Đang tải... (xem toàn văn)
Tổ chấm có thể thống nhất chia điểm đến mức nhỏ hơn trong hướng dẫn và đảm bảo nguyên tắc: điểm của mỗi câu làm tròn đến 0,25; điểm của toàn bài là tổng điểm của cả 5 câu và không làm tr[r]
PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2016 - 2017 ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề Đề thi gồm 01 trang Chú ý: Thí sinh khơng sử dụng máy tính cầm tay! Câu1 (2,0 điểm) a) Tìm x biết: x x ( 1) 2016 3 x 2017 1 1 (1 2) (1 3) (1 4) (1 x) x b) Cho B = 1+ Tìm số nguyên dương x để B = 115 Câu (2,0 điểm) y z 1 x z x y x y z x yz a) Cho x, y, z số thực thỏa mãn Tính giá trị biểu thức: A = 2016.x + y2017 + z2017 b) Cho x, y, z số thực thỏa mãn: 2x = 3y = 5z Tìm giá trị lớn 3x – 2z Câu (2,0 điểm) x 2y = 2016 x 2016 3x a) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức M = có giá trị nhỏ b) Cho đa thức f(x) = 2016.x – 32(25.k + 2).x2 + k2 – 100 (với k số thực dương cho trước) Biết đa thức f(x) có ba nghiệm phân biệt a, b, c (với a < b < c) Tính hiệu a – c Câu (2,5 điểm) Cho đoạn thẳng BC cố định, M trung điểm đoạn thẳng BC Vẽ góc CBx cho CBx 45 , tia Bx lấy điểm A cho độ dài đoạn thẳng BM BA tỉ lệ với Lấy điểm D thuộc đoạn thẳng BM Gọi H I hình chiếu B C đường thẳng AD Đường thẳng AM cắt CI N Chứng minh rằng: a) DN vng góc với AC b) BH2 + CI2 có giá trị khơng đổi D di chuyển đoạn thẳng BM c) Tia phân giác góc HIC ln qua điểm cố định Câu (1,5 điểm) p a) Tìm số nguyên tố p thỏa mãn p số nguyên tố b) Trong bảng vng gồm có 5x5 ô vuông, người ta viết vào ô vuông số 1; -1 Chứng minh tổng số theo cột, hàng, đường chéo phải có hai tổng số Hết -Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: SBD: Phịng thi PHỊNG GD&ĐT TAM DƯƠNG HƯỚNG DẪN CHẤM THI GIAO LƯU HSG LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC: 2016 -2017 MƠN: TỐN Lưu ý: Sau gợi ý cách giải dự kiến cho điểm tương ứng, thí sinh giải cách khác đúng, giám khảo dựa gợi ý cho điểm hướng dẫn chấm để thống cách cho điểm Câu học sinh khơng vẽ hình (hoặc vẽ hình sai) khơng cho điểm Tổ chấm thống chia điểm đến mức nhỏ hướng dẫn đảm bảo nguyên tắc: điểm câu làm trịn đến 0,25; điểm tồn tổng điểm câu khơng làm trịn Câu Nội dung cần đạt a) x x ( 1) 2016 3 x 2017 x x 1 3x 1 (*) Điều kiện để x thỏa mãn tốn Khi x 1 x 1 0 (2đ) x 0 x 1 0,25 nên (*) trở thành x x 3x x x Điểm 0,25 B H (điều kiện x 0 ) D Nếu x 1 ta có 3x – = x nên x = (thỏa mãn) I Nếu x 1 ta có - 3x = x nên x = (thỏa mãn) 3 3 x ; 2 4 Vậy A 2.3 3.4 4.5 x( x 1) 2 x = b) B = 1+ 0,25 M 0,25 N C x 1 ( x 1) 2 = 1+ 2 x( x 3) = 2 x ( x 3) 115 x( x 3) 460 2 Từ B = 115 Mà x số nguyên dương nên x x + ước dương 460 nên x = 20 Vậy x = 20 a) Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: y z 1 x z x y x = y = z = x y z =2 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 x 0,5 y 0,5 z x y z x+y+z = 0,5 =2 5 x = 2; y = 6; z = - Khi ta có 2016.x + y2017 + z2017 = 2016 +0 = 1008 y z 1 x z x y x y z x yz Vậy với x,y,z số thực thỏa mãn 0,25 0,25 0,25 giá trị biểu thức 2016.x + y2017 + z2017 1008 x 2y x 2y , 3y = 5z b) Ta có Nếu x-2y = x= -15, y = -10, z = -6 Khi 3x - 2z = -45 + 12 = -33 (2đ) Nếu x-2y = -5 x= 15, y = 10, z = Khi 3x - 2z = 45 - 12 = 33 Vậy giá trị lớn 3x – 2z 33 (2đ) 2016 x 2016 672(3x 2) 2016 1344 3360 672 3x 3x 3x a) 3360 x lớn M nhỏ 3360 0 Xét 3x 3x (1) 3360 0 Xét 3x 3x 3360 3x lớn 3x+2 nhỏ Mà x nguyên, 3x+2 dương 3x+2 chia dư nên 3x+2 = nên x 0 3360 3360 1680 Khi đó: 3x = 3.0 (2) 3360 So sánh (1) (2) 3x có giá trị lớn 1680 M 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Vậy M 1008 x 0 b) Ta thấy đa thức f(x) có nghiệm x = a ( a khác 0) x = -a nghiệm f(x), nên đa thức f(x) có 2m nghiệm 0,25 Mà đa thức f(x) có ba nghiệm phân biệt nên ba nghiệm Thay x = vào đa thức cho ta được: 0,25 k2 – 100 = nên k = 10 (vì k dương) 2 Với k = 10 ta có f(x) = 2016.x – 8064 x = 2016x (x – 4) 0,25 Từ f(x) có nghiệm phân biệt a = -2; b = c = nên a – c = - 0,25 a) Từ M kẻ tia My vng góc với BC cắt tia Bx A’ Tam giác BMA’ vuông cân M nên MB: BA’ = 1: Suy A A ' nên AM vng góc với BC Tam giác ADC có AM CI đường cao nên N trực tâm tam giác 0,75 ADC Suy DN vng góc với AC b) Ta có AMB = AMC (c- g- c) nên AB = AC góc ACB = 450 0,25 Tam giác ABC vuông cân A có BAH ACI 90 CAH (2,5) H, I hình chiếu B C AD nên H = I = 900 0,25 Suy AIC = BHA (c.h – g.n) BH = AI BH2 + CI2 = BH2 + AH2 = AB2 (không đổi) c) BHM = AIM HM = MI BMH = IMA mà IMA + BMI = 900 BMH + BMI = 900 HMI vuông cân HIM = 450 mà : HIC = 900 HIM =MIC= 450 IM tia phân giác HIC Vậy tia phân giác HIC qua điểm cố định M 0,25 0,5 0,5 p Với p = p = 4+4 = không số nguyên tố p Với p = p = 8+9 = 17 số nguyên tố p k 1 Với p > p số nguyên tố nên p lẻ nên 2 2(mod 3) p 0,25 0,25 p 1(mod 3) nên p 3 p p Mà p > nên p hợp số (1,5) 0,25 p Vậy với p = p số nguyên tố Ta có cột, hàng đường chéo nên có 12 tổng 0,25 Mỗi ô vuông số 1; -1 nên tổng nhận giá trị từ -5 đến Ta có 11 số nguyên từ -5 đến -5; -4; …; 0; 1; …;5 0,25 Vậy theo ngun lí Dirichle phải có hai tổng số (đpcm) 0,25 Chú ý: - Học sinh giải theo cách khác, cho điểm tối đa tương ứng - Câu 4, học sinh khơng vẽ hình vẽ sai hình phần khơng chấm phần ... ta có 2016.x + y20 17 + z20 17 = 2016 +0 = 1008 y z 1 x z x y x y z x yz Vậy với x,y,z số thực thỏa mãn 0,25 0,25 0,25 giá trị biểu thức 2016.x + y20 17 + z20 17 1008 x 2y x 2y...PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG HƯỚNG DẪN CHẤM THI GIAO LƯU HSG LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC: 2016 -20 17 MÔN: TOÁN Lưu ý: Sau gợi ý cách giải dự kiến cho điểm tương ứng, thí... z = Khi 3x - 2z = 45 - 12 = 33 Vậy giá trị lớn 3x – 2z 33 (2đ) 2016 x 2016 672 (3x 2) 2016 1344 3360 672 3x 3x 3x a) 3360 x lớn M nhỏ 3360 0 Xét 3x 3x (1) 3360