ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC Ở đây không xét đến các đẳng thức lượng giác trong tam giác. Bài 1 Tính a/ 0 sin15 và 0 cos15 b/ 0 sin18 và 0 cos18 c/ 0 sin 36 và 0 cos36 d/ 8 tg π e/ 0 37 30'tg Bài 2 Tính a/ ( ) 0 0 0 0 0 0 cot 44 226 cos406 cot 72 .cot 18 cos316 g tg g g + − b/ ( ) ( ) 0 0 0 0 0 cos 288 cot 72 18 162 sin108 g tg tg − − − c/ ( ) 0 0 0 0 0 2sin 2550 .cos 188 1 368 2cos638 cos98tg − + + d/ 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 cos 197 cos 287 sin 323 1 sin 217 cos 37 + − − Bài 3 Tính giá trị các biểu thức sau a/ 0 0 0 0 20 40 60 80tg tg tg tg d/ 2 2 2 3 5 12 12 12 tg tg tg π π π + + b/ 0 0 1 2sin 70 2sin10 − e/ 0 0 0 0 9 27 63 81tg tg tg tg− − + c/ 4 4 4 4 3 5 7 sin sin sin sin 16 16 16 16 π π π π + + + f/ 6 6 6 6 3 5 7 cos cos cos cos 16 16 16 16 π π π π + + + Bài 4 Rút gọn a/ 3 3 sin 3 sin cos3 cosx x x x+ b/ ( ) 2 2 1 cos 1 cos 1 sin sin x x x x   − + +  ÷  ÷   c/ 2 2cos 1 sin cos x x x − + d/ 1 sin 1 sin 1 sin 1 sin x x x x + − + − + Bài 5 a/ Cho sin cosx x a+ = .Tính sin .cosx x sin cosx x − 3 3 3 3 sin cos sin cos x x x x  +   −   4 4 4 4 sin cos sin cos x x x x  +   −   5 5 5 5 sin cos sin cos x x x x  +   −   b/ Cho cottgx gx a+ = .Tính cottgx gx− 2 2 2 2 cot cot tg x g x tg x g x  +   −   3 3 3 3 cot cot tg x g x tg x g x  +   −   6 6 6 6 cot cot tg x g x tg x g x  +   −   Bài 6 a/ Cho 2tgx = .Tính 4 3 2 2 3 4 4 3 2 2 3 4 3sin 5sin cos 11sin cos 4sin cos 2cos 5sin 3sin cos 2sin cos 10sin cos 3cos x x x x x x x x A x x x x x x x x − + − + = − + − + − b/Cho tgx=4 .Tính 5 4 2 3 4 5 4 3 2 7cos 4cos sin 2cos .sin 5cos .sin 6sin 8sin cos 2sin cos x x x x x x x x B x x x x − + − − = − Bài 7 Chứng minh các đẳng thức sau không phụ thuộc vào biến số a/ ( ) ( ) 2 4 4 2 2 8 8 2 sin cos sin cos sin cosx x x x x x+ + − + b/ 4 2 4 2 sin 4cos cos 4sinx x x x+ + + c/ 4 4 6 6 sin cos 1 sin cos 1 x x x x + − + − d/ ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 1 cot tg x tg x g x tgx   − − + +  ÷   Bài 8 Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc x a/ ( ) 2 2 2 2 2 2 2 cos cos cos cos 2sin 3 3 3 3 f x x x x x x π π π π         = − + + + − + + −  ÷  ÷  ÷  ÷         b/ ( ) 2 2 2 2 2 cos cos cos 3 3 f x x x x π π     = + + + −  ÷  ÷     c/ ( ) 2 2 2 2 2 sin sin sin 3 3 f x x x x π π     = + + + −  ÷  ÷     d/ ( ) ( ) 2 2 cos cos 2cos cos cosx a x a x a x− + − − e/ ( ) 3 3 cos cos3 sin sin 3 cos sin m x x m x x f x x x − + = + 2 x k π   ∀ ≠  ÷   Bài 9 a/Cho sin .sin cos .cos 0a x y b x y− = .Tính 2 2 2 2 1 1 sin cos sin cos S a x b x a y b y = + + + b/Cho hệ 2 2 2 2 2 2 2 2 1 cos cos 1 sin cos m tg x n tg y m x n m x n y  + =  + =   =  .Tìm hệ thức liên hệ giữa m và n không phụ thuộc x,y. c/Tìm m để biểu thức sau không phụ thuộc x: ( ) 6 6 4 4 sin cos sin cosS x x m x x= + − + Bài 10 a/Cho 4 4 sin cos 1x x m n m n + = + .Chứng minh ( ) 10 10 4 4 4 sin cos 1x x m n m n + = + b/Cho 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . . . . . 1tg x tg y tg z tg x tg y tg y tg z tg z tg x+ + + = .Chứng minh 2 2 2 sin sin sin 1x y z+ + = c/Cho 3 2 3 2 .cos 3 cos .sin .sin 3 cos sin a x a x x m a x a x x n  + =   + =   .Chứng minh ( ) ( ) 2 2 3 2 3 3 2m n m n a+ + − = d/Cho 1 1 2 1 2 3 1 2 sin cos sin cos cos a a a α α α α α =   =   =  .Chứng minh 2 2 2 1 2 3 1a a a+ + = Bài 11 Gọi , α β là các giá trị khác nhau của x thỏa mãn hệ thức cos sina x b x c + = .Biết 2 2 0; 2a b k α β π + > − ≠ . a/.Tính 2 2 sin .sin 2 2 α β b/Chứng minh 2 2 2 2 cos 2 c a b α β − = + và 2 b tg a α β + = Bài 12 Tính a/ 0 9 0 0 cos20 cos 40 cos160 cos180A = + + + + b/ 0 0 0 0 20 40 160 180B tg tg tg tg= + + + + c/ 0 0 0 sin 5 sin10 sin 360C = + + + Bài 13 Chứng minh a/ 6 4 2 6 4 2tg a tg a tg a tg atg atg a− − = b/ ( ) ( ) tg a b tga tgb tg a b tgatgb+ − − = + c/ ( ) ( ) 2 2 2 sin sin sin 2sin sin cosa b a b a b a b+ − − = + d/ ( ) sin . . cos cos cos a b c tga tgb tgc tga tgb tgc a b c + + + + − = e/ ( ) ( ) ( ) cos sin cos sin cos sin 0a b c b c a c a b− + − + − = f/ ( ) ( ) ( ) sin sin sin sin sin sin 0a b c b c a c a b− + − + − = g/ ( ) ( ) ( ) sin sin sin 0 cos cos cos cos cos cos a b b c c a a b b c c a − − − + + = Bài 14 a/ Cho ( ) ( ) cos cos cos sin sin sin cos sin x y z x y z m x y z x y z + + + + = = + + + + .Chứng minh ( ) ( ) ( ) cos cos cosx y y z z x m+ + + + + = b/Cho 0 , 2 π α β < < và 2 2 3sin 2sin 1 3sin 2 2sin 2 0 α β α β  + =  − =  .Chứng minh 2 2 π α β + = . c/Cho 0 , 2 π α β < < và ( ) 2 2 sin sin sin α β α β + = + .Chứng minh 2 π α β + = . d/ Cho ( ) ( ) cos cos 0 cos cos 0 a b a b α β α ϕ β ϕ + =    + + + =   ( ) k ϕ π ≠ .Chứng minh rằng với mọi x ta có ( ) ( ) cos cos 0a x b x α β + + + = e/ Cho ( ) ( ) cos cosm a b a b+ = − với ( ) , ; 1a b k k m π − ≠ ∈ ≠¢ .Chứng minh 2 1 1 2 1 sin 2 1 sin 2 1m a m b m + = − − − Bài 15 Chứng minh các đẳng thức sau a/ 2 2 1 2sin 1 2cot cos 4 4 x g x x π π − =     + −  ÷  ÷     b/ 2 1 cos cos 2 cos3 2cos 2cos cos 1 x x x x x x + + + = + − c/ 4 4 3 1 sin cos cos 4 4 4 x x x+ = + d/ 6 6 5 3 sin cos cos4 8 8 x x x+ = + e/ 8 8 7 1 sin cos cos8 cos6 8 8 x x x x+ = + f/ 2 3 3 3 3 tgx tg x tg x tg x π π     + + + + =  ÷  ÷     g/ 2 2 3 3 3 3 3 tgxtg x tg x tg x tg x tgx π π π π         + + + + + + = −  ÷  ÷  ÷  ÷         Bài 16 Tính a/ 4 5 cos cos cos 7 7 7 A π π π = b/ 0 0 0 0 sin 5 sin15 sin 75 sin 85B = c/ cos cos2 cos 4 cos2 n C x x x x= d/ 2 3 cos cos cos cos 2 1 2 1 2 1 2 1 n D n n n n π π π π = + + + + Bài 17 a/ Đặt cos 2cos 2 cosS x x n nx= + + + .Chứng minh ( ) 2 2 2 1 sin sin . sin 2 2 2 2sin 2 x n nx n x S x + − = với 2x k π ≠ b/Chứng minh rằng 1 1 sin 2 2 2 2 2 2 2 n n π − + = + + + + 1 4 44 2 4 4 43 c/CMR 1 cos 2 2 2 2 2 n π = + + + ( n-1 dấu căn) d/CMR 1 sin 2 2 2 2 2 2 n π = − + + + ( n-1 dấu căn) e/ ( ) 1 2 2 0 4 1 4 1 1 1 cos 2 2 sin 2 sin 2 i n n i n i + =     = −   +     ∑ Bài 18 Chứng minh a/ 4sin .sin .sin sin 3 3 3 x x x x π π     − + =  ÷  ÷     b/ 4cos cos cos cos3 3 3 x x x x π π     − + =  ÷  ÷     c/ 4 3 3 3 tgxtg x tg x tg x π π     − + =  ÷  ÷     d/ 2 3 3 3 3 tgx tg x tg x tg x π π     + + + + =  ÷  ÷     e/ 2 2 2 2 9 3 6 3 3 tg x tg x tg x tg x π π     + + + − = +  ÷  ÷     Bài 19 (Áp dụng bài 18)Tính: a/ 0 0 0 sin 20 sin 40 sin80A = b/ 0 0 0 cos10 cos 20 cos80B = c/ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 sin 2 sin18 sin 22 sin 38 sin 42 sin 58 sin 62 sin 78 sin82C = d/ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 17 23 37 43 57 63 77 83 243D tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg= e/ 2 4 5 7 8 10 11 13 27 27 27 27 27 27 27 27 27 E tg tg tg tg tg tg tg tg tg π π π π π π π π π = f/ 0 0 0 0 1 5 9 177F tg tg tg tg= + + + + g/ 2 0 2 0 2 0 2 0 5 10 80 85G tg tg tg tg= + + + + Bài 20 Giải hệ ( ẩn x,y,z) a/ Cho sin sin sin 0 α β γ ≠ và cos ,cos ,cos α β γ đôi một khác nhau sin sin 2 sin 3 sin 4 sin sin 2 sin3 sin 4 sin sin 2 sin 3 sin 4 x y z x y z x y z α α α α β β β β γ γ γ γ + + =   + + =   + + =  b/Cho cos cos cos 0 α β γ ≠ và cos ,cos ,cos α β γ đôi một khác nhau cos cos 2 cos3 cos 4 cos cos2 cos3 cos 4 cos cos2 cos3 cos 4 x y z x y z x y z α α α α β β β β γ γ γ γ + + =   + + =   + + =  Bài 21 Rút gọn các biểu thức sau a/ sin8 sin13 sin18 cos8 cos13 cos18 x x x A x x x + + = + + b/ ( ) 2 2 2 sin 2 cos cos 2B a b a b= − − − c/ ( ) 2 2 2 sin 2 sin 2 sinC a b a b= − − − d/ ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 sin sin sin sin cos cos a b a b D a b a b + − − = + − − Bài 21 Chứng minh a/ 4 sin 4 4sin 3 6sin 2 4sin 16sin 2 sin 2 x x x x x x− + − = b/ 2 3 1 1 cos cos3 cos5 8sin cos 2 2 x x x x x− − = c/ 0 0 6 2 cos27 cos 63 4 − − = d/ 2 0 2 0 5 1 sin 24 sin 6 8 − − = e/ 0 0 0 0 0 8 3 30 40 50 60 cos20 3 tg tg tg tg+ + + = f/ 0 0 0 0 0 0 9 15 27 cot 27 cot 15 cot 9 8tg tg tg g g g+ − − + + = g/ ( ) 0 0 0 0 0 3 1 cos12 cos18 4cos15 cos 21 cos24 2 − + + − = Bài 22 a/ Cho ( ) ( ) ( ) ( ) sin cos ; sin cos x x a A x b x B α α β β − − = = − − Chứng minh ( ) cos aA bB aB bA α β + = − + b/ ( ) 1 1 1 1 cos 2 1 2 n k k k n π + = − = + ∑ c/ 8 12 18 1 7 cos cos cos cos sin 35 35 35 2 5 2 5 π π π π π + + = + Bài 23 Chứng minh a/ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) sin sin sin sin sin sin 0a b a b b c b c c a c a+ − + + − + + − = b/ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cos sin cos sin cos sin 0a b a b b c b c c a c a+ − + + − + + − = c/ ( ) ( ) ( ) sin sin sin sin sin sin 0a b c b c a c a b− + − + − = Bài 24 Tính a/ 2 4 6 cos cos cos 7 7 7 A π π π = + + b/ 2 3 cos cos cos 7 7 7 B π π π = + + c/ 5 7 11 sin sin sin sin 24 24 24 24 C π π π π = d/ 7 13 19 25 sin sin sin sin sin 30 30 30 30 30 D π π π π π = Bài 25 Tính a/ 1 2 sin sin 2 sin cos cos 2 cos A a a na A a a na = + + +   = + + +  b/ 2 2 2 1 2 2 2 2 cos cos 2 cos sin sin 2 sin B a a na B a a na  = + + +   = + + +   c/ 1 1 2 2 2 2 2 cot 2 n n n n C tga tg a tg a g a + + = + + + + d/ 2 2 1 2 1 2 2 2 2 4 2 2 2 2 n n n n n a a a a a a D tg tga tg tg tg tg tg − − = + + + + e/ 1 1 2 2 2 2 n n a a E tga tg tg= + + + f/ 2 2 2 2 1 1 1 4cos 4 cos 4 cos 2 4 2 n n F a a a = + + + Bài 26 (sử dụng dãy tỉ số bằng nhau) a/Cho 2 2 2 2 1 1 2 cos 1 2 cos 1 r r y r r x r r − + + = + + − .Chứng minh 2 2 2 1 2 2 1 x y r tg tg r +   =  ÷ −   b/Cho a,b,c đôi một khác nhau và 4 góc , , , α β γ ϕ thỏa ( ) ( ) ( ) a b c tg tg tg ϕ α ϕ β ϕ γ = = + + + .Chứng minh ( ) ( ) ( ) 2 2 2 sin sin sin 0 a b b c c a a b b c c a α β β γ γ α + + + − + − + − = − − − Bài 27 a/Cho 1 2 3 cos cos 2 cos3x x x a a a = = .Chứng minh 2 2 1 3 2 2 sin 2 4 a a a x a − − = b/Cho 1 3 5 sin sin3 sin5x x x a a a = = .Chứng minh 1 5 3 1 3 1 a a a a a a + − = Bài 28 a/Cho , , 2 k π α β γ π ≠ + ( k nguyên) .Giả sử 2 2 2 sin ,sin ,sin α β γ lập thành cấp số cộng, sin 0 β ≠ và . 1tg tg α γ = .Chứng minh rằng , ,tg tg tg α β γ lập thành một cấp số nhân. b/Cho 0 α β γ + + = và , 2 2 tg tg β γ có nghĩa.Chứng minh rằng sin ,sin ,sin β α γ lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi 1 . 2 2 3 tg tg β γ = . c/Cho , , α β γ thỏa hệ 0 2 cos cos cos 0 sin sin sin 0 α β γ π α β γ α β γ ≤ ≤ ≤ ≤   + + =   + + =  Chứng mini rằng , , α β γ lập thành cấp số cộng với công sai 2 3 d π = d/Cho 0 α β γ + + = và , , α β γ đều khác , 2 k k π ∈¢ .Chứng minh rằng ta có , , cos ,cos ,cos 2 2 2 cot .cot ,cot sin ,sin ,sin 2 2 2 tg tg tg g g g α β γ α β γ α β γ α β γ  ÷ ⇔ ÷     ÷ ⇔ ÷   Các bài toán có liên quan với định lí Vi-et Bài 1 Tính giá trị các biểu thức sau a/ 1 1 1 3 5 cos cos cos 7 7 7 A π π π = + + b/ 2 2 2 1 1 1 2 3 6 sin sin sin 7 7 7 B π π π = + + c/ 4 4 4 1 1 1 2 3 cos cos cos 7 7 7 C π π π = + + d/ 9 9 17 17 cos cos cos cos cos cos 12 12 12 12 12 12 D π π π π π π = + + e/ 4 4 4 2 2 2 3 5 cos cos cos 14 14 14 3 5 4cos cos cos 14 14 14 E π π π π π π + + = f/ 3 3 3 2 4 8 cos cos cos 7 7 7 F π π π = + + Bài 2 Tính a/ 2 2 2 5 7 18 18 18 A tg tg tg π π π = + + b/ 6 6 6 5 7 18 18 18 B tg tg tg π π π = + + c/ 6 6 6 2 4 8 18 18 18 C tg tg tg π π π = + + d/ 2 3 4 5 5 5 5 D tg tg tg tg π π π π = Bài 3 a/Giả sử 1 2 3 , ,tg tg tg α α α là ba nghiệm của phương tình 3 2 0x ax bx c+ + + = . 1 2 3 , ,tg tg tg β β β là ba nghiệm của phương trình 3 2 0x cx bx a+ + + = .Chứng minh 1 2 3 1 2 3 k α α α β β β π + + + + + = b/Chứng minh 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7 41 53 79 7 41 53 79 7 41 53 41 53 79 53 79 7 79 7 41 tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg g tg tg tg tg tg tg tg tg + + + = + + + + Sử dụng lượng giác để chứng minh đẳng thức đại số Trước tiên ta chứng minh một số bổ đề quan trọng sau 1/ Cho x,y,z đều khác , 2 k k π π + ∈¢ . Chứng minh rằng ,tgx tgy tgz tgxtgytgz x y z n n π + + = ⇔ + + = ∈¢ 2/ Cho x,y,z đều khác , 2 k k π π + ∈¢ .Chứng minh rằng . . . 1 , 2 tgx tgy tgy tgz tgz tgx x y z n n π π + + = ⇔ + + = + ∈¢ 3/ Cho x,y,z đều khác , 2 k k π π + ∈¢ .Chứng minh 1 , 4 tgx tgy tgz tgxtgytgz tgztgy tgytgz tgztgx x y z n n π π + + − = − − − ⇔ + + = + ∈¢ 4/Chứng minh rằng 2 2 2 cos cos cos 2cos cos cos 1 cos cos cos cos 0 2 2 2 2 x y z x y z x y z x y z y z x z x y + + + = ⇔ + + + − + − + − = Ứng dụng Bài 1 Cho 1, 1, 1ab bc ca≠ − ≠ − ≠ − .Chứng minh 1 1 1 1 1 1 a b b c c a a b b c c a ab bc ca ab bc ca − − − − − − + + = + + + + + + Bài 2 Cho 0 1 xyz xy yz zx ≠   + + =  .Chứng minh ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 4 x y y z z x xy yz zx − − − − − − + + = Bài 3 Giải hệ sau 1 1 1 3 4 5 1 x y z x y z xy yz zx        + = + = +   ÷  ÷  ÷         + + =  Bài 4Cho 0xyz ≠ và x+y+z-xyz=1-xy-yz-zx .Chứng minh 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 4 x y z x y z x y z x y z − − − − − − + + = Bài 5 Cho x+y+z=xyz. Chứng minh a/ ( ) ( ) 2 2 1 1 4x y z xyz− − = ∑ b/ 3 3 3 3 2 2 2 2 3 3 3 3 1 3 1 3 1 3 1 3 x x x x y y z z x x y z − − − − = − − − − ∑ ( , , 3x y z ≠ ± c/ ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 1 1 0 x y x y xy + + − + − + = ∑ Bài 6 Cho x,y,z>0 và 2 2 2 2 1x y z xyz+ + + = .Chứng minh ( ) ( ) 2 2 1 1 1xyz x y z+ = − − ∑ Bài 7 Cho xy+yz+zx=1.Chứng minh ( ) 2 2 3x y z xyz x y z+ + − = + ∑ . ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC Ở đây không xét đến các đẳng thức lượng giác trong tam giác. Bài 1 Tính a/ 0 sin15 và 0 cos15 . tg tg tg tg g tg tg tg tg tg tg tg tg + + + = + + + + Sử dụng lượng giác để chứng minh đẳng thức đại số Trước tiên ta chứng minh một số bổ đề quan trọng