Đang tải... (xem toàn văn)
Luận văn đề tài Ứng dụng bài toán nội suy Lagrange và khai triển Tatlor Giả thiết hàm số y = f(x) có tất cả các đạo hàm đến cấp n + 1 (kể cả đạo hàm cấp n + 1) trong một...
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG………………… LUẬN VĂN Ứng dụng bài toán nội suy Lagrange và khai triển Tatlor 1 Mu . cLu . c Mo . ’ d¯ ˆa ` u 3 1 C´ac b`ai to´an nˆo . i suy cˆo ˙’ d¯ i ˆe ˙’ n6 1.1 B`ai to´an nˆo . isuyLagrange 6 1.1.1 Ba`i toa´n nˆo . i suy Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2 D - ath´u . cnˆo . i suy Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 B`ai to´an nˆo . isuyTaylor 7 1.2.1 Ba`i toa´n nˆo . isuyTaylor 7 1.2.2 D - ath´u . cnˆo . isuyTaylor 7 1.3 Ba`i toa´n nˆo . isuyNewton 7 1.3.1 Ba`i toa´n nˆo . isuyNewton 7 1.3.2 D - ath´u . cnˆo . isuyNewton 7 1.4 Ba`i toa´n nˆo . isuyHermite 8 1.4.1 Ba`i toa´n nˆo . isuyHermite 8 1.4.2 D - ath´u . cnˆo . isuyHermite 8 2Mˆo . tsˆo ´ ´u . ng du . ng cu ˙’ a cˆong th´u . cnˆo . i suy 13 2.1 Mˆo . tsˆo ´ ´u . ng du . ng cu ˙’ a cˆong th´u . cnˆo . i suy Lagrange . . . . . . . . . . . 13 2.1.1 Cˆong th´u . cnˆo . i suy Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1.2 Mˆo . tsˆo ´ ´u . ng du . ng 18 2.2 Mˆo . tsˆo ´ ´u . ng du . ng cu ˙’ a c´ac cˆong th´u . cnˆo . i suy kh´ac . . . . . . . . . . . 28 2.2.1 Cˆong th´u . cnˆo . isuyTaylor 28 2.2.2 Cˆong th´u . cnˆo . isuyNewton 31 2.2.3 Cˆong th´u . cnˆo . i suy Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.3 Ba`i tˆa . p 35 3 ´ U . ng du . ng cˆong th´u . cnˆo . i suy d¯ˆe ˙’ u . ´o . clu . o . . ng v`a xˆa ´ pxı ˙’ h`am sˆo ´ 38 3.1 U . ´o . clu . o . . ng h`am sˆo ´ 38 3.1.1 U . ´o . clu . o . . ng h`am sˆo ´ theo c´ac n´ut nˆo . i suy Lagrange . . . . . . . 38 3.1.2 U . ´o . clu . o . . ng h`am sˆo ´ theo c´ac n´ut nˆo . i suy Chebyshev . . . . . . 41 3.2 Mˆo . tsˆo ´ phu . o . ng ph´ap kh´ac d¯ˆe ˙’ u . ´o . clu . o . . ng h`am sˆo ´ 47 3.3 Xˆa ´ pxı ’ ha`m sˆo ´ theo d¯a th´u . cnˆo . isuy 50 2 3.4 Ba`i tˆa . p 54 Kˆe ´ t luˆa . ncu ’ a luˆa . n v˘an 55 Ta`i liˆe . u tham kha ’ o 57 3 Mo . ’ d¯ ˆa ` u Trong qua´ trı`nh tı´nh toa´n, nhiˆe ` u khi ta cˆa ` n pha ’ ixa´cd¯i . nh gia´ tri . cu ’ amˆo . t ha`m sˆo ´ f(x)ta . imˆo . td¯iˆe ’ m tu`y y´ cho tru . ´o . c, trong khi d¯o´d¯iˆe ` ukiˆe . nchı ’ m´o . ichobiˆe ´ tmˆo . t sˆo ´ gia´ tri . (r`o . ira . c) cu ’ a ha`m sˆo ´ va`cu ’ ad¯a . o ha`m ha`m sˆo ´ d¯ ˆe ´ ncˆa ´ p na`o d¯o´cu ’ a no´ ta . i mˆo . tsˆo ´ d¯ i ˆe ’ m x 1 ,x 2 , ··· ,x k cho tru . ´o . c. V´o . inh˜u . ng tru . `o . ng ho . . pnhu . vˆa . y, ngu . `o . i ta thu . `o . ng tı`m ca´ch xˆay du . . ng mˆo . t ha`m sˆo ´ P (x)da . ng d¯o . n gia ’ nho . n, thu . `o . ng la` ca´c d¯a th´u . cd¯a . isˆo ´ , tho ’ ama ˜ n ca´c d¯iˆe ` ukiˆe . n d¯ a ˜ cho. Ngoa`i ra, ta . inh˜u . ng gia´ tri . x ∈ R ma` x khˆong tru`ng v´o . i x 1 ,x 2 , ··· ,x k , thı` P (x) ≈ f(x) (xˆa ´ pxı ’ theo mˆo . td¯ˆo . chı´nh xa´c na`o d¯o´). Ha`m sˆo ´ P (x)d¯u . o . . c xˆay du . . ng theo ca´ch v`u . a mˆo ta ’ trˆen d¯u . o . . cgo . i la` ha`m nˆo . i suy cu ’ a f(x); ca´c d¯iˆe ’ m x 1 ,x 2 , ···,x k thu . `o . ng d¯u . o . . cgo . ila`ca´cnu´t nˆo . i suy va` ba`i toa´n xˆay du . . ng ha`m P(x)nhu . vˆa . yd¯u . o . . cgo . ila`Ba`i toa´n nˆo . i suy. Su . ’ du . ng ha`m (d¯a th´u . c) nˆo . i suy P (x), ta dˆe ˜ da`ng tı´nh d¯u . o . . c gia´ tri . tu . o . ng d¯ˆo ´ i chı´nh xa´c cu ’ a ha`m sˆo ´ f(x)ta . i x ∈ R tu`y y´ cho tru . ´o . c. T`u . d¯ o´, ta co´ thˆe ’ tı´nh gˆa ` n d¯u´ng gia´ tri . d¯ a . oha`mva` tı´ch phˆan cu ’ a no´ trˆen R. Ca´c ba`i toa´n nˆo . i suy cˆo ’ d¯ i ˆe ’ n ra d¯`o . it`u . rˆa ´ ts´o . mva`d¯o´ng vai tro` rˆa ´ t quan tro . ng trong thu . . ctˆe ´ . Do d¯o´, viˆe . c nghiˆen c´u . u ca´c ba`i toa´n nˆo . i suy la` rˆa ´ t co´ y´ nghı ˜ a. O . ˙’ ca´c tru . `o . ng phˆo ’ thˆong, ly´ thuyˆe ´ tvˆe ` vˆa ´ nd¯ˆe ` na`y khˆong d¯u . o . . cd¯ˆe ` cˆa . p, nhu . ng nh˜u . ng ´u . ng du . ng so . cˆa ´ pcu ’ a no´ cu ˜ ng ”ˆa ’ nhiˆe . n” khˆong ı´t, ch˘a ’ ng ha . n trong ca´c phu . o . ng trı`nh d¯u . `o . ng ho˘a . cphu . o . ng trı`nh m˘a . tbˆa . c hai, trong ca´c d¯˘a ’ ng th ´u . cda . ng phˆan th´u . cva`d¯˘a . cbiˆe . t la` viˆe . c´u . ng du . ng cˆong th´u . cnˆo . i suy Lagrange va` khai triˆe ’ n Taylor d¯ˆe ’ gia ’ imˆo . tsˆo ´ ba`i toa´n kho´ trong ca´c d¯ˆe ` thi ho . c sinh gio ’ i ca´c cˆa ´ p. Vı` vˆa . y, viˆe . c hı`nh tha`nh mˆo . t chuyˆen d¯ˆe ` cho . nlo . cnh˜u . ng vˆa ´ nd¯ˆe ` co . ba ’ n nhˆa ´ tvˆe ` ca´c ba`i toa´n nˆo . i suy, du . ´o . igo´cd¯ˆo . toa´n phˆo ’ thˆong, d¯˘a . cbiˆe . t la` nh˜u . ng ´u . ng du . ng cu ’ a no´ trong qua´ trı`nh gia ’ imˆo . tsˆo ´ da . ng toa´n kho´ la` rˆa ´ tcˆa ` n thiˆe ´ t. Ho . nn˜u . a, chuyˆen d¯ ˆe ` na`y cu ˜ ng co´ thˆe ’ la`m ta`i liˆe . u tham kha ’ o cho ca´c gia´o viˆen gio ’ iva` ca´c sinh viˆen nh˜u . ng n˘am d¯ˆa ` ucu ’ abˆa . cd¯a . iho . c. ´ Ytu . o . ’ ng muˆo ´ n thu . . chiˆe . n luˆa . n v˘an na`y hı`nh tha`nh tru . ´o . c khi cuˆo ´ n sa´ ch chuyˆen kha ’ o [2] ra d¯`o . i. D - ˆay v`u . a la` mˆo . t thuˆa . nlo . . iv`u . ala`mˆo . t kho´ kh˘an cho nˆo ˜ lu . . c tı`m kiˆe ´ m 4 nh˜u . ng ne´t m´o . i cho luˆa . n v˘an cu ’ a ta´c gia ’ , vı` cuˆo ´ n sa´ch trˆen la` mˆo . t ta`i liˆe . urˆa ´ t quı´ gia´, trong khi d¯o´hˆa ` unhu . chu . a co´ mˆo . t ta`i liˆe . u toa´n so . cˆa ´ p na`o d¯ˆe ` cˆa . pd¯ˆe ´ nvˆa ´ nd¯ˆe ` na`y mˆo . t ca´ch tro . nve . n. Do d¯o´, luˆa . n v˘an khˆong qua´ d¯ˆe ` cˆa . psˆauvˆe ` ly´ thuyˆe ´ t ma` cˆo ´ g˘a ´ ng tı`m kiˆe ´ mnh˜u . ng ´u . ng du . ng cu ’ ano´va`o viˆe . c gia ’ iva` sa´ng ta´c ca´c ba`i tˆa . po . ’ phˆo ’ thˆong, d¯˘a . cbiˆe . t la` nh˜u . ng ´u . ng du . ng thu . `o . ng g˘a . pcu ’ a cˆong th´u . cnˆo . i suy Lagrange va` khai triˆe ’ n Taylor. Luˆa . n v˘an da`y 56 trang, gˆo ` m ca´c phˆa ` nMu . clu . c, Mo . ’ d¯ ˆa ` u, ba chu . o . ng nˆo . i dung, kˆe ´ t luˆa . nva` ta`i liˆe . u tham kha ’ o: Chu . o . ng 1: Ca´c ba`i toa´n nˆo . i suy cˆo ’ d¯ i ˆe ’ n. Nˆo . i dung chu . o . ng na`y trı`nh ba`y mˆo . t ca´ch co . ba ’ n nhˆa ´ tvˆe ` ca´c ba`i toa´n nˆo . i suy cˆo ’ d¯ i ˆe ’ n, d¯o´ la` Ba`i toa´n nˆo . i suy Lagrange, Ba`i toa´n nˆo . i suy Taylor, Ba`i toa´n nˆo . i suy Newton va` Ba`i toa´n nˆo . i suy Hermite. Chu . o . ng 2: Mˆo . tsˆo ´ ´u . ng du . ng cu ’ a cˆong th´u . cnˆo . i suy. D - ˆay la` mˆo . t trong nh˜u . ng nˆo . i dung tro . ng tˆam cu ’ a luˆa . n v˘an. V´o . itˆa ` m quan tro . ng o . ’ phˆo ’ thˆong, cˆong th´u . cnˆo . i suy Lagrange va`nh˜u . ng ´u . ng du . ng cu ’ a no´ d¯u . o . . cd¯ˆe ` cˆa . p tha`nh mˆo . t phˆa ` n riˆeng trong chu . o . ng na`y v´o . inh˜u . ng phu . o . ng pha´p gia ’ i toa´n kha´ d¯a da . ng va`mˆo . tsˆo ´ lu . o . . ng ba`i tˆa . pd¯ˆe ` xuˆa ´ t kha´ phong phu´. Nhiˆe ` ud¯˘a ’ ng th´u . cdu . ´o . ida . ng phˆan th´u . c co´ nguˆo ` ngˆo ´ ct`u . cˆong th´u . cnˆo . i suy Lagrange d¯a ˜ d¯ u . o . . c luˆa . n v˘an pha´t hiˆe . n. Nhiˆe ` u ba`i toa´n thi cho . nho . c sinh gio ’ i quˆo ´ cgiava` quˆo ´ ctˆe ´ d¯ a ˜ d¯ u . o . . c gia ’ ib˘a ` ng ca´ch a´p du . ng cˆong th´u . cnˆo . i suy na`y. Phˆa ` n co`n la . icu ’ a chu . o . ng trı`nh ba`y mˆo . tsˆo ´ ´u . ng du . ng cu ’ a ca´c cˆong th´u . cnˆo . i suy