Đang tải... (xem toàn văn)
www.facebook.com/hocthemtoan
Chun đề LTĐH Chuyên đề Thầy tốn: 0968 64 65 97 PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TRỌNG TÂM KIẾN THỨC CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC CƠ BAÛN (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 a + b = (a + b) − 2ab a + b = (a − b) + 2ab (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 a + b3 = (a + b)3 − 3ab(a + b) a2 − b2 = (a + b)(a − b) (a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2 ) a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 ) ( a + b + c ) = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc A PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ Nhