Đang tải... (xem toàn văn)
Gọi I là giao ®iÓm cña AP vµ BQ 1 Chøng minh r»ng MI vu«ng gãc víi PQ 2 Chứng minh tiếp tuyến chung của đờng tròn tâm P tiếp xúc với MB và đờng tròn tâm Q tiếp xúc với MA luôn song song [r]
Phần 1: Các loại tập biểu thức Bµi 1: Cho biĨu thøc : P= √ a+2 − +¿ √ a+3 a+ √ a −6 a) Rót gän P b) Tìm giá trị a để P6 a √ √ a −1 − √ a+1 Bµi 18: Cho biĨu thøc: P= − 2 √ a √a+ √ a −1 a) Rót gän P b) Tìm giá trị a để P0 ∀ x x +2 Bµi 21: Cho biÓu thøc : P= √ x + x − : 1− √ x √ x −1 √ x −1 x+ √ x +1 a) Rót gän P b) TÝnh √ P x= 5+2 √ 3x Bµi 22: Cho biÓu thøc P= 2 1: + − : − x 2+ √ x −2 √ x − √ x ( )( )( ( ) ( )( ) ( ) ( )( ( ) ) a) Rút gọn P b) Tìm giá trị x để P=20 ( Bài 23: Cho biểu thøc : P= ) x−y x3 − √ y ( √ x − √ y ) + √ xy +√ : y− x √x −√ y √ x +√ y ) a) Rót gän P b) Chøng minh P Bµi 24: Cho biĨu thøc P= √ ab √ ab a− b + − : √ a+ √ b a √ a+ b √ b √ a − √ b a √ a− b √ b a+ √ ab+b a) Rót gän P b) TÝnh P a=16 vµ b=4 Bµi 25: Cho biÓu thøc: P= 1+ a+ √ a −1 − a √ a − √ a+a a − √ a 1−a −a √ a √ a −1 a) Rót gän P b) Cho P= √ tìm giá trị a 1+ c) Chøng minh r»ng P> x +3 √ x −5 Bµi 26: Cho biĨu thøc: P= x −5 √ x −1 : 25 − x −√ + x −25 x+2 √ x −15 √ x +5 √ x −3 a) Rút gọn P b) Với giá trị x th× P Bµi 29: Cho biĨu thøc: 1 1 √ x + y √ x + x √ y +√ y P= + + + : √ x √ y √ x+ √ y x y √ x y +√ xy3 ( ) ( [( ) )( ] ) ) a) Rót gọn P b) Cho x.y=16 Xác định x,y để P có giá trị nhỏ Bài 30: Cho biểu thức : P= √x √ xy −2 y − 3) Víi x Z ? ®Ĩ A Z ? 2x 1− x x + √ x −2 √ xy −2 √ y 1− √ x a) Rót gọn P b) Tìm tất số nguyên dơng x để y=625 P - Q c) Tìm số nguyên x để Q có giá trị nguyên x x x Bµi 32 : Cho biĨu thøc P = x a) Rót gän biĨu thøc sau P Bµi 37 : Cho biĨu thøc: a) Rót gän biÓu thøc A b) Chøng minh r»ng: < A < a 3 a1 a 4 a (a 0; a 4) a 2 Bµi 38 : Cho biĨu thøc: P = a a) Rút gọn P b) Tính giá trị cđa P víi a = a a a a 1 a a Bµi 39 : Cho biĨu thøc: N= 1) Rút gọn biểu thức N 2) Tìm giá trị a để N = -2004 Bài 40 : Cho biểu thøc P= x √ x+ 26 √ x −19 − √ x + √ x −3 x +2 √ x − √ x − √ x +3 a Rút gọn P b Tính giá trị P x=7 c Với giá trị x P đạt giá trị nhỏ tính giá trị nhỏ Bài 41 : Cho biÓu thøc P= √ x + √ x − x+ : √ x −2 − √ x +3 √ x +3 x −9 √ x −3 a Rót gän P b T×m x ®Ĩ P0 ,x a Rút gọn A b) Tính giá trị cđa biĨu thøc P x = Bµi 33 : Cho biÓu thøc : A = x √ x +1 − x −1 x−1 √ x +1 a) Rót gän biĨu thøc sau A b) TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc A x = c) Tìm x để A < d) Tìm x để | A | = A 1 a 3 a Bµi 34 : Cho biĨu thøc : A = a a) Rót gän biĨu thøc sau A b) Xác định a để biểu thức A > Bµi 35 : Cho biĨu thøc: A = 1) Tìm điều kiện x để biểu thức cã nghÜa 2) Rót gän A Bµi 36 : Cho biểu thức: a) Rút gọn A b) Tìm x để A < c) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên x x x1 : x x x x 1 x A= 1) Đơn giản biểu thức : x x x 4x x 2003 x2 x x x 1 x x x x 1 x x 1 : x A = x x x x ( b TÝnh A víi a = 4 )( 15 10 ( KQ : A= 4a ) 15 ) x x 9 x x x 2 1 : x x x x x Bµi 43: Cho A= víi x 0 , x 9, x 4 a Rót gän A b x= ? Th× A < c T×m x Z ®Ĩ A Z (KQ : A= x ) 15 x 11 x 2 x x víi x 0 , x 1 Bµi 44: Cho A = x x x a Rót gän A b T×m GTLN cđa A c Tìm x để A = 2 x d CMR : A (KQ: A = x ) x2 x 1 Bµi 45: Cho A = x x x x 1 x víi x 0 , x 1 a Rót gän A x x x 1 ) b T×m GTLN cđa A ( KQ : A = Bµi 46: Cho A = x x x x x víi x 0 , x 1 a Rót gän A b CMR : A 1 ( KQ : A = x x x 1 ) x x 25 x 1 : x 25 x x 15 Bµi 47: Cho A = b Tìm x Z để A Z x 3 x 5 x 5 x ( KQ : A = x 3 ) a Bµi 48: Cho A = a a a a 1 a 3 a víi a 0 , a 9 , a 4 a 1 a 3) c Tìm a Z để A Z ( KQ : A = x x 7 x 2 x 2 x : x x 2 x x x Bµi 49: Cho A= víi x > , x 4 a Rót gän A x 9 b So s¸nh A víi A ( KQ : A = x ) 3 x y x y : x y y x Bµi50: Cho A = 0, x y a Rót gän A x y xy x y víi x 0 , y xy b CMR : A 0 ( KQ : A = x xy y ) x x x x 1 x 1 x 1 x x x x x x x1 x Bµi 51 : Cho A = x > , x 1 x x b Tìm x để A = ( KQ : A = x ) Víi x x 2 : x x x x Bµi 52 : Cho A = a Rót gän A b TÝnh A víi x = c CMR : A 1 x x víi x > , x 4 A = 1 (KQ: Bµi 58 : x) x 1 : x x x 1 Cho A = x x 1 : Bµi 53 :Cho A= x x x x x víi x >0 , x 1 a a Rót gän A b TÝnh A víi x = (KQ: A = x ) x 1 x4 : x x x 1 Bµi 54 : Cho A= x víi x 0 , x 1 b Tìm x Z để A Z Bài 55: Cho A= (KQ: A= x 2 : x 1 x x x x x x x x 3) víi x 0, x 1 b Tìm x Z để A Z c Tìm x để A đạt GTNN (KQ: A= x1 x 1 ) Bµi 59 : Cho A = Rót gän A b.So s¸nh A víi x1 x x 2 : x x 1 x x 1 x 0, x Víi x x ( KQ : A = x ) x x x2 x 1 x x x Bµi 60 : Cho A = víi x 0 , x 1 a Rót gän A b CMR nÕu < x < th× A > c TÝnh A x =3+2 d T×m GTLN cđa A x x 3x x 1 : x 3 x x x víi x 0 , x 9 Bµi 56 : Cho A = víi x > , x 1 x1 x ) (KQ: A = (KQ: A= x2 x x1 : Bµi 61 : Cho A = x x x x 1 x x (1 x) ) víi x 0 , x 1 a Rót gän A Bµi 57 : Cho A = a x 1 x1 x1 x : x x x x x 1 x b CMR nÕu x 0 , x 1 th× A > , (KQ: víi x 0 , x 1 Rót gän A b TÝnh A víi x = (KQ: x A = x4 ) Bµi 62 : Cho A = 1 x x : x x 1 x A = x x 1 ) víi x > , x 1, x 4 x 1 x x x : x x x 1 x Bµi 63 : Cho A = víi x , x c Tìm x Z để A Z x x 3 x 2 x 2 : x x x x x Bµi 64 : Cho A= víi x , x , x a Rút gọn A b Tìm x Z để A Z x c Tìm x để A < (KQ: A = x ) PhÇn 2: Các tập hệ phơng trình bậc 2: Bài 1: Cho phơng trình : m x ( √ −1 )2= √2 − x +m a) Giải phơng trình m= 2+1 b) Tìm m để phơng trình có nghiệm x=3 c) Tìm m để phơng trình có nghiệm dơng Bài 2: Cho phơng trình : (x ẩn ) ( m− ) x − mx +m− 2=0 a) Tìm m để phơng trình có nghiệm x= Tìm nghiệm lại b) Tìm m để phơng trình có nghiệm phân biệt c) Tính x 21+ x 22 theo m Bài 3: Cho phơng trình : (x lµ Èn ) x −2 ( m+1 ) x +m 4=0 a) Tìm m để phơng trình có nghiệm trái dấu b) Chứng minh phơng trình có nghiệm phân biệt với m c) Chøng minh biÓu thøc M= x ( − x ) + x ( − x ) không phụ thuộc vào m Bài 4: Tìm m để phơng trình : a) x x +2 ( m )=0 có hai nghiệm dơng phân biÖt b) x +2 x+ m−1=0 cã hai nghiƯm ©m ph©n biƯt c) ( m2+ ) x −2 ( m+1 ) x +2 m−1=0 cã hai nghiệm trái dấu Bài 5: Cho phơng trình : x − ( a− ) x −a 2+ a 2=0 a) Chứng minh phơng trình có nghiƯm tr¸I dÊu víi mäi a b) Gäi hai nghiƯm phơng trình x1 x2 Tìm giá trị a để 2 x 1+ x đạt giá trị nhỏ 1 Bài 6: Cho b c hai số thoả mÃn hệ thức: + = b c 2 CMR Ýt nhÊt mét hai phơng trình sau phải có nghiệm x 2+ bx +c=0 x +cx +b=0 Bài 7:Với giá trị m hai phơng trình sau có mét nghiÖm sè chung: 2 x − ( m+2 ) x+12=0(1) x − ( m ) x +36=0( 2) Bài 8: Cho phơng trình : 2 x −2 mx +m − 2=0 a) Tìm giá trị m để phơng trình có hai nghiệm dơng phân biệt b) Giả sử phơng trình có hai nghiệm không âm, tìm nghiệm dơng lớn phơng trình Bài 9: Cho phơng trình bậc hai tham sè m : x + x +m+ 1=0 a) Tìm điều kiện m để phơng trình có nghiệm b) Tìm m cho phơng trình có hai nghiệm x1và x2 thoả mÃn điều kiện 2 x 1+ x 2=10 Bài 10: Cho phơng trình x −2 ( m− ) x +2 m− 5=0 a) Chứng minh phơng trình có hai nghiệm với m b) Tìm m để phơng trình cã hai nghiƯm cung dÊu Khi ®ã hai nghiƯm mang dấu ? Bài 11: Cho phơng trình x −2 ( m+1 ) x +2 m+ 10=0 (víi m tham số ) a) Giải biện luận số nghiệm phơng trình b) Trong trờng hợp phơng trình có hai nghiệm phân biệt x ; x ; hÃy tìm hệ thức liên hệ x ; x mà không phụ thuộc vào m c) Tìm giá trị m để 10 x1 x 2+ x 21 + x 22 đạt giá trị nhỏ Bài 12: Cho phơng trình ( m− ) x − mx +m+1=0 víi m tham số a) CMR phơng trình có hai nghiệm phân biệt m b) Xác định giá trị m dể phơng trình có tích hai nghiệm 5, từ hÃy tính tổng hai nghiêm phơng trình c) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào m d) Tìm m để phơng trình có nghiệm x ; x tho¶ m·n hƯ thøc: x1 x2 + + =0 x2 x1 Bài 13: A) Cho phơng trình : (m lµ tham sè) x − mx+m− 1=0 a) Chứng tỏ phơnh trình có nghiệm x ; x víi mäi m ; tÝnh nghiƯm kÐp ( có) phơng trình giá trị m tơng ứng b) Đặt A=x 21 + x 22 − x1 x Chøng minh A=m2 −8 m+8 Tìm m để A=8 Tìm giá trị nhỏ A giá trị m tơng ứng c) Tìm m cho phơng trình có nghiệm hai lần nghiệm B) Cho phơng trình x −2 mx+2 m −1=0 a) Chøng tá r»ng phơnh trình có nghiệm x ; x với m b) Đặt A= 2(x 21+ x22 ) x x2 CMR A= m2 −18 m+9 T×m m cho A=27 c)T×m m cho phơng trình có nghiệm hai nghiệm Bài 14: Giả sử phơng trình a x + bx+ c=0 cã nghiƯm ph©n biƯt x ; x Đặt S n=x n1 + x n2 (n nguyên dơng) a) CMR a S n+2 + bSn+1 +cSn=0 b) áp dụng Tính giá trị : A= ( 1+ √ 1− √ + 2 )( ) Bµi 15: Cho f(x) = x2 - (m+2).x + 6m+1 a) CMR phơng trình f(x) = có nghiệm với m b) Đặt x=t+2 Tính f(x) theo t, từ tìm điều kiện m để phơng trình f(x) = có nghiệm lớn Bài 16: Cho phơng trình : x −2 ( m+1 ) x +m − m+5=0 a) Xác định giá trị m để phơng trình có nghiệm b) Xác định giá trị m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt dơng c) Xác định giá trị m để phơng trình có hai nghiệm có giá trị tuyệt đối trái dấu d) Gọi x ; x hai nghiệm có phơng trình TÝnh x 21+ x 22 theo m Bµi 17: Cho phơng trình x x 3+8=0 có hai nghiệm x ; x Không giải phơng trình , hÃy tính giá trị biểu thøc : 2 x1 +10 x x 2+ x2 M= 3 x x +5 x1 x Bài 18: Cho phơng trình x x − ( m+2 ) x+ m+1=0 a) Giải phơng trình m= b) Tìm giá trị m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu c) Gọi x ; x hai nghiệm phơng trình Tìm giá trị m ®Ĩ : x 1(1 −2 x 2)+ x (1 x )=m Bài 19: Cho phơng trình (1) (n , m tham số) x + mx+n 3=0 Cho n=0 CMR phơng trình có nghiệm với m Tìm m n ®Ĩ hai nghiƯm x ; x cđa phơng trình (1) thoả x1 x 2=1 mÃn hệ : x 21 x 22=7 Bài 20: Cho phơng tr×nh: x −2 ( k −2 ) x − k − 5=0 ( k lµ tham sè) a) CMR phơng trình có hai nghiệm phân biệt với giá trị k b) Gọi x ; x hai nghiệm phơng trình Tìm giá trÞ cđa k cho 2 x 1+ x 2=18 Bài 21: Cho phơng trình (1) ( m1 ) x mx+ 4=0 a) Giải phơng trình (1) m=1 b) Giải phơng trình (1) m c) Tìm giá trị m để phơng trình (1) có nghiệm m { Bài 22:Cho phơng trình : x ( m ) x+ m2 m=0 a) CMR phơng trình có hai nghiệm phân biệt với m Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x , x tho¶ m·n 1< x 1< x 0, y > Bµi 10 (trang 23): Một ôtô xe đạp chuyển động từ đầu đoạn đường sau gặp Nếu chiều xuất phát điểm sau hai xe cách 28 km Tính vận tốc xe HD : Vận tốc xe đạp : 12 km/h Vận tốc ôtô : 40 km/h Bµi 11 : (trang 24): Một ôtô từ A dự định đến B lúc 12 trưa Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h đến B lúc chiều Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h đến B lúc 11 trưa Tính độ quảng đường AB thời diểm xuất phát A Đáp số : AB = 350 km, xuất phát A lúc 4giờ sáng Bµi 12 : (trang 24): Hai vòi nước chảy vào cài bể nước cạn, sau đầy bể Nếu lúc đầu mở vòi thứ nhất, sau mở bể Nếu vòi thứ hai chảy bể Đáp số : Bµi 13 : (trang 24): Biết m gam kg nước giảm t0C tỏa nhiệt lượng Q = mt (kcal) Hỏi phải dùng lít 1000C lít 200C để hỗn hợp 10 lít 400C DS: Vậy cần 2,5 lít nước sôi 75 lít nước 20 0C Bµi 14 : Khi thêm 200g axít vào dung dịch axít dung dịch có nồng độ 50% Lại thêm 300g nước vào dung dịch dung dịch axít có nồng độ 40% Tính nồng độ axít dung dịch ban đầu Hường dãn :Gọi x khối axit ban đầu, y khối lượng dung dịch ban đầu vòi thứ hai thỡ sau Phơng trình bậc hai - định lý viet vµ øng dơng A.Kiến thức cần ghi nhớ Để biện luận có nghiệm phương trình : ax2 + bx + c = (1) a,b ,c phụ thuộc tham số m,ta xét trường hợp a)Nếu a= ta tìm vài giá trị m ,thay giá trị vào (1).Phương trình (1) trở thành phương trình bậc nên : - Có nghiệm - vô nghiệm - vô số nghiệm b)Nếu a Lập biệt số Δ = b2 – 4ac Δ / = b/2 – ac * Δ < ( Δ / < ) phương trình (1) vô nghiệm b * Δ = ( Δ / = ) : phương trình (1) có nghiệm kép x1,2 = 2a b❑ (hoặc x1,2 = ) a * Δ > ( Δ / > ) : phương trình (1) có nghiệm phân biệt: − b −√ Δ − b+ √ Δ x1 = ; x2 = 2a 2a ❑ ❑ − b −√ Δ − b❑ + √ Δ❑ (hoặc x1 = ; x2 = ) a a Định lý Viét Nếu x1 , x2 nghiệm phương trình ax2 + bx + c = (a 0) S = x + x2 = - b a c a Đảo l¹i: Nếu có hai số x1,x2 mà x1 + x2 = S x1x2 = p hai số l nghim (nu có ) phơng trình bậc 2: x2 – S x + p = 3.DÊu cña nghiệm số phơng trình bậc hai Cho phơng trình bËc hai ax2 + bx + c = (a 0) Gọi x1 ,x2 nghiệm phơng trình Ta có kết sau: p = x1x2 = x1 x2 trái dấu( x1 < < x2 ) ⇔ p0 Hai nghiÖm dơng( x1 > x2 > ) ⇔ S> ¿{{ ¿ ¿ Δ≥0 p>0 Hai nghiÖm âm (x1 < x2 < 0) S< ¿{{ ¿ ¿ Δ> p=0 Mét nghiÖm nghiệm dơng( x2 > x1 = 0) ⇔ S> ¿{{ ¿ ¿ Δ> p=0 Một nghiệm nghiệm âm (x1 < x2 = 0) ⇔ S< ¿{{ ¿ 4.Vµi bµi toán ứng dụng định lý Viét a)Tính nhẩm nghiệm Xét phơng trình bậc hai: ax2 + bx + c = (a 0) c a NÕu a + b + c = phơng trình có hai nghiệm x1 = , x2 = NÕu a – b + c = phơng trình có hai nghiÖm x1 = -1 , x2 = - NÕu x1 + x2 = m +n , x1x2 = mn x1 = m , x2 = n x1 = n , x2 = m c a Δ ≥ phơng trình có nghiệm b) Lập phơng trình bËc hai biÕt hai nghiƯm x1 ,x2 cđa nã Cách làm : - Lập tổng S = x1 + x2 - Lập tích p = x1x2 - Phơng trình cần tìm : x2 S x + p = c)Tìm điều kiện tham số để phơng trình bậc có nghệm x1 , x2 thoả mÃn điều kiện cho trớc.(Các điều kiện cho trớc thờng gặp cách biến đổi): *) x12+ x22 = (x1+ x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2p *) (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = S2 – 4p *) x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2) = S3 – 3Sp *) x14 + x24 = (x12 + x22)2 – 2x12x22 x +x S *) + = = p x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 + x2 *) = S −2 p + = x2 x1 x1 x2 p *) (x1 – a)( x2 – a) = x1x2 – a(x1 + x2) + a2 = p – aS + a2 x + x −2 a 1 S − 2a *) + = = x −a x2 −a (x − a)( x2 −a) p − aS+a2 (Chú ý : giá trị tham số rút từ điều kiện cho trớc phải thoả mÃn ®iỊu kiƯn Δ ≥ ) d)T×m ®iỊu kiƯn cđa tham số để phơng trình bậc hai có nghiệm x = x1 cho trớc Tìm nghiệm thứ Cách giải: Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm x= x1 cho trớc có hai cách làm +) Cách 1:- Lập điều kiện để phơng trình bậc đà cho cã nghiƯm: Δ ≥ (hc Δ❑ ≥ ) (*) - Thay x = x1 vào phơng trình đà cho ,tìm đợc giá trị tham số - Đối chiếu giá trị vừa tìm đợc tham số với điều kiện(*) để KL +) Cách 2: - Không cần lập điều kiện (hoặc ) mà ta thay x = x1 vào phơng trình đà cho, tìm đợc giá trị tham số - Sau thay giá trị tìm đợc tham số vào phơng trình giải PT Chú ý : Nếu sau thay giá trị tham số vào phơng trình đà cho mà phơng trình bậc hai có < kết luận giá trị tham số để phơng trình cã nghiƯm x1 cho tríc 2 ... = 4( m + 1)2 – (m – 4) 19 = 4m2 + 4m + 20 = 4(m2 + m + 5) = 4[(m + ) + ] 19 m+ ¿2+ 19 = => |x − x 2| = = 19 m + √ ¿ √¿ ⇔ m=2 Vậy |x x 2| đạt giá trị nhỏ nhÊt b»ng √ 19 m = Bµi : Cho phơng trình... tuyến (P) song song với (d) Bµi 85: Cho (P) y=x a) VÏ (P) b) Gọi A B hai điểm thuộc (P) có hoành độ lần lợt -1 Viết phơng trình đờng thẳng AB c) Viết phơng trình đờng thẳng (d) song song với AB... đội công nhân làm công việc làm xong Nếu đội làm để làm xong công việc , đội thứ cần thời gian so với đội thứ hai Hỏi đội làm xong công việc bao lâu? Bài 1 09: Một xí nghiệp đóng giầy dự định