co`n la . i. Mˆo . tsˆo ´ ba`i tˆa . p da`nh cho ba . nd¯o . ccu ˜ ng d¯ u . o . . c gi´o . i thiˆe . uo . ’ phˆa ` n cuˆo ´ i chu . o . ng. Chu . o . ng 3: ´ U . ng du . ng cˆong th´u . cnˆo . isuyd¯ˆe ’ u . ´o . clu . o . . ng va` xˆa ´ pxı ’ ha`m sˆo ´ . Chu . o . ng na`y ta´ch riˆeng mˆo . t´u . ng du . ng cu ’ a ca´c cˆong th´u . cnˆo . i suy d¯ˆe ’ u . ´o . clu . o . . ng va`xˆa ´ pxı ’ ha`m sˆo ´ .Mˆo . tsˆo ´ da . ng toa´n kho´ o . ’ phˆo ’ thˆong liˆen quan d¯ˆe ´ nvˆa ´ nd¯ˆe ` na`y d¯ a ˜ d¯ u . o . . cd¯ˆe ` cˆa . p, trong d¯o´ co´ nh˜u . ng ba`i trong ca´c d¯ˆe ` thi cho . nho . c sinh gio ’ i quˆo ´ c gia va` quˆo ´ ctˆe ´ .Mˆo . tsˆo ´ phˆa ` ncu ’ a luˆa . n v˘an d¯a ˜ d¯ u . o . . c d¯˘ang ta ’ i trong ca´c ky ’ yˆe ´ uhˆo . i nghi . chuyˆen nga`nh, ch˘a ’ ng ha . n [1]. Luˆa . n v˘an d¯u . o . . c hoa`n tha`nh nh`o . su . . hu . ´o . ng dˆa ˜ n khoa ho . cva` nhiˆe . t tı`nh cu ’ aTiˆe ´ n sy ˜ Tri . nh D - a`o Chiˆe ´ n - Ngu . `o . i Thˆa ` yrˆa ´ t nghiˆem kh˘a ´ cva`tˆa . n tˆam trong cˆong viˆe . c, truyˆe ` nd¯a . t nhiˆe ` ukiˆe ´ nth´u . c quı´ ba´u cu ˜ ng nhu . kinh nghiˆe . m nghiˆen c´u . u khoa ho . c trong suˆo ´ t th`o . i gian nghiˆen c´u . ud¯ˆe ` ta`i. Chı´nh vı` vˆa . y ma` ta´c gia ’ luˆon to ’ lo`ng biˆe ´ t o . n chˆan tha`nh va` sˆau s˘a ´ cd¯ˆo ´ iv´o . i Thˆa ` y gia´o hu . ´o . ng dˆa ˜ n-Tiˆe ´ nsy ˜ Tri . nh D - a`o Chiˆe ´ n. 5 Nhˆan d¯ˆay, ta´c gia ’ xin d¯u . o . . c ba`y to ’ lo`ng biˆe ´ to . n chˆan tha`nh d¯ˆe ´ n: Ban Gia´m Hiˆe . u, Pho`ng d¯a`o ta . oD - a . iho . cva` sau D - a . iho . c, Khoa toa´n cu ’ a tru . `o . ng D - a . iho . c Qui Nho . n, cu`ng quı´ thˆa ` y cˆo gia´o d¯a ˜ tham gia gia ’ ng da . yva`hu . ´o . ng dˆa ˜ n khoa ho . ccho l´o . p cao ho . c toa´n kho´a 8. UBND tı ’ nh, So . ’ gia´o du . cva` d¯a`o ta . otı ’ nh Gia Lai, Ban Gia´m Hiˆe . u tru . `o . ng THPT Ia Grai d¯a ˜ cho ta´c gia ’ co . hˆo . iho . ctˆa . p, cu`ng v´o . i quı´ thˆa ` y cˆo gia´o cu ’ a nha` tru . `o . ng d¯a ˜ d¯ ˆo . ng viˆen, se ’ chia cˆong viˆe . cva`ta . omo . id¯iˆe ` ukiˆe . n thuˆa . n lo . . id¯ˆe ’ ta´c gia ’ nghiˆen c´u . uva` hoa`n tha`nh luˆa . n v˘an na`y. Trong qua´ trı`nh hoa`n tha`nh luˆa . n v˘an, ta´c gia ’ co`n nhˆa . nd¯u . o . . csu . . quan tˆam d¯ˆo . ng viˆen cu ’ a ca´c ba . nd¯ˆo ` ng nghiˆe . p, ca´c anh chi . em trong ca´c l´o . p cao ho . c kho´a VI I, VIII, XIX cu ’ a tru . `o . ng D - a . iho . c Qui