξi) , d Nn Neu max(λi − λi−1) → g (x) → gN (x)(n → ∞) đeu theo x mői đoan huu han Tù bő đe 3.4.5 ta có n N ∫ ∞ ∫λ (3.4.12) ∫ i = { FN gn x) dx ∑ F2(ξi) λi− dρ(λ) ρ(λ n N i= ( } −N ( λ) d → ) Cho a > m®t so co đ%nh Tù (3.4.12) ton tai m®t so K cho vái MQI n ta có Cho → ta thu đưac minhn(3.4.11) ∫ ∫ a {gnN (x)} dx ≤ K (3.4.13) a 0{gN (x)} dx ≤ K Vì a bat kỳ nên ta chúng Tiep theo ta se chúng minh bien đői Fourier cua hàm gN (x) trùng vái FN (λ) hau khap nơi (theo đ® đo ρ(λ)) Tù (3.4.10) ta đưac ρλ N ξ (x)dx = i ∑ Fi ( ) ∆· i d ( ) ∆ N gn ∫∞ ∆ (x)E (3.4.14) ∫ Cho n → ∞, đong nghĩa vái max ∆i → Tù vi¾c E∆(x) ∈ L2(0, ∞) (3.4.13) ta có the tien qua giái han dưái dau tích phân (3.4.14) đe thu đưac ∫∞ gN (x)E∆ (x)dx = FN (λ ) (3.4.15) ∫ (λ)dρ ∆ cho ∆ → tù bő đe 3.4.4 ve trái tien tái Chia cã hai ve cho ρ ( ∆ ) , sau bien đői Fourier cua gN (x) hau khap nơi (theo đ® đo ρ(λ) ) ve phãi tien tái FN (λ) Su dnng thúc Parseval ta đưac ∫ ∞ g ( x)dx = ∫ +∞ F ( −∞ N N )d ( ) λ ρ λ (3.4.16) Bây già, cho F(λ) ∈ Lρ(λ (−∞, +∞) bat kỳ, ta có the tìm đưac dãy hàm liên tnc FN (λ) có giá nam [−N, N] h®i tn bình phương trung bình tái F(λ) Cho ∫ gN (x) = N F (λ)ϕ(x, λ)dρ(λ) −N N Tù (3.4.16) vái N J > N ta có ∫ ∞ Σ2 gNJ (x) − gN ∫ ∞ dx − ∞ (x) Σ2 FN J (λ) − FN dρ(λ) (λ ) Do gN (x) phãi h®i tn bình phương trung bình tái m®t hàm f (x) ta có Parseval ∫ ∞ f 2(x)dx = ∫ +∞ F2( )d ( ) λ ρλ −∞ Cuoi ta can chúng minh ∫ fN (x) = N −N F(λ)ϕ(x, λ)dρ(λ) h®i tn bình phương trung bình tái f (x) Cho H(λ) ∈ L2ρ(λ (−∞, +∞) h(x) đưac xây dnng tù H(λ) giong f (x) xây dnng tù F(λ) Khi ta có 2 ∫ ∞ { f (x) − h(x)} dx = ∫ +∞ {F( ) − H( )} d ( ) λ ρ λ λ −∞ Cho H(λ) = F(λ) vái −N ≤ λ ≤ N H(λ) = neu |λ| > N Ta thay rang ∫} { f (x) − ∫∞ N ( x) dx = −N F 2( λ ) d f ∫ ρ( ) + ∞ F2( ) d − ∞ N ρ(λ) λ λ Cho N → ∞ ta đưac fN (x) h®i tn bình phương trung bình tái f (x) K€T LU¾N Khóa lu¾n khơng đưa đưac ket quã mái, n®i dung cua khóa lu¾n chi gom ĐQC hieu trình bày chi tiet lai ket quã ve khai trien hàm riêng cua toán tu Sturm-Liouville đoan huu han nua đưàng thang Khóa lu¾n đưac trình bày vái chương e chương kien thúc chuan b% phnc cho chúng minh ã chương chương e chương trình bày cơng thúc ti¾m c¾n ve giá tr% riêng hàm riêng cua toán tu Sturm-Liouville, chúng minh sn ton tai m®t dãy đem đưac giá tr% riêng bang cách khác nhau: su dnng đ%nh lý Rouche (xem đ %nh lý 2.2.1), lý thuyet dao đ®ng Sturm (xem đ%nh lý 2.3.3), phương pháp phương trình tích phân ( xem bő đe 2.4.1 chúng minh sn ton tai dãy đem đưac giá tr% riêng cua giãi thúc ) Ngoài chương có cách chúng minh khác cho đ%nh lý khai trien hàm riêng : phương pháp phương trình tích phân ( xem đ%nh lý 2.5.2), phương pháp th¾ng dư Cauchy (xem đ%nh lý 2.6.2 đ%nh lý 2.6.3) e cuoi chương chi đ%nh lý bãn , h®i tn điem cua khai trien hàm riêng Sturm-Liouville giong h®i tn điem cua chuői e xây dnng hàm phőđ%nh ρ(λlý ) (cịn đ® đoxét phő) tù đ %nhchương Fourier3,thơng thưàng ( xem 2.7.1 GQI nh¾n ã cuoi mnc 2.7 ) nghĩa bien đői Fourier tőng quát thu đưac thúc Parseval đ %nh lý khai trien ã dang tương tn chương (xem đ%nh lý 3.1.1, đ%nh lý 3.1.3 đ %nh lý 3.3.4 ) Đong thài chương trình bày phân loai giái han điem, giái han trịn cua tốn tu Sturm-Liouville nhiên em chưa tìm hieu ve xuat phát điem v¾t lý cua khái ni¾m Ngồi chương trình bày bieu dien tích phân cua giãi thúc (xem đ%nh lý 3.3.3), chi rõ HQ phő Eλ cua toán tu Sturm- Liouville ( xem bő đe 3.4.3 m¾nh đe 3.4.1) e cuoi chương chi ánh xa f (x) ›→ F(λ) đ¾t tương úng hàm f (x) ∈ L2(0, ∞) bien đői Fourier tőng quát cua F(λ) ∈ Lρ(λ (−∞, +∞) ánh xa Unitary ( song ánh bão toàn chuan) M¾c dù co gang, nhiên lu¾n văn khơng tránh khõi nhung sai sót, rat mong nh¾n đưac sn góp ý cua q thay ban ĐQC Tài li¾u tham kháo [1]Apostol T.M (1974), Mathematical analysis, 2nd, Pearson [2]Al-Gwaiz M.A (2008), Sturm-Liouville and its applications, Springer [3]Brown J.W and Churchill R.V (2013), Complex variables and applications, 9th, McGraw-Hill [4]Coddington E.A and Levinson N (1955), Theory of ordinary differen- tial equations, McGraw-Hill [5]Courant R and Hilbert D (1989), Methods of mathematical physics, vol I, Wiley-VCH [6]EidelmanY., Milman V and Tsolomitis A (2004), Functional analysis an introduction, AMS [7]Freiling G and Yurko V (2001), Inverse Sturm-Liouville problems and their applications, Nova Science [8]Folland G.B (1992), Fourier analysis and its applications, Wadsworth Brooks/ cole [9]Levitan B.M and Sargsjan I.S (1975), Introduction to spectral theory: selfadjoint ordinary differential operators, AMS [10]Levitan B.M and Sargsjan I.S (1991), Sturm-Liouville and Dirac oper- ators, Springer [11]Lebovitz N (2019), Ordinary differential equations, Cengage Learning [12]Stein E and Shakarchi R (2005), Real analysis, Princeton university press TÀI LI›U THAM KHÃO 94 [13]Teschl G (2012), Ordinary differential equations and Dynamical systems, AMS [14]Teschl G (2014), Mathematical methods in quantum mechanics with applications to Schrodinger operators, 2nd, AMS [15]Titchmarsh E.C (1950), Eigenfunction expansions associated with second-order differential equations part I, Clarendon Oxford ... đưac m®t dãy giá tr% riêng tăng vô cua toán tu SturmLiouville 2.4 Hàm Green, toán tú compact đoi xúng e mnc trưác, ta chúng minh sn ton tai giá tr% riêng cua toán tu Sturm- Liouville bang đ%nh... [ a, b] Do hàm ψ( x, λ0 ) ϕ( x, λ0 ) hàm riêng úng vái giá tr% riêng λ0 hàm riêng tương úng vái λ0 Khi BCa (y0 ) = BCb (y0 ) = Ngưac lai, cho λ0 m®t giá tr% riêng cua tốn tu SturmLiouville,... trưàng hap toán tu cn the thơng tin ve ti¾m c¾n giá tr% riêng, hàm riêng HQ phő rat Trong lu¾n văn em ĐQC hieu trình bày chi tiet lai ket quã ve khai trien hàm riêng cua toán tu Sturm- Liouville