Đang tải... (xem toàn văn)
Phân tích một số ra thừa số nguyên tố: * Phân tích một số tự nhiên lớn hơn 1 ra thừa số nguyên tố là viết số đó dưới dạng một tích các thừa số nguyên tố.. - Dạng phân tích ra thừa số ngu[r]
CHUYÊN ĐỀ VỀ SỐ NGUYÊN TỐ - HỢP SỐ A/ LÝ THUYẾT CƠ BẢN: Định nghĩa: * Số nguyên tố số tự nhiên lớn 1, có hai ước * Hợp số số tự nhiên lớn 1, có nhiều hai ước Tính chất: * Nếu số nguyên tố p chia hết cho số nguyên tố q p = q * Nếu tích abc chia hết cho số ngun tố p thừa số tích abc chia hết cho số nguyên tố p * Nếu a b không chia hết cho số nguyên tố p tích ab khơng chia hết cho số nguyên tố p Cách nhận biết số nguyên tố: A) Chia số cho số nguyên tố biết từ nhỏ đến lớn - Nếu có phép chia hết số khơng phải số nguyên tố - Nếu chia lúc số thương nhỏ số chia mà phép chia cịn số dư số số nguyên tố B) Một số có ước số lớn số khơng phải số ngun tố Phân tích số thừa số nguyên tố: * Phân tích số tự nhiên lớn thừa số nguyên tố viết số dạng tích thừa số nguyên tố - Dạng phân tích thừa số nguyên tố số ngun tố số - Mọi hợp số phân tích thừa số nguyên tố Số nguyên tố nhau: * Hai số nguyên tố hai số có ƯCLN Hai số a b nguyên tố ƯCLN(a, b) = Các số a, b, c nguyên tố ƯCLN(a, b, c) = Các số a, b, c đôi nguyên tố ƯCLN(a, b) = ƯCLN(b, c) = ƯCLN(c, a) =1 Số nguyên tố được nghiên cứu từ nhiều kỉ trước công nguyên nhiều tóan số nguyên tố chưa giải trọn vẹn B/ Các dạng bài tập về số nguyên tố: 1/ Chứng minh biểu thức số nguyên tố: Bài tập 1:Cho số tự nhiên n > CMR:các số n!–1 có ước ngun tố lớn n Giải : Gọi a = n! – Do n > nêm a>1.Mội số tự nhiên lớn có ước ngun tố Gọi p ước nguyên tố a.Tia chứng minh p >n Thật giả sử p < n tích 1.2.3 n chia hết cho p, ta có n ! chia hết cho p , mà a chia hết cho p nên chia hết chi p, vơ lí Bài tập 2:Chứng minh tồn vô số số tự nhiên n cho n 2= x2+p p số nguyên tố x số tự nhiên Giải: Lấy n=3k+2 (k tự nhiên) Từ dẳng thức n2 =x2+p Suy p =n2 –x2 =(n-x)(n+x) Vì p nguyên tố n>x nên n-x=1 n+x=p Từ p=2n-1 =3(2k+1), điều khơng thể xảy Vậy số có dạng 3k+2 (có vơ số ) biểu diễn dạng x2 +p Bài tập 3:CMR chia số nguyên tố cho 30 thi số dư số nguyên tố Chỉ dẫn :- Chứng minh số dư không chia hết cho 2, 3, 2/ Với số nguyên tố, chứng minh đẳng thức, biểu thức thỏa mãn điều kiện đó: Bài tập Chứng minh số 2n+1 số nguyên tố n=2m Giải: Giả sử n=2m.thế viết dạng n=tk,trong k số lẻ n>1.suy ra: 2n+1=2tk+1=(2t+1)(2t(k-1)- 2t(k-2)+…-2t+1)là hợp số.vậy giả sử sai 2n+1 theo đề số nguyên tố 3/ Tìm giá trị tham số để biểu thức số nguyên tố: Bài tập 5:Tìm số tự nhiên p cho p p+3 số nguyên tố Giải: Một số tự nhiên kì có hai dạng: 2n; 2n+1 nỴN Nếu p= 2n+1 p+3 =2n + :2 Ta có p+3 >3 p+3 :2 Nên p+3 hợp số trái đề Do p=2n Nhưng p nguyên tố nên p= P+3 =5 nguyên tố Vậy:p=2 Bài tập 6:Tìm số nguyên tố p cho p+4 va p+8 số nguyên tố Giải: Bất kì số tự nhiên nao có ba dạng: 3n; 3n +1;3n+2 ;nỴN Nếu p=3n p+8 =3n+9 :3 , vơ lí Nếu p=3n+2 p+4= 3n +6, vơ lí Do p=3n Nhưng p ngun tố nên p = P+4=7;p+8=11, nguyên tố Vậy p=3 Bài tập 7: Chứng tỏ p=a+ b số nguyên tố a b hai số nguyên tố Giải: Giả sử a b hai số không nguyên tố Ta suy a b phải có USC d >1 A:d ; b:d Do : a+b :d Suy p:d Số tự nhiên p, 1và p cịn có ƯSC d >1 nên p hợp số, trái với dề cho Vậy a b nguyên tố p = a + b số nguyên tố Bài tập 8:Cho a b hai số nguyên tố Chứng minh ab a+b nguyên tố Giải: Giả sử ab a+b không nguyên tố Ta suy ab a+b có ƯSC nguyên tố d Ab:d ; a+b:d Vì ab:d, d nguyên tố nên a :d b: d Nếu a:d Mà a+b :d nên b:d Suy a b có USC ngun tố d, vơ lí vì(a,b )=1 Tương tự b:d Vậy ab a+b nguyên tố a b nguyên tố 4/ Cách xác định số lượng ước của số: 1.Nếu số M phân tích thừa số nguyên tố m=a x.by…cz số lượng ước M là: (x+1)(y+1) …(z+1) 2- Khi phân tích thừa số nguyên tố,số phương chứa thừa số nguyên tố với số mũ chẵn.Từ suy ra: Số phương chia hết cho chia hết cho 22 Số phương chia hết cho 23 chia hết cho 24 Số phương chia hết cho chia hết cho 32 Số phương chia hết cho 33 chia hết cho 34 Số phương chia hết cho chia hết cho 52 3-Tính chất chia hết liên quan đến số nguyên tố: Nếu tích ab chia hết cho số ngun tố p a:p hoăc b:p Bài tập 9:Tìm hai số nguyên tố biết tổng chúng 601 Giải: Tổng hai số nguyên tố 601,là số lẻ nên hai sốphải số nguyên tố chẵn,đó số 2.Số thứ là:601-2=599(tra bảng thấy 599 số nguyên tố) Bài tập 10: Cho A=5+5.2+5.3+…+5.100 A/SốA số nguyên tố hay hợp số? B/Số A có phải số phương khơng? Giải A/A>5;A:5(vì hạng tử chia hết cho 5) nên A hợp số B/52:25 nên53:25,…,5100:25 Nhưng 5/25 nên A/25 Số A:5 nhưngA/25 nên A khơng phải số phương Bài tập 11: Số 54 có ước?Viết tất ước Giải: 54=2.33 Số ước 54 là(1+1)(3+1)=8 ước 5/ Một số tốn tởng hợp: Bài tập12: Chứng minh phân số , n Ỵ N phân số tối giản Giải: Ta viết: 2n+5= (n+2) +(n+3) N2 +5n +6 = (n+2) +(n+3) (N+2) (n+3) hai số tự nhiên liên tiếp nên nguyên tố Theo 55, ta suy tổng chúng: 2n+5= (n+2) +(n+3) tích chúng n2 +5n +6 = (n+2) +(n+3) Là hai số nguyên tố Do phân số tối giản Bài 13: Ta biết có 25 số nguyên tố nhỏ 100 Tổng 25 số nguyên tố số chẵn hay số lẻ HD:Trong 25 số nguyên tố nhỏ 100 có chứa số nguyên tố chẵn 2, 24 số nguyên tố lại số lẻ Do tổng 25 số nguyên tố số chẵn Bài 14: Tổng số nguyên tố 1012 Tìm số nguyên tố nhỏ ba số ngun tố HD:Vì tổng số ngun tố 1012, nên số nguyên tố tồn số nguyên tố chẵn Mà số nguyên tố chẵn số nguyên tố nhỏ Vậy số nguyên tố nhỏ số nguyên tố Bài 15: Tổng số nguyên tố 2003 hay khơng? Vì sao? HD:Vì tổng số nguyên tố 2003, nên số nguyên tố tồn số nguyên tố chẵn Mà số nguyên tố chẵn Do số nguyên tố lại 2001 Do 2001 chia hết cho 2001 > Suy 2001 số nguyên tố Bài 16: Tìm số nguyên tố p, cho p + p + số nguyên tố HD:Giả sử p số nguyên tố - Nếu p = p + = p + = số nguyên tố - Nếu p số ngun tố p có dạng: 3k, 3k + 1, 3k + với k N* +) Nếu p = 3k p=3 p + = p + = số nguyên tố +) Nếu p = 3k +1 p + = 3k + = 3(k + 1) p + p + > Do P + hợp số +) Nếu p = 3k + p + = 3k + = 3(k + 2) p + p + > Do P + hợp số Vậy với p = p + p + số nguyên tố Bài 17: Cho p p + số nguyên tố (p > 3) Chứng minh p + hợp số HD:Vì p số nguyên tố p > 3, nên số nguyên tố p có dạng: 3k + 1, 3k + với k N* - Nếu p = 3k + p + = 3k + = 3(k + 2) p + p + > Do P + hợp số ( Trái với đề p + số nguyên tố) - Nếu p = 3k + p + = 3k + = 3(k + 3) p + p + > Do P + hợp số Vậy số nguyên tố p có dạng: p = 3k + p + hợp số 6/ Bài tập tự luyện: Bài 1: Tìm số nguyên tố p cho số sau số nguyên tố: A) p + p + 10 B) p + 10 p + 20 C) p + 10 p + 14 D) p + 14 p + 20 E) p + 2và p + F) p + p + 14 G) p + p + 10 H) p + p + 10 Bài 2: Tìm số nguyên tố p cho số sau số nguyên tố: A) p + 2, p + 8, p + 12, p + 14 B) p + 2, p + 6, p + 8, p + 14 C) p + 6, p + 8, p + 12, p + 14 D) p + 2, p + 6, p + 8, p + 12, p + 14 E) p + 6, p + 12, p + 18, p + 24 F) p + 18, p + 24, p + 26, p + 32 G) p + 4, p + 6, p + 10, p + 12, p+16 Bài 3: A) Cho p p + số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: p + hợp số B) Cho p 2p + số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: 4p + hợp số C) Cho p 10p + số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: 5p + hợp số D) Cho p p + số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: p + hợp số E) Cho p 4p + số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: 2p + hợp số F) Cho p 5p + số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: 10p + hợp số G) Cho p 8p + số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: 8p - hợp số H) Cho p 8p - số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: 8p + hợp số I) Cho p 8p2 - số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: 8p + hợp số J) Cho p 8p2 + số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: 8p2 - hợp số Bài 4: Chứng minh rằng: A) Nếu p q hai số nguyên tố lớn p2 – q2 24 B) Nếu a, a + k, a + 2k (a, k N*) số nguyên tố lớn k Bài 5: A) Một số nguyên tố chia cho 42 có số dư r hợp số Tìm số dư r B) Một số nguyên tố chia cho 30 có số dư r Tìm số dư r biết r không số nguyên tố Bài 6: Hai số nguyên tố gọi sinh đôi chúng hai số nguyên tố lẻ liên tiếp Chứng minh số tự nhiên lớn nằm hai số ngun tố sinh đơi chia hết cho Bài 7: Cho số nguyên tố lớn 3, số sau lớn số trước d đơn vị Chứng minh d chia hết cho ... Tổng hai số nguyên tố 601,là số lẻ nên hai sốphải số nguyên tố chẵn,đó số 2.Số thứ là:601-2=599 (tra bảng thấy 599 số nguyên tố) Bài tập 10: Cho A=5+5.2+5.3+…+5.100 A/SốA số nguyên tố hay hợp số?... tồn số nguyên tố chẵn Mà số nguyên tố chẵn số nguyên tố nhỏ Vậy số nguyên tố nhỏ số nguyên tố Bài 15: Tổng số nguyên tố 2003 hay khơng? Vì sao? HD:Vì tổng số ngun tố 2003, nên số nguyên tố tồn số