500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 26 224. Cho x là một số thực bất kì. Chứng minh rằng ( ) 4 4 16cos 3 768 2048cosx x+ + ≥ . 225. [ Lê Qu ố c Hán ] Cho x là m ộ t s ố th ự c b ấ t kì. Ch ứ ng minh r ằ ng ( ) ( ) 8 4 4 2 1 16 1 17 8 1 x x x + + ≤ ≤ + . 226. [ Nguyễn Lê Dũng ] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 a b b c c a a b c a b b c c a a b c + + + + + + + ≤ + + + + + . 227. [ Tr ầ n Xuân ð áng ] Cho , ,a b c là các s ố thực dương, 2n ≥ . Chứng minh rằng 1 1 n n n n a b c n n b c c a a b n + + > − + + + − . 228. [ Trịnh Bằng Giang ] Cho , ,x y z là các số thực không âm thỏa ñiều kiện 1x y z + + = , 2n ≥ . Ch ứ ng minh r ằ ng ( ) 1 1 n n n n n n x y y z z x n + + + ≤ + . 229. [ Nguy ễ n V ă n Ng ọ c ] Cho , ,x y z là các s ố th ự c d ươ ng. Ch ứ ng minh r ằ ng ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 4 3 16 3xyz x y z x y y z z x + + ≤ + + + . 230. [ Nguy ễ n Bá ð ang ] Cho , , , 6 2 x y z π π     ∈     . Ch ứ ng minh r ằ ng 2 sin sin sin sin sin sin 1 1 sin sin sin 2 x y y z z x z x y   − − −   + + ≤ −        . 231. [ Thái Nh ậ t Ph ượ ng ] Cho , ,x y z là các s ố th ự c d ươ ng th ỏ a mãn ñ i ề u ki ệ n 1xyz = . Ch ứ ng minh r ằ ng 2 2 2 3 3 3 3 x y z x y y z y z z x z x x y + + ≥ + + + + + + . 232. [ Thái Nh ậ t Ph ượ ng ] Cho , ,x y z là các s ố th ự c d ươ ng th ỏ a mãn ñ i ề u ki ệ n 1xyz = . Ch ứ ng minh r ằ ng 2 2 2 2 2 2 2 2 7 7 2 2 7 7 2 2 7 7 1 x y y z z x x y x y y z y z z x z x + + ≤ + + + + + + . 233. [ Tr ươ ng Ng ọ c ðắ c ] Cho , ,a b c là các s ố th ự c d ươ ng th ỏ a mãn ñ i ề u ki ệ n 1a b c+ + = . Ch ứ ng minh r ằ ng 3 3 1 4 a b abc a bc b ca c ab + + ≤ + + + + . 234. [ Nguy ễ n Minh Ph ươ ng ] Cho , ,x y z là các s ố th ự c d ươ ng th ỏ a mãn ñ i ề u ki ệ n 2007x y z + + = . Ch ứ ng minh r ằ ng 20 20 20 9 11 11 11 3.669 x y z y z x + + ≥ . 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 27 235. [ Phạm Thị Thanh Quỳnh ] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 3 3 3 3 3 3 2 2 2 5 5 5 3 3 3 b a c b a c a b c ab b bc c ca a − − − + + ≤ + + + + + . 236. [ Lê Quang Nẫm ] Cho , ,x y z là các số thực thỏa mãn ñiều kiện , , 1x y z ≥− và 3 3 3 2 2 2 x y z x y z+ + ≥ + + . Chứng minh rằng 5 5 5 2 2 2 x y z x y z+ + ≥ + + . 237. [ Nguyễn ðễ ] Cho , , , sin sin sin 2α β γ α β γ∈ + + ≥ℝ . Chứ ng minh r ằ ng cos cos cos 5α β γ+ + ≤ . 238. [ Hu ỳ nh T ấ n Châu ] Cho , , a b c là các s ố th ự c d ươ ng th ỏ a mãn ñ i ề u ki ệ n 6a b c+ + = . Ch ứ ng minh r ằ ng 2 2 2 1 1 1 3 17 2 a b c b c c a a b + + + + + ≥ + + + . 239. [ ðỗ Thanh Hải ] Cho , , ,x y z t là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1xyzt = . Chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 1 1 1 1 4 3x yz zt ty y xz zt tx z xt ty yx t xy yz zx + + + ≥ + + + + + + + + . 240. [ ðỗ Bá Ch ủ ] Cho 1 2 1 2 , , , 0, ; , 1 k k a a a a a a k k n> + + + ≥ ≥ . Ch ứ ng minh r ằ ng 1 2 1 1 1 1 2 1 n n n k n n n k a a a a a a + + + + + + ≤ + + + . 241. Cho , , a b c là các s ố thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc a c b+ + = . Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 3 10 1 1 1 3a b c − + ≤ + + + . Vietnam, 1999 242. [ ðặng Thanh Hải ] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 2 a b b c c a c a b c a b a b b c a c   + + +    + + ≥ + +       + + +   . 243. Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1ab bc ca+ + = . Chứng minh rằng 10 3 9 a b c abc+ + + ≥ . 244. [ Phan Hoàng Vinh ] Cho [ ] 1 2 , , , 0,1 , 2 n a a a n ∈ ≥ . Chứng minh rằng 1 2 2 3 1 3 1 2 1 1 1 1 1 n n n n aa a n a a a a a a a a a − + + + ≤ − + + + . 245. [ ð ào M ạ nh Th ắ ng ] Cho , ,a b c là các s ố th ự c d ươ ng th ỏ a mãn ñ i ề u ki ệ n 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b b c c a a b c+ + ≥ . Ch ứ ng minh r ằ ng 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 28 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 a b b c c a c a b a b c b c a + + ≥ + + + . 246. [ ðỗ Ngọc Ánh ] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 6a b c+ + = . Chứng minh rằng 3 3 3 1 1 1 729 1 1 1 512a b c           + + + ≥                 . 247. [ Trương Hoàng Hiếu ] Cho , ,a b c là các số thực không âm thỏa mãn ñiều kiện 1a b c+ + = . Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 2 1 1 1 7 1 1 1 2 a b c b c a + + + + + ≤ + + + . 248. [ Trần Tuấn Anh ] Cho , ,a b c là các số thực dương và 2 3 k ≥ . Ch ứ ng minh r ằ ng 3 2 k k k k a b c b c c a a b             + + ≥                   + + + . 249. [ Tr ươ ng Ng ọ c ðắ c ] Cho ,x y là các s ố th ự c d ươ ng th ỏ a mãn ñ i ề u ki ệ n 1x y + = . Ch ứ ng minh r ằ ng 3 3 1 1 4 2 3 x y xy + ≥ + + . 250. [ Hồ Quang Vinh ] Cho , , ,a b c d là các số thực thỏa ñiều kiện 2 2 4a b c d+ = + = . Ch ứng minh rằng 4 4 2ac bd cd+ + ≤ + . 251. [ Trương Ngọc ðắc ] Cho , ,x y z với { } max , ,x x y z= . Chứ ng minh r ằ ng 3 3 1 1 1 2 2 x y z y x x + + + + ≥ + + . 252. Cho a là số thực dương và , ,x y z là các số thực thỏa mãn ñiều kiện 1xy yz zx + + = . Chứng minh rằng ( ) 2 2 2 1 1 8 2 a a x y z − + + + + ≥ . 253. [ Tri ệ u V ă n H ư ng ] Cho , , 1a b c > . Ch ứ ng minh r ằ ng log log log 3 3 c a b b c a a b c abc+ + ≥ . 254. [ Ph ạ m V ă n Thu ậ n ] Cho ,x y là các s ố th ự c không âm th ỏ a mãn ñ i ề u ki ệ n 2 2 1x y+ = . Ch ứ ng minh r ằ ng { } 3 3 max , 4 xy x y+ ≤ . 255. Cho , ,a b c là các s ố th ự c d ươ ng th ỏ a mãn ñ i ề u ki ệ n 1a b c + + = . Ch ứ ng minh r ằ ng 6 3 6 3 3 3 3 3 3 1 18 a b c b c c a a b + + ≥ + + + . 256. Cho , ,x y z là các s ố th ự c d ươ ng th ỏ a mãn ñ i ề u ki ệ n 1x y z+ + = . Ch ứ ng minh r ằ ng 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 29 3 2 xy yz zx z xy x yz y zx + + ≤ + + + . 257. [ Trần Tuấn Anh ] Cho x là các số thực không âm. Chứng minh rằng 2 2 9. 1 x x x + ≤ + + 258. Cho ,a b là các số thực thỏa mãn ñiều kiện 0a b> ≥ . Ch ứ ng minh r ằ ng ( ) ( ) 2 32 2 5 2 3 a a b b + ≥ − + . 259. Cho ,a b là các s ố thực dương thỏa mãn ñiều kiện 4a b+ = . Ch ứ ng minh r ằ ng 6 10 2 3 18a b a b + + + ≥ . 260. Cho , ,a b c là các s ố th ự c không âm th ỏ a mãn ñ i ề u ki ệ n 3a b c+ + = . Ch ứ ng minh r ằ ng 5 5 5 5 2 2 2 3 3a b b c c a+ + + + + ≤ . 261. Cho , ,x y z là các số thực dương. Chứng minh rằng ( ) 6 2 3 432x y z xy z+ + ≥ . 262. Cho [ ] 0,1a ∈ . Ch ứ ng minh r ằ ng 2 4 2 4 13. 9. 16a a a a− + + ≤ . 263. Cho , , ,a b c d là các s ố th ự c d ươ ng. Ch ứ ng minh r ằ ng 3 3 3 3 28561 2 2 2 2 5 5 5 5 625 a b c d b c d a              + + + + ≥                      . 264. Cho , , ,a b c d là các s ố th ự c d ươ ng th ỏ a mãn ñ i ề u ki ệ n 1a b c d+ + + ≤ . Ch ứ ng minh r ằ ng 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9 a b b c c d d a              + + + + + + + + ≥                      . 265. Cho , , ,a b c d là các s ố th ự c d ươ ng th ỏ a mãn ñ i ề u ki ệ n 16abcd ≥ . Ch ứ ng minh r ằ ng 2 1 2 1 2 1 2 1 2401 16 a b c d b c c d d a a b              + + + + + + + + ≥                      . 266. Cho ,a b là các s ố th ự c d ươ ng th ỏ a mãn ñ i ề u ki ệ n 1a b+ ≤ . Ch ứ ng minh r ằ ng 3 3 2 2 1 1 1 20 a b a b ab + + ≥ + . 267. Cho , ,a b c là các s ố th ự c d ươ ng th ỏ a mãn ñ i ề u ki ệ n 1a b c+ + ≤ . Ch ứ ng minh r ằ ng 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 81 2a b b c c a ab bc ca + + + + + ≥ + + + . 268. Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 3a b c+ + = . Chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 5 5 5 2 2 2 3 6a b a c a b c b a b c a c b c+ + + + + + + + ≤ . 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 30 269. Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 3 64a a b c c+ + + + = . Ch ứng minh rằng 3 4 5 1a b c ≤ . 270. [ Trần Hồng Sơn ] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 3 2 a b c+ + ≤ . Ch ứ ng minh r ằ ng 1 1 1 1 1 1 3 3 3 343 a b b c c a           + + + + + + ≥                 . 271. Cho , , , , ,a b c m n p là các s ố th ự c d ươ ng th ỏ a mãn ñ i ề u ki ệ n 3 1, 2 a b c m n p+ + ≤ + + ≤ . Ch ứ ng minh r ằ ng 3 2 1 2 1 2 1 1 1 1 9 a m b n c p            + + + + + + ≥                   . 272. [ Phùng Văn Sự ] Cho , ,x y z là các số thực. Chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 27 3 3 3 4 3 3 3x y z xy yz zx+ + + ≥ + + . 273. [ Trần Anh ðức ] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 9 2 2 a b c a b b c c a abc c ab a bc b ac + + + + + + + + ≥ + + + . 274. [ Lê Thanh Hải ] Cho ,a b là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1ab = . Chứng minh r ằng 3 3 1 1 1 a b b a + ≥ + + . 275. [ Dương Châu Dinh ] Cho , ,x y z là các số th ự c không âm th ỏ a mãn ñ i ề u ki ệ n 2x y z + + = . Ch ứ ng minh r ằ ng ( ) ( ) 3 3 3 4 4 4 2 2x y z x y z+ + ≤ + + + . 276. [ Nguy ễ n T ấ t Thu ] Cho , ,a b c , α là các s ố th ự c d ươ ng. Ch ứ ng minh r ằ ng 2 2 2 1 1 1 3.2a b c ab bc ca α α α α             + + + + + ≥                   . 277. [ Tr ầ n Xuân ð áng ] Cho , ,a b c là các s ố th ự c d ươ ng th ỏ a mãn ñ i ề u ki ệ n 1abc = . Ch ứ ng minh r ằ ng ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1a b b c c a a b c+ + + ≥ + + + . 278. Cho , ,x y z là các s ố th ự c d ươ ng. Ch ứ ng minh r ằ ng ( ) 1 1 1 1 6 x z y xyz x y z x y z z y x     + + + + + + ≥ + + +        . 279. [ ð àm V ă n Nh ỉ ] Cho [ ] , , , 0,1a b c d ∈ . Ch ứ ng minh r ằ ng 3 1 1 1 1 a b c d bcd cda dab abc + + + ≤ + + + + . 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 31 280. [ Cao Xuân Nam ] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1ab bc ca+ + = . Chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) 8 8 8 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 12 a b c a b b c c a + + ≥ + + + . 281. [ Tr ầ n H ồ ng S ơ n ] Cho , ,a b c là các s ố thực dương thỏa mãn ñiều kiện 3a b c+ + ≤ . Ch ứ ng minh r ằ ng 3 3 3 2 2 2 1 1 1 27 84 a b c b c a ab bc ca     + + + + + ≥       . 282. [ D ươ ng Châu Dinh ] Cho , ,a b c là các s ố th ự c d ươ ng th ỏ a mãn ñ i ề u ki ệ n 2 2 2 1 1 1 1 1 1 6 1 a b c a b c     + + ≤ + + +       . Ch ứ ng minh r ằ ng 1 1 1 1 10 10 10 12a b c a b c a b c + + ≤ + + + + + + . 283. [ Lê V ă n Quang ] Cho , , , , ,a b c d e f là các s ố th ự c th ỏ a mãn ñ i ề u ki ệ n 1ab bc cd de ef+ + + + = . Ch ứ ng minh r ằ ng 2 2 2 2 2 2 1 2cos 7 a b c d e f π + + + + + ≥ . 284. [ Cao Minh Quang ] Cho , ,a b c là các s ố th ự c d ươ ng th ỏ a mãn ñ i ề u ki ệ n 1a b c+ + = . Ch ứ ng minh r ằ ng 3 2 3 2 3 2 27 1 1 1 31 a b c a a b b c c + + ≤ + + + + + + . 285. Cho , ,x y z là các số thực dương. Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 2 3 3 x y z xy yz zx x xy y y yz z z zx x + + + + ≥ + + + + + + + + . 286. [ Walther Janous ] Cho , ,a b c là các s ố th ự c d ươ ng. Ch ứ ng minh r ằ ng 4 4 3 3 1 3 1 3 3. . 4 4 ab ab a b a b + + + + ≥ + + . 287. [ Tr ầ n Th ị Thu ậ n ] Cho , ,a b c là các s ố th ự c d ươ ng. Ch ứ ng minh r ằ ng ( ) ( ) ( ) 1 1 1 3 1 1 1 1a b b c c a abc + + ≥ + + + + . 288. Cho , ,x y z là các s ố th ự c không âm. Ch ứ ng minh r ằ ng ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 3 3 2 2 2 8 9x y z x yz y zx z xy+ + ≥ + + + . 289. Cho , ,x y z là các s ố th ự c d ươ ng. Ch ứ ng minh r ằ ng 2 2 2 2 2 2 0 x z y x z y y z z x x y − − − + + ≥ + + + . 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 32 290. Cho ,x y là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1x y+ = . Tìm giá trị nhỏ nhất của ( ) x y x y+ . 291. [ Nguyễn Hữu Bằng ] Cho , ,a b c là ñộ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) ( ) 3 1 1 1 9 a b b c c a a b c a b c abc   − − −   + + + + + ≥       . 292. [ Cao Minh Quang ] Cho 10 s ố th ự c không âm ( ) , 1,2, ,5 i i a b i = th ỏ a mãn ñ i ề u ki ệ n ( ) 2 2 1 1,2, ,5 i i a b i+ = = và 2 2 2 1 2 5 1a a a+ + + = . Hãy tìm giá tr ị nh ỏ nh ấ t c ủ a bi ể u th ứ c 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 b b b b b a a a a a + + + + + + + + . 293. Cho , ,x y z là các s ố th ự c không âm. Ch ứ ng minh r ằ ng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2x y y z z x xyz x y z y z x z x y   + + + ≥ + + + + + +   294. [ Vedula N. Murty ] Cho , ,a b c là các s ố th ự c d ươ ng. Ch ứ ng minh r ằ ng ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 1 3 4 a b b c c a a b c abc + + + + + ≤ . 295. [ Cao Minh Quang ] Cho 1 2 1 2 , , , 0, 2 , 3 n n x x x x x x n n> + + + = ≥ . Ch ứ ng minh r ằ ng ( ) 3 1 1 2 1 3 1 n n j j i i i j x n n x = = ≠ − ≥ + ∑∑ . 296. Cho hàm s ố [ ) ( ) 2002 1 : 1, , 2002 x dt f f x t t +∞ → = + ∫ ℝ . Ch ứ ng minh r ằ ng v ớ i các s ố th ự c 1 2 , , , 1 n x x x ≥ , ta có ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 ln n n f x f x f x x x x n n + + + + + + ≤ . 297. Cho các số thực , ,a b c thỏa mãn ñiều kiện 0 3a b c≤ ≤ ≤ ≤ . Ch ứ ng minh r ằ ng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 9 9 9 36 a b a a c b b c c − − + − − + − − ≤ . 298. Cho các s ố th ự c 1 2 , , , n a a a . Chứng minh rằng 3 3 3 2 2 2 3 1 2 1 2 n n a a a a a a+ + + ≤ + + + . Nordic, 1990 299. Cho các số thực ( ) 1 2 , , , 2 n x x x n ≥ thỏa mãn các ñiều kiện 1 2 0 n x x x+ + + ≥ và 2 2 2 1 2 1 n x x x + + + = . ðặt { } 1 2 max , , , n M x x x = . Chứng minh rằng ( ) 1 1 M n n ≥ − . Nordic, 1995 300. Cho ( ) 1 2 , , , 1 n a a a n ≥ là các số thực dương. Chứng minh rằng 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n a a a a a a a a a               + + + ≥ + + + + + + +                + + +      . ðẳng thức xảy ra khi nào? Nordic, 1999 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 33 301. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho với các số thực 1 2 1 2 , , , , , , , n n x x x y y y , ta luôn có b ất ñẳng thức 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 n n n n x x x y y y x y x y x y+ ≤ + + + + + + . Poland, 2002 302. Cho ( ) 1 2 , , , 3 n x x x n ≥ là các s ố th ự c d ươ ng. Ch ứ ng minh r ằ ng ít nh ấ t m ộ t trong hai b ấ t ñẳ ng th ứ c sau là ñ úng 1 1 1 2 1 2 , 2 2 n n i i i i i i i i x x n n x x x x = = + + − − ≥ ≥ + + ∑ ∑ . ( ở ñ ây ta xem 1 1 2 2 0 1 1 , , , n n n n x x x x x x x x + + − − = = = = ) Poland, 2002 303. Cho , ,a b c là các s ố th ự c. Ch ứ ng minh r ằ ng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3a b b c c a a b b c c a+ + + + + ≥ + + + + + . Poland, 2004 304. Cho ,a b là các số thực dương và các số thực [ ] ( ) , 0,1 , 1,2, , 1 i i x y i n n∈ = ≥ th ỏ a mãn các ñ i ề u ki ệ n 1 2 1 2 , n n x x x a y y y b+ + + ≤ + + + ≤ . Hãy tìm giá tr ị l ớ n nh ấ t c ủ a bi ể u th ứ c 1 1 2 2 n n x y x y x y+ + + . Poland, 2005 305. Cho các s ố th ự c d ươ ng 1 2 , , , n x x x và s ố th ự c 2c >− . Ch ứ ng minh r ằ ng n ế u ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 3 3 1 1 1 2 2 n n n x cx x x x cx x x x cx x x c x x x+ + + + + + + + + = + + + + thì 2c = ho ặ c 1 2 n x x x= = = . Poland, 2005. 306. Cho , ,a b c là các s ố th ự c d ươ ng th ỏ a mãn ñ i ề u ki ệ n ab bc ca abc+ + = . Ch ứ ng minh r ằ ng ( ) ( ) ( ) 4 4 4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 1 a b b c c a ab a b bc b c ca c a + + + + + ≥ + + + . Poalnd, 2006 307. Cho 1 , , 1 2 a b c≤ ≤ . Ch ứ ng minh r ằ ng 2 3 1 1 1 a b b c c a c a b + + + ≤ + + ≤ + + + . 308. Cho , 0, 4 a b π     ∈       và n ∈ ℕ . Chứng minh rằng ( ) ( ) sin sin sin 2 sin 2 sin sin sin 2 sin 2 n n n n n n a b a b a b a b + + ≥ + + . 309. Cho , ,a b c là ñộ dài ba c ạ nh c ủ a m ộ t tam giác. Ch ứ ng minh r ằ ng ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) a b c a b c a b c a b c a b c a b c abc a b c− + + − + + − + + − + + − − + + ≤ + + . Romania TST, 2002 310. Cho ( ) 1 2 , , , 3 n a a a n ≥ là các s ố th ự c d ươ ng th ỏ a mãn ñ i ề u ki ệ n 2 2 2 1 2 1 n a a a+ + + = . Ch ứ ng minh r ằ ng ( ) 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 3 1 4 1 1 1 5 n n n a a a a a a a a a a a a + + + ≥ + + + + + + . Romania TST, 2002 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 34 311. Cho các số thực ,x y thỏa mãn ñiều kiện 2 2 1 2x xy y≤ − + ≤ . Chứng minh rằng a) 4 4 2 8 9 x y≤ + ≤ , b) 2 2 2 , 3 3 n n n x y n+ ≥ ≥ . 312. Cho ( ) 1 2 1 , , , 3 n x x x n − ≥ là các s ố t ự nhiên th ỏ a mãn ñ i ề u ki ệ n 1 2 1 2 n x x x − + + + = và ( ) 1 2 1 2 1 2 2 n x x n x n − + + + − = − . Hãy tìm giá tr ị nh ỏ nh ấ t c ủ a bi ể u th ứ c ( ) ( ) 1 1 2 1 , , , 2 n n k k F x x x k n k x − = = − ∑ . 313. [ V. Senderov ] Cho 0, 2 x π     ∈       và ,m n là các s ố t ự nhiên sao cho n m> . Ch ứ ng minh r ằ ng 2 sin cos 3 sin cos n n m m x x x x− ≤ − . 314. [ S. Berlov ] Cho , ,a b c là các s ố th ự c d ươ ng th ỏ a mãn ñ i ề u ki ệ n 1a b c+ + = . Ch ứ ng minh r ằ ng 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1a b c a b c + + ≥ + + − − − + + + . 315. Cho 0, 2 x π     ∈       . Chứng minh rằng sin sinx x≤ . 316. [ D. Tereshin ] Cho , ,a b c là các số thực không âm. Chứng minh rằng ( ) ( ) 2 3a b c a bc b ca c ab+ + ≥ + + . 317. Cho ( ) 1 2 , , , 4 n x x x n ≥ là các số thực dương. Chứng minh rằng 1 1 2 2 1 3 2 1 1 2 n n n n n n x xx x x x x x x x x x − − − + + + + ≥ + + + + . Xác ñị nh ñ i ề u ki ệ n x ả y ra ñẳ ng th ứ c khi 4n = . 318. Cho , , ,a b c d là các s ố th ự c d ươ ng th ỏ a mãn ñ i ề u ki ệ n ( ) ( ) 3 4 8a b c d abc bcd cda dab+ + + + + + + = . Ch ứ ng minh r ằ ng 2ab ac bc ad bd cd+ + + + + ≤ . 319. Cho , ,x y z là các s ố th ự c th ỏ a mãn ñ i ề u ki ệ n 2 2 2 , ,x y z y z x z x y≤ + ≤ + ≤ + . Hãy tìm giá tr ị l ớ n nh ấ t và giá tr ị nh ỏ nh ấ t c ủ a z . Serbia and Montenegro, 2002 320. Cho , ,a b c là các s ố th ự c d ươ ng và ,n k là các s ố t ự nhiên. Ch ứ ng minh r ằ ng n k n k n k k k k n n n a b c a b c b c a + + + + + ≥ + + . 321. [ R. Sanojevic ] Cho , ,a b c là các s ố th ự c d ươ ng th ỏ a mãn ñ i ề u ki ệ n 1abc = . Ch ứ ng minh r ằ ng 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 b c a a b c + + ≥ + + + + + + . Serbia and Montenegro, 2004 322. Cho , ,x y z là các s ố th ự c d ươ ng th ỏ a mãn ñ i ề u ki ệ n 1x y z + + = . Ch ứ ng minh r ằ ng ( ) 2 2 2 2 2 2 4 5xy yz zx x y y z z x xyz + + ≥ + + + . Serbia and Montenegro, 2006 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 35 323. Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1x y z+ + = . Chứng minh rằng 2 2 2 9 4 x y z y z z x x y + + ≥ + + + . Serbia and Montenegro, 2006 324. Chứng minh rằng ( ) 44 0 0 0 0 0 0 0 1 tan1 tan 2 t an44 t an22 30' tan1 tan 2 t an44 44 < < + + + . 325. Cho , , , , ,a b c d e f là các s ố th ự c d ươ ng. Ch ứ ng minh r ằ ng ( ) ( ) a c e b d f ab cd ef a b c d e f a b c d e f + + + + + + ≤ + + + + + + + + . Yugolavia, 1985 326. Cho 1, 1a b≥ ≥ . Ch ứ ng minh r ằ ng 2 2 2 2 2 3 8 8 a b ab a b a b   − +    + ≥      +   . Yugolavia, 1991 327. Cho , ,a b c là các s ố th ự c d ươ ng. Ch ứ ng minh r ằ ng ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 4 a b a b a b ab a b ab − − + ≤ − ≤ + . Yugolavia, 1993 328. Cho các s ố th ự c 1 2 3 4 5 , , , ,x x x x x . Hãy xác ñị nh giá tr ị l ớ n nh ấ t c ủ a s ố th ự c a ñể ( ) 2 2 2 2 2 1 2 3 4 5 1 2 2 3 3 4 4 5 x x x x x a x x x x x x x x+ + + + ≥ + + + . Yugolavia, 1996 329. [ ð . Dugosija ] Cho , ,a b c là các s ố th ự c th ỏ a mãn ñ i ề u ki ệ n 1abc = . Ch ứ ng minh r ằ ng ít nh ấ t hai trong ba s ố 1 1 1 2 ,2 ,2a b c b c a − − − ñề u l ớ n h ơ n 1. Serbia and Montenegro TST, 2004 330. Cho , , ,a b c d là các s ố th ự c d ươ ng. Ch ứ ng minh r ằ ng 2 a b c d b c c d d a a b + + + ≥ + + + + . Yugolavia TST, 1985 331. Cho 0a b> > . Chứng minh rằng ( ) ( ) 2 2 8 2 8 a b a b a b ab a b − − + < − < . Sweden, 1985 332. Cho 1 2 3 4 1 , , , 0, 2 x x x x     ∈      . Ch ứ ng minh r ằ ng ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 4 4 1 2 3 4 1 2 3 4 4 4 4 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 1 1 1 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x x x x x x + + + ≤ − − − − − + − + − + − . Taiwan, 2002 333. Cho 1 2 , , , n x x x là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 2 2 2 1 2 1 n x x x+ + + = . Hãy tìm giá tr ị nh ỏ nh ấ t c ủ a bi ể u th ứ c 5 1 1 2 n i i n i x x x x x = + + + − ∑ . Turkey TST, 1997 334. Cho , ,a b c là các s ố th ự c d ươ ng th ỏ a mãn ñ i ề u ki ệ n 1a b c+ + = . Ch ứ ng minh r ằ ng [...].. .500 Bài Toán B t ð ng Th c Ch n L c Cao Minh Quang 1 1 1 1 1 1 −1 −1 + −1 −1 + −1 −1 ≥ 6 a b b c c a  π 335 Cho x ∈ 0,  , n ∈ ℕ Ch ng minh r ng      2n  s in (n+1) x s in2x s in3x cos x + + +... minh r ng 1 6 ( a 3 + b3 + c 3 + d 3 ) ≥ (a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ) + 8 Hong Kong, 2006 345 Cho a1 , a2 , , an+1 (n ≥ 2) là các s th c dương th a mãn ñi u ki n a2 − a1 = a3 − a2 = = an+1 − an 36 500 Bài Toán B t ð ng Th c Ch n L c Cao Minh Quang Ch ng minh r ng n −1 a1an + a2 an+1 1 1 1 + 2 + + 2 ≤ 2 2 a2 a3 an a1a2 an an+1 Hong Kong, 2004 346 Cho x, y, z > 0, k > 2, a = x + ky + kz, b = kx + y...   a b c d e Britain, 1984 355 Cho x, y, z là các s th c dương th a mãn ñi u ki n x2 + y2 + z2 =1 Ch ng minh r ng 1 x 2 yz + xy 2 z + xyz 2 ≤ 3 Britain, 2004 356 Cho a, b, c, p, q, α ∈ (0,1) 37 500 Bài Toán B t ð ng Th c Ch n L c Cao Minh Quang α +1 a) Hãy tìm giá tr nh nh t c a f ( x ) = x α+1 (1− x ) , ∀x ∈ (0,1) + α cα (1− c) α +1 a α +1 bα+1 (a + b) b) Ch ng minh r ng α + α ≥ α p q ( p + q)... dương th a ñi u ki n x + y + z = 3 Ch ng minh r ng 3 1 1 1 x y z + 2+ 2 ≥ + + 2 2 2 2 a b c 1+ a 1+ b 1+ c 2 Mediteranean, 1999 367 Cho a1 , a2 , , an là các s th c dương Ch ng minh r ng ( 38 ) 500 Bài Toán B t ð ng Th c Ch n L c Cao Minh Quang 1 1 1 1 + + + 1 + a1 1 + a2 1 + an − 1 1 1 1 + + + a1 a2 an ≥ 1 n 368 Cho n ≥ 2 Ch ng minh r ng log 2 3 + log3 4 + + log n (n +1) < n + ln n − 0,9 ... c a c b a 379 [ R Ushakov ] Cho n ≥ 2, p ≥ 3 Ch ng minh r ng n   1 p  ∏1− k p  > p +1     k =2 380 [ Prymak ] Cho x1 , x2 , , xn , y1 , y2 , , yn là các s th c dương Ch ng minh r ng 39 500 Bài Toán B t ð ng Th c Ch n L c Cao Minh Quang 3 3 x 3 ( x + x2 + + xn ) x1 x3 + 2 + + n ≥ 1 2 2 y12 y2 yn ( y1 + y2 + + yn )2  π 381 [ D Mitin ] Cho x, y ∈ 0,  Ch ng minh r ng  2    cos... s th c dương Ch ng minh r ng b+c c+a a +b a +b +c + + ≥ 6 3 a b c abc 392 [ Vasile Cartoaje ] Cho a, b, c, d là các s th c không âm th a mãn ñi u ki n a 2 + b2 + c2 + d 2 = 4 Ch ng minh r ng 40 500 Bài Toán B t ð ng Th c Ch n L c Cao Minh Quang 2 (4 − ab − bc − cd − da ) ≥ ( ) 2 +1 (4 − a − b − c − d ) 393 [ H Phú Thái ] Cho a, b, c là các s th c dương Ch ng minh r ng a b c a +b+c + + ≤ 2 2 2 ab... Borsenco ] Cho a, b, c là các s th c dương Ch ng minh r ng 3 (ab + bc + ca) ≤ 3(a 2b + b 2c + c 2 a )(ab 2 + bc 2 + ca 2 ) 405 [ Nikolai Nikolov ] Cho 0 < y < x < 1, 0 < z < 1 Ch ng minh r ng 41 500 Bài Toán B t ð ng Th c Ch n L c Cao Minh Quang x− y ( x z − y z )(1− x z y z ) > 1− xy 406 [ Bogdan Enescu ] Cho a, b là hai s th c phân bi t th a mãn ñi u ki n a −1 + b +1 = a + b = a −1 + b + 1 Hãy... ñi u ki n abc ≤ 8 Ch ng minh r ng 1 1 1 + 2 + 2 ≥1 2 a − a +1 b − b + 1 c − c + 1 n n 1 418 Cho x1 , x2 , , xn là các s th c dương th a mãn ñi u ki n S = ∑ xi = ∑ Ch ng i=1 i=1 xi minh r ng 42 500 Bài Toán B t ð ng Th c Ch n L c n Cao Minh Quang 1 n 1 ∑ n −1 + x ≥ ∑ 1 + S − x i=1 i i=1 i 1 1 1   419 Cho x, y, z là các s th c dương th a mãn ñi u ki n ( x + y − z ) + −  = 4 Hãy   x y z... mãn ñi u ki n xy + yz + zx = 1 Ch ng minh r ng 2 27 ( x + y )( y + z )( z + x) ≥ x + y + y + z + z + x ≥ 6 3 4 Turkey TST, 2006 429 Cho a1 , a2 , , an (n ≥ 3) là các s th c Gi s r ng ta có ( ) 43 500 Bài Toán B t ð ng Th c Ch n L c Cao Minh Quang 2 (a1 + a2 + + an ) ≥ 4 (a1a2 + a2 a 3 + + an a1 ) a) Tìm t t c các giá tr c a n ñ b t ñ ng th c trên ñúng khi a1 , a2 , , an là các s th c dương b) Tìm... a1a2 an = 1 Ch ng minh r ng a12 + 1 a 2 +1 a 2 +1 + 2 + + n ≤ a1 + a2 + + an 2 2 2 440 [ Vascile Cartoaje ] Cho a, b, c là các s th c dương th a mãn ñi u ki n a + b + c = 3 Ch ng minh r ng 44 500 Bài Toán B t ð ng Th c Ch n L c Cao Minh Quang a b c 3 + + ≥ ab +1 bc + 1 ca + 1 2 441 Cho x1 , x2 , x3 , x4 , x5 là các s th c không âm th a mãn ñi u ki n ∑ x −x i j = 1 Hãy i< j tìm giá tr nh nh t . 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 26 224. Cho x là một số thực bất kì. Chứng minh rằng ( ) 4 4 16cos.         + + +      . ðẳng thức xảy ra khi nào? Nordic, 1999 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 33 301. Tìm tất cả