Ch-ơng 8 Hệ thanh siêu tĩnh 1 Khái niệm 1) Định nghĩa Ta biết rằng: Hệ thanh, để cố định trong không gian cần phải có đủ 6 liên kết, trong hệ phẳng cần có 3 liên kết. Hệ thanh có đủ liên kết gọi là hệ tĩnh định. Nh-ng trong thực tế, ta th-ờng gặp hệ có số liên kết lớn hơn số liên kết cần thiết, khi đó , ng-ời ta nói hệ có liên kết thừa. Ta có định nghĩa: Hệ thanh siêu tĩnh là hệ có liên kết thừa. Bậc siêu tĩnh bằng só liên kết thừa. Nếu gọi m là số liên kết có trong hệ, n là bậc siêu tĩnh. Khi đó ta có: n = m - 6 (hệ không gian) hoặc n= m - 3 ( hệ phẳng) 2) Phân loại Tuỳ theo bản chất của liên kết thừa là liên kết so với mặt đất hay liên kết ngay trong bản thân của hệ, mà ng-ời ta phân loại hệ siêu tĩnh nh- sau: - Hệ siêu tĩnh ngoại: Liên kết thừa là liên kết so với mặt đất (hình a). - Hệ siêu tĩnh nội: Liên kết thừa là liên kết tồn tại ngay trong bản thân hệ (hình b). - Hệ siêu tĩnh kết hợp: kết hợp 2 loại trên (hình c) mối hàn a) b) c) n=2 n=3 n=5 3 ) Ưu nh-ợc điểm hệ siêu tĩnh: Để phân tích -u nh-ợc điểm của hệ siêu tĩnh, ng-ời ta th-ờng hay so sánh với hệ tĩnh định. - Hệ siêu tĩnh th-ờng có biểu đồ nội lực phân bố đều đặn hơn so với hệ tĩnh định và th-ờng có giá trị nhỏ hơn so với hệ tĩnh định t-ơng tự. - Hệ siêu tĩnh th-ờng có ứng suất nhỏ hơn tĩnh định, do vậy nó có độ bền cao hơn - Hệ siêu tĩnh có chuyển vị và biến dạng nhỏ hơn hệ tĩnh định, cho nên nó có độ cứng cao hơn. - Hệ siêu tĩnh th-ờng hay bị phát sinh ứng suất d-, biến dạng d- khi nhiệt độ thay đổi hoặc khi lắp ráp. - Hệ siêu tĩnh yêu cầu chế tạo phải có độ chính xác cao. Chính vì các -u nh-ợc điểm trên, mà hệ siêu tĩnh chỉ đ-ợc sử dụng khi thật cần thiết, khi cần phải có độ bền, độ cứng cao nh-: Trục chính các máy công cụ 2 giải khung siêu tĩnh theo ph-ơng pháp lực Để tiện cho việc thực hành giải khung siêu tĩnh theo ph-ơng pháp lực, trong phần này, đ-ợc trình bày theo dạng trình tự giải. 1) Hệ cơ bản : là hệ tĩnh định có đ-ợc từ hệ siêu tĩnh sau khi đã bỏ bớt liên kết thừa. Để thành lập hệ cơ bản, từ hệ siêu tĩnh, ng-ời ta xác định đ-ợc bậc siêu tĩnh, từ đó biết đ-ợc số liên kết thừa cần phải bỏ. Bỏ liên kết thừa, ta đ-ợc hệ tĩnh định là hệ có đủ liên kết mà không bị biến hình, đó là hệ cơ bản cần xác định. Theo trình bày trên thì từ 1 hệ siêu tĩnh, ta có thể thiết lập đ-ợc nhiều hệ cơ bản (hình vẽ, khi không có lực). Hệ cơ bản đ-ợc chọn mà dễ giải nhất, gọi là hệ cơ bản hợp lý . P x 1 x 1 x 2 x 2 x 1 x 2 2 ) Hệ tĩnh định t-ơng đ-ơng: Là hệ tĩnh định có chuyển vị và biến dạng giống hệt hệ siêu tĩnh. Để có đ-ợc hệ tĩnh định t-ơng đ-ơng, trên hệ cơ bản , ta đặt tải trọng và các phản lực liên kết tại chỗ đã giải phóng liên kết thừa, với điều kiện là: chuyển vị theo ph-ơng của các phản lực liên kết phải bằng 0. (hình vẽ) 3) Hệ ph-ơng trình chính tắc: Xét hệ siêu tĩnh bậc siêu tĩnh n, sau khi giải phóng n liên kết thừa, và đặt các phản lực liên kết x 1 , x 2 , , x n ta đ-ợc hệ tĩnh định t-ơng đ-ơng với điều kiện ràng buộc là: chuyển vị theo ph-ơng của các phản lực liên kết phải bằng 0. Gọi i là chuyển vị theo ph-ơng của lực x i do x 1 , x 2 , , x n và tải trọng gây nên. Ta có: 0 21 ipniiii xxx Gọi ik là chuyển vị đơn vị theo ph-ơng của lực x i do x k =1 gây nên. Khi đó: kikki xx Ta có: 0 2211 ipniniii xxx Khai triển ph-ơng trình trên, cho i= n,1 ta có hệ ph-ơng trình gọi là hệ ph-ơng trình chính tắc: 0 0 0 2211 22222121 11212111 npnnnnn pnn pnn xxx xxx xxx Đây là hệ ph-ơng trình tuyến tính n ẩn. Các số hạng của ph-ơng trình đ-ợc xác định bằng ph-ơng pháp nhân biểu đồ veresaghin. Cụ thể: * ik là chuyển vị đơn vị theo ph-ơng của lực x i do x k =1 gây nên,đ-ợc xác định: kikiik MM Ta thấy iiii MM cho nên luôn d-ơng. Trong đó i M là biểu đồ mô men đơn vị do x i =1 gây nên. * ip là chuyển vị theo ph-ơng của lực x i do tải trọng gây nên, đ-ợc xác định: ipip MM Trong đó M p là biểu đồ mô men do tải trọng gây nên. Sau khi tính đ-ợc các hệ số, thay vào ph-ơng trình chính tắc, giải hệ ph-ơng trình, ng-ời ta tìm đ-ợc các phản lực x i . 4) Xây dựng biểu đồ nội lực: Th-ờng có 2 cách vẽ biểu đồ nội lực: - Vẽ trên hệ tĩnh định t-ơng đ-ơng: Thay các giá trị các phản lực x i vào hệ tĩnh định t-ơng đ-ơng và vẽ biểu đồ nội lực cho hệ tĩnh định nh- đã đ-ợc học trong các ch-ơng tr-ớc. Biểu đồ vẽ đ-ợc là biểu đồ nội lực của hệ siêu tĩnh. - Vẽ theo nguyên lý cộng tác dụng: Cộng các biểu đồ do các phản lực gây nên với biểu đồ nội lực do tải trọng gây nên ta đ-ợc biểu đồ siêu tĩnh. Chẳng hạn cần vẽ biểu đồ mô men uốn, khi đó ta có: pnnst MxMxMxMM 2211 5) Kiểm tra biểu đồ nội lực: Vì biểu đồ nội lực vẽ đ-ợc sau 1 quá trình tính toán phức tạp, cho nên sau khi vẽ xong th-ờng ng-ời ta phải kiểm tra lại. Việc kiểm tra biểu đồ th-ờng theo các b-ớc sau: - Sử dụng liên hệ vi phân - Tách nút để kiểm tra biểu đồ đối với khung. Hai b-ớc trên mà đã kiểm tra xong, mới khẳng định là biểu đồ nội lực do hệ lực bao gồm các phản lực liên kết và tải trọng gây nên là đúng, chứ ch-a thể khẳng định là biểu đồ nội lực của hệ siêu tĩnh là đúng, là vì các giá trị x i ch-a chắc đã đúng. Để biết chắc biểu đồ trên đúng là biểu đồ nội lực của hệ siêu tĩnh, ta phải kiểm tra chuyển vị theo ph-ơng của phản lực liên kết, mà ta đã biết là chuyển vị đó phải bằng 0. Ta phải thực hiện b-ớc tiếp theo: - Nhân biểu đồ: st M 0 i M 5) Tính chuyển vị hệ siêu tĩnh:Theo cách nh- sau: - Tại điểm cần tính chuyển vị, ta đặt lực đơn vị P k =1 lên hệ cơ bản, rồi vẽ biểu đồ mô men, ta đ-ợc biểu đồ cb k M . - Nhân biểu đồ, ta đ-ợc chuyển vị tại điểm K là: cb kpk MMf 3 khung siêu tĩnh đối xứng 1) Khái niệm: Trong phần này ta nghiên cứu tr-ờng hợp đặc biệt của khung siêu tĩnh, đó là khung siêu tĩnh đối xứng phẳng. - Khung siêu tĩnh đối xứng là khung siêu tĩnh có ít nhất 1 trục đối xứng. - Mặt phẳng vuông góc với hệ và đi qua trục đối xứng, gọi là mặt phẳng đối xứng. Khung siêu tĩnh đối xứng chịu tải bất kì, bao giờ cũng có thể chuyển thành hệ chịu tải đối xứng kết hợp với tải trọng phản đối xứng (hình vẽ) P P/2 P/2 P/2 P/2 = + Hệ siêu tĩnh đối xứng chịu tải trọng đối xứng, khi ảnh tải trọng phần này trùng với ảnh tải trọng phần kia qua g-ơng đặt trên mặt phẳng đối xứng. Hệ siêu tĩnh đối xứng chịu tải trọng phản đối xứng, khi ảnh tải trọng phần này ng-ợc chiều với ảnh tải trọng phần kia qua g-ơng đặt trên mặt phẳng đối xứng. 2) Hệ cơ bản hợp lý, hệ tĩnh định t-ơng đ-ơng: * Đối với khung siêu tĩnh đối xứng, hệ cơ bản hợp lý đ-ợc chọn bằng cách: dùng mặt cắt đi qua mặt phẳng đối xứng, cắt khung chia làm 2 phần. Hệ cơ bản này là hợp lý là vì với cách chọn này, số ẩn trong ph-ơng trình sẽ giảm, điều này ta sẽ chứng minh ở phần sau.(hình vẽ) x 1 x 2 x 3 * Hệ tĩnh định t-ơng đ-ơng: Việc chọn hệ cơ bản nh- trên nh- vậy ta đã giải phóng 3 liên kết nội, nh- vậy ta phải đật vào hệ 3 phản lực liên kết mà thực chất là 3 thành phần thành phần nội lực t-ơng ứng. Đó là: - Mô men uốn, kí hiệu là x 1 - Lực dọc, kí hiệu là x 2 - Lực cắt, kí hiệu là x 3 Trong đó, lực dọc và mô men uốn gọi là thành phần nội lực đối xứng. Lực cắt đ-ợc gọi là thành phần nội lực phản đối xứng. Điều kiện chuyển vị: Chuyển vị t-ơng đối và góc xoay t-ơng đối giữa 2 mặt cắt (thực chất chỉ là 1 mặt cắt) phải bằng 0. 