Đang tải... (xem toàn văn)
2 Lấy giới hạn hai vế của đẳng thức đề.[r]
Đề bài: Xét dãy số lim un ( un ) thỏa mãn un+1 = a + bun , " n ẻ Ơ * , ú a > 0, b > 0, u1 ³ số thc Tỡm nđ+Ơ ùỡ x b + b + 4a x = a + bx Û ïí Û x= ïï x = a + bx x = a + bx x ỵ Cách 1: Gọi nghiệm phương trình , ta có * Từ giả thiết suy un ³ 0, " n Î ¥ Với số nguyên dương n ta có b b b un+1 - x = a + bun - a + bx = un - x = un - x £ un - x a + bun + a + bx a + bun + x a +x un - x £ Do Suy n- ỉ b ỉ b b * ữ ữ ỗ un- - x Ê ỗ u x Ê Ê ữ ữ ỗ ỗ ữ n- ữ u1 - x , " n ẻ Ơ , n ỗ ỗ a + xứ è a + xø è a +x ỉ b ÷ ửn- ỗ Ê un - x Ê ỗ ữ u1 - x , " n ẻ Ơ * , n ỗ ố a + xữ ứ Ta thấy b b + b + 4a b + b lim 0< =b >0 a +x 2 nên Dẫn tới nđ+Ơ n- ổ b ữ ỗ ữ ỗ ữ = ỗ ố a + xứ b + b + 4a Vy nđ+Ơ Nhn xột: Xét hàm số f ( x) xác định tập D thỏa mãn tính chất sau 1) Phương trình f ( x) = x có nghiệm x = x0 D Ta gọi x0 điểm bất động f ( x) D 2) Với x Ỵ D ta có f ( x ) Ỵ D lim un = x = f ( x ) - f ( x0 ) £ C x - x0 , " x Ỵ D 3) Tồn số C cho < C b + b + 4a b + b + 4a uk > 2 Giả sử Khi uk +1 = a + buk > a + b b + b + 4a b + 4a + 2b b + 4a + b b + b + 4a = = b + b + 4a , " n ẻ Ơ * (3) Theo nguyờn lớ quy np, suy ổ ửổ ỗ ỗ - b + b2 + 4a ữ bữ ỗ ỗ ữ un+1 - un = u un ỗ ỗ n ữ ỗ ỗ ữ a + bun + un ç ÷ç è ø è Lúc un > Từ (3) (4) suy dãy ( un ) có gii hn hu hn lim un = x nđ+Ơ ö b + 4a ÷ ÷ ÷ < ị un+1 < un , " n ẻ Ơ * (4) ÷ ÷ ÷ ø b + b + 4a Lấy giới hạn hai vế đẳng thức đề ïì x ³ b + b + 4a b + b + 4a x = a + bx Û ïí Û x= lim u = n ïï x = a + bx 2 ợ bi, ta c Vy nđ+Ơ u = a1 + b1un - a2 + b2un , " n ẻ Ơ * , u Bi toỏn: Cho dóy số ( n ) có u1 ³ 0, n+1 a1 > a2 > 0, b1 > b2 > l cỏc lim un hng s Tỡm nđ+Ơ