Giạo trçnh Cåí såí K thût âiãûn II Trang 99 CHỈÅNG 17 PHỈÅNG PHẠP TOẠN TỈÍ FOURIER TÊNH QUẠ TRÇNH QUẠ ÂÄÜ §1. Phẹp biãún âäøi Fourier v cạc âàûc tênh phäø I. Phẹp biãún âäøi Fourier Våïi hm f(t) tuût âäúi kh têch, âàûc biãût l hm gii têch ca biãún p trãn trủc o. Lục âọ cọ thãø thay p = jω ta cọ : l phẹp biãún âäøi Fourier thûn (17-1) )j(Fdte)t(f 0 tj ω= ∫ ∞ ω− v )t(fde)j(F 2 1 tj =ωω π ∫ ∞ ∞− ω− l phẹp biãún âäøi Fourier ngỉåüc (17-2) Phẹp biãún âäøi Fourier l trỉåìng håüp âàûc biãût ca phẹp biãún âäøi Laplace (ta â nọi âãún cạch phán têch hm chu k ra chùi Fourier, tỉïc l xạc âënh cạc thnh pháưn phäø ca hm gäúc cạc biãn âäü, cạc pha cạc thnh pháưn âiãưu ha. Têch phán Fourier chênh l trỉåìng håüp giåïi hản ca chùi Fourier âäúi våïi cạc hm khäng chu k). II. Phäø táưn - máût âäü phäø ca hm f(t) Tỉì )t(fde)j(F 2 1 tj =ωω π ∫ ∞ ∞− ω− ta tháúy f(t) l täøng vä hản nhỉỵng hm âiãưu ha cọ táưn säú liãûn tủc - ∞ ≤ ω ≤ ∞ (táưn säú ph kên c di táưn säú trãn) )j(dFd)j(F 2 1 ω=ωω π l biãn âäü (17-3) dF(jω) l phäø ca hm f(t) nọ l phäø liãn tủc, phán bäú dy âàûc trãn trủc ω, gi l phäø âàûc nãúu f(t) khäng chu k, khạc våïi phäø ca hm chu k l phäø vảch, råìi rảc. Âãø tiãûn tênh toạn, biãøu diãùn ta âàûc trỉng phäø âọ bàòng hm nh Fourier F(jω) ca gäúc f(t). )j(F d d 2)j(F ω ω π=ω gi l máût âäü phäø ca gäúc f(t) (17-4) Hm F(jω) l hm phỉïc, biãún thỉûc ω, thỉåìng hỉỵu hản v phán bäú liãn tủc dy âàûc trãn trủc säú -∞ ≤ ω ≤ ∞ . Váûy nh Fourier ca mäüt hm f(t) - l máût âäü phäø ca hm gäúc âọ. Máût âäü phäø F(jω) cọ thãø biãøu diãùn dỉåïi cạc dảng sau âáy : 1. Phäø táưn biãn pha : âỉåüc biãøu diãùn dỉåïi dảng )()(Fe)(F) j (F )(j ωψ〈ω=ω=ω ωψ (17-5) Trong âọ : F(ω) l phäø biãn âäü, våïi f(t) l hm thỉûc thç F(ω) l hm chàơn : F(-ω) = F(ω). ψ(ω) = argF(jω) l phäø pha, nọ l hm l : ψ(-ω) = -ψ(ω). 2. Phäø táưn thỉûc - o : âỉåüc biãøu diãùn dỉåïi dảng F(jω) = F 1 (ω) + j F 2 (ω) (17-6) F 1 (ω) phäø thỉûc, hm chàơn. Trỉåìng Âải Hc K Thût - Khoa Âiãûn - Bäü män Thiãút bë âiãûn Giaùo trỗnh Cồớ sồớ Kyợ thuỏỷt õióỷn II Trang 100 F 2 () phọứ aớo, haỡm leớ. Vờ duỷ : Cho haỡm at e)t( f = , haợy tỗm aớnh Fourier vaỡ bióứu dióựn dổồùi daỷng thổỷc, aớo, bión, pha. a arctg a 1 a j a a aj 1 e)t(f 22 2222 at + = + + = + = bióứu dióựn aớnh Fourier dổồùi daỷng thổỷc, aớo nhổ hỗnh (h.17-1a,b), dổồùi daỷng bión, pha nhổ hỗnh (h.17- 1c, d). 0 0 0 0 FF 2 F 1 h.(17-1d)h.(17-1c)h.(17-1a) h.(17-1b) 3. Bióứu thổùc quan hóỷ giổợa gọỳc thồỡi gian vaỡ phọứ tỏửn. Tổỡ F(j) = F 1 (j) + j F 2 (j) theo (17-2) coù : = de)j(F 2 1 )t(f tj , theo (17-1) coù : = 0 tj dte)t(f)j(F ruùt ra : == 0 2 0 1 tdtsin)t(f)(F,tdtcos)t(f)(F [] + + = ++ = d)tcos)(Ftsin)(F( 2 1 d)tsin)(Ftcos)(F( 2 1 )t(f d)tsinjt(cos)(jF)(F 2 1 )t(f 2121 21 maỡ 0d)tcos)(Ftsin)(F( 2 1 21 =+ (vỗ haỡm leớ) nón coỡn : = d)tsin)(Ftcos)(F( 2 1 )t(f 21 do laỡ haỡm chụn nón coù : = 0 21 d)tsin)(Ftcos)(F( 1 )t(f vỗ 0d)tsin)(Ftcos)(F( 2 1 )t(f 0 21 = = suy ra : = 0 2 0 1 tdsin)(Ftdcos)(F Nhổ vỏỷy haỡm f(t) coù thóứ xaùc õởnh qua phỏửn thổỷc : = 0 1 tdcos)(F 2 )t(f (17-7) f(t) cuợng coù thóứ xaùc õởnh qua phỏửn aớo cuớa mỏỷt õọỹ phọứ : Trổồỡng aỷi Hoỹc Kyợ Thuỏỷt - Khoa ióỷn - Bọỹ mọn Thióỳt bở õióỷn Giạo trçnh Cåí såí K thût âiãûn II Trang 101 ∫ ∞ ωωω π −= 0 2 tdsin)(F 2 )t(f (17-8) Âáy l hai cäng thỉïc cå såí cho ta phỉång phạp xạc âënh gäúc thåìi gian f(t) khi biãút phäø táưn thỉûc hay o ca nh. Biãút F 1 (ω), F 2 (ω) räưi tênh cạc têch phán bàòng phỉång phạp gáưn âụng s cho ra f(t). III. Âàûc tênh táưn truưn âảt : 1. Âàûc tênh táưn truưn âảt : Khi så kiãûn c triãût tiãu, våïi kêch thêch nh F(jω) s cọ âạp ỉïng nh X(jω). Chụng quan hãû tuún tênh våïi nhau qua hm truưn âảt : )j(F )j(X )j(K ω ω =ω (17-9) K(jω) ↔ K(t) : Âàûc trỉng cho sỉû truưn âảt tỉì f(t) âãún x(t). Nọ chênh l âàûc tênh táưn truưn âảt â quen åí quạ trçnh chu k. K(jω) chè phán bäú trãn trủc o, nọ chè tênh cháút lỉûa chn táưn säú ca mảch. Cọ thãø bäú trê thê nghiãûm âãø v âàûc tênh táưn ca mäüt mảch cáưn xẹt bàòng cạch cho tạc âäüng vo hãû xẹt kêch thêch âiãưu ha cọ táưn säú f khạc nhau räưi âo láúy âạp ỉïng s cọ âàûc tênh táưn åí cạc f khạc nhau nhỉ mä hçnh åí h.(17-2). Trong âọ hãû xẹt cọ thãø l nhỉỵng häüp âen. Hãû xẹ t Âo F, ϕ MF ám táư n h.(17-2) )(jK)(Ke)(K)j(K 21 )(j ω+ω=ω=ω ωψ Âàûc tênh táưn K(jω) chỉïa tin tỉïc vãư tênh cháút, dạng âiãûu ca quạ trçnh trong hãû nãn cọ thãø tỉì sỉû phán bäú ca K(jω) kho sạt quạ trçnh quạ âäü. 2. Quan hãû giỉỵa âàûc tênh táưn truưn âảt våïi âàûc tênh thåìi gian ca mảch. Cọ thãø tỉì quan hãû thåìi gian våïi âàûc tênh táưn â biãút xạc âënh âỉåüc hm thåìi gian tỉång ỉïng : ∫∫ ∞∞ ωωω π −=ωωω π = 0 2 0 1 tdsin)(K 2 tdcos)(K 2 )t(K Biãút K 1 (ω) hồûc K 2 (ω) cọ thãø thỉûc hiãûn cạc phẹp têch phán gáưn âụng cho ra K(t). §2. Vãư phỉång phạp toạn tỉí Fourier gii quạ trçnh quạ âäü. Toạn tỉí Fourier l trỉåìng håüp riãng ca toạn tỉí Laplace khi thay p = jω. Nãn cọ thãø lm hon ton tỉång tỉû nhỉ phỉång phạp Laplace âãø cho ra nghiãûm nh Fourier. Song nãúu chè cọ váûy thç phỉång phạp Fourier khäng cọ gç khạc phỉång phạp Laplace. Cọ khi cn khọ khàn hån vç bng nh gäúc Fourier ráút hiãúm nãn viãûc xạc âënh gäúc khọ khàn. Nhỉ váûy cại khọ khàn ca phỉång phạp Laplace l gii F n (p) = 0 (trỉåìng håüp F n (p) báûc cao) cng s khäng khàõc phủc âỉåüc båíi phỉång phạp Fourier. (Ln cáưn phi gii p vç nãúu khäng cáưn tçm gäúc thç cng phi xẹt tênh cháút nghiãûm qua p). Vç váûy phỉång phạp Fourier khäng theo nghéa l trỉåìng håüp riãng ca phỉång phạp Laplace. Trỉåìng Âải Hc K Thût - Khoa Âiãûn - Bäü män Thiãút bë âiãûn Giaùo trỗnh Cồớ sồớ Kyợ thuỏỷt õióỷn II Trang 102 Caùi hay cuớa aớnh Fourier laỡ qua aớnh Fourier F(j) cuớa gọỳc f(t) ta thỏỳy aớnh Fourier laỡ phỏn bọỳ theo tỏửn sọỳ cuớa gọỳc. ỏy chờnh laỡ cồ sồớ õóứ ta õổa ra phổồng phaùp veợ quaù trỗnh quaù õọỹ theo caùc phọứ tỏửn. = = 0 2 0 1 tdsin)(F 2 tdcos)(F 2 )t(f Tổỡ õoù ta coù nọỹi dung tinh thỏửn phổồng phaùp Fourier nhổ sau : Bũng caùch naỡo õoù (thổồỡng bũng thổỷc nghióỷm) õo veợ õổồỹc õổồỡng cong phọứ tỏửn thổỷc F 1 () hoỷc aớo F 2 () cuớa quaù trỗnh. Nóỳu õóứ nguyón õổồỡng cong F 1 () hoỷc F 2 () thỗ thổỷc hióỷn pheùp tờch phỏn chố ra gọỳc f(t) khoù, nón ngổồỡi ta chia F 1 () hoỷc F 2 () thaỡnh tọứng nhổợng õổồỡng cong daỷng hỗnh thang vuọng, maỡ mọựi hỗnh õoù dóự daỡng ổùng vồùi mọỹt thaỡnh phỏửn nghióỷm x i (t) coù thóứ tra baớng (ngổồỡi ta lỏỷp trổồùc baớng tra). Tọứng caùc x i (t) seợ laỡ nghióỷm x(t) cỏửn tỗm. Trổồỡng aỷi Hoỹc Kyợ Thuỏỷt - Khoa ióỷn - Bọỹ mọn Thióỳt bở õióỷn . 17 PHỈÅNG PHẠP TOẠN TỈÍ FOURIER TÊNH QUẠ TRÇNH QUẠ ÂÄÜ §1. Phẹp biãún âäøi Fourier v cạc âàûc tênh phäø I. Phẹp biãún âäøi Fourier Våïi hm f(t) tuût. âäøi Fourier thûn (17-1) )j(Fdte)t(f 0 tj ω= ∫ ∞ ω− v )t(fde)j(F 2 1 tj =ωω π ∫ ∞ ∞− ω− l phẹp biãún âäøi Fourier ngỉåüc (17-2) Phẹp biãún âäøi Fourier