Đang tải... (xem toàn văn)
Chứng minh b d Câu 4: 2,5đ Cho ABC AB < AC, qua trung điểm D của cạnh BC vẽ đường thẳng vuông góc với đường phân giác trong của góc A, nó cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt tại M và N.[r]
PHỊNG GD & ĐT DUY XUN ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2007 - 2008 MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (1,5đ) 52.69.10 65.23.153 8 a/ Rút gọn: 10 2.6 10 b/ Biết 14 + 24 + 34 + + 94 + 104 = 25333 Tính tổng S = 24 + 44 + 64 + + 184 + 204 Bài 2: (2,0đ) x 2y x 2y 14 Cho tỉ lệ thức 22 x a/ Tính tỉ số y b/ Tìm x, y biết x2 + y2 = 82 Bài 3: (3,0đ) x2 y 3x x 1 a/ Cho M = N = (x + 1)2 + (y - )2 + 2008 Tính giá trị M x, y thỏa mãn N đạt giá trị nhỏ x4y2 + 2x3y5 ; C = 5x3y5 b/ Cho A = 2x y – 7x y ; B = Chứng tỏ ba biểu thức A, B, C có biểu thức ln có giá trị khơng âm với x, y c/ Tìm x N biết 2x+1 + 2x+4 + 2x+5 = 26.52 Bài 4: (2,5đ) Cho ABC cân A (AB > AC) M trung điểm AC Đường thẳng vng góc với AC M cắt BC P Trên tia đối tia AP lấy điểm Q cho AQ = BP a/ Chứng minh rằng: +/ APC BAC +/ PC = QC b/ ABC cần thêm điều kiện để CQ CP Bài 5: (1,0đ) Cho ABC có A = 300 Dựng bên tam giác BCD Chứng minh: AD2 = AB2 + AC2 *=*=*=*=*= Hết =*=*=*=*=* PHỊNG GD & ĐT DUY XUN ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2008 - 2009 MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (1,5đ) Thực phép tính sau cách hợp lí: 45.95 69.30 11 12 a/ 3 3 1,5 11 12 5 5 0, 625 0,5 2,5 11 12 b/ 0,375 0,3 Bài 2: (3,0đ) a/ Cho hai đa thức P(x) = x2 + 2mx + m2 Q(x) = x2 – (2m + 1)x + m2 Tìm m biết P(3) = Q(-2) b/ Tìm giá trị lớn M = 2009 - x - (2m + 4)2008 c/ Tìm x biết x x 5 Bài 3: (2,5đ) 1 1 a/ Cho a + b + c = 2009 a b b c c a a b c Tính S = b c a c a b b/ Tổng lũy thừa bậc ba số -1009 Biết tỉ số số thứ với số thứ hai , số thứ với số thứ ba Tìm số Bài 4: (2,0đ) Cho ABC có A < 900 Trên mặt phẳng bờ AC khơng chứa B vẽ tia Ax vng góc với AC lấy tia điểm E cho AE = AC Trên nửa mặt phẳng bờ AB khơng chứa C vẽ tia Ay vng góc với AB lấy điểm D cho AD = AB a/ Chứng minh DC = BE DC BE b/ Gọi N trung điểm DE Trên tia đối tia NA lấy điểm M cho NA = NM Chứng minh AB = ME ABC = EMA Bài 5: (1,0đ) Cho ABC vuông A, đường thẳng d cắt hai cạnh AB AC D E Chứng minh CD2 – CB2 = ED2 – EB2 *=*=*=*=*= Hết =*=*=*=*=* ĐÁP ÁN & BIỂU ĐIỂM 1/ 1,0đ 12 25 492 212.35 212.34 510.73 510.74 (22.3)6 84.35 (125.7)3 59.143 212.36 212.35 59.73 59.23.73 0,25đ 212.34.(3 1) 510.73.(1 7) 212.34.2 510.73.( 6) 10 212.35.(3 1) 59.73.(1 23 ) 212.35.4 59.73.9 0,75đ 2a/ 0,5đ 2b/ 0,5đ 10 (x – 1)3 = -8 x – = -2 x = -1 Vậy x = -1 x 5 x ĐK x 0,25đ 0,25đ x 5x x 3 x 0,25đ 12 x 12 x 6 2c/ 0,5đ x 1 x 3 (TMĐK) x = x = x 0 x ( x 3) 0 x 9 (TMĐK) x - x = ĐK x ≥ x y z x y z 48 4 x 20; y 16; z 12 12 12 12x = 15y = 20z 0,25đ 0,5đ 2d/ 0,5đ 3a/ Vì a Z+ 4a (mod 3) 4a + (mod 3) 0,75đ Mà 4a + (mod 2) 4a + Khi ta có 4a + a + b = 4a + + a + + b + 2007 – 2010 Vậy với a, b Z+ cho a + b + 2007 4a + a + b 3b/ Từ 6x2 + 5y2 = 74 6x2 ≤ 74 x2 ≤ 74/6 mà x Z x{0; 1; 4; 9} 0,75đ Mặt khác ta có x2 + = 75 – 5x2 – 5y2 x2 = x2 = Nếu x2 = y2 = 10 (loại y Z) Nếu x2 = y2 = (x, y) {(3, 2); (3; -2); (-3; 2); (-3; -2)} a c ac c a a c a c a c 4a/ b d bd d b bd b d b d 1,0đ 4b/ 1,0đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ (a c).a (c a).c a ac c ac ( b d ) b ( d b ) d b bd d bd đpcm x x x y y y ; Ta có x y z t x y z x y x y z t x y t x y 0,5đ 0,25đ z z z t t t ; x y z t y z t z t x y z t x z t z t x x y z t y z t M x y x y z t z t x y z t 4c/ 1,0đ 5/ 1,0đ Hay < M < Vậy M có giá trị số tự nhiên H A Ta có AB + BM = AM = AN = AC – NC AB + BM = AC – BM 2BM = AC – AB BM = (b – c):2 AM = AB + BM AM = (b + c):2 M Qua M kẻ HK // BC (H AB; K CD) MA2 = MH2 + HA2 D K 0,25đ 0,25đ 0,25đ B 0,5đ 0,5đ C MC2 = MK2 + KC2 MA2 + MC2 = MH2 + HA2 + MK2 + KC2 MB2 = MH2 + HB2 MD2 = MK2 + DK2 MB2 + MD2 = MH2 + HB2 + MK2 + DK2 Ta có AH = DK; HB = KC MA2 + MC2 = MB2 + MD2 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ PHỊNG GD & ĐT DUY XUN ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2009 - 2010 MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 120 phút 212.35 46.92 3 Bài 1: (1,0đ) Thực phép tính sau: 510.73 255.492 125.7 59.143 x 5 x Bài 2: (2,0đ) Tìm số x, y, z biết a/ (x – 1)3 = -8 b/ c/ x - x = d/ 12x = 15y = 20z x + y + z = 48 Bài 3: (1,5đ) a/ Với a, b số nguyên dương cho a + b + 2007 chia hết cho Chứng minh rằng: 4a + a + b chia hết cho b/ Tìm số nguyên x, y thỏa mãn: 6x2 + 5y2 = 74 a ac b bd a c c ac d bd b d Bài 4: (2,0đ) a/ Cho Chứng minh rằng: b/ Cho x, y, z, t N Chứng minh rằng: x y z t M = x y z x y t y z t z t x có giá trị số tự nhiên Bài 5: (3,0đ) Cho ABC có góc A nhọn Về phía ngồi ABC vẽ BAD vuông cân A, CAE vuông cân A Chứng minh: a/ DC = BE; DC BE b/ BD2 + CE2 = BC2 + DE2 c/ Đường thẳng qua A vng góc với DE cắt BC K C/m K trung điểm BC Bài 6: (0,5đ) Cho ABC nhọn với gócBAC = 600 Chứng minh rằng: BC2 = AB2 + AC2 – AB.AC ĐÁP ÁN & BIỂU ĐIỂM 12 10 1/ 25 492 212.35 212.34 510.73 510.74 1,0đ (22.3)6 84.35 (125.7)3 59.143 212.36 212.35 59.73 59.23.73 2a/ 0,5đ 2b/ 0,5đ 212.34.(3 1) 510.73.(1 7) 212.34.2 510.73.( 6) 10 212.35.(3 1) 59.73.(1 23 ) 212.35.4 59.73.9 (x – 1)3 = -8 x – = -2 x = -1 Vậy x = -1 x 5 x ĐK x x 5x x 3 x 12 x 12 x 6 2c/ 0,5đ 2d/ 0,5đ 3a/ x 1 x 3 (TMĐK) x = x = x 0 x ( x 3) 0 x 9 (TMĐK) x - x = ĐK x ≥ x y z x y z 48 4 x 20; y 16; z 12 12 12 12x = 15y = 20z Vì a Z+ 4a (mod 3) 4a + (mod 3) 0,75đ Mà 4a + (mod 2) 4a + Khi ta có 4a + a + b = 4a + + a + + b + 2007 – 2010 Vậy với a, b Z+ cho a + b + 2007 4a + a + b 3b/ Từ 6x2 + 5y2 = 74 6x2 ≤ 74 x2 ≤ 74/6 mà x Z x{0; 1; 4; 9} 0,75đ Mặt khác ta có x2 + = 75 – 5x2 – 5y2 x2 = x2 = Nếu x2 = y2 = 10 (loại y Z) Nếu x2 = y2 = (x, y) {(3, 2); (3; -2); (-3; 2); (-3; -2)} a c ac c a a c a c a c 4a/ b d bd d b bd b d b d 1,0đ 4b/ 1,0đ (a c).a (c a).c a ac c ac (b d ).b (d b).d b bd d bd đpcm x x x y y y ; Ta có x y z t x y z x y x y z t x y t x y z z z t t t ; x y z t y z t z t x y z t x z t z t x x y z t y z t M x y x y z t z t x y z t 5a/ 1,0đ 5b/ 1,0đ 5c/ 1,0đ 5/ Hay < M < Vậy M có giá trị số tự nhiên CM ABE = ADC (c.g.c) DC = BE CM DC BE Viết CE2 = ME2 + MC2; DB2 = MD2 + MB2 ; DE2 = MD2 + ME2; BC2 = MB2 + MC2 BD2 + CE2 = MD2 + MB2 + ME2 + MC2; BC2 + DE2 = MD2 + MB2 + ME2 + MC2 BD2 + CE2 = BC2 + DE2 Trên tia AK lấy điểm P cho AP = DE CM ADE = CPA CP = AD CP = AB CM P BAK ; ABK PCK CPK = BAK (g.c.g) BK = KC đpcm E Hình vẽ 5: Hình vẽ D A 600 A H M B C K B 6/ 0,5đ P Kẻ BH AC Vì BAC 60 ABH 300 AH AB (1) C Áp dụng định lý Pitago ta có: AB2=AH2+BH2 BC2 = BH2 + HC2 BC2 = AB2 – AH2 + HC2 BC2 = AB2 – AH2 + (AC – AH)2 BC2 = AB2 – AH2 + AC2 – 2AC.AH + AH2 BC2 = AB2 + AC2 – 2AC.AH (2) Từ (1) & (2) đpcm PHÒNG GD & ĐT DUY XUYÊN ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2010 - 2011 MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1: (2đ) Thực phép tính sau cách hợp lí: 1/ A = 3 3 13 16 64 256 1 1 13 16 64 2.522 9.521 5.