Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng 65 Cho elip (E) : x2 + y = Tìm (E) : a) điểm M có tung độ ½ b) điểm N có tung gấp đơi hồnh độ c) điểm P cho góc F1PF2 = 900 d) tọa độ đỉnh hình vng nội tiếp (E) biết hình vng có cạnh song song với trục tọa độ ⎛3 ⎞ 3.66 Cho elip (E) có độ dài trục lớn qua điểm M( ⎜ ; 2⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ a) Lập phương trình (E) b) Tính độ dài dây cung (E) vng góc với trục lớn tiêu điểm 11 c) Tìm (E) điểm M cách tâm O khoảng 3.67 Lập phương trình (E) biết : a) tiêu cự khoảng cách từ đỉnh đến tiêu điểm b) độ dài trục nhỏ tiêu điểm ( ; ) c) tiêu điểm F2 ( ; ) khoảng cách giưa hai đỉnh 3.68 Lập phương trình (E) biết : a) độ dài trục lớn qua điểm ( ; 2) ⎛2 1⎞ ⎛ 5⎞ b) qua hai điểm P ⎜ ; ⎟ , Q ⎜ 2; ⎜ 3⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ) c) có tiêu cự qua điểm ( ; ⎛ ⎞ d) qua điểm M ⎜ ; ⎟ F1MF2 = 90 ⎝ 5⎠ 3.69 Cho (E) : 4x2 + 9y2 = 36 a) Xác định tiêu điểm , độ dài trục b) Một đường thẳng thay đổi d : y = x + m Định m để d cắt (E) hai điểm P, Q c) Tìm tọa độ trung điểm I PQ Chứng tỏ I di động đoạn cố định d thay đổi d) Gọi P’ Q’ đối xứng P Q qua gốc O Tứ giác PQP’Q’ hình ? Định m để hình thoi 51 Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng 3.70 Cho hai êlip : x2 + 8y2 = 16 4x2 + 9y2 = 36 Viết phương trình đường tròn qua giao điểm hai êlip 3.71 Cho đường tròn tâm F1 ( - 2; 0) bán kính điểm F2 (2 ; 0) M tâm đường tròn di động qua F2 tiếp xúc với (F1) Chứng minh M thuộc êlip (E) Viết phương trình (E) * 3.72.a) Viết phương trình (E) biết có tiêu điểm F(- ; 0) khoảng cách từ F đến đỉnh trục nhỏ b) Hai đường thẳng d : mx – y = d’ : x + my = cắt (E) M , P N, Q Tứ giác MNPQ hình gì? Tính diện tích theo m c) Định m để MNPQ hình vng *3.73 Cho êlip : 5x2 + 9y2 = 45 có tiêu điểm F1 , F2 M điểm (E) a) Chứng minh chu vi tam giác F1MF2 khơng đổi Tìm m để diện tích tam giác F1MF2 đvdt 1 + lớn b) Tim M cho : T = F1 M + F2 M + F1 M F2 M *3.74 Cho đường tròn tâm O , bán kính AB đường kính Ox Gọi M, N hai điểm di động tiếp tuyến (C) A B , có tung độ m, n thỏa mn = a) Chứng minh MN tiếp tuyến đường tròn (O) b) AN BM cắt I Chứng minh I di động elip (E) c) Gọi H, K trung điểm AM BN Chứng minh đường trịn đường kính HK qua hai tiêu điểm (E) *3.75 Cho điểm M di động êlip : 9x2 + 16y2 = 144 H, K hình chiếu M lên hai trục Tìm M để diện tích OHMK lớn *3.76 Cho M, N hai điểm êlip : 4x2 + 9y2 = 36 không trùng với đỉnh Gọi I trung điểm MN a) Chứng minh tích hệ số góc đường thẳng MN đường thẳng OI có giá trị khơng đổi b) Viết phương trình đường thẳng MN biết trung điểm I có tọa độ (1 ; 1) * 77 Cho đường tròn (O; a) elip (E) : bx2 + ay2 = a2b2 b a) Chứng minh phép co trục hòanh theo hệ số k = biến (O) thành (E) a 52 Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng b) Gọi T, M hai điểm (O) ( MT cắt Ox ) , phép co biến đường thẳng MT thành đường thẳng Chứng minh hai đường thẳng đồng qui Khi M tiến T ( T cố định ) MT , M’T’ tiến đến vị trí Suy cách vẽ tiếp tuyến (E) điểm cho trước Tìm phương trình tiếp tuyến biết tiếp điểm T’ có tọa độ (x0 ; y0) c) Phép co biến hình vng đơn vị có canh song song với trục hay nằm hai trục thành hình , có diện tích Từ suy đóan cơng thức tính diện tích hình êlip 3.78 Chọn câu : Cho (E) : 6x2 + 9y2 = 54 Khoảng cách từ tiêu điểm đến đỉnh trục nhỏ : a) b) c) 15 d) 3.79 Chọn câu : Cho (E) : 4x2 + 5y2 = 20 Khoảng cách hai tiêu điểm : a) b) c) d) 3.80 Chọn câu : Cho (E) : 3x2 + 4y2 = 12 Điểm M có hồnh độ thuộc (E) Thế F1M = ( F1 tiêu điểm bên trái ) 13 a) 3/2 b) c) 5/2 d) 2 3.81 Chọn câu : Cho (E) : 4x2 + 9y2 = 36 Tính độ dài dây cung vng góc với Ox qua tiêu điểm F a) b) 4/3 c) d) 8/3 x2 3.82 Chọn câu : Tung giao điểm (E) : + y = với đường tròn x2 + (y – 1)2 = gần với số ? a) , 86 b) , 88 c) 0, d) 0, 92 3.83 Chọn câu : Elip có hình bên có tiêu cự : a) B1 b) 6 c) 11 d) 14 A1 F1 O 53 Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng 3.84 Chọn câu : Elip có hình bên trái có độ dài trục nhỏ gần với số ? a) 8 b) 3 c) 96 d) đáp số khác M(2;2) M(- 2;4) O O N(-1 ; - 3) B(0; - 5) 3.85 Chọn câu : Elip có hình bên phải có độ dài trục lớn : a) 5/ b) 8/3 b) d) 10/3 D Hướng dẫn giải hay đáp số 3.65 a) Thế y = ½ vào phương trình (E) b) Thế y = 2x vào phương trình (E) c) Tọa độ (x ; y) P thỏa phương trình (E) OM2 = c2 x2 + y2 = d) Gọi(x ; y) tọa độ đỉnh hình vng , ta có hệ : : x2 + 4y2 = x2 = y2 x y2 + = => c = 3.66 a) a = + = => (E) : 2a b b) Thế x = 5 : y = ± 4/ => độ dài dây cung 8/ ⎧ x + y = 36 ⎪ c) Điểm (x ; y) cần tìm thỏa hệ : ⎨ 11 ⎪x + y = ⎩ 3.67 a) c = Phân biệt cac trường hợp : 54 Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng (1) B2F2 = b2 + c2 = a = (2) A2F2 = a – c = => a = (3) A2F1 = a + c = => a = b) b = , c = c) c = Phân biệt trường hợp : (1) B1B2 = 2b = b = 9/ (2) A1A2 = 2a = a = 9/2 < c : loại a2 + b2 = a2 + b = 81 a2 – b2 = c2 = 25 68 a) a = + = a b d) A1B1 = ⎧ ⎪ 9a + b = ⎪ b) ⎨ ⎪ + =1 ⎪ a 9b ⎩ d) OM2 = c2 = c) c = + = Thế a2 = b2 + 5b a 16 + = Giải © 5 3.69 b) Thế y = x + m : 4x2 + 9(x + m)2 = 36 13x2 + 18mx + 9m2 – 36 = (1) YCBT ∆’ ≥ m2 ≤ 13 - 13 ≤ m ≤ 13 (*) x1 + x2 −9m ⎧ ⎪ x = = 13 9 ⎪ c) I⎨ ≤x≤ (*) => y = - x với 4m 13 13 ⎪y = x + m = ⎪ 13 ⎩ 9 => I di động đoạn thgẳng có phương trình y = - x với ≤x≤ 13 13 d) Do đối xứng PQP’Q’ hình bình hành Gọi (x1 ; y1) (x2 ; y2) tọa độ P Q , x1, nghiệm phương trình (1) y1,2 = x1, + m OP ⊥ OQ x1 x2 + y1 y2 = x1 x2 + ( x1 + m)( x2 + m) = YCBT 2x1x2 + m(x1 + x2 ) + m2 = Thế x1 + x2 = - 18m/ 13 , x1x2 = (9m2 – 36) /13 ( định lí Viet phương trình (1) ) , ta phương trình tính m 55 Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng ⎧x + 8y = 16 ⎪ 3.70 Tọa độ giao điểm nghiệm hệ : ⎨ ⎪4x + y = 36 ⎩ ⎧ 144 ⎪x = 23 172 ⎪ => x2 + y2 = : Đây ⎨ 23 ⎪ y = 28 ⎪ 23 ⎩ phương trình cần tìm M 3.71 Gọi r = MF2 bán kính đường trịn (M) Ta có : MF1 + MF2 = MF2 + r = Do M 2 r F1 thuộc êlip có 2a = 2c = Suy : b = a – c2 = – = Phương trình (E) : r F2 x y2 + =1 x y2 + =1 3.72 a) c = , a = : ⎧ ⎪ x = ±3 ⎧5 x + y = 45 9m + ⎪ b) Tọa độ M, P : ⎨ ⎨ ⎩ y = mx ⎪ =± 3m ⎪y 9m + ⎩ 2 Tương tự , tọa độ N, Q : ⎧ ⎪ y = ±3 2 ⎧5 x + y = 45 5m + ⎪ ⎨ ⎨ ⎩ x = − my ⎪ = ⎪ x ∓3m 5m + ⎩ Tứ giác hình thoi d d’ vng góc Diện tích hình thoi MNPQ : SOMN = OM ON = 2 x M + yM x N + yN = 18(m + 1) 5 90(m + 1) = 9m + 5m + (9m + 5)(5m + 9) 56 Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng c) YCBT OM = ON 9m2 + = 5m2 + m=±1 3.73.a) Chu vi : 2a + 2c = + = 10 Diện tích tam giác : ½ |yM| 2c = |yM| = Suy xM 2a c2x mà F1M.F2M = a2 = - x ( - ≤ x ≤ 3) F1 M.F2 M a F1M.F2M nhỏ x =3 Vậy T lớn 3.74 a) Phương trình MN : (n – m)x + 4y + 2(m + n) = | 2( m + n ) 2|m+n| Ta có : d(O; MN) = = ( mn = 4) = 2 m + n − 2mn + 16 m + n + 2mn => MN tiếp xúc đường tròn (O; 2) b) Xem tập 3.57 c) Ta chứng minh : F1, H.F1, K = b) T = 2a + 3.75 Dùng bất đẳng thức Cơ si cho hai số 3.76 a) Ta có : 4xM2 + 9yM2 = 36 (1) 4xN2 + 9yN2 = 36 (2) Lây (1) – (2) : 4(xM2 – xN2 ) = - 9(yM2 – yN2 ) 4(xM – xN) (xM + xN) = - 9(yM – yN) (yM + yN) yI yM − yN =− kOI kMN = - 4/9 xI xM − xN b) Hệ số góc OI , kMN = - 4/9 Vậy phương trình MN : 3.77 b) Các đường thẳng qua T , T M vng góc với Ox cắt (E) T’ M’ Đường thẳng M TM co lại thành đường thẳng T’ M’ T’M’ Hai đường thẳng đồng qui K ∈ Ox K O Khi M tiến T , đường thẳng TM biến thành tiếp tuyến (O) T , đường thẳng T’M’ biến thành tiếp tuyến (E) T’ Hai tiếp tuyến đồng qui I với IT vng góc bán kính OT I 57 Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng a y o ) tọa độ T Phương trình tiếp b a tuyến đường trịn T vng góc OT = ( x o ; y o ) : b a a x0 (x – x0) + y o ( y − y o ) = b b 2 b x0 x + aby o y = b x0 + a2 yo2 = a2 b2 (TI) a Thay y y giữ nguyên x , ta đươc phương trình tiếp tuyến IT’ êlip b x ox yo y T’ : b2 x0 x + aby o y = a2 b2 + =1 a2 b c) Phép co Ox hệ số k , biến hình vng đơn vị có cạnh song song hay nằm hai trục hình chữ nhật có cạnh song song hay nằm hai trục có diện tích k đvdt Nếu (x0 ; y0) tọa độ T’ (x0 ; Diện tích hình trịn ∏ a2 Với chọn đon vị độ dài đủ nhỏ tương ứng với việc làm trịn số ∏ , hình trịn coi chứa ∏ a2 hình vng đơn vị Suy qua b phép co , hình êlip coi chứa ∏a2 hình chữ nhật có diện tích đvdt Do a b hình êlip có diện tích : ∏a2 = ∏ab a 3.78 (b) FB = b2 + c2 = a = 3.79 (b) F1F2 = 2c = 2 ⎛3⎞ 3.80 (b) yM = ± /2 => F1M = (1 + 1) + ⎜ ⎟ = 5/2 ⎝2⎠ 3.81 (d) Thế x = = c : 9y = 36 – 20 = 16 y = ± 4/3 Vậy độ dài dây cung 8/ 3.82 (a) Thế x2 = – (y – 1)2 vào phương trình (E) : – (y – 1)2 + 4y2 = 3y2 + 2y – = −1 − 13 −1 + 13 ; y2 = Phương trình có nghiệm : y1 = 3 2 2 Vì x = - (y – 1) ≥ (y – 1) ≤ - ≤ ( y – 1) ≤ 0≤y≤2 13 − ≈ 0,868 nên nhận y = 58 Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng 3.83 (d) BF = 5, c2 + b2 = a = a2 + b2 = b2 = 36 – B1 25 = 11 Suy : c= 25 − 11 = 14 Vậy tiêu cự 14 A1 F1 O 3.84 (b) Ta có hệ : ⎧4 ⎪ a2 + b2 = ⎪ ⎨ ⎪ + =1 ⎪ a2 b2 ⎩ Nhân phương trình sau cho trừ với phương trình đầu , ta : 32 32 = b = b Độ dài trục nhỏ 32 =8 3 3.85 (d) Ta có hệ : ⎧b = ⎪ => a = 10 / ⎨ 16 + =1 ⎪ a2 25 ⎩ Độ dài trục lớn : 20 / M(- 2;4) O B(0; - 5) 59 Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng * §6 Hypebol A Tóm tắt giáo khoa 1.Định nghĩa Cho hai điểm cố định F1 , F2 với F1 F2 = 2c độ dài không đổi 2a ( a > c) Hypebol tập hợp điểm M cho : F1 M − F2 M = 2a F1 , F2 : tiêu điểm , F1 F2 : tiêu cự Phương trình tắc : Với F1( - c ; 0) , F2(c ; 0) : x y2 M(x ; y) ∈ (H) − = với b2 = c2 - a ( 1) a b (1) : phương trình tắc hypebol Hình dạng hypebol * A1 ( - a ; ) , A2 ( a ; ) : đỉnh * Ox : trục thực , độ dài 2a Oy : trục ảo , độ dài 2b * Hypebol gồm nhánh : nhánh trái gồm điểm có x ≤ - a, nhánh phải gồm điểm có x ≥ a * Hình chữ nhật giới hạn đường x = ± a , y = ± b gọi hình chữ nhật sở hypebol b * Đường thẳng y = ± x gọi hai a tiệm cận c * Tâm sai : e = > a A1 A2 F2 * F1M = F1 ⎧c ⎪ a x M + a , M ∈ nhánh phai ⎪ ex M + a = ⎨ ⎪− c x − a , M ∈ nhánh trái ⎪ a M ⎩ ⎧c ⎪ a x M − a , M ∈ nhánh phai ⎪ F2M = ex M − a = ⎨ ⎪− c x + a , M ∈ nhánh trái ⎪ a M ⎩ 60 Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng -1.(x – 1) + (m + 1)(y – 1) = y x – (m + 1)y + m = (2) b) Thế (1) vào (2) : x – y = A y =x 3.123 (b) x 3.124 (d) 3.125 (c) 3.126 (c) Hồnh độ đỉnh M (x ; y) : x M H = |y| Cạnh 16 p 36 + = 19 p A' p2 – 38p + 72 = 3.127 (a) x = 36/p 3.128 (d) Độ dài dây cung 2p => p = 3/2 3.129 (b) Phương trình hoành độ giao điểm : x2 – 24x + 16 = MN = p p + x + + x = 32 2 3.130 (a) Phương trình hồnh độ giao điểm : m2 x2 - 4(m2 + 2)x + 4m2 = |FM – FN) = |x1 – x2| = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = Mà x1x2 = , suy : x1 + x2 = 4(m + 2) =5 m2 Vậy : m=2 §8 Các Đường Cơnic A Tóm tắt giáo khoa Đường chuẩn : x y2 x y2 + = : hay (H) : − = b a2 b a a a • Δ1 : x = - = − gọi đường chuẩn ứng với F1( - c ; 0) e c Cho (E) : 87 Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng • Δ2 : x = Δ1 a a2 = gọi đường chuẩn ứng với F1( - c ; 0) e c Δ2 Δ1 Δ2 M F1 O H2 F2 M F1 H1 O F2 Chú ý : Đối với êlip tâm O gần tiêu điểm đường chuẩn tương ứng Trong với hypebol , tâm O gần đường chuẩn tiêu điểm tương ứng Tính chất : Với M ∈ (E) hay (H) : MF1 MF2 = =e d ( M; Δ ) d ( M; Δ ) Định nghĩa : Cho điểm F cố định đường thẳng Δ cố định , tập hợp MF điểm cho : = e ( số dương cho trước ) gọi đường cônic d(M; Δ) F : tiêu điểm , Δ : đường chuẩn , e : tâm sai • e < : cônic êlip • e = : cơnic parabol • e > : cơnic hypebol B Giải tốn : Dạng tốn : Lập phương trình tắc cơnic với đường chuẩn Ví dụ : Lập phương trình tắc êlip có đỉnh (0 ; ) khỏang cách hai đường chuẩn x y2 + = Theo đề , ta có : b = a b2 a2 + c2 2c2 – 9c + 10 = = = c c Giải (E) : a2 = + c2 c = hay c = 5/2 88 Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng x y2 + =1 x2 y2 + =1 c = 5/2 : a2 = 15/2 => (E): 15 / • c = : a2 = => (E) : • Ví dụ : Lập phương trình tắc hypebol có tiệm cận y = 2x đường chuẩn x = x y2 − =1 a b2 b Ta có : c2 – a2 = 4a2 c=a = b = 2a a a2 a2 =1 =1 a= Và c a x y2 − =1 Suy : b = => (E) : 20 Dạng tốn : Lập phương trình cơnic định nghĩa Giải (H) : Ví dụ : Lập phương trình parabol tiêu điểm O đường chuẩn Δ : 3x – 4y + =0 Giải Gọi (P) parabol cần tìm , ta có : M(x ; y) ∈ (P) MO = d(M ; Δ ) | 3x − y + | x + y2 = 2 25(x + y ) = (3x – 4y + 5)2 16x2 + 24xy + 9y2 – 30x + 40y – 25 = Ví dụ : Lập phương trình hypebol tiêu điểm F(1 ; 0) , đường chuẩn Δ : x – y = tâm sai e = `Giải Gọi (H) hypebol cần tìm , ta có : M(x ; y) ∈ (H) MF = d(M ; Δ) MF = d(M; Δ) 89 Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng ( x − 1) + y = |x−y| 2 (x – 1) + y = (x – y)2 2xy – 2x + = Dạng tốn : Nhận dạng cơnic theo tâm sai Ví dụ : Cho cơnic có tiêu điểm F(1 ; 1) đường chuẩn Δ : x + y – = Biết cônic qua gốc O , cho biết dạng cônic MF Suy : e = = < , Giải Ta có : OF = d(O, Δ) = d(M; Δ) cơnic êlip Ví dụ : Chứng minh đồ thị hàm số y = hypebol 2x x 2xy = (1) Cộng hai vế x2 + y2 + 2x + 2y + , ta : (1) x2 + y2 + 2x + 2y + 1+ 2xy = x2 + y2 + 2x + 2y + + `Giải Ta có : y = (x + y + 1)2 = (x + 1)2 + (y + 1)2 | x + y +1| = ( x + 1) + ( y + 1) Gọi F điểm ( - ; - 1) , Δ đường thẳng : x + y + = M = (x ; y) , : (2) = MF MF = => cônic hypebol tiêu điểm F đường chuẩn Δ d(M : Δ) d(M ; Δ) C Bài tập rèn luyện 3.131 Lập phương trình tắc : a) êlip qua M(- ; 2) đường chuẩn x = b) hypebol có tiệm cận y = x khỏang cách giũa hai đường chuẩn 18 / c) hypebol có đỉnh A( ; 0) , đường chuẩn hợp với hai tiệm cận tam giác có diện tích 10 90 Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng d) êlip đỉnh A2 ( ; 0) cách đường chuẩn ứng với F1 khoảng e) hypebol có hai tiệm cận vng góc đường chuẩn x = 3.132 Cho biết dạng cônic lập phương trình tắc : a) tiêu điểm (4 ; 0) đường chuẩn x = b) đường chuẩn x = 9/2 qua M(0 ; c) đỉnh ( 5) ; 0) khỏang cách giũa tiêu điểm đường chuẩn tương ứng 3.133 Lập phương trình tổng qt cơnic định nghĩa biết tiêu điểm F , đường chuẩn Δ , tâm sai e a) F( - 1; 0) , Δ : x = , e = 1/ b) F(0 ; 0) , Δ : x – y + = , e = c) F(- ; 0) , Δ : x + 2y , e = 134 Cho parabol có đường chuẩn Δ : x – y – = đỉnh O Tìm tiêu điểm F phương trình parabol 3.135 Cho cơnic có tâm đối xứng I(2 ; 4) , đường chuẩn Δ : x + y + = tiêu điểm tương ứng thuộc Oy Hãy tìm tiêu điểm , tâm sai nhận dạng cơnic 3.136 Cho cơnic có tiêu điểm (0 ; 3) , đường chuẩn x + y = , tâm sai e = Tìm giao điểm cơnic với trục tọa độ 3.137 Nhận dạng đường có phương trình sau : a) x + y =| x − y − | c) x2 + 2y2 + 2x - = d) xy = b) 2( x + y − 2x + 1) =| x + y | d) x2 + y2 – 2xy + 2x + 2y – = 3.138 Biện luận theo m hình dạng đường (C) có phương trình : x2 + y2 = m(x – 2)2 D Hướng dẫn hay đáp số 3.131 a) (E) : a2 x y2 − = Ta có : = a = 5c c b a Suy : b2 = a2 – c2 = 5c – c2 91 Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng ; 2) ∈ (E) M(- + =1 b a 5b2 + 4a2 = a2 b2 5(5c – c2 ) + 20c = 5c(5c – c2 ) c2 – 6c + = ) ( chia hai vế cho 5c) c=3 b) (H) : a2 x y2 (2) − = Ta có : 4a = 3b (1) = c a2 b Vì : c2 = a2 + b2 = 25a2 / c = 5a/3 ( (1) ) Thế (2) : a = a2 ab x y2 − = Ta có : Tam giác có đường cao cạnh đáy 2 c c b a b 10 a 3b 9b = 2c2 Suy : = 5 = c c Thế c2 = a2 + b2 = + b2 : 2b2 – 9b + 10 = b = hay b = 5/2 c) (H) : 3.132 a) c = , a2 = a = Suy : a < c Vậy cônic hypebol : c b2 = b) a2 = c 2a2 = 9c (1) Vì cơnic qua M ∈ Oy nên cônic êlip b2 = Vậy : a2 = + c2 Thếvào (1) : 2(5 + c2) = 9c 2c2 – 9c + 10 = c = hay c = 5/2 c) Ta có : a = a − c | 52 − c | a2 −c = = =4 c c c ⎡5 − c = 4c ⎡c + 4c − = ⎡c = ⎢ ⎢ ⎢ ⎢c − = 4c ⎢c − 4c − = ⎣c = ⎣ ⎣ • c = < a : cônic êlip : x y2 + =1 92 Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng • c=5> : cônic hypebol : x y2 − =1 20 3.133 y a) M(x ; y) ∈ (C) MF = e ( x + 1) + y = ( x − 3) d ( M; Δ ) F x O H Lập phương trình tổng qt cơnic định nghĩa biết tiêu điểm F 134 Ta tìm hình chiếu H O lên Δ tiêu diểm F điểm đối xứng H qua O H(2 ; - 2) => F(- ; 2) M(x ; y) ∈ (P) MF = d(M ; Δ) (x + 2)2 + (y – 2)2 = ( x − y − 4) Khai triển rút gọn, ta phương trình tổng quát cần tìm 3.135 Phương trình đường thẳng qua I vng góc Δ : x – y + = Đường cắt Oy F(0 ; 2) tiêu điểm cơnic Ta a2 có : c = IF = 2 , = d(I, Δ) = => a2 = c 16 a=4 Vậy e = c/a = : cônic êlip y 3.136 Gọi M(x ; 0) giao điểm ∈ Ox , ta có : MF = d(M ; Δ) ( x + 0) x2 + = x= ± I F x O 3.137 a) Xét điểm O(0 ; 0) đường thẳng Δ : x – y – 1= , ta có : x + y2 ; | x − y −1| d(M ; Δ) = MO = 93 Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng MO = Vậy tập hợp hypebol tiêu điểm d(M; Δ) O đường chuẩn Δ PT b) Xét điểm F(1 ; 0) Δ : x + y = Tập hợp parabol x + y2 = | x −1| c) PT 2(x2 + y2 ) = x2 - 2x + Xét O(0 ; 0) Δ : x – = : tập hợp êlip d) 2(x2 +y2 ) = x2 + y2 + 2xy - 2x - 2y + 2(x2 + y2) = (x + y – 1)2 x + y2 = | x + y −1| Xét O Δ : x + y – = : tập hợp parabol e) 2xy = Cộng hai vế cho x2 + y2 + 2x + 2y + x2 + y2 + 2xy + 2x + 2y + = x2 + y2 + 2x + 2y + (x + y + )2 = (x + )2 + (y + )2 (x + ) + ( y + ) = |x+y+ | Xét F( - ; ) Δ : x + y + F , đường chuẩn Δ , e = 2 = : tập hợp hypebol tiêu điểm 3.138 * Nếu m < : PT vô nghiệm => tập hợp ∅ * Nếu m = : x = y = => tập hợp {O} * Nếu m > : xét O Δ : x – = , ta có : • m < : êlip • m = : parabol • MO = m d ( M, Δ ) m > : hypebol § 9.Trắc nghiệm cuối chương 94 Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng A Đề : Phương trình đường thẳng qua A(3 ; - 2) có vectơ phương (- ; 6) : a) 3x + y – = b) – x + 3y + = c) x + 3y + = d) 3x – y – 11 = Cho tam giác ABC với A(2 ; 4) , B(2 ; 1) C(5 ; ) Trung tuyến CM qua điểm N có hồnh độ 20 tung độ ? a) - 12 b) - 12, c) - 13 d) – 13, Khoảng cách hai đường thẳng song song : 3x – 4y + = 3x – 4y – = : a) / b) c) d) đáp số khác Có điểm M thuộc Ox cách đường thẳng 2x – y + = khoảng , tích hai hoành độ chúng : a) – 75/4 b) – 25/ c) – 225 / d) đáp số khác Hai đường thẳng d : mx + y – = d’ : (m – 3) x + y + m = song song m = a) 4/3 b) – 4/3 c) 3/4 d) – 3/4 Đường thẳng d : 3x – 2y + = tiếp xúc với đường trịn tâm I(1; - 1) , bán kính : a) b) 13 c) 13 d) đáp số khác 13 Gọi α góc hai đường thẳng : y = 5x + x - 5y – = , cos α = a) 1/ 26 b) 2/ 13 c) 5/ 13 d) Có hai đường thẳng y = kx hợp với d : x – y = góc 600 Tổng hai giá trị k : a) b) – 8/ c) – d) - Phương trình đường trịn có đường kính AB với A(- ; 1) B(5 ; 7) : a) x2 + y2 + 2x + 8y – = b) x2 + y2 - 2x + 8y – = 2 c) x + y + 2x - 8y – = d) x2 + y2 - 2x - 8y – = 10 Có giá trị m nguyên để phương trình : x2 + y2 – 2x + 2my + 10 = phương trình đường trịn ? a) b) c) d) vơ số 11 Có hai đường trịn có bán kính 10 qua A (- ; 2) B(1 ; - 6) Một đường trịn có tung độ tâm : a) - b) - c) - d) 95 Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng 12 Đường tròn (C) : x2 + y2 – 2x + 4y – = cắt đường thẳng x – y + = theo dây cung có độ dài : a) b) c) d) đáp số khác 13 Gọi (C) đường tròn tiếp xúc với Oy A(0 ; 5) có tâm thuộc đường thẳng 3x – y - = B.àn kình đường trịn gần với số : a) 3, b) 3, c) 3, d) 3, 14 Đường tròn (C) : x2 + y2 + 6x – 4y + = có bán kính : b) c) d) 29 a) 10 15 Lập phương trình tiếp tuyến (C) : x2 + y2 + 4x + 4y – 17 = biết tiếp tuyến song song với ∆ : 3x – 4y + 12 = a) 4x - 3y – 27 = b) 4x +3 y – 11 = c) 3x – 4y + 23 = d) 3x - 4y + 27 = 16 Elip : 4x2 + 8y2 = 32 có tiêu cự : a) b) c) 2 x y + = Câu sau sai ? 17 Cho elip : a) Một tiêu điểm elip ( - 2; 0) b) Một đỉnh trục nhỏ (0 ; ) c) Độ dài trục lớn d) Diện tích hình chữ nhật sở d) 18 Elip có tiêu điểm F ( ; ) cách đỉnh B khoảng , có độ dài trục nhỏ : a) b) c) d) 10 2 x y + = Điểm M ( 3; 1) (E) nhìn hai tiêu điểm 19 Elip (E) : góc vng Tung độ dương M : a) ½ b) c) d) đáp số khác 2 x y 20 Cho elip (E) : + = Điểm M (E) thỏa F1M – F2M = Hoành độ M gần với số ? a) 1, b) 1, c) 1, d) 1, 21 Cho parabol y2 = 2px qua điểm M( ; 6) Khoảng cách từ M đến đường chuẩn : a) 6, b) c) 11 d) đáp số khác 22 Parabol y2 = x có tiêu điểm : 96 Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng a) ( ¼ ; ) b) (1 /2 ; ) c) (0 ; ¼ ) d) (0 ; ½) 23 Parabol y = 2px (p > ) qua điểm M có tung độ cách đường chuẩn khoảng Ta hai parabol có tổng hai giá trị p : a) b) 10 c) d) đáp số khác 24 Cho (P) : y2 = 4x Đường thẳng d qua F có hệ số góc , cắt (P) M N Độ dài MN : a) b) c) d) 25 Hypebol : 2x2 – 4y2 = : a) có tiêu cự 2 b) có tiệm cận : y = x c) Câu (a) (b) d) Câu (a) (b) sai x y2 26 Một điểm M hypebol (H) : − = Tích khoảng cách từ M đến hai tiệm cận : 16 a) b) c) d) không xác định 5 27 Hypebol có tiêu điểm F(10 ; ) tiệm cận : y = 2x Hypebol có độ dài trục thực : a) b) c) d) đáp số khác 2 x y 28 Hypebol : − = qua điểm M ( ; 4) có tiệm cận y = x a b Thế ab = a) 17 b) 34 c) 34 d) đáp số khác 29 Hypebol có đỉnh A1 ( - ; ) đỉnh cách tiệm cận khoảng Thế độ dài trục ảo gần với số ? a) 4, b) 4, c) 4, d) 4, 2 2 x y x y 30 Elip (E) : + = hypebol (H) : − = có tiêu điểm độ 16 a b dài trục thực (H) độ dài trục nhỏ (E) Vậy (E) (H) cắt bốn điểm nằm đường trịn có bán kính : a) b) 2 c) d) 97 Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng B Bảng trả lời : (a) 2.(b) (b) 4.(a) (d) 6.(b) (c) 8.(b) 9.(d) 10.(d) 11 (a) 12.(b) 13 (c) 14.(a) 15 (c) 16.(b) 17 (d) 18.(b) 19.(a) 20.(b) 21.(a) 22.(a) 23.(b) 24.(d) 25.(d) 26.(b) 27.(b) 28.(a) 29.(d) 30.(b) C Hướng dẫn giải (a) 2.(b) Phương trình trung tuyến : 5x + 6y – 25 = Cho x = 20 : y = -12 , 3.(b) Khỏang cách 3x – 4y + = 3x – 4y – = 4.(a) Gọi M(x ; 0) : | 2x + | =2 5 |2x + 5| = 10 x = 5/2 hay x = - 15/2 Vậy có điểm M tích hồnh độ – 75/4 5.(d) d // d’ ⎧m − = 5m m −5 = ≠ ⎨ m−3 m ⎩m ≠ −25 6.(b) R = d(I, d) = m=-¾ 13 = 13 13 7.(c) (b) Phương trình đường thẳng cần tìm : kx – y = Ta có : | k + 1| k2 +1 = cos 600 = 3k2 + 8k + = => k1 + k2 = - 8/3 (d) 10 (d) a2 + b2 – c = m2 – > m > hay m < - : vố số giá trị m nguyên ⎧IA = IB2 ⎧a = 2b + ⎪ ⎨ 11.(a)Gọi I(a ; b) tâm : ⎨ 2 2 ⎪IA = R = 100 ⎩(a + 3) + (b − 2) = 100 ⎩ Thế , ta : b2 + 4b – 12 = b = - hay b = 98 Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng 12 (b) (C) có tâm I(1 ; - 2) , R = Khỏang cách d từ I đến đường thẳng : / Suy độ dài dây cung : R − d = − = 13.c Vì đường trịn tiếp xúc Oy A( ; 5) nên tâm I(a ; 5) I ∈ 3x – y – = a= 10/3 Bán kính đường trịn 10/3 = 3,333… 14 (a) (C ) có tâm I( - 3/2 ; 5/2 ) , bán kính R = 46 => MT2 = IM2 + R2 = => MT = 15 (c) 16 (b) 17 (d) Hình chữ nhật sở có diện tích 4ab = 12 18 ( b) Tam giác OBF cho : OB2 = BF2 - OF2 = 25 – = 16 => BF = b = Vậy độ dài trục nhỏ 19.(a) Ta c ó hệ : ⎧ x + 5y = ⎪ => y = 1/ => | y | = ⎨ 2 ⎪x + y = ⎩ Vậy tung độ dương M ½ ⎧ F M + F2 M = ⎧F M = ⎨ 20 (b) Ta có hệ : ⎨ ⎩ F1 M − F2 M = ⎩ F2 M = Suy : F1M2 – F2M2 = 4cx = 12 => x = 3/2 21(a) (P) : y2 = 2px qua điểm (2 ; 6) 36 = 4p Khoảng cách từ M đến đường chuẩn : x + p=9 p = + 4, = 6, 22( a) ⎧4 = px p ⎪ 23.(b) Gọi (x ; 2) tọa độ M , ta có hệ : ⎨ => + = ( x > ) p p ⎪x + = ⎩ p2 – 10p + = 99 Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng Phương trình có nghiệm tổng 10 24 (d) Phương trình đường thẳng d : y = x – Phương trình hồnh độ giao điểm M , N : (x – 1)2 = 4x x2 – x + = (1) Gọi x1 , x2 hoành độ M , N , ta có : MN = FM + FN = (1 + x1 ) + (1 + x2 ) = + x1 + x2 = 25(d) x y2 − =1 : * có c = => tiêu cự : (a) sai * có tiệm cận : y = ± x /2 : (b) sai 26(b) (H) : 2x2 – 8y2 = 16 Phương trình hai tiệm cận : x ± 2y = x − 4y2 x + 2y x − 2y = = Tích khoảng cách : 5 5 27(b) Ta có : c = 10 b = 2a Suy : a2 + b2 = 100 5a2 = 100 a= Vậy độ dài trục thực ⎧ 25 16 =1 ⎪ − 28(a) Ta có hệ : ⎨ a2 b ⎪b = 2a2 ⎩ ⎧ ⎪ a = 17 => ab = 17 ⎨ ⎪ b = 34 ⎩ 29(d) Ta có : a = Phương trình tiệm cận : bx + 4y = Khoảng cách từ A1 đến tiệm cận : −4b b + 16 Vậy độ dài trục ảo : 2b = 30(b) Ta có : 2a = =2 16b2 = 4b2 + 64 b2 = 16/ ≈ 4, a = Ngoài r a: 16 – = a2 + b2 = + b2 b2 = ⎧ x y2 = Tọa độ giao điểm (E) (H) : Vậy (H) : ⎨ − ⎩4 100 Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng ⎧ x + y = 16 ⎪ ⎨ 2 ⎪2 x − y = ⎩ ⎧ 16 ⎪x = ⎪ => x2 + y2 = ⎨ ⎪y2 = ⎪ ⎩ Vậy giao điểm thuộc đường tròn tâm O , bán kính 2 101 ... Tiêu điểm F có tọa độ ( ; ) Phương trình đường thẳng d : y -0= (x- 1) x = ky + k Phương trình tung độ giao điểm d (P) : y2 = ( ky + ) y2 – 4ky - = (1) 76 Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng ∆’... lên Ox Gọi A điểm (O) có tung độ – a) Gọi (x0 ; y0 ) tọa độ M , viết phương trình OM AH b) Suy giao điểm I OM AH di động parabol 78 Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng 3.116 Cho parabol (P)... ; 2) tọa độ M , ta có hệ : ⎨ => + = ( x > ) p p ⎪x + = ⎩ p2 – 10p + = 99 Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng Phương trình có nghiệm tổng 10 24 (d) Phương trình đường thẳng d : y = x – Phương