Nho . n. Ta´c gia ’ xin chˆan tha`nh ca ’ mo . ntˆa ´ tca ’ nh˜u . ng su . . quan tˆam d¯ˆo . ng viˆen d¯o´. D - ˆe ’ hoa`n tha`nh luˆa . n v˘an na`y, ta´c gia ’ d¯ a ˜ tˆa . p trung rˆa ´ t cao d¯ˆo . trong hoc tˆa . pva` nghiˆen c´u . u khoa ho . c, cu ˜ ng nhu . rˆa ´ tcˆa ’ n thˆa . n trong nhˆan chˆe ´ ba ’ n. Trong d¯o´ ı´t nhiˆe ` u ha . nchˆe ´ vˆe ` th`o . i gian cu ˜ ng nhu . trı`nh d¯ˆo . hiˆe ’ ubiˆe ´ tnˆen trong qua´ trı`nh thu . . chiˆe . n khˆong thˆe ’ tra´nh kho ’ inh˜u . ng thiˆe ´ u so´t, ta´c gia ’ rˆa ´ t mong nhˆa . nd¯u . o . . csu . . chı ’ ba ’ ocu ’ a quı´ thˆa ` ycˆova`nh˜u . ng go´p y´ cu ’ aba . nd¯o . cd¯ˆe ’ luˆa . n v˘an d¯u . o . . c hoa`n thiˆe . nho . n. Quy Nho . n, tha´ng n˘am 2008 Ta´c gia ’ 6 Chu . o . ng 1 C´ac b`ai to´an nˆo . i suy cˆo ˙’ d¯ i ˆe ˙’ n Trong chu . o . ng na`y, luˆa . nv˘and¯ˆe ` cˆa . pmˆo . tsˆo ´ ba`i toa´n nˆo . i suy cˆo ’ d¯ i ˆe ’ nse ˜ su . ’ du . ng o . ’ ca´c chu . o . ng sau, d¯o´ la`: Ba`i toa´n nˆo . i suy Lagrange, Bai toa´n nˆo . i suy Taylor, Ba`i toa´n nˆo . i suy Newton va` Ba`i toa´n nˆo . i suy Hermite. L`o . i gia ’ i cho ca´c ba`i toa´n na`y la` ca´c d¯a th´u . cnˆo . i suy tu . o . ng ´u . ng ma` ch´u . ng minh chi tiˆe ´ td¯a ˜ d¯ u . o . . c trı`nh ba`y trong [2] 1.1 B`ai to´an nˆo . i suy Lagrange 1.1.1 Ba`i toa´n nˆo . i suy Lagrange Cho ca´c sˆo ´ thu . . c x i ,a i ,v´o . i x i = x j ,v´o . imo . i i = j, i, j =1, 2, ···,N.Ha ˜ yxa´c d¯ i . nh d¯a th´u . c L(x) co´bˆa . c degL(x) ≤ N −1 va` tho ’ aca´c d¯iˆe ` ukiˆe . n L(x i )=a i , ∀i =1, 2, ···,N . 1.1.2 D - ath´u . cnˆo . i suy Lagrange Ky´ hiˆe . u L i (x)= N j=1,j=i x − x j x i − x j ; i =1, 2, ··· ,N. Khi d¯o´, d¯a th´u . c L(x)= N i=1 a i L i (x) la` d¯a th ´u . c duy nhˆa ´ t tho ’ ama ˜ nd¯iˆe ` ukiˆe . ncu ’ a ba`i toa´n nˆo . i suy Lagrange va` ta go . i d¯a th´u . c na`y la` d¯a th´u . cnˆo . i suy Lagrange. 7 1.2 B`ai to´an nˆo . i suy Taylor 1.2.1 Ba`i toa´n nˆo . i suy Taylor Cho ca´c sˆo ´ thu . . c x 0 ,a i , v´o . i i =0, 1, ···,N − 1.Ha ˜ y xa´c d¯i . nh d¯a th´u . c T (x) co´ bˆa . c degT (x) ≤ N − 1 va` tho ’ ama ˜ nca´c d¯iˆe ` ukiˆe . n T i (x 0 )=a i , ∀i =0, 1, ··· ,N − 1. 1.2.2 D - ath´u . cnˆo . i suy Taylor D - ath´u . c T (x)= N −1 i=0 a i i! (x − x 0 ) i la` d¯a th´u . c duy nhˆa ´ t tho ’ ama ˜ nd¯iˆe ` ukiˆe . ncu ’ a ba`i toa´n nˆo . i suy Taylor va`go . i d¯a th ´u . c na`y la` d¯a th´u . cnˆo . i suy Taylor. 1.3 Ba`i toa´n nˆo . i suy Newton 1.3.1 Ba`i toa´n nˆo . i suy Newton Cho ca´c sˆo ´ thu . . c x i ,a i , v´o . i i =1, 2, ··· ,N.Ha ˜ y xa´c d¯i . nh d¯a th´u . c N(x) co´bˆa . c degN(x) ≤ N −1 va` tho ’ ama ˜ nca´c d¯iˆe ` ukiˆe . n N i−1 (x i )=a i , ∀i =1, 2, ··· ,N. 1.3.2 D - ath´u . cnˆo . i suy Newton Ky´ hiˆe . u R i (x 1 ,x 2 , ··· ,x i ,x)= x x 1 t x 2 t 1 x 3 ··· t i−2 x i dt i−1 dt 2 .dt 1 .dt; i =1, 2, ··· ,N. khi d¯o´, d¯a th´u . c N(x)= N i=1 a i R i−1 (x 1 ,x 2 , , x i−1 ,x) = a 1 + a 2 R(x 1 ,x)+a 3 R 2 (x 1 ,x 2 ,x)+···+ a N R N −1 (x 1 , ···,x N −1 ,x) la` d¯a th´u . c duy nhˆa ´ t tho ’ ama ˜ nd¯iˆe ` ukiˆe . ncu ’ a ba`i toa´n nˆo . i suy Newton va` ta go . id¯a th ´u . c na`y la` d¯a th´u . cnˆo . i suy Newton 8 Nhˆa . n xe´t 1.1. V´o . i x i = x 0 , v´o . imo . i i =1, 2, ··· ,N, thı` R i (x 0 ,x 1 , ···,x i−1 ,x)=R i x 0 , ···,x 0 i lˆa ` n ,x = x x 0 t x 0 t 1 x 0 ··· t i−2 x 0 dt i−1 dt 2 .dt 1 .dt = (x − x 0 ) i i! ; v´o . i i =1, 2, ···,N Khi d¯o´ N(x)= N i=1 a i R i x 0 , ···,x 0 i lˆa ` n ,x = = a 0 + a 1 R(x 0 ,x)+a 2 R 2 (x 0 ,x 0 ,x)+···+ a N −1 R N −1 x 0 , ···,x 0 N −1 lˆa ` n ,x = a 0 + a 1 (x −x 0 )+a 2 (x − x 0 ) 2 2 + ···+ a N −1 (x − x 0 ) N −1 (N − 1)! = N −1 i=0 a i (x − x 0 ) i i! ≡ T(x). Vˆa . y, v´o . i x i = x 0 , ; ∀i =1, 2, ···,N, thı` d¯a th´u . cnˆo . i suy Newton chı´nh la` d¯a th´u . c nˆo . i suy Taylor. 1.4 Ba`i toa´n nˆo . i suy Hermite 1.4.1 Ba`i toa´n nˆo . i suy Hermite Cho ca´c sˆo ´ thu . . c x i ,a ki ,i=1, 2, ···,n; k =0, 1, ··· ,p i − 1 va` x i = x j ,v´o . i mo . i i = j, trong d¯o´ p 1 + p 2 + ···+ p n = N.Ha ˜ y xa´c d¯i . nh d¯a th´u . c H(x) co´bˆa . c degH(x) ≤ N − 1 va` tho ’ ama ˜ nca´c d¯iˆe ` ukiˆe . n H (k) (x i )=a ki , ∀i =1, 2, ···,n; ∀k =0, 1, ···,p i − 1 1.4.2 D - ath´u . cnˆo . i suy Hermite Ky´ hiˆe . u W (x)= n j=1 (x −x j ) p j ; 9 W i (x)= W (x) (x − x i ) p i = n j=1,j=i (x − x j ) p j ; i =1, 2, ··· ,n Go . i d¯oa . n khai triˆe ’ n Taylor d¯ˆe ´ ncˆa ´ pth´u . p i − 1 − k,v´o . i k =0, 1, ··· ,l; l = 0, 1, ···,p i − 1, ta . i x = x i cu ’ a ha`m sˆo ´ 1 W i (x) (i =1, 2, ··· ,n)la` T 1 W i (x) (p i −1−k) (x=x i ) = p i −1−k l=0 1 W i (x) (l) (x=x i ) (x − x i ) l l! . khi d¯o´, d¯a th´u . c H(x)= n i=1 p i −1 k=0 a ki (x − x i ) k k! W i (x)T 1 W i (x) (p i −1−k) (x=x i ) . la` d¯a th´u . c duy nhˆa ´ t tho ’ ama ˜ nd¯iˆe ` ukiˆe . ncu ’ a ba`i toa´n nˆo . i suy Hermite va`tago . id¯a th ´u . c na`y la` d¯a th´u . cnˆo . i suy Hermite. Nhˆa . n xe´t 1.2. V´o . i n = 1, thı` i =1va` p 1 = N. Khi d¯o´, ta co´ W (x)=(x − x 1 ) N ; W 1 (x)= W (x) (x − x 1 ) N =1. Do d¯o´, d¯oa . n khai triˆe ’ n T 1 W 1 (x) (N −1−k) (x=x 1 ) = T 1 (N −1−k) (x=x 1 ) =1. Khi d¯o´, ta co´ H(x)= N −1 k=0 a k1 (x − x 1 ) k k! ≡ T (x). Vˆa . y, v´o . i n = 1, thı` d¯a th´u . cnˆo . i suy Hermite chı´nh la` d¯a th´u . cnˆo . i suy Taylor. Nhˆa . n xe´t 1.3. V´o . i k = 0, thı` p i = 1, v´o . imo . i i =1, 2, ···,n. Khi d¯o´ p 1 + p 2 + ···+ p n = N, [...]... cua cˆng th´.c o o ´ nˆi suy o ’ ´ o Chu.o.ng nay trı bay mˆt sˆ u.ng dung cua cac cˆng th´.c nˆi suy, trong d´ d` ` `nh ` o o ´ u o ¯o ¯ˆ e ´ ’ ´ ` ´ ¯ˆ o o u o o u ´ e ¯e cˆp sˆu ho.n d o i v´.i cˆng th´.c nˆi suy Lagrange, cˆng th´.c co nhiˆu u.ng dung dˆ a a ’ ’ giai mˆt sˆ bai toan kho o hˆ phˆ thˆng chuyˆn toan o o ` ´ ´ ’ e o o e ´ ´ ng dung cˆng th´.c nˆi suy trong u.´.c lu.o.ng va... ) = aj ; ∀j = 1, 2, · · · , n Da th´.c co dang u ´ n n aj j=1 i=1,ı=j x − xi xj − xi (2.1) (2.2) Da th´.c (2.2) d u.o.c goi la d a th´.c nˆi suy Lagrange ho˘c cˆng th´.c nˆi suy u ¯ u o a o u o ` ¯ ´ x1 , x2, · · · , xn d u.o.c goi la cac nut nˆi suy ¯ Lagrange Cac sˆ ´ o ` ´ ´ o 14 ¯ u ¯o ` + V´.i n = 2, d a th´.c d´ la o P (x) = a1 x − x2 x − x1 + a2 x1 − x2 x2 − x1 (2.3) ´ Ky hiˆu degP... j=1 N Wi (x) = (x − xj ), i = 1, 2, · · · , N j=1,j=i ’ khi d´ , d oan khai triˆ n Taylor ¯o ¯ e T 1 Wi (x) 0 = (x=xi ) 1 1 = Wi (xi ) , i = 1, 2, · · · , N N (xi − xj ) j=1,j=i Vˆy, ta co a ´ N N a0i H(x) = i=1 j=1,j=i x − xj ≡ L(x) xi − xj ` ¯ u o ´nh ` ¯a u o Vˆy, v´.i k = 0, thı d a th´.c nˆi suy Hermite chı la d th´.c nˆi suy Lagrange a o `.ng ho.p tˆ ng quat, viˆc biˆ u diˆn d a th´.c Hermite... r˘ ng, cˆng th´.c nˆi suy Lagrange chı la ”cac ´ a e a ` o u o ´nh ` ´ V´ ´ o ’ ’ ´ ’ `nh d u.`.ng cong (ho˘c d u.`.ng th˘ng) d i qua cac d e m ¯ o a ¯ o a ¯ ´ ¯iˆ gˆ c” cua mˆt sˆ phu.o.ng trı o o o ´ ’ o a a cho tru.´.c trong m˘t ph˘ng toa d ˆ ¯o ´.i goc d o hı hoc -o ` ´ o ´ D´ la ”cai gˆ c” nhı du o ´ ¯ˆ `nh `n ´.i d ay, v´.i mˆt goc nhı khac, cˆng th´.c nˆi suy Lagrange con la ”cai gˆ... u.ng dung cua c´c cˆng th´.c nˆi suy o o ´ u o kh´c a o Cˆng th´.c nˆi suy Taylor o u ’ ´ ’ ’ ` ˜ Cˆng th´.c nˆi suy Taylor cho ta cˆng th´.c d o.n gian va cu ng rˆ t tˆ ng quat dˆ o u o o u ¯ a o ´ ¯e i han, ngu.`.i ta thu.`.ng dung ’ ` ´ o o ` xac d inh phˆn chı cua ham sˆ Do d´ , d e tı gi´ ´ ¯ a ´nh ’ ` o ¯o ¯ˆ `m o ’ e o o a ` ¯o o ¯ˆ ` o o ´ cˆng th´.c khai triˆ n Taylor t´.i mˆt cˆ p... mˆt cach viˆ t khac cua d a th´.c ` o ´ e ´ u Nhˆn xe t 2.3 Cˆng th´.c (2.18) cu ng chı a ´ o u o.c trı bay trong phˆn cac bai toan nˆi suy ` ´ ` ´ `nh ` a o nˆi suy Newton d˜ d u o ¯a ¯ 2.2.3 o Cˆng th´.c nˆi suy Hermite o u ´ Nhˆn xe t 2.4 Trong bai toan nˆi suy Hermite, nˆ u n = 2 thı i = 1 ho˘c i = 2 a ´ ` ´ o e ` a p = 1 va p = 3 Thˆ thı p + p = 4 = N ´ ` 1 ’ ’ Gia su 1 ` 2 e 2 Khi d´... cac d ˘ ng th´.c P (k) = u 1 k Cn+1 , v´.i k = 0, 1, 2, , n o Tı P (n + 1) ´nh ’ Giai V´.i 1 o i n, ´ p dung cˆng th´.c nˆi suy Lagrange, ta co a o u o ´ n P (x) = 1 k Cn+1 i=k k=0 x−i = k−i n (−1)n−k = k=0 n i=k (x − i) k Cn+1 (−1)n−k (n − k=0 n+1−k (n + 1)! k)!k! (x − i) i=k Suy ra n (−1) P (n + 1) = k=0 +1−k (n + 1)! n n−k n (−1)n−k (n + 1 − i) = i=k k=0 ˜ ´ ´ ’ ` Do d´ P (n + 1) = 0 nˆ u n le... nh˜.ng sˆ h˜.u tı u ’ ´ 23 ’ ´ ´ o Giai Ap dung cˆng th´.c nˆi suy Lagrange v´.i ak = k (k = 0, 1, 2, , n), ta co o u o f (x) = (−1)n f (0) (−1)n−1 f (1) (x − 1)(x − 2) (x − n) + x(x − 2) (x − n) n! 1!(n − 1)! (−1)n−2 f (2) x(x − 1)(x − 3) (x − n) 2!(n − 2)! ’ ´ ’ ´ ´ ’ Theo gia thiˆ t, f(0), f(1), , f(n) la nh˜.ng sˆ h˜.u tı Vı vˆy, khai triˆ n vˆ phai e ` u o u ’ ` a e e ’ ´ a ’ ’ ¯˘ e a ` ´ e... trˆn, ta thˆ y r˘ ng cac hˆ sˆ cua cac lu y th`.a cua x d` u la nh˜.ng u ´ u tı D` ng nhˆ t d a th´.c o hai vˆ , suy ra cac sˆ c , c , c + + c , la nh˜.ng ´ ´ ´ ´ u o a ¯ u ’ sˆ h˜ ’ - ˆ o u e ´ o 0 1 2 n ` u tı ´ sˆ h˜ ’ o u + ’ ’ ˜ Lu.u ´ : Cu ng co thˆ ´ p dung cˆng th´.c nˆi suy Lagrange tai n + 1 d iˆ m ak y ´ e a o u o ¯e u tı tuy ´ va khac nhau, thı cu ng d i d e n kˆ t qua trˆn Do d´... 2.10 Tı tˆ t ca cac d a th´.c P (x) co bˆc nho ho.n n (n ≥ 2) va thoa ` ´ `m a ’ ´ ¯ u ˜ ¯` ma n d iˆu kiˆn e e n k (−1)n−k−1 Cn P (k) = 0 k=0 ’ ´ ´ o ´ ´ o Giai Ap dung cˆng th´.c nˆi suy Lagrange v´.i cac nut nˆi suy xk = k ta co, moi o u o c P (x) co bˆc nho ho.n n d` u co dang ’ ´ a ¯ˆ ´ e d a th´ ¯ u n−1 P (xk ) P (x) = k=0 (x − x0 ) (x − xk−1 )(x − xk+1 ) (x − xn−1 ) (xk − x0) (xk − xk−1 . BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG………………… LUẬN VĂN Ứng dụng bài toán nội suy Lagrange và khai triển Tatlor 1 Mu . cLu . c Mo . ’ d¯. nˆo . i suy Lagrange va` ta go . i d¯a th´u . c na`y la` d¯a th´u . cnˆo . i suy Lagrange. 7 1.2 B`ai to´an nˆo . i suy Taylor 1.2.1 Ba`i toa´n nˆo . i suy