3 ) Ph-ơng trình chính tắc: vì có 3 ẩn, cho nên ta có 3 ph-ơng trình: 0 0 0 3333232131 2323222121 1313212111 p p p xxx xxx xxx Nhận xét: - Biểu đồ mô men do thành phần lực đối xứng gây nên là biểu đồ đối xứng, biểu đồ mô men do thành phần lực phản đối xứng gây nên là biểu đồ phản đối xứng. Cụ thể, biểu đồ đơn vị 21 ,MM là biểu đồ đối xứng, biểu đồ 3 M là biểu đồ phản đối xứng. - Phép nhân biểu đồ giữa 2 biểu đồ mô men đối xứng và phản đối xứng bao giờ cũng bằng 0. Cho nên: 0 32233113 * Hệ siêu tĩnh đối xứng chịu tải trọng đối xứng: khi đó biểu đồ M p là đối xứng, cho nên: 0 3 p . Ta chú ý ph-ơng trình thứ 3, ta thấy x 3 =0 * Hệ siêu tĩnh đối xứng chịu tải trọng phản đối xứng: khi đó biểu đồ M p là phản đối xứng, cho nên: 0 21 pp . Xét 2 ph-ơng trình 1 và 2, ta thấy để thoả mãn ph-ơng trình thì buộc phải x 1 =x 2 =0. Từ đó , ta có hệ quả sau: Hệ quả: - Hệ siêu tĩnh đối xứng chịu tải trọng đối xứng thì thành phần nội lực phản đối xứng trên mặt cắt qua mặt phẳng đối xứng phải bằng 0. - Hệ siêu tĩnh đối xứng chịu tải trọng phản đối xứng thì thành phần nội lực đối xứng trên mặt cắt qua mặt phẳng đối xứng phải bằng 0. Sau khi giải ph-ơng trình,thay các giá trị nội lực tính đ-ợc vào hệ tĩnh định t-ơng đ-ơng, vẽ biểu đồ nội lực từng phần rồi ghép lại với nhau, ta đ-ợc biểu đồ nội lực siêu tĩnh. 4 dầm liên tục 1) Định nghĩa: Dầm liên tục là dầm siêu tĩnh có nhiều nhịp. Nhịp là đoạn dầm giữa 2 gối. Để thoả mãn định nghĩa dầm liên tục thì số nhịp phải lớn hơn hoặc bằng 2. Nh- vậy, bậc siêu tĩnh của dầm liên tục bằng số nhịp trừ đi 1. Trên hình vẽ biểu diễn dầm liên tục n nhịp. 2) Hệ cơ bản hợp lý: - Nếu ta chọn hệ cơ bản bằng cách bỏ các gối trung gian, thì khi đó các biểu đồ mô men do tải trọng và phản lực liên kết sẽ ảnh h-ởng suốt chiều dài dầm, điều đó gây nên việc xác định các hệ số trong ph-ơng trình chính tắc sẽ rất khó khăn, cho nên việc chọn hệ cơ bản theo cách này là không hợp lý. - Ng-ời ta có thể chọn hệ cơ bản theo cách sau: Tại vị trí các gối, t-ởng t-ợng dùng mặt cắt ngang cắt rời thanh (bỏ 3 liên kết nội), sau đó nối chúng lại với nhau bằng các khớp cầu (nh- vậy đã hạn chế 2 bậc tự do, chỉ giải phóng 1 liên kết), ta đ-ợc hệ cơ bản. Hệ cơ bản này là hợp lý là vì từng đoạn dầm bị cô lập, do vậy, ảnh h-ởng của tải trọng chỉ ngay trong nhịp mà nó tác dụng mà không ảnh h-ởng đến nhịp khác. Điêù đó rất thuận lợi cho việc tính các hệ số trong ph-ơng trình, do đó đây chính là hệ cơ bản hợp lý. 3) Hệ tĩnh định t-ơng đ-ơng: Với cách chọn hệ cơ bản trên thì liên kết thừa đ-ợc giải phóng chính là liên kết chống xoay, do vậy tại chỗ giải phóng liên kết, ta đặt mô men phản lực đ-ợc hệ tĩnh định t-ơng đ-ơng trên hình vẽ. Điều kiện chuyển vị của hệ tĩnh định t-ơng đ-ơng là: Góc xoay t-ơng đối giữa 2 mặt cắt sát gối (thực ra là 1 mặt cắt) phải bằng 0. 4) Ph-ơng trình 3 mô men: Xét dầm liên tục n nhịp (giả thiết dầm có độ cứng không đổi), tại mặt cắt sát khớp gối, ta đặt các mô men M i , ph-ơng trình chính tắc viết cho gối thứ i có dạng nh- sau: 0 1)1(1)1(2211 ipniniiiiiiiiiiii MMMMMM (*) Ta thấy: 0, ,2,2, ,2,1 niik ik cho nên ph-ơng trình chỉ còn: 0 1)1(1)1( ipiiiiiiiii MMM Ta tính các hệ số: iiiiii l EJ l EJ MM 6 1 1 3 1 1 2 11 1)1( 11 3 1 1 3 2 1 2 1 1 3 2 1 2 11 iiiiiiii ll EJ ll EJ MM 111)1( 6 1 1 3 1 1 2 11 iiiiii l EJ l EJ MM 1 11 1 i ii i ii ipip l b l a EJ MM Thay vào ph-ơng trình (*), ta đ-ợc: 062 1 11 1111 i ii i ii iiiiiii l b l a MlMllMl Ph-ơng trình trên gọi là ph-ơng trình 3 mô men. Lần l-ợt viết cho các gối khác nhau, ta sẽ đ-ợc hệ ph-ơng trình, mà trong đó ẩn số là các mô men M i . 0 1 i-1 i i+1 n-1 n l 1 l i l i+1 l n M 0 M 1 M i-1 M i M i+1 M n-1 M n M i-1 =1 1i M 1 M i =1 i M 1 M i+1 =1 1i M i 1 i 1 c i c i+1 (M P ) a i b i a i+1 b i+1 Chú ý: - Khi tính tích số 6() ta phải chú ý đến dấu. Nếu biểu đồ M p nằm ở phía bên d-ới, nghĩa là cùng chiều căng giả thiết của các mô men M i thì lấy dấu d-ơng, ở phía trên thì lấy dấu d-ơng (vì thực chất đây là phép nhân biểu đồ giữa biểu đồ do tải trọng gây nên và biểu đồ mô men đơn vị). - Nếu trong đoạn l i bất kì mà biểu đồ M p không liên tục thì ta phải chia thành từng đoạn để đảm bảo tính liên tục. - Khi tính các mô men M i mà kết quả âm thì nó có chiều ng-ợc với chiều giả thiết. 5 Dầm siêu tĩnh đầu ngàm mút thừa Giả sử ta có dầm siêu tĩnh một đầu là ngàm, một đầu là mút thừa (hình vẽ). Khi đó ng-ời ta th-ờng chuyển về dầm liên tục bằng cách sau: - Thay ngàm bằng 1 nhịp có chiều dài vô cùng bé và có độ cứng vô cùng lớn. - Cắt bỏ mút thừa, chuyển lực tác dụng tại đầu thừa về gối lân cận, khi đó ta đ-ợc 1 lực và 1 mô men. Lực thì gối chịu tác dụng không ảnh h-ởng đến dầm. còn mô men có thể coi là mô men ngoại lực hoặc mô men nội lực. Khi đó ta sẽ đ-ợc 1 dầm liên tục, cách giải đ-ợc nêu ở phần trên. P P M . 2 ) Hệ tĩnh định t-ơng đ-ơng: Là hệ tĩnh định có chuyển vị và biến dạng giống hệt hệ siêu tĩnh. Để có đ-ợc hệ tĩnh định t-ơng đ-ơng, trên hệ cơ bản. điểm của hệ siêu tĩnh, ng-ời ta th-ờng hay so sánh với hệ tĩnh định. - Hệ siêu tĩnh th-ờng có biểu đồ nội lực phân bố đều đặn hơn so với hệ tĩnh định