Đang tải... (xem toàn văn)
HÖ thøc lîng trong tam gi¸c thêng Bµi to¸n 1a : Chứng minh rằng trong một tam giác bình phơng cạnh đối diện góc nhọn b»ng tæng b×nh ph¬ng hai c¹nh kia trõ ®i hai lÇn tÝch cña mét trong h[r]
Tài liệu bồi dỡng môn hình học ( Tài liƯu båi dìng häc sinh giái ) Kính Thầy giáo, Cơ giáo giảng dạy mơn Tốn cấp THCS tồn huyện ! Nhằm giúp qúy Thầy giáo, giáo có tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi, học sinh khiếu mơn tốn cấp Trung học sở phù hợp, phận chun mơn Phịng GD&ĐT Quế Sơn sở tham khảo ý kiến thầy giáo có nhiều kinh nghiệm giảng dạy môn, biên soạn tài liệu “ Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Bộ mơn Tốn - Cấp THCS” “Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Hình Học “ tập tài liệu tài liệu nói trãn Để sử dụng bồi dưỡng cấp trường, tài liệu không chia thành chuyên đề mà phân bố theo chương trình sách giáo khoa Tuy vậy, để khỏi manh mún, nội dung trình bày theo chủ đề kiến thức không theo Nội dung hình học tài liệu phân thành sáu chủ đề sau : I Tứ giác, hình thang II Hình bình hành III Hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông IV Đối xứng trục, đối xứng tâm V Định lý Thalet tam giác đồng dạng VI Hệ thức lượng tam giác - Định lý Pitago Với chủ đề kiến thức tập phân thành sáu loại : Bài tập vị trí tương đối điểm, đường thẳng - Chứng minh thẳng hàng - Chứng minh song song, vng góc - Chứng minh đồng quy Bài tập chứng minh - Chứng minh góc, đoạn thẳng - Chứng minh tam giác cân, Một tứ giác hình thang cân ,hình bình hành, hình thoi, hình vng Bài tập tính tốn - Tính số đo góc, độ dài đoạn thẳng, tốn diện tích Bài tập quỹ tích , dựng hình Bài tốn cực trị hình học - Bài tốn bất đẳng thức, Xác định hình hình học để đại lượng đạt giá trị lớn nhất, nhỏ Các toán tổng hợp Có lẽ tập tài liệu chưa đáp ứng cách đầy đủ yêu cầu quí thầy giáo, giáo Bộ phận chun mơn Phịng GD&ĐT Quế Sơn mong nhận ý kiến đóng góp chân thành để sửa chữa bổ sung cịn thiếu sót Hy vọng tập tài liệu giúp ích phần cơng tác bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn q thầy Bộ phận chuyờn mụn THCS I Tứ giác, hình thang : Bài tập vị trí tơng đối điểm, đờng thẳng Bài toán 1a : Cho hình thang ABCD (AB//CD) đáy CD tổng hai cạnh bên BC AD Hai đờng phân giác hai góc A ,B cắt K Chứng minh C,D,K thẳng hàng A B HD : D K C Gọi K giao điểm phân giác góc A với DC Dễ dàng chứng minh đợc DAK cân t¹i D Tõ AD + BC = DC => CK = CB => CBK = CKB => CKB = KBA BK phân giác góc B §pcm TIP : Bµi nµy cã thĨ c/m theo híng : - Gọi K giao điểm hai phân giác góc A B C/m KC + KD = DC => K thuéc DC => ®pcm Bài toán 1b : Cho tứ giác ABCD Gọi ABCD theo thứ tự trọng tâm tam giác BCD, ACD, ABD, ABC Chứng minh đờng thẳng AA, BB, CC,DD đồng quy B A E C I J F A’ HD : Gäi E,F lÇn lợt trung điểm AC, BD ; I trung điểm EF ; J trung điểm AC - Tam giác CAA có EJ đờng trung bình nên EJ//AA - Tam giác FEJ có AA qua trung điểm A FJ // với EJ nên AA qua trung điểm I FE D - Hoàn toàn tơng tự chứng minh đợc BB, CC,DD qua I - Các đờng thẳng đồng quy I Bµi tËp vỊ chøng minh b»ng Bài toán 2a : Cho tam giác ABC AB < AC Gọi H chân đờng cao kẻ từ đỉnh A M,N,P lần lợt trung điểm cạnh AB,AC,BC Chứng minh tứ giác NMPH hình thang cân HD : - MNHP hình thang - MP = AC/2 ( Đờng TB ) - HN = AC/2 ( §êng TT ) A N M B H P C đpcm Bài toán 2b : Cho tứ giác ABCD có AD=BC M,N lần lợt trung điểm AB DC Đờng thẳng AD cắt đờng thẳng MN E Đờng thẳng BC cắt đờng thẳng MN F Chứng minh AEM = BFM E A F M HD : B - Gäi I trung điểm BD I - Chứng minh tam giác IMN cân I ( IM = IN = AD/2=BC/2) - IM // DE vµ IN //CF N C D đpcm Bài tập tính toán Bài toán 3a : Cho tứ giác lồi ABCD, hai cạnh AD BC kéo dài cắt E Hai cạnh AB DC kéo dài cắt M Hai phân giác hai góc CED BMC cắt K Tính góc EKM theo c¸c gãc cđa tø gi¸c M A HD : D = 1800 - (KMD +KED+DME+DEM) Trong tam gi¸c MKE đợc MKE DME+DEM = 180 - D K KMD = (1800 - C - B)/2 KED = (180 -A-B)/2 Thay vào ta đợc : MKE = 1800 -((1800-C-B +1800-A-B )/2 +1800-D) B E = (360C0 -3600 +A+C+2B - 3600 +2D)/2 = (A+B+C+D+B+D-360 )/2= (B+D)/2 Bµi toán 3b : Cho hình thang ABCD M,N lần lợt trung điểm hai đáy AD BC O điểm thuộc MN Qua O kẻ đờng thẳng song song với đáy hình thang Đờng thẳng cắt AB,CD lần lợt E,F Chứng minh OE=OF B E A N C H O F I M D HD : Chøng minh SBNMA = SNCDM (Do cã tổng hai đáy chiều cao ) Chứng minh SBEN=SNFC SEAM = SFMD để đợc SEMN =SFMN Tõ ®ã cã EH = FI ( víi EH, FI lần lợt hai đờng cao hai tam giác OE =OF Bµi tËp vỊ q tÝch , dựng hình Bài toán 4a : Cho tứ giác lồi ABCD HÃy dựng đờng thẳng qua đỉnh A chia tứ giác thành hai phần có diện tích A B I Phân tích : Giả sử AM đờng xứng với D qua M AE D thẳng cần dựngM Lấy điểm C E đối E cắt BC t¹i I Cã : SADM = SABCM = SAME => SABI = SCEI SABC = SEBC => BE// AC Cách dựng : - Dựng đờng chéo AC - Từ B dựng đờng thẳng song song với AC cắt AC E - Lấy M trung điểm DE - AM đờng thẳng cần dựng TIP : Thực chất phép dựng biến đổi hình thang tam giác tơng đơng ( có diện tích diện tích hình thang ) Để chuyển toán tập dựng trung tuyến tam giác Sau tập áp dụng việc biến đổi Bài toán 4b : Cho tứ giác ABCD I điểm AB Qua I hÃy dựng đờng thẳng chia tứ giác làm hai phần có diện tích B I A Phân tích : Giả sử đà dựng đợc IJ Sử dụng phơng pháp biến đổi tam giác tơng đơng Ta có bớc phân tích : F = SFIC Suy Xác định điểm F trªn tia DC cho SIJCB = SIJF Lóc SBIC BF//IC C Xác định điểm E tia CD cho J S IJAD = SIJE Lóc ®ã SAID = SEID Suy AE//ID D đoạn thẳng EF Rõ ràng J trung ®iĨm E C¸ch dùng : - Qua A dùng ®êng thẳng song song với ID cắt DC E Qua B dựng đờng thẳng song song với IC cắt DC F - Dựng J trung điểm EF IJ đờng thẳng cần dựng Bài toán cực trị hình học Bài toán 5a : Cho tứ giác lồi ABCD Tìm điểm M tứ giác cho MA + MB + MC +MD đạt giá trị nhỏ Giải : Cách 1: Gọi O giao điểm hai đờng chéo M O MA +MB +MC+MD đạt giá trÞ nhá nhÊt ThËt vËy, M O ta cã : MA +MB +MC +MD = OA + OB + OC + OD = AC + BD Víi M bÊt kú tø gi¸c ta cã : MA +MC AC MB + MD BD MA +MB +MC +MD AC + BD MA +MB +MC +MD nhá nhÊt lóc M O D C¸ch : Víi ba ®iĨm M; A; C ta cã : MA +MC AC C DÊu “ =” xảy lúc M[AC] M O Với ba điểm M; B; D cã MB + MD BD DÊu “=” x¶y lóc M [BD] MA + MB +MC +MD AC + BD A B DÊu = xảy lúc M[AC] M[BD] M O ( Với O giao điểm hai đờng chéo ) Bài toán 5b : Chứng minh đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh đối diện tứ giác lồi không lớn nửa tổng hai cạnh lại Giải : Gọi I trung điểm cña AC ta cã : C MI = BC / B IN = AD / I MI + IN = ( BC +AD)/ M N L¹i có với ba điểm M,I,N MI + IN MN MN (BC + AD) / =>®pcm A D II Hình bình hành : Các toán vị trí tơng đối : Bài toán 1a : Cho tam giác ABC O ®iĨm thc miỊn cđa tam gi¸c Gäi D,E,F lần lợt trung điểm cạnh AB,BC,CA L,M,N lần lợc trung điểm OA,OB,OC Chứng minh EL, FM, DN đồng quy Giải : A Dựa vào tính chất đờng trung bình chứng minh tứ giác LFEM , NEDL hình bình hành ®pcm L D F O M N B C E Bài toán 1b : Chứng minh : tam giác ba đờng cao đồng quy M N A H B C P HD : - DÔ dàng chứng minh ba đờng trung trực tam giác đồng quy cách dựa vào tính chất đờng trung trực đoạn thẳng - Từ ba đỉnh tam giác ABC đựng đờng thẳng song song với cạnh đối diện Các đờng thẳng đôi cắt MNP - Các tứ giác BCNA BCAM hình bình hành nên HA đờng trung trực MN - Tam giác MNP nhận đờng cao tam giác ABC làm đờng trung trực - Các đờng trung trực tam giác MNP đồng quy hay đờng cao tam giác ABC đồng quy Các toán chứng minh : Bài toán 2a: Cho tứ giác ABCD E,F lần lợt trung điểm AB, CD M,N,P,Q lần lợt trung điểm AF, CE, BF, DE Chøng minh r»ng MN = PQ C HD : B N P E A M F Q D Chøng minh tø gi¸c MNPQ cã hai đờng chéo giao trung điểm đờng ( Chính trung điểm EF ) Bài toán 2b : Cho tứ giác ABCD Gọi E trung ®iĨm cđa AD, F lµ trung ®iĨm cđa BC ; G đỉnh thứ t hình bình hành CADG ; H đỉnh thứ t hình bình hành CABH a Chøng minh BD // GH G b Chøng minh HD = 2EF C D I J E H F B HD : a BDGH lµ hình bình hành BH DG song song AC =>đpcm b Gọi I,J lần lợt trung điểm CD CH Chứng minh EIJF hình bình hành => đpcm Các tập tính toán : Bài toán 3a : Cho hình bình hành ABCD có ADC = 75 O giao đIểm hai đờng chéo Từ D hạ DE DF lần lợt vuông góc với AB BC (E thuéc AB, F thuéc BC ) TÝnh gãc EOF E B A O D C F Có O trung điểm DB Từ có đợc OE =OD=OB=OF (Quan hệ trung tuyến ,cạnh huyền ) EOD = 2EBO ( Vì EOB cân O ) DOF = 2FBO ( Vì FOB cân O ) Cộng hai đẳng thức để đợc : EOF = 2( EBO + OBF ) = EBF Do EBF = ADC nªn EOF = 2ADC = 2.750 = 1500 Bài toán 3b : Cho tam giác ABC Một đờng thẳng song song với BC cắt AB,AC lần lợt D E Gọi G trọng tâm tam giác ADE, I trung ®iĨm cđa CD TÝnh sè ®o c¸c gãc cđa tam gi¸c GIB A D G E K I B C HD : Qua C kẻ đờng thẳng song song với AB , đờng cắt DE K - Tứ giác DBCK hình bình hành nên BK cắt DC trung điểm I DC - Chứng minh hai tam giác DBG EKG - Từ có đợc GIB =900 BGI = BGK/2 = DGE/2 - Cã DGE = 1200 ( Do ADE ) nên BGI = 600 GBI = 300 Các toán quỹ tích, dựng hình Bài toán 4a : Cho tam giác cân ABC (AB=AC) Trên cạnh AB lấy điểm D, cạnh AC A D di động lấy điểm E cho DA=CE Tìm quỹ tích trung điểm I DE cạnh AB E I D C B Bài toán 4b : Cho góc nhọn xAy O điểm thuộc miền góc Dựng Ax điểm M Ay điểm N để : a O trung ®iĨm cđa MN b OM =2ON x M Gi¶i : O’ O A N y a C1 :( Dựa vào kiến thức hình bình hành ) Phân tích : Gọi O điểm đối xứng A qua O Khi O trung điểm MN tứ giác AMON hình bình hành Cách dùng : - Dùng O’ ®èi xøng víi A qua O - Dựng đờng thẳng qua O song song với Ay cắt Ax M - Dựng đờng thẳng qua O song song với Ax cắt Ay N C2 :( Dựa vào kiến thức đờng trung bình ) Phân tích : Khi O trung điểm MN đờng thẳng qua O song song với Ay cắt Ax trung điểm AN Cách dựng : - Dựng đờng thẳng qua O song song với Ay cắt Ax O1 Trên tia Ax dựng M cho O1 trung điểm AM - Tơng tự cách dựng N b (x) M D O N A N1 (y) HD : Xem O trọng tâm tam giác => xác định đợc D chân đờng trung tuyến xuất phát từ A => Quy toán 3a để giải Các toán cực trị : Bài toán 5a : Cho tam giác ABC có AM đờng trung tuyến Chøng minh r»ng : AB + AC 2AM Giải : Lấy A1 điểm đối xứng A qua M ta có : A ABA1C hình bình hành BA1 = AC AA1 = 2AM AB +AC = AB + BA1 B C L¹i cã : AB + BA1 > AA1 M AB + AC > AA1 =2AM => ®pcm A1 Bài toán 5b : Chứng minh rằng, tam giác trung tuyến ứng với cạnh nhỏ lớn h¬n A M B N I H C D Kẻ ND //MC (DBC) ; NI //AB (IBC) Dễ dàng chứng minh đợc : MC = ND MN = BI =CD Gi¶ sư AB NI HI HB < HD NB < ND => NB < MC Bài toán 5c : Một kênh có hai bờ song song P,Q hai điểm cố định nằm hai phía kênh Xác định cầu MN vuông góc với kênh để đoạn đờng từ P đến Q nhá nhÊt Q N P’ P HD : Dựng hình bình hành NMPP ta đợc : PM + MN + NQ = PP’ + P’N + NQ M Do PP’ = const §Ĩ PM + MN + NQ nhá nhÊt th× P’N +NQ nhá nhÊt P,N,Q thẳng hàng Dễ dàng suy cách dựng II Hình chữ nhật, hình thoi , hình vuông : Bài tập vị trí tơng đối điểm, đờng thẳng Bài toán 1a : Cho hình chữ nhật ABCD Kẻ BH vuông góc với AC Gọi M trung điểm AH, K trung điểm CD Chứng minh BM vuông góc víi MK B C I H A K M D HD : - KỴ MI // AB ( I thuộc BH ) - Chứng minh ICKM hình bình hành => IC//MK - Chứng minh I trực tâm tam giác CBM => CI vuông góc với BM MK vuông góc với BM Bài toán 1b : Cho tam giác ABC có AD đờng cao I Về phía tam giác dựng hình vuông ABEF ACGH Chứng minh AD,BG,CE đồng quy H F A G E C HD: Dùng h×nh bình hành FAHI Chứng B minh D hai tam giác ABC HIA để đợc : IAH = BCA IA = BC Tõ IAH = BCA chøng minh IAD thẳng hàng Hay ID đờng cao tam gi¸c IBC Tõ IA = BC cïng víi IAH = BCA chứng minh hai tam giác IAC BCG Đợc CBG = AIC với IA vuông góc với BC đợc BG vuông góc với IC Tơng tự chứng minh đợc CE vuông góc với IB ®pcm ( TÝnh chÊt ba ®êng cao tam giác ) Bài tập chứng minh b»ng (1) NÕu AB =AC th× M B M C Bài toán 5c : Cho hình vuông ABCD ; M điểm cạnh AB Đờng vuông góc với CM C cắt đờng thẳng AB K Tìm ví trí M để đoạn MK có giá trị nhỏ Giải : Gọi I trung điểm MK A M B I K MK = 2CI (quan hệ trung tuyến cạnh huyền ) D Để MK nhỏ nhÊt => CI nhá nhÊt => I B Lúc đóCCI vừa trung tuyến vừa đờng cao => MCK vuông cân MCB = 450 => M A Bài toán 5d : Cho đoạn thẳng AB = a C điểm AB Vẽ hình vuông ACDE; CBFG Xác ®Þnh vÞ trÝ cđa ®iĨm C ®Ĩ tỉng diƯn tÝch hai hình vuông đạt giá trị nhỏ G F Giải : Đặt AC = x => CB = a-x SACDE + SCBFG = x2 + (a-x)2 = 2(x -a/2)2 + a2/2 a2/2 DÊu “=” x¶y lóc x =a/2 E D A C trung điểm AB C B Các toán tổng hợp Bài toán 1b : Cho tam giác ABC Về phía tam giác dựng hình vuông ABGH , ACEF BCIJ Gọi O 1,O2, O3 lần lợt tâm hình vuông M trung điểm BC, D trung điểm HF a Chứng minh O1MO2 tam giác vuông cân b Tứ giác DO1MO2 hình vuông c Chøng minh HF = 2AM d Chøng minh AD vuông góc với BC AM vuông góc với HF e Chøng minh O1O2 = AO3 P F D H Q A O2 O1 K E G B C NM O3 A’ HD : a Chøng minh hai tam giác HAC BAC để đợc : - HC = BF -AHC = ABF cïng víi AH vu«ng góc với AB đợc HC vuông góc với BF O1M O2M lần lợt hai đờng trung bình hai tam giác BHC BCF nên : - O1M song song vµ b»ng nưa HC; O2M song song nửa BF Kết hợp kết luận để đợc điều cần chứng minh b Tứ giác DO1MO2 hình vuông Tơng tự ta chứng minh đợc O1DO2 tam giác vuông cân D từ ®ã suy ®pcm c Gäi A’ lµ ®iĨm ®èi xứng A qua M Ta chứng minh đợc BA song song AC => BA vuông góc AF Lại có BA vuông góc AH nên hai tam giác HAF ABA => HF = AA = 2AM d Hạ HP FQ vuông góc với đờng cao từ AN tam giác ABC -Chứng minh hai tam giác HQA ANB b»ng => HQ=AN -Chøng minh hai tam gi¸c FPA vµ ANC b»ng => FP=AN HQ = FP Từ chứng minh HQFP hình bình hành => AN qua trung điểm D HF Với tam giác AHF ta có điều ngợc lại AM vuông góc với HF e Gọi K trung điểm AC ta cã : KA = O2K O1K = O3K O1KO2 = AKO3 Hai tam gi¸c O1KO3 , O3KA b»ng Đpcm III Đối xứng trục đối xứng tâm : Bài tập vị trí tơng đối điểm, đờng thẳng Bài toán 1a : Cho tam giác nhọn ABC có AH đờng cao Gọi E,F lần lợt điểm đối xứng H qua cạnh AB,AC Gọi M,N lần lợt giao điểm EF với AB,AC Chứng minh MC AB NB AC Giải : F A N Tam giác MNH có AM,AN phân giác hai góc M,N nên AH M phân giác góc MNH Do CH AH nên CH phân giác E B góc MNH H C Tam giác MNH có CN,CH phân giác hai góc N,H nên CM phân giác cña gãc HMN CM MB ( Vì MB phân giác HMN ) Hay CM AB Tơng tự chứng minh đợc NB AC Bài toán 1b : Cho tam giác ABC P điểm Gọi M,N,Q lần lợt trung điểm AB,AC,BC Gọi A,B,C lần lợt điểm đối xứng P qua Q,N,M Chứng minh AA,BB,CC đồng quy Giải : A B C P B C Chứng minh ABAB hình bình hành : A Các đoạn thẳng AB BA song song PC Tơng tự chứng minh đợc CACA hình bình hành đpcm Bài tập chứng minh Bài toán 2a : Cho góc nhọn xOy có Ot tia phân giác M điểm thuộc miền góc M1, M2 lần lợt điểm đối xứng M qua Ox vµ Oy a Chøng minh O thc ®êng trung trùc cđa M1M2 b Gäi Oz tia thuộc đờng trung trực M1,M2 Chứng minh MOx nhận Ot làm phân giác x M1 Giải : M a M1O = MO t M2O =MO M1O = M2O z O thuéc ®êng trung trùc đoạn O thẳng M1M2 y b Có zOM2 = zOM1 = xOy zoy + yOM2 = zOy + yOM = xOy zOy + zOy + xOM = xOy zOy = Mox M2 MOt = tOz ( Do xOt = tOy ) Ot lµ tia phân giác góc MOz Bài tập quỹ tích , dựng hình Bài toán 4a : Một kênh có hai bờ song song P,Q hai điểm cố định nằm hai phía kênh Xác định cầu MN vuông góc với kênh để đoạn ®êng ®i tõ P ®Õn N b»ng ®o¹n ®êng tõ Q đến M (N nằm bờ kênh phía P M n»m bê kªnh phÝa Q) Q d M P’ N HD : P PT : - Gi¶ sư dựng đợc P Gọi P đỉnh thứ t hình bình hành PNMP Lúc PN = PM => P’M=MQ => M thuéc trung trùc cña P’Q CD : -Dùng P’ cho PP’ vu«ng gãc víi bờ kênh chiều dài PP chiều rộng cđa bê kªnh - Dùng trung trùc (d) cđa PQ d cắt bờ kênh phía Q M Từ dựng N Bài toán 4b : Dựng tứ giác ABCD biết DA=AB=BC biết ba trung ®iĨm E,F,G cđa DA,AB, BC (d1) (d2) F B E G A D C A nằm đờng trung trực EF B nằm đờng trung trực FG Cần xác định AB lần lợt hai đờng để AB nhận F làm trung điểm Bài toán đợc quy toán 3a Bài toán 4c : Cho tam giác ABC , P điểm nằm tam giác Dựng M AB, N A AC để tam giác MPN cân P MN // BC HD : HD : Giả sử hình dựng đợc , lúc M N M đối xứng với N qua trục đờng thẳng (d) qua P vuông góc với MN Do MN//BC nên (d) vuông góc với BC P Đờng thẳng đối xứng với đờng B C thẳng AB qua trục (d) cắt đờng thẳng AC N Nên có cách dựng : - Dựng (d) qua P vuông góc với BC - Dựng đờng thẳng đối xứng với đờng thẳng AB qua trục (d) ,đờng thẳng cát đờng thẳng AC N - Dựng M đối xứng với N qua (d) - Tam giác PMN tam giác cần dựng Bài toán cực trị hình học Bài toán 5a : ( Bài toán chim ) Trong mặt phẳng P cho đờng thẳng d hai điểm A,B nằm nửa mặt phẳng bờ Xác định d điểm M cho MA + MB đạt giá trị nhỏ Giải : a Trờng hợp A,B nằm nửa mặt phẳng : B Gọi A1 điểm đối xứng A qua trôc (d) A MA +MB = MA1 + MB A1B DÊu “ =” x¶y lóc M[A1B] (d) M giao điểm A1B d M TIP : Thay đổi vị trí tơng ®èi cđa A,B so víi d A1 ta ®ỵc mét số toán khác cần giải Bài toán 5b : Cho hai điểm cố định A,B nằm mặt phẳng bờ d Tìm d hai điểm M,N cho : - MN = l cho tríc - Tø gi¸c BNMA cã chu vi nhá nhÊt B B A M Bài toán 5c : A N d Cho góc nhọn xOy điểm M thuộc miền góc Xác định Ox điểm A Oy điểm B cho tam giác MAB cã chu vi nhá nhÊt Gi¶i : M1 Gäi M1, M2 lần lợt hình chiếu M qua trôc Ox; Oy A M MA + AB +BM = M1A +AB +BM2 M1M2 DÊu “=” x·y A,B M1M2 O A lµ giao ®iĨm cđa M1M2 víi Ox B B lµ giao ®iĨm M1M2 với Oy M2 TIP: Bằng cách ràng buộc thêm điều kiện điểm M : M chạy đoạn thẳng; chạy đờng tròn nằm góc xOy ;Tổng OA + OB không đổi; Thay đổi góc xOy; Thay đổi đại lợng cần tính cực trị đợc hàng loạt toán khác Bài toán 5d : Cho góc nhọn xOy hai điểm AB thuộc miền góc Tìm điểm C,D lần lợc thuộc Ox Oy cho đờng gấp khúc ACDBA có độ dài nhỏ Giải : Lấy A1 ®èi xøng víi A qua Ox; B ®èi xứng với B qua Oy Do AB cố định nên ®êng gÊp khóc ACBD cã ®é dµi nhá nhÊt lóc AC + CD + DB nhá nhÊt Cã AC +CD +DB = A1C + CD +DB1 A1A2 Dấu = xảy lúc C,D [A1B1] C giao điểm A1B1 với Ox D giao ®iĨm cđa A1B1 víi Oy B1 D O B A C A1 Bài toán 5e : Cho tam giác ABC có ba góc nhọn M điểm thuộc cạnh BC I,J lần lợt hình chiếu M xuống hai cạnh AB, AC M 1, M2 lần lợt điểm đối xứng M qua AB,AC E,F lần lợt giao điểm M1M2 với AB,AC Xác định M a §Ĩ IJ nhá nhÊt; lín nhÊt b §Ĩ tam gi¸c MEF cã chu vi nhá nhÊt A M2 Gi¶i : E F M1 J I B M C a 2IJ = M1M2 AM1 =AM=AM2 M1AM2 =2BAC = CONST IJ (max) M1M2 (max) AM1 (max) AM (max) AM nhá nhÊt AM BC AM lín nhÊt AM = Max(AB,AC ) b Chu vi tam gi¸c MEF = MF + ME +EF = M1M2 Để chu vi tam giác MEF nhỏ M chân đờng cao từ A xuống BC theo toán 1a E,F chân hai đờng cao lại V Định lý Thalet Bài tập vị trí tơng đối điểm, đờng thẳng Bài toán 1a : Cho tứ giác lồi ABCD Kẻ hai đờng thẳng song song với AC Đờng thẳng thứ cắt cạnh BA,BC lần lợt G H Đờng thẳng thứ hai lần lợt cắt cạnh DA,DC lần lợt E F Chứng minh GE,HF,BD đồng quy Giải : I Gọi O giao điểm AC BD M,N lần lợt giao điểm GH EF D E víi BD FN N Ta cã : = EN OC ( Do EF// AC ) A F AO O EN = OA G FN OC M C T¬ng tù ta cịng cã : H B GM = OA GH OC EN GM FN = HM Đpcm ( Do EF // GH ) theo định lý đảo Bài toán 1b : ( Tổng quát toán 1a/ II) Cho hình chữ nhật ABCD Gọi H chân đờng góc từ A xuống BD BMvuông CN M,N theo thứ tự điểm BH vµ CD cho : BH = CD Chøng minh r»ng AM vu«ng gãc víi MN A HD : - Chứng minh hai tam giác vuông M H ABH ACD đồng dạng BM CN -Sử dụng gt : BH = CD B ®Ĩ chøng minh hai tam giác ABM ACN đồng dạng để đợc : AM = AN AC AB Vµ BAM = CAN => MAN = BAC Hai tam giác MAN BAC ®ång d¹ng AMN = ABC = 900 ( ®pcm ) D N C Bµi tËp vỊ chøng minh Bài toán 2a : Cho hình thang ABCD (AB // CD ) Hai đờng chéo AC BD cắt I Qua I kẻ đờng thẳng song song với hai đáy cắt AD E cắt BC F a Chứng minh : 1 + IF = AB CD b Chøng minh I trung điểm EF A Giải : IF FC Cã : AB = BC IF = BF CD BC B E I F D C Céng hai đẳng thức ta đợc : IF + IF = BF + FC =1 AB CD BC §pcm 1 b Hoàn toàn tơng tự ta cã : 1IE = AB + CD IF = EF Đpcm Bài toán 2b : Cho hình thang cân ABCD (AD//BC ) Gọi M,N trung điểm BC AD Trên tia đối tia AB lấy điểm P PN cắt BD Q Chứng minh MN tia phân giác cña gãc PMQ P HD : A I N K D Q P B ®iĨm cđa ADMvíi PM Gäi I,K,P lần lợt giao , AD vớiCMQ, PQ với BC - Dễ dàng chứng minh đợc MN vuông gãc víi AD - Cã : IN/MP = IA/BM = AN/BP NK/MP = KD/BM = ND/BP Do AN =ND nên đợc : IN/MP = NK/MP => IN=NK Tam giác IMK có MN vừa trung tuyến vừa đờng cao nên phân giác ( đpcm ) Bài tập tính toán Bài toán 3a : Cho hình thang ABCD (AB//CD ) I giao điểm AC với BD Gọi S 1, S2 lần lợt diện tích tam giác IAB IAD TÝnh diƯn tÝch h×nh thang theo S 1, S2 Gi¶i : SIBC = S2 A B Gäi S3 diện tích tam giác S1 IDC Ta có : S2 S3 = ID2 I S1 IB S3 S2 = ID C D SS31 = IB S2 S1 S12 S3 = S2 S1 (S1+S2)2 S1 ... 2AM Gi¶i : LÊy A1 điểm đối xứng A qua M ta có : A ABA1C hình bình hành BA1 = AC vµ AA1 = 2AM AB +AC = AB + BA1 B C L¹i cã : AB + BA1 > AA1 M AB + AC > AA1 =2AM => đpcm A1 Bài toán 5b :... [A1B1] C giao điểm A1B1 với Ox D giao điểm A1B1 với Oy B1 D O B A C A1 Bài toán 5e : Cho tam giác ABC có ba góc nhọn M điểm thuộc cạnh BC I,J lần lợt hình chiếu M xuống hai cạnh AB, AC M 1, ... HD : D = 18 00 - (KMD +KED+DME+DEM) Trong tam giác MKE đợc MKE DME+DEM = 18 0 - D K KMD = (18 00 - C - B)/2 KED = (18 0 -A-B)/2 Thay vào ta đợc : MKE = 18 00 -( (18 00-C-B +18 00-A-B )/2 +18 00-D) B
