Đang tải... (xem toàn văn)
Phương trình vi phân, đạo hàm riêng, Đưa phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2 trong …về dạng chính tắc, Các phương pháp giải phương trình đạo hàm riêng, Bài toán Sturm – Liouville, Khai triển theo hàm riêng, Fourier, Biến đổi Fourier, điều kiện biên, điều kiện đầu, toán lý nâng cao
CHƯƠNG KHÁI QUÁT VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG .8 I Ơn tập phương trình vi phân .8 1.1 Phương trình vi phân cấp 1.1.1 Phương pháp tách biến 1.1.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 11 1.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp với hệ số 12 1.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp khơng với hệ số 14 1.3.1 Phương pháp hệ số bất định 14 1.3.2 Phương pháp biến thiên hệ số Lagrange .18 1.4 Phương trình Euler 21 II Một số khái niệm phương trình đạo hàm riêng .22 III Phân loại phương trình đạo hàm riêng cấp trường hợp hai biến .24 IV Đưa phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp …về dạng tắc 26 4.1 Loại hyperbolic 27 4.2 Loại parabolic 31 4.3 Loại elliptic 33 V Nghiện phương trình đạo hàm riêng 36 VI Các điều kiện biên điều kiện đầu 40 VII Các phương pháp giải phương trình đạo hàm riêng 41 VIII Bài toán Sturm – Liouville 41 IX Khai triển theo hàm riêng .48 X Biến đổi Fourier 53 10.1 Một số biến đổi Fourier thường gặp 53 10.2 Biến đổi Fourier cos .57 10.3 Biến đổi Fourier sin .58 CHƯƠNG KHÁI QUÁT VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG – LÝ THUYẾT FOURIOR Trong chương này, khảo sát khái niệm phương trình đạo hàm riêng, phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai đưa phương trình dạng tắc Chương nhắc lại phương trình vi phân tuyến tính cấp 1, cấp kết khai triển Fourier, biến đổi Fourier cần thiết cho nội dung chương sau I ƠN TẬP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Một phương trình vi phân phương trình hàm (một biến) có chứa đạo hàm hàm cần tìm Cấp cao đạo hàm có mặt phương trình gọi cấp phương trình vi phân Phương trình vi phân cấp n có dạng F x, y , y� , , y n 1.1 Trong x biến độc lập, y hàm cần tìm, y , y ', , y F x, y , y � , , y Hàm số n y y x thực chứa y n đạo hàm cấp y , biểu thức n gọi nghiệm phương trình vi phân 1.1 khoảng I �� y đạo hàm tồn I thỏa mãn phương trình 1.1 điểm thuộc I 1.1 Phương trình vi phân cấp Phương trình vi phân cấp phương trình có dạng F x, y , y � 0 Trong x biến độc lập, y hàm cần tìm, Nghiệm tổng quát phương trình cho: 1.2 y� 1.2 dy dx biểu thức y f x, C , C số tùy ý y f x, C 1.2 i) Với số C , hàm số nghiệm ii) Với điểm x0 , y0 thuộc miền chứa nghiệm, thay vào 1.2 giải C C0 Nghiệm tổng quát phương trình phân tổng quát 1.2 viết dạng hàm ẩn x, y C gọi tích Sau đây, ta nhắc lại số loại phương trình giải phép tính tích phân 1.1.1 Phương trình tách biến Phương trình sau gọi phương trình tách biến g y y� f x Phương pháp giải: Lấy tích phân hai vế 1.3 1.3 , ta g y y� dx � f x dx � g y dy � f x dx � G y F x C Trong G nguyên hàm g , F nguyên hàm f , C số tùy ý Ví dụ 1.1 Giải phương trình sau 5x4 a) y� ex b) y y� Giải a) Lấy tích phân vế, ta y� dx � x dx � dy � x dx y x5 C Vậy, nghiệm tổng quát phương trình y x C , với C số tùy ý b) Lấy tích phân vế, ta y y� dx � e 3 dx � x y dy � e 3 dx � x y3 e x 3x C y 3e x x D với D 3C x Vậy, nghiệm tổng quát phương trình y 3e x D , với D số tùy ý y 2e x Ví dụ 1.2 Giải phương trình y� Giải y� x e y � y Xét , phương trình trở thành Lấy tích phân vế, ta y' dx � e x dx � y dy � e dx � y x 1 x e C y y 1 e C x Với C số tùy ý Ta thấy, y nghiệm phương trình Ví dụ 1.3 Giải phương trình x y y xy� , x Giải Xét y �0 , phương trình trở thành y y� x y x Lấy tích phân vế, ta y y�dx � �1 y � 1 x �x dx �1 � dy � dx � 1� � 1� � y x � � � � ln y y ln x x C ln xy x y C Với C số tùy ý Ta thấy, y nghiệm phương trình 1.1.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp Định lý 1.1 Xét phương trình vi phân tuyến tính cấp y� p x y p hàm liên tục khoảng I �� Khi đó, nghiệm tổng quát phương trình vi phân khoảng I p x dx y Ce � , với C số tùy ý p x dx � Chứng minh Nhân vế phương trình cho e , ta � p x dx � �ye � � � � � p x dx ye � C p x dx y Ce � , với C số tùy ý Định lý 1.2 Xét phương trình vi phân tuyến tính cấp y� p x y q x p, q hàm liên tục khoảng I �� Khi đó, nghiệm tổng qt phương trình vi phân khoảng I p x dx p x dx ye � � q x e � dx C � �� � � �, với C số tùy ý p x dx � Chứng minh Nhân vế phương trình cho e , ta � p x dx � p x dx �ye � � � � q x e � � p x dx ye � p x dx � q x e� dx C p x dx p x dx ye � � q x e � dx C � �� � � � với C số tùy ý Ví dụ 1.4 Tìm nghiệm toán sau 2y x �y� � �y Giải xdx y x Nhân vế cho e � e x , ta Ta có y� ye � xe 2x 2x 1 �1 � y e 2 x � xe x dx e 2 x � xe x e x C � x Ce 2 x 4 �2 � với C số tùy ý Vì y 0 1 C 0 C nên , suy Vậy, nghiệm toán y 1 x e 2 x 4 1.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp với hệ số Xét phương trình vi phân tuyến tính cấp � với hệ số 1.4 � ay� by� cy a, b, c số a �0 Phương trình đặc trưng 1.4 phương trình bậc theo ẩn k sau 1.5 ak bk c Nếu 1.5 1.4 có nghiệm thực phân biệt k1 k2 có nghiệm tổng qt y Ae k1x Bek2 x với A, B số tùy ý Nếu 1.5 có nghiệm kép k0 (1.4) có nghiệm tổng qt y Ax B e k0 x với A, B số tùy ý Nếu 1.5 có nghiệm phưc liên hợp �i (1.4) có nghiệm tổng qt y e x Acos x B sin x với A, B số tùy ý Ví dụ 1.5 Tìm nghiệm tổng qt phương trình sau � y� 3y a) y� � y� 4y b) y� � y� y0 c) y� Giải a) Phương trình đặc trưng k 4k , suy k 1 � � k 3 � Vậy, nghiệm tổng quát phương trình y Ae x Be 3 x với A, B số tùy ý b) Phương trình đặc trưng k 4k , suy k Vậy, nghiệm tổng quát phương trình y Ax B e x với A, B số tùy ý c) Phương trình đặc trưng k k , suy k 1 � i 2 x � 3 � y e �Acos x B sin x� 2 � � Vậy, nghiệm tổng quát phương trình với A, B số tùy ý 1.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp khơng với hệ số Xét phương trình sau � � ay� by� cy f x Ta tìm nghiệm tổng quát Lagrange 1.6 1.6 hai phương pháp: hệ số bất định biến thiên hệ số 1.3.1 Phương pháp hệ số bất định 1.4 1.6 Bước 1: Tìm nghiệm tổng quát y0 phương trình tương ứng với Bước 2: Nếu f x y có dạng đặc biệt ta tìm nghiệm đặc biệt p phương trình 1.6 khơng phương pháp hệ số bất định, trình bày sau Khi đó, nghiệm tổng qt phương trình 1.6 y y0 y p Cách tìm nghiệm đặc biệt: Xét phương trình đặc trưng ak bk c Dạng 1: P x , ��; n đa thức bậc n Trường hợp Dạng nghiệm đặc biệt f x e x Pn x không trùng với nghiệm y p e xQn x phương trình đặc trưng trùng với nghiệm đơn phương trình đặc trưng trùng với nghiệm kép phương trình đặc trưng Trong Qn x A0 A1 x An x n y p xe xQn x y p x 2e xQn x đa thức bậc với Pn x Các hệ số � � Ai , i 0, n tìm cách tính y� p , y p , sau thay tất vào phương trình ban đầu 1.6 , đồng hệ số tương ứng, ta hệ phương trình để xác định chúng Dạng 2: f x e x � Pm x cos x Qn x sin x � � � , ��; Pm x , Qn x Trong Trường hợp đa thức bậc m, n tương ứng Dạng nghiệm đặc biệt �i không trùng với nghiệm y p e x � Rl x cos x Sl x sin x � � � phương trình đặc trưng �i trùng với nghiệm phương y p xe x � Rl x cos x Sl x sin x � � � trình đặc trưng Trong Rl x A0 A1 x Al x l , Sl x B0 B1 x Bl x l l max m, n , hai đa thức có bậc Các hệ số Ai , Bi , i 0, l tìm tương tự Dạng Ví dụ 1.6 Giải phương trình � y� y� y e x x 2 Giải � y� 3y Xét phương trình y� Phương trình đặc trưng k 4k , suy k 1 � � k 3 � Vậy, nghiệm tổng quát phương trình y0 C1e x C2e3 x với C1 , C2 số tùy ý Nhận xét rằng, trưng f x e x x 2 P1 x x suy trùng với nghiệm đơn phương trình đặc đa thức bậc Do đó, ta tìm nghiệm đặc biệt dạng y p xe x Ax B e x Ax Bx Suy x � y� Ax B A x B � p e � � � x� y� Ax B A x A B � p e � � thay vào phương trình ban đầu ta có e x 4 Ax A B e x x Đồng hệ số tương ứng, ta � 1 A � A � � �� � A 2B � �B 5 � Suy �x x � y p e x � � � � Vậy, nghiện tổng quát phương trình ban đầu �x x � y y0 y p C1e x C2e3 x e x � � � � với C1 , C2 số tùy ý Ví dụ 1.7 Tìm nghiệm toán sau � y� y 2sin x �y� � 0 �y 0, y� Giải � y� 2y Xét phương trình y� 10 v a u a Nếu C2 �0 nhân phương trình đầu với , phương trình sau với cộng lại, ta C2 � u a v ' a u ' a v a � � � � u a v� a u� a v a � � , tức vế phải 1.49 Suy � 1.49 Nếu C1 �0 , lý luận hồn tồn tương tự, ta có vế phải Trường hợp 3: Nếu p a p b �0 Chứng minh tương tự trường hợp 2, 1.47 1.49 dùng điều kiện biên ta thấy vế phải p a �0 p b �0 Trường hợp 4: Nếu lý luận trường hợp 2, dùng hai 1.46 1.47 1.49 điều kiện biên dẫn đến vế phải 2 2 r x Tiếp theo, hàm riêng nên �0 , tức u v �0 , đồng thời u v liên tục 1.48 a, b r x 0, x � a, b nên tích phân vế trái 1.48 khác , mà vế phải , Vậy, giá trị riêng phải số thực lim n � Chứng minh giá trị riêng tạo thành dãy tăng 1 2 3 n�� (ii) Giả sử, m x n x 1.45 hai hàm riêng ứng với giá trị riêng m �n , thay vào , ta �p �� m q m r m � � � pn� � q n r n � Nhân phương trình với n phương trình hai với m cộng lại, ta � m n rm n m p n� n p m� � p n� m p m� n � � � � � � Lấy tích phân hai vế dẫn đến b b r m n dx � m m� n � m n � �p n� �a a 1.50 41 Lý luận tương tự cho vế phải 1.48 , ta vế phải 1.50 Hơn nữa, m �n nên b r dx � m n a Ví dụ 8.5 Tìm hàm riêng, giá trị riêng toán � � 0 xL � � L � � Ta có � 2 Phương trình đặc trưng k � k , suy k , x A x B , mà � 0 �B � �� � A B0 � AL B L � � Khi x Vậy, ta loại trường hợp , suy k1,2 � , x Ae � 0 � � �A B � � � L �Ae L Be � Vì e L e L L x Be x , mà B A � � � � L A e e 0 � � L 0 �0, nên A B Vậy, ta loại trường hợp k �i , suy 1,2 , x Acos x B sin x 1.51 mà �A � 0 � � � � � Acos L � � � L B sin L 1.52 42 Hệ phương trình 1.52 có nghiệm khơng tầm thường � Giải phương trình sin cos L L sin L � sin L , ta giá trị riêng n 2 n , n 1,2, L 1.51 ta hàm riêng tương ứng Vì A chọn B nên từ n x sin �n n x sin � �L � x� , n 1,2, � Ví dụ 8.6 Tìm vectơ riêng, giá trị riêng toán � � 0, 0 x L � � � 0 L � Giải � Ta có � 2 Phương trình đặc trưng k � k Tương tự ví dụ 8.5, ta loại trường hợp �0 k �i , suy 1,2 , x Acos � x A sin x B sin x x B cos 1.53 x mà � � 0 � � �B � � � L � �Acos � Hệ phương trình 1.54 L B sin L 1.54 có nghiệm khơng tầm thường 43 � Giải phương trình cos cos L L sin L � cos L , ta giá trị riêng 2n 1 n , n 0,1,2, L2 1.53 ta hàm riêng tương ứng Vì B chọn A nên từ n x cos � 2n 1 n x cos � � 2L � x� , n 0,1,2, � � , x L Phương trình � n n n , n 1,2, L2 2n 1 , n 0,1, L2 2n 1 , n 0,1, L2 n 2 , n 0,1, L2 n x , n 1,2, L 2n 1 x cos , n 0,1, 2L điều kiện biên 0 L � 0 L 0 � L � 0 � L 2 sin 2n 1 x , n 0,1, 2L n x cos , n 0,1,2, L sin Bảng 8.1 Tóm tắt kết số toán Sturm – Liouville thường gặp IX KHAI TRIỂN THEO HÀM RIÊNG Định nghĩa 9.1 Giả sử a, b Nếu hàm f x 0 x ,1 x , họ hàm trực giao với hàm trọng có biểu diễn chuỗi ( hội tụ f x r x a, b ) � f x �ann x n0 biểu diễn gọi khai triển trực giao chuỗi Fourier mở rộng a, b Các hệ số an , n 0,1,2, gọi hệ số Fourier 1.55 f x 44 Nếu hệ 0 x ,1 x , hàm riêng tốn Sturm – Liouville gọi khai triển theo hàm riêng f x 1.55 a, b Do tính trực giao nên hệ số Fourier tính cơng thức an Ví dụ 9.1 (Khai triển Fourier cos f , n n 0, L ) Ta có họ hàm n x � � 1, cos � �, n 1,2,3, L � 0, L với hàm trọng r x Khi đó, f x 0, L là họ hàm trực giao Fourier cos � f x a0 �ancos n 1 f �L2 0, L khai triển n x L với L f ,1 a0 f x dx � L dx � L � f x dx L0 n x f , cos L an n x cos L L f x cos � L cos � Ví dụ 9.2 (Khai triển Fourier sin n x dx L n x dx L n x f x cos dx, n 1,2,3, � L0 L L 0, L ) Ta có họ hàm � n x � sin � �, n 1,2,3, � L 0, L với hàm trọng r x Khi đó, f x 0, L là họ hàm trực giao Fourier sin f �L2 0, L khai triển 45 � f x �bn sin n 1 n x L với n x f x sin dx, n 1,2,3, � L0 L L bn Ví dụ 9.3 (Khai triển Fourier cos L, L ) Ta có họ hàm n x n x � � 1, cos ,sin � �, n 1,2,3, L L � L, L r x 1 họ hàm trực giao với hàm trọng Khi đó, L, L f x triển Fourier f �L2 L, L khai � n x n x � � f x a0 �� an cos bn sin � L L � n 1 � với L a0 f x dx L � L n x an � f x cos dx, n 1,2,3, L L L L n x bn � f x sin dx, n 1,2,3, L L L L Ví dụ 9.4 Tìm khai triển Fourier sin f x x 0,2 Giải Ta có 1 n x bn � x sin dx n n 1 , n 1,2,3, Vậy 46 � 1 f x � n1 n Hình vẽ f x x n 1 sin n x 0,2 tổng riêng phần thứ N sau Ví dụ 9.5 Tìm khai triển Fourier cos f x x 0,2 Giải Ta có a0 � xdx 20 an � xcos n x n dx 2 � , n 1,2,3, �1 1� � n Vậy 47 n � 1 1� �� �cos n x f x � n1 n Hình vẽ 0,2 f x x tổng riêng phần thứ N sau Ví dụ 9.6 Tìm khai triển Fourier 1, x � f x � 1, 0 x � Giải Vì f x hàm lẻ nên ta có a0 2 �f x dx an � f x cos nxdx 0, n 1,2,3, 2 � n bn � f x sin nxdx � sin nxdx 1 � , n 1,2,3, � 0 n � Vậy 48 n � 1 � �� �sin nx f x � n1 n Hình vẽ f x , tổng riêng phần thứ N sau X BIẾN ĐỔI FOURIER Định nghĩa 10.1 Cho f �L1 � � , biến đổi Fourier f hàm f : �� �, cho �f p �F f x p 2 Định lý 10.2 Nếu f �L1 � � �f x e ipx dx, p �� � � f hàm liên tục tiến dần vô cực 10.1 Một số biến đổi Fourier thường gặp 49 f x �f p sin pa p � 1, x a, � a ,a x � a 0 0, x a, � i) a x a 0 a a2 p2 a 0 4 ap e 2 ii) e iii) e ax iv) x a2 e a p a a 0 Chứng minh � 1, x a, � f x a ,a x � a 0 0, x a, � i) Với p �0 , ta có �f p 2 � �f x e � e ipx 2 ip Với p , ta có �f 2 ipx � x a x a dx 2 e � ipx dx � �eipa e ipa � sin pa � � p 2 � ip � �f x dx � � 2 a dx a � a Vậy � sin pa , p �0 � p � �f p � � a , p0 � � 50 Cụ thể, với a , ta có hình vẽ sau Dễ thấy, ii) �f p f x e liên tục p a 0 a x � 2 �f p Ta có Với a , ta có a x ipx e � dx � 2 � a ip x e � a ip � e e ax � a ip x 2 x 0 x �� e � a ip x dx � � a ip x e � dx a ip x e a ip � � � x �� x 0 x � �, tương tự e a ip x e ax � x � � Do đó, ta a �f p � � � � 2 2 �a ip a ip � a p iii) f x e ax a 0 �f p 2 Ta có 2 � ax ipx e � � 4pa e 2 � e � dx � ax e � � � a�x ip � � � � 2a � 4pa dx e 2 4pa dx e 2 4pa e 2a 51 x a2 f x iv) a 0 Ta có �f p 2 Đặt g z � e ipx dx 2 � x a � a 0 z a2 � z ia � z ��: Im z 0 z2 a2 � � z ia � z ��: Im z 0 � g z Vì 1 z a z ia z ia nên z ia z ia cực điểm cấp Với p , ta có �f 2 � 1 dx i Re s � g z , ia � � � a � 2 � x a Với p � p , ta có e ap ipz �f p 2 i Re s � g z e , ia � � � a 2 Với p � p , ta có e ap ipz �f p 1 2 i Re s � � g z e , ia � � a 2 Vậy, ta a p �f p e , p �� a Định nghĩa 10.3 ( Tích chập ) Với f , g �L1 � , tích chập hai hàm f g � hàm f g : �� �, xác định 52 2 f g x � �f x s g s ds � Nhận xét f g g f Định lý 10.4 Cho f , g �L1 � Khi � f g p �f p g� p , , �� i) ii) m � m f p ip �f p f,f� , , f �L1 � m lim f k x ��� x , với k 0, , m 1, m �� iii) � f g p �f p � g p Ví dụ 10.3 Tìm biến đổi Fourier f x xe x Giải F xe x2 � �1 � � 1 � � 1 p F � e x � p F �e x � p ipF e x � �2 � � Định lý 10.5 Nếu f �L1 � �f �L1 � f x �F Định lý 10.6 (Plancherel) Nếu 1 �f p ta có cơng thức biến đổi Fourier ngược x 2 � �f p e � �f ipx dp, x �� � f �L1 � �L2 � f ip 4p p e 2 �f �L2 � Hơn nữa, ta có 10.2 Biến đổi Fourier cos Cho f �L1 0, � , biến đổi Fourier cos hàm fc p f x � �f x cos pxdx, p 0 Công thức biến đổi Fourier cos ngược 53 f x � �f p cos pxdp, x c Ví dụ 10.1 Tìm biến đổi Fourier cos f x e ax , a 0, x Giải fc p � x �� ax e � a � ax �p � � cos pxdx e � sin px cos px � 2 � � a p � �a � � x 0 a a p2 p a p2 10.3 Biến đổi Fourier sin Cho f �L1 0, � , biến đổi Fourier sin hàm fs p f x � �f x sin pxdx, p 0 Công thức biến đổi Fourier sin ngược f x � �f p sin pxdp, x s Ví dụ 10.2 Tìm biến đổi Fourier sin f x e ax , a 0, x Giải fs p � x �� e � ax a � ax � p � � sin pxdx e � sin px cos px � 2 � � a p � � a � � x 0 54 55 ... NIỆM VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG Định nghĩa 2.1 Một phương trình đạo hàm riêng phương trình có chứa hàm nhiều biến chưa biết số đạo hàm riêng Cấp cao đạo hàm riêng hàm chưa biết xuất phương... chứa đạo hàm hàm cần tìm Cấp cao đạo hàm có mặt phương trình gọi cấp phương trình vi phân Phương trình vi phân cấp n có dạng F x, y , y� , , y n 1.1 Trong x biến độc lập, y hàm cần... nghiệm không đồng toán Sturm – Liouville gọi hàm riêng số để hàm riêng tồn gọi giá trị riêng toán Định lý 8.5 (i) Các giá trị riêng toán Sturm – Liouville số thực tạo thàn dãy tăng n �
