ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HOC CAO VĂN HỊA HÀM GREEN CUA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN LUắN VN THAC S TON HOC H Nđi - Nm 2016 ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HOC CAO VĂN HỊA HÀM GREEN CUA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN LU¾N VĂN THAC SĨ TỐN HOC Chun ngành: TỐN GIAI TÍCH Mã so : 60 46 01 02 NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC TS LÊ HUY TIEN Lài cam ơn Lu¾n văn đưoc hồn thành dưói sn hưóng dan nhi¾t tình cna TS Lê Huy Tien Thay dành nhieu thịi gian hưóng dan giai đáp thac mac cna tơi suot q trình làm lu¾n văn Tơi muon bày to lịng biet ơn sâu sac đen thay Qua đây, tơi xin gui tói q thay Khoa Tốn - Cơ - Tin HQc, Trưịng Đai HQc Khoa HQc Tn nhiên, Đai HQc Quoc gia Hà N®i, thay tham gia giang day khóa cao HQc 2013 - 2015, lịi cam ơn sâu sac nhat đoi vói cơng lao day suot q trình HQc t¾p cna tơi tai Trưịng Tơi xin gui lịi cam ơn sâu sac tói Ban giám hi¾u Trưịng Cao Dưoc Phú THQ tao đieu ki¾n thu¾n loi đe tơi tiep tuc HQc nõng cao trỡnh đ e hon thnh oc chng trình đào tao hồn thi¾n lu¾n văn này, thịi gian vùa qua tơi nh¾n đưoc rat nhieu sn giúp đõ q báu cna gia đình, thay ban bè Đ¾c bi¾t, tơi xin gui lịi cam ơn tói ban Lê Đúc Nhiên giúp đõ tơi rat nhieu vi¾c l¾p trình vói phan mem Maple Nhân d%p này, tơi xin đưoc gui lịi cam ơn tói thay thành viên nhúm Semina Hắ đng lnc cna TS Lờ Huy Tien Hà N®i, ngày 08 tháng 05 năm 2016 HQc viên Cao Văn Hòa Mnc lnc Ma đau Hàm Green cua phương trình vi phân 1.1 Ví du cho hàm Green 1.2 Đ%nh nghĩa hàm Green 12 1.3 Sn ton tai tính nhat cna hàm Green 13 Cơng thÉc hàm Green cho phương trình vi phân h¾ so hang 21 2.1 Hàm Green cho phương trình vi phân h¾ so hang .21 2.2 Trưịng hop tuan hoàn 27 2.3 Su dung Maple tính hàm Green 28 2.3.1 Cơng thúc hàm Green cho tốn biên cap 30 2.3.2 Công thúc hàm Green cho tốn biên cap 35 Ket lu¾n 40 Tài li¾u tham khao 41 Ma đau Trong giai tích, lý thuyet ve phương trình vi phân chiem m®t v% trí rat quan TRQNG Vói lý thuyet đó, chun ngành giai tích ngày cuon hút nhieu ngưịi sâu vào tìm hieu nghiên cúu M®t toán đưoc xét đen toán giá tr% biên tuyen tính tai hai điem cnc a, b Chúng ta biet rang, sn ton tai nghi¾m cna tốn nói chung khơng đưoc đam bao Vì v¾y, vi¾c phát trien cơng cu đam bao sn ton tai nhat nghi¾m, nua tính tốn xác bieu thúc nghi¾m cna tốn giá tr % biên tuyen tính hai điem rat quan TRQNG Có m®t so phương pháp đe giai tốn giá tr% biên như: phương pháp khai trien chuoi, bien đői Laplace, , theo phương pháp phù hop nhat tính tốn hàm Green: nói chung, neu tốn Lu = σ vói −1 tốn tu tuyen tính liên ket làphân kha vàđưoc tốn tu ngh%ch đaoσL= σ0 đưoc đieu ki¾n biên thuan nhat, ngh%ch nhat nghi¾m tam , đó, đ¾c trưng boi hat nhân tíchcó G(t, s), GQI thưịng hàm Green Khi nghi¾m cna tốn Lu = σ đưoc cho boi ∫b σ(t) : G(t, s)σ(s)ds, t ∈ [a, b] U (t) = a = L−1 Lý thuyet hàm Green cơng cu ban phân tích phương trình vi phân Ưu điem cna hàm Green đc lắp vúi hm Vúi moi , e thu đưoc nghi¾m xác, chi can tính tích phân tương úng mà khơng can phát trien m®t tính tốn mói Tuy nhiên, bieu thúc chi tiet cna hàm Green nói chung rat phúc tap, vi¾c tính tốn đưoc thnc hi¾n theo ky thu¾t khó Đây lý chớnh m nđi dung cna luắn ngoi viắc trình bày lai báo [5] đưa m®t so ví du ve hàm Green, cịn bưóc đau su dung phan mem Maple đe tính hàm Green m®t so trưịng hop Ngồi phan mo đau, ket lu¾n tài li¾u tham khao, lu¾n văn gom chương: Chương 1: Hàm Green cua phương trình vi phân Trong chương này, chúng tơi trình bày m®t so ví du ve hàm Green cho phương trình vi phân cap m®t phương trình vi phân cap hai Sau đó, chúng tơi trình bày đ%nh nghĩa, sn ton tai tính nhat cna hàm Green đoi vói phương trình vi phân tuyen tính cap n đieu ki¾n biên tuyen tính Chương 2: Cơng thÉc hàm Green cho phương trình vi phân h¾ so hang Muc đích cna chương xây dnng cơng thúc tính hàm Green cho phương trình vi phân tuyen tính h¾ so hang, su dung phan mem Maple đe tính hàm Green m®t so trưịng hop Chương Hàm Green cua phương trình vi phân Trong chương này, chúng tơi trình bày m®t so ví du ve hàm Green cho phương trình vi phân cap m®t phương trình vi phân cap hai Sau đó, chúng tơi trình bày đ%nh nghĩa, sn ton tai tính nhat cna hàm Green đoi vói phương trình vi phân tuyen tính cap n đieu ki¾n biên tuyen tính 1.1 Ví dn cho hàm Green Ví dn 1.1 Cho m ∈ R, f m®t hàm liên tnc, xét phương trình: uJ (t) + mu(t) = f (t), t ∈ [0, 1] vái đieu ki¾n biên : u(0) − u(1) = Trưóc tiên, ta tìm nghi¾m cna phương trình (1.1) Nhân hai ve cna phương trình (1.1) vói emt ta có emt uJ (t) + memt u(t) = emt f (t) Σ d mt e u(t) = emt f (t), t ∈ [0, 1] d t Tích phân hai ve, ta có ∫t e u(t) − u(0) = emsf (s)ds, t ∈ [0, 1] mt (1.1)  u(t) = e−mt ms  , t ∈ [0, 1] ∫t e f (s)ds u(t  u(0) + ) =− e−m(t−s)f (s)ds emt u (0 ∫t ) + ∫ Thay vào đieu ki¾n biên u(0) − u(1) = , ta có: u u( )0) + − ( e e f (s)ds) = − m( −s ) − ∫ m (1 − e−m ) Do vói m ƒ= e f (s)ds − m( −s ) u(0 )= u(0) = ∫ e−m f (s)ds (1−s ) − e−m Thay vào bieu thúc cna u(t) ta đưoc f (s)ds + = −m(t ∫ 1e u ( t +1−s) ) t − − m(t s) e ∫ f (s) ds − e−m u f (1 −m e (s) t ds − =1−m ∫ (t+1 + e ∫0 ∫ e −χ(0,t)f m ( t − s ) −s) (s)ds u G(t, s)f (s)ds ( ) =0 tron g e −m(t−s) G −m(t+1−s) + e < s < t < t, s 1−e−m = e0−m(t+1−s) < t < s, < , vói vói 1−e−m Khi m = 0, đieu ki¾n f0.(s)ds = đe phương trình có nghi¾m Xu(1)Σ = ∈ CĐ¾t ([0, 1]).u, u(0) = Xét toán tu Bài toán đưa Ví du 1.1 có cách khác nhưnhìn sau: L : X → C([0, 1]) ∫ Khi u đưac cho bái bieu thúc u(t) = ∫b G(t, s)σ(s)ds + a n− ri(t)µi i= Σ rj ∈ C∞(R), j = 0, , n − 1, nghi¾m nhat cua tốn Lnz(t) = 0, t ∈ R, (2.7) z(i)(a) − z(i)(b) = 0, i = 0, , n − 1; i ƒ= j, (2.8) (2.9) z(j)(a) − z(j)(b) = G(t, s)  = Hơn nua, vói i =  (a + t − s), neu a ≤ st ≤ st ≤ b n−1(b rb.n−1  n − 2, ta có bieu thúc sau : (j−i−1) an−jr (t), t ∈ I n− ri(t) = r(n−1−i)(t) + (2.10) n−i− j=1 Σ n− Rõ ràng bieu thúc cho bő đe đơn gian tính tốn thúc rn−1trưóc thơng Trong qua viắc giai hop mđttuan hắ phng tuyen trỡnh cna by hàm o phan trưịng hồn, tatrình chi can tìmtính bieu 2.3 SE dnng Maple tính hàm Green Trong muc này, ta trình bày lai thu¾t tốn tính hàm Green cho tốn (SHc) bang Maple vói cap cap dna công thúc đưoc xây dnng o muc 2.1 Đe làm đieu đó, trưóc tiên ta can tìm r nghi¾m nhat cna phương trình (2.1) Sau ta bieu dien hàm yk theo cơng thúc (1.44) Tiep tìm hàm dk bang cách giai h¾ phương trình (2.6) Tù vi¾c phương trình (2.6) có nhat nghiắm, nh l mđt hắ qua, ta cng thu đưoc nhat hàm Green G(t, s) cho toán (SHc), neu khơng phương trình khơng ton tai hàm Green Hình (2.1) sơ đo khoi cho thu¾t tốn maple Hình 2.1: 2.3.1 Cơng thÉc hàm Green cho toán biên cap Phan code làm theo bưóc đưoc chi dưói Các gói l¾nh > restart; > with(DEtools): with(linalg): with(plots): Input 1: H¾ so cua phương trình > c := array([1, 0, 81]); # c[1] = c := [1, 0, 81] > eq := c[1]*(diff(x(t), t, t))+c[2]*(diff(x(t), t))+c[3]*x(t) = 0; eq := d2 Input 2: Đieu ki¾n biên dt2 x (t) + 81 x (t) = > a := 0; #a=0 aab := 1; aacondition[1] := array([1, 0, 0, 0]); aacondition[2] := array([0, 0, 1, 0]); a := b := condition1 := [1 0 0] condition2 := [1 0] Phát bieu toán > problem:=proc() aaprint(" Find the Green function of the problem ") aaprint("Let equation: ", eq) aaprint("with the first bounded condition: ", condition[1] [1]*x(a) aa+condition[1][2]*(D(x))(a)+condition[1][3]*x(b)+ aacondition[1][4]*(D(x))(b) = 0) aaprint("with the second bounded condition: ", condition[2][1]*x(a)+ aacondition[2][2]*(D(x))(a)+condition[2][3]*x(b)+ aacondition[2] [4]*(D(x))(b) = 0) aaend: aaproblem(); Find the Green function of the problem Let equation: d x (t) + 81 x (t) = dt2 with the first bounded condition: x(0) = with the second bounded condition: x(1) = Thu tnc tìm hàm Green cho toán > dk := x(0) = 0, (D(x))(0) = 1: aasolution := dsolve(eq, dk, x(t)); aasolutions := subs(t = t-s, solution): aay[0] := subs(t = t-a, diff(solution, t))+c[2]*subs(t = t-a, solution): aay[1] := solution: aaU[1, 0] := condition[1][1]*op(2, subs(t = a, y[0]))+ aacondition[1][2]*op(2, subs(t = a, diff(y[0], t)))+condition[1][3] aa*op(2, subs(t = b, y[0]))+condition[1][4]*op(2, subs(t = b, diff(y[0], t))): aaU[1, 1] := condition[1][1]*op(2, subs(t = a, y[1]))+ aacondition[1][2]*op(2, subs(t = a, diff(y[1], t)))+condition[1][3]*op(2, aasubs(t = a, diff(y[1], t)))+condition[1][3]*op(2, subs(t = b, y[1]))+ aacondition[1][4]*op(2, subs(t = b, diff(y[1], t))): aaU[2, 0] := condition[2][1]*op(2, subs(t = a, y[0])) aa+condition[2] [2]*op(2, subs(t = a, diff(y[0], t)))+condition[2][3]* aaop(2, subs(t = b, y[0]))+condition[2][4]*op(2, subs(t = b, diff(y[0], t))): aaU[2, 1] := condition[2][1]*op(2, subs(t = a, y[1]))+condition[2][2]* aaop(2, subs(t = a, diff(y[1], t)))+condition[2][3]*op(2, subs(t = b, y[1])) aa+condition[2][4]*op(2, subs(t = b, diff(y[1], t))): aaA := Matrix([[U[1, 0], U[1, 1]], [U[2, 0], U[2, 1]]]): aav := [condition[1][3]*op(2, subs(t = b-s, solution))+condition[1][4]* aaop(2, subs(t = b-s, diff(solution, t))), condition[2][3]*op(2, subs aa(t = b-s, solution))+condition[2][4]*op(2, subs(t = b-s, diff(solution, t)))]: aaif det(A) ƒ= aathen d:=evalm(A−1&*v): aafi: Output: Hàm Green đo th% > if det(A) ƒ= aathen print("The solution is unique and the Green’s function is given by: "); aaG := proc (t, s) options operator, arrow; piecewise(a a := 0; #a=0 aab := 3; aacondition[1] := array([1, 0, 0, 0]); aacondition[2] a := b := 3:= array([0, 0, 0, 2]); condition1 := [1 0 0] condition2 := [0 0 2] Output: Hàm Green đo th% Hình 2.4: 2.3.2 Cơng thÉc hàm Green cho tốn biên cap Dưói phan code cho tốn biên cap Các gói l¾nh > restart; > with(DEtools): with(linalg): with(plots): Input 1: H¾ so cua phương trình > c := array([1, 3, 3, 1]) # c[1] = c := [1, 3, 3, 1] > eq := c[1]*diff(x(t),t$3)+c[2]*diff(x(t), t$2)+c[3]*(diff(x(t), t))+c[4]*x(t) = eq := d3 d2 d x (t) + x (t) + x (t) + x (t) = dt3 dt dt Input 2: Đieu ki¾n biên > a := 0; #a=0 aab := 1; aacondition[1] := array([1, 0, 0, 0, 0, 0]); aacondition[2] := array([0, 0, 0, 1, 0, 0]); aacondition[3] := array([0, 0, 0, 0, 1, 0]); a := b := condition1 := [1, 0, 0, 0, 0, 0] condition2 := [0, 0, 0, 1, 0, 0] condition3 := [0, 0, 0, 0, 1, 0] Phát bieu toán > problem:=proc() aaprint(" Find the Green function of the problem ") aaprint("Let equation: ", eq) aaprint("with the first bounded condition: ", condition[1][1]*x(a)+ aacondition[1][2]*(D(x))(a)+condition[1][3]*((D@@2)(x))(a)+condition[1][4]* aa*x(b)+condition[1][5]*(D(x))(b)+condition[1][6]*((D@@2)(x))(b) = 0); aaprint("with the second bounded condition: ", condition[2][1]*x(a)+ aacondition[2][2]*(D(x))(a)+condition[2][3]*((D@@2)(x))(a)+condition[2][4] aa*x(b)+condition[2][5]*(D(x))(b)+condition[2][6]*((D@@2)(x))(b) = 0); aaprint("with the third bounded condition: ", condition[3][1]*x(a)+ aacondition[3][2]*(D(x))(a)+condition[3][3]*((D@@2)(x))(a)+condition[3][4] aa*x(b)+condition[3][5]*(D(x))(b)+condition[3][6]*((D@@2)(x))(b) = 0); aaend: aaproblem(); Find the Green function of the problem d3 d2 d Let x (t) + x (t) + x (t) + x (t) = equation: dt dt = with the first boundeddtcondition: x(0) with the second bounded condition: x(1) = with the third bounded condition: D(x)(1) = Thu tnc tìm hàm Green cho tốn > dk := x(0) = 0, (D(x))(0) = 0, ((D@@2)(x))(0) = aasolution := dsolve(eq, dk, x(t)); aasolutions := subs(t = t-s, solution): aay[0] := subs(t = t-a, diff(solution,t$2))+c[3]*subs(t = t-a, solution) aa+c[2]*subs(t = t-a, diff(solution, t)); aay[1] := subs(t = t-a, diff(solution, t)); aa+c[2]*subs(t = ta, solution); aay[2] := subs(t = t-a, solution); aaU[1, 0] := condition[1][1]*op(2, subs(t = a, y[0]))+ aacondition[1][2]*op(2, subs(t = a, diff(y[0],t)))+ aacondition[1][3]*op(2, subs(t = a, diff(y[0],t$2)))+ aacondition[1][4]*op(2, subs(t = b, y[0]))+ aacondition[1][5]*op(2, subs(t = b, diff(y[0], t)))+ aacondition[1][6]*op(2, subs(t = b, diff(y[0], t$2))): aaU[1, 1] := condition[1][1]*op(2, subs(t = a, y[1]))+ aacondition[1][2]*op(2, subs(t = a, diff(y[1], t)))+ aacondition[1][3]*op(2, subs(t = a, diff(y[1], t$2)))+ aacondition[1][4]*op(2, subs(t = b, y[1]))+ aacondition[1][5]*op(2, subs(t = b, diff(y[1], t)))+ aacondition[1][6]*op(2, subs(t = b, diff(y[1],t$2))): aaU[1, 2] := condition[1][1]*op(2, subs(t = a, y[2]))+ aacondition[1][2]*op(2, subs(t = a, diff(y[2], t)))+ aacondition[1][3]*op(2, subs(t = a, diff(y[2], t$2)))+ aacondition[1][4]*op(2, subs(t = b, y[2]))+ aacondition[1][5]*op(2, subs(t = b, diff(y[2], t)))+ aacondition[1][6]*op(2, subs(t = b, diff(y[2], t$2))): aaU[2, 0] := condition[2][1]*op(2, subs(t = a, y[0]))+ aacondition[2][2]*op(2, subs(t = a, diff(y[0], t)))+ aacondition[2][3]*op(2, subs(t = a, diff(y[0], t$2)))+ aacondition[2][4]*op(2, subs(t = b, y[0]))+ aacondition[2][5]*op(2, subs(t = b, diff(y[0], t)))+ aacondition[2][6]*op(2, subs(t = b, diff(y[0], t$2))): aaU[2, 1] := condition[2][1]*op(2, subs(t = a, y[1]))+ aacondition[2][2]*op(2, subs(t = a, diff(y[1], t)))+ aacondition[2][3]*op(2, subs( t = a, diff(y[1], t$2)))+ aacondition[2][4]*op(2, subs(t = b, y[1]))+ aacondition[2][5]*op(2, subs(t = b, diff(y[1], t)))+ aacondition[2][6]*op(2, subs(t = b, diff(y[1], t$2))): aaU[2, 2] := condition[2][1]*op(2, subs(t = a, y[2]))+ aacondition[2][2]*op(2, subs(t = a, diff(y[2], t)))+ aacondition[2][3]*op(2, subs( t = a, diff(y[2], t$2)))+ aacondition[2][4]*op(2, subs(t = b, y[2]))+ aacondition[2][5]*op(2, subs(t = b, diff(y[2], t)))+ aacondition[2][6]*op(2, subs(t = b, diff(y[2], t$2))): aaU[3, 0] := condition[3][1]*op(2, subs(t = a, y[0]))+ aacondition[3][2]*op(2, subs(t = a, diff(y[0], t)))+ aacondition[3][3]*op(2, subs(t = a, diff(y[0], t$2)))+ aacondition[3][4]*op(2, subs(t = b, y[0]))+ aacondition[3][5]*op(2, subs(t = b, diff(y[0], t)))+ aacondition[3][6]*op(2, subs(t = b, diff(y[0], t$2))): aaU[3, 1] := condition[3][1]*op(2, subs(t = a, y[1]))+ aacondition[3][2]*op(2, subs(t = a, diff(y[1], t)))+ aacondition[3][3]*op(2, subs( t = a, diff(y[1], t$2)))+ aacondition[3][4]*op(2, subs(t = b, y[1]))+ aacondition[3][5]*op(2, subs(t = b, diff(y[1], t)))+ aacondition[3][6]*op(2, subs(t = b, diff(y[1], t$2))): aaU[3, 2] := condition[3][1]*op(2, subs(t = a, y[2]))+ aacondition[3][2]*op(2, subs(t = a, diff(y[2], t)))+ aacondition[3][3]*op(2, subs( t = a, diff(y[2], t$2)))+ aacondition[3][4]*op(2, subs(t = b, y[2]))+ aacondition[3][5]*op(2, subs(t = b, diff(y[2], t)))+ aacondition[3][6]*op(2, subs(t = b, diff(y[2], t$2))) aaA := Matrix([[U[1, 0], U[1, 1]], [U[2, 0], U[2, 1]]]): aav := [condition[1][3]*op(2, subs(t = b-s, solution))+condition[1][4]* aaop(2, subs(t = b-s, diff(solution, t))), condition[2][3]*op(2, subs aa(t = b-s, solution))+condition[2][4]*op(2, subs(t = b-s, diff(solution, t)))]: aaif det(A) ƒ= aathen d:=evalm(A−1&*v): aafi: Output: Hàm Green đo th% > if det(A) ƒ= aathen print("The solution is unique and the Green’s function is given by: "); aaG := proc (t, s) options operator, arrow; piecewise(a