GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ 1.Phương pháp đặt ẩn phụ: Ví dụ: Giải phương trình : Giải: Đặt ta có: với điều kiện Tìm sau đó suy ra (chú ý đối chiếu điều kiện nghiệm đúng) 2.Phương pháp đưa về hệ phương trình: Thường được dùng để giải phương trình vô tỷ có dạng: Ví dụ: Giải phương trình : Đặt: với điều kiện Khi đó ta có hệ: Giải hệ tìm suy ra . 3.Phương pháp bất đẳng thức: Ví dụ: Giải phương trình: Giải: Theo BĐT Côsi ta có: Do đó: 4.Phương pháp lượng giác: Ví dụ: Giải phương trình: Giải: Điều kiện: . Đặt: và biến đổi đơn giản ta có: suy ra và từ đó tìm được 5.Phương pháp nhân liên hợp: Ví dụ: Giải phương trình: Giải: Phương trình tương đương với: 1 I. Phương pháp lượng giác hoá 1. Nếu th“ ta có thể đặt hoặc Ví dụ 1 : Lời giải : ĐK : Đặt Phương tr“nh đã cho trở thành : )( ) = 0 Kết hợp với điều kiện của t suy ra : Vậy phương tr“nh có 1 nghiệm : Ví dụ 2 : Lời giải : ĐK : Khi đó VP > 0 . Nếu Nếu . Đặt , với ta có : ) ( ) = 0 Vậy nghiệm của phương tr“nh là Ví dụ 3 : Lời giải : ĐK : Đặt phương tr“nh đã cho trở thành : 2 Vậy phương tr“nh có nghiệm duy nhất Ví dụ 4 (TC THTT): HD : Nếu : phương tr“nh không xác định . Chú ý với ta có : vậy để giải phương tr“nh (1) ta chỉ cần xét với Đặt khi đó phương tr“nh đã cho trở thành : 2. Nếu th“ ta có thể đặt : Ví dụ 5 : Lời giải : ĐK : Đặt Phương tr“nh đã cho trở thành : kết hợp với điều kiện của t suy ra Vậy phương tr“nh có 1 nghiệm : TQ : Ví dụ 6 : Lời giải : ĐK : Đặt phương tr“nh đã cho trở thành : (thỏa mãn) TQ : với a,b là các hằng số cho trước II. 3. Đặt để đưa về phương tr“nh lượng giác đơn giản hơn : Ví dụ 7 : (1) Lời giải : Do không là nghiệm của phương tr“nh nên : (1) (2) Đặt . 3 Khi đó (2) trở thành : Suy ra (1) có 3 nghiệm : Ví dụ 8 : Lời giải : ĐK : Đặt phương tr“nh đã cho trở thành : Kết hợp với điều kiện suy ra : Vậy phương tr“nh có 1 nghiệm : 4. Mặc định điều kiện : . sau khi t“m được số nghiệm chính là số nghiệm tối đa của phương tr“nh và kết luận : Ví dụ 9 : Lời giải : phương tr“nh đã cho tương đương với : (1) Đặt : (1) trở thành : :Leftrightarrow Suy ra (1) có tập nghiệm : Vậy nghiệm của phương tr“nh đã cho có tập nghiệm chính là S II. Phương pháp dùng ẩn phụ không triệt để * Nội dung phương pháp : Đưa phương trình đã cho về phương tr“nh bậc hai với ẩn là ẩn phụ hay là ẩn của phương tr“nh đã cho : Đưa phương tr“nh về dạng sau : khi đó : 4 Đặt . Phương trình viết thành : Đến đây chúng ta giải t theo x. Cuối cùng là giải quyết phương tr“nh sau khi đã đơn giản hóa và kết luận : Ví dụ 10 : (1) lời giải : ĐK : Đặt Lúc đó : (1) Phương tr“nh trở thành : Giải phương tr“nh trên với ẩn t , ta t“m được : Do nên không thỏa điều kiện . Với th“ : ( thỏa mãn điều kiên Ví dụ 11 : Lời giải : ĐK : Đặt . phương trình đã cho trở thành : * Với , ta có : (vô nghiệm v“ : ) * Với , ta có : Do không là nghiệm của phương tr“nh nên : Bình phương hai vế và rút gọn ta được : (thỏa mãn) TQ : lúc đó chúng ta đặt và đưa về hệ đối xứng loại haiVí dụ 12 : Lời giải : Đặt . Phương tr“nh đã cho viết thành : Từ đó ta tìm được hoặc Giải ra được : . * Nhận xét : Cái khéo léo trong việc đặt ẩn phụ đã được thể hiện rõ trong ở phương pháp này và cụ thể là ở ví dụ trên . Ở bài trên nếu chỉ dừng lại với việc chọn ẩn phụ th“ không dễ để giải quyết trọn vẹn nó . Vấn đề tiếp theo chính là ở việc kheo léo biến đổi phần còn lại để làm biến mất hệ số tự do , việc gải quyết t theo x được thực hiện dễ dàng hơn . ví dụ 13 : Lời giải : ĐK : Đặt . phương trình đã cho trở thành : Giải ra : hoặc (loại) * ta có : Vậy là các nghiệm của phương tr“nh đã cho . 5 ví dụ 14 : Lời giải : ĐK : Đặt Phương tr“nh đã cho trở thành : Phương tr“nh trên đã khá đơn giản !!!!!!! III. Phương pháp dùng ẩn phụ đưa về dạng tích 1. Dùng một ẩn phụ Ví dụ 15 : (1) Lời giải : ĐK : . Đặt . phương tr“nh (1) trở thành : (2) giải đựoc bằng cách áp dụng phương pháp I : Đặt để đưa về dạng : TQ : Với a là hắng số cho trước . Ví dụ 16 : (1) Lời giải : ĐK : Viết lại (1) dưới dạng : (2) Đặt . Khi đó (2) trở thành : Do vậy hoặc * . Ta có : * . Ta có : Vậy phương tr“nh đã cho có 2 nghiệm : Ví dụ 17 : Lời giải : ĐK : (1) Đặt (2) . phương tr“nh đã cho trở thành : (3) Đối chiếu với hai điều kiện (1) và (2) thay vào và giải ra : Ví dụ 18 : Lời giải : ĐK : (1) Đặt Khi đó : . phương tr“nh đã cho trở thành : V“ nên : t^2 + t - 1003 < 0 6 Do đó phương tr“nh tương đương với : Do vậy (thỏa (1)) 2. Dùng 2 ẩn phụ . Ví dụ 9 : Lời giải : Đặt * * Ví dụ 20 : (1) Lời giải : ĐK : hoặc (*) Đặt ta có : (1) trở thành : (Do ) T“m x ta giải : (Thỏa (*)) Vậy (1) có 2 nghiệm : Ví dụ 21 : Lời giải : ĐK : Chuyển vế r?#8220;i b“nh phương hai vế phương tr“nh mới : (2) Đặt và Th“ : (2) * ta có : * ta có : Giải ra ta được 2 nghiệm thỏa mãn : Ví dụ 22 : lời giải : ĐK : Đặt : Từ phương tr“nh ta được : ( Do ) từ đó ta giải ra được các nghiệm : 3. Dùng 3 ẩn phụ . Ví dụ 23 : Lời giải : Đặt ta có : (1) Mặt khác : (2) Từ (1) và (2) ta có : Nên : 7 :Leftrightarrow từ đó dễ dàng t“m ra 4 nghiệm của phương tr“nh : Ví dụ 24 : (1) Lời giải : Đặt Suy ra : khi đó từ (1) ta có : :Leftrightarrow Giải như ví dụ 23 suy ra được 3 nghiệm của phương tr“nh : III. Phương pháp dùng ẩn phụ đưa về hệ 1. Dùng ẩn phụ đưa về hệ đơn giản giải bằng phép thế hoặc rút gọn theo vế . a. Dùng một ẩn phụ . Ví dụ 25 : Lời giải :ĐK : Đặt . Ta có : TQ : b. Dùng 2 ẩn phụ . * ND : * Cách giải : Đặt : Như vậy ta có hệ : Ví dụ 26 : (1) Lời giải : ĐK : Đặt Khi đó : (1) :Leftrightarrow 8 (Do hệ : : vô nghiệm ) hoặc Đến đây chỉ việc thay vào để t“m nghiệm của phương tr“nh ban đầu . Ví dụ 27 : Lời giải : ĐK : Đặt : Với : (*) Như vậy ta được hệ : Giải (1) : (1) ( ) Vậy thỏa (*) chính là 2 nghiệm của phương tr“nh đã cho . Ví dụ 28 : Lời giải : Đặt : (2) (1) 2. Dùng ẩn phụ đưa về hệ đối xứng Dạng 1 : CG : Đặt ta có hệ : Ví dụ 29 : Lời giải : Đặt : ta có : (1) :Leftrightarrow (2) : Vô nghiệm . Vậy tập nghiệm của phương tr“nh là : Dạng 2 : 9 CG : ĐẶt PT :Leftrightarrow Ví dụ 30 : Lời giải : ĐK : Đặt : (1) PT Lấy (3) trừ (2) ta được : (1) (Do ) Dạng 3 : Chọn ẩn phụ từ việc làm ngược : Ví dụ 31 : Lời giải : ĐK : Đặt . Chọn a, b để hệ : ( ) (*) là hệ đối xứng . Lấy ta được hệ : Giải hệ trên ta được : Đối chiếu với điều kiện của hệ (*) ta được nghiệm duy nhất của phương tr“nh là : Dạng 4 : Nội dung phương pháp : Cho phương tr“nh : Với các hệ số thỏa mãn : Cách giải : Đặt Ví dụ 32 : Lời giải : ĐK : PT - Kiểm tra : Đặt : (1) Mặt khác : (2) Từ (1) và (2) ta có hệ : Đây là hệ đỗi xứng loại II đã biết cách giải . Ví dụ 33 : Lời giải : PT - Kiểm tra : Đặt : (1) Mặt khác : (2) Từ (1) và (2) ta có hệ : 10 [...]... VD1: GPT: Đặt , ta có: Dạng 1: Phương trình do đó điều kiện cho ẩn phụlà Khi đó phương trình có dạng : Dạng 2: phương trình: ( g(x,m) phải có nghĩa) Dạng 3: Phương trình: Vậy pt có 2 nghiệm x=1, x=2 VD2:GPT: Nx: + + =0 (1) không là nghiệm của pt, chia cả 2 vế cho được 11 (2) Đặt b> Giải và biện luận : } , khi đó (2) 1/2 hoặc t=- - Sử dụng BĐT,ví dụ: Bây giờ xét 2 trường hợp: TH1: Nếu n chẵn Khi đó ĐK... Vậy pt vô nghiệm TH2: Nếu n lẻ Với ví dụ: ( vô nghiệm) Với Vậy Vậy Đk cho ẩn phụ là : -Sử dụng đạo hàm [/b] Ví dụ VD1: GPT: Đặt , ta có: Bài tập tương tự: Giải các pt sau: do đó điều kiện cho ẩn phụlà Khi đó phương trình có dạng : b >Giải và biện luận pt : (ST) Ví dụ Đặt ẩn phụ - dạng 2: Vậy pt có 2 nghiệm x=1, x=2 Giải: Đk: đặt : Khi đó pt được chuyển thành hệ: Bài tập tương tự: Giải các pt sau: giải. ..Ví dụ 34 : Lời giải : (f(x,m) và g(x,m) phải có nghĩa) PT Ví dụ minh hoạ : VD1: tìm m để pt sau có nghiệm: - Kiểm tra : Đặt : LG: Phương trình đã cho được biến đổi tương đương đưa về dạng: (1) Mặt khác : Từ (1) và (2) ta có hệ : (2) Do đó điều kiện để phương trình đã cho có nghiệm là: (ST) Ví dụ Đặt ẩn phụ - dạng 1 Giải hệ trên đã thật đơn giản !!!!!!!!! Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương... luận pt : (ST) Ví dụ Đặt ẩn phụ - dạng 2: Vậy pt có 2 nghiệm x=1, x=2 Giải: Đk: đặt : Khi đó pt được chuyển thành hệ: Bài tập tương tự: Giải các pt sau: giải ra được Bài tập tương tự: hay b >Giải và biện luận pt : Giải các pt sau: 12 (ST) 13 . GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ 1 .Phương pháp đặt ẩn phụ: Ví dụ: Giải phương trình : Giải: Đặt ta có: với điều kiện Tìm. điều kiện nghiệm đúng) 2 .Phương pháp đưa về hệ phương trình: Thường được dùng để giải phương trình vô tỷ có dạng: Ví dụ: Giải phương trình : Đặt: với điều