(3.715 19.714 ) : 10 25 716 3.715 2/ B = Câu 2: (3đ) a/ Tính giá trị biểu thức M = (2x – 1)(2y – 1) biết x + y = 10 xy = 16 y - 10 đạt giá trị nhỏ b/ Tìm x, y để biểu thức N = (x + 2)2010 + c/ Cho đa thức f(x) = ax2 + bx + c, xác định a, b, c biết f(-2) = 0; f(2) = a số lớn c ba đơn vị Câu 3: (1,5đ) Cho số nguyên dương a, b, c, d b trung bình cộng a c đồng thời 11 1 a c c b d Chứng minh b d Câu 4: (2,5đ) Cho ABC (AB < AC), qua trung điểm D cạnh BC vẽ đường thẳng vng góc với đường phân giác góc A, cắt đường thẳng AB, AC M N Qua B vẽ đường thẳng Bx song song với AC, Bx cắt MN E a/ Chứng minh AMN BME tam giác cân b/ Chứng minh BM = CN c/ Tính AM BM theo b c biết AC = b AB = c Câu 5: (1,0đ) Cho điểm M hình chữ nhật ABCD Chứng minh: MA2 + MC2 = MB2 + MD2 *=*=*=*=*= Hết =*=*=*=*=* ĐÁP ÁN & BIỂU ĐIỂM 1a/ 1,5đ 1b/ 1,5đ 3 1 1 1 13 16 64 1 1 2 16 64 A = 13 1 521 2.5 5.714 3.7 19 : 10 715 3 52 B= = 5: 35 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 2a/ 1,0đ 2b/ 1,0đ 2c/ 1,0đ 3/ 1,5đ M = (2x – 1)(2y – 1) = 4xy – 2x – 2y + = 4xy – 2(x + y) + M = 45 y 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0 Lí luận (x + 2)2010 ≥ 0; N ≥ -10 GTNN N -10 Tìm x = -2; y = 1/5 Ta có f(-2) = 4a – 2b + c = f(2) = 4a + 2b + c = a – c = 4b = b = Từ 8a + 2c = a – c = a = 3/5 ; c = -12/5 Vì b trung bình cộng a c b = (a + c)/2 2b = a + c 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 1 1 1 bd 2bd c (b d ) Từ c b d c bd 0,5đ 0,25đ Thay 2b = a + c, ta có (a + c)d = c(b + d) a c ad = bc b d 4/ 2,5đ 0,5đ AMN cân (đ/c vừa p/g) BE // AC BEM ANM BME ANM (AMN cân A) BME BEM BME cân B 0,25đ A 0,5đ N B D C E M 4b/ 0,75đ 4c/ 1,0đ 5/ 1,0đ BED = CND (g.c.g) BE = NC BM = NC (= BE) Ta có AB + BM = AM = AN = AC – NC AB + BM = AC – BM 2BM = AC – AB BM = (b – c):2 AM = AB + BM AM = (b + c):2 H A Qua M kẻ HK // BC (H AB; K CD) 2 MA = MH + HA MC2 = MK2 + KC2 M MA2 + MC2 = MH2 + HA2 + MK2 + KC2 MB2 = MH2 + HB2 MD2 = MK2 + DK2 D K MB2 + MD2 = MH2 + HB2 + MK2 + DK2 Ta có AH = DK; HB = KC MA2 + MC2 = MB2 + MD2 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ B 0,25đ C 0,25đ 0,25đ 0,25đ ... MD2 + MB2 ; DE2 = MD2 + ME2; BC2 = MB2 + MC2 BD2 + CE2 = MD2 + MB2 + ME2 + MC2; BC2 + DE2 = MD2 + MB2 + ME2 + MC2 BD2 + CE2 = BC2 + DE2 Trên tia AK lấy điểm P cho AP = DE CM ADE = CPA ... cân A, CAE vuông cân A Chứng minh: a/ DC = BE; DC BE b/ BD2 + CE2 = BC2 + DE2 c/ Đường thẳng qua A vng góc với DE cắt BC K C/m K trung điểm BC Bài 6: (0,5đ) Cho ABC nhọn với gócBAC = 600... MK2 + DK2 Ta có AH = DK; HB = KC MA2 + MC2 = MB2 + MD2 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ PHỊNG GD & ĐT DUY XUN ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2009 - 2010 MƠN: TỐN Thời gian làm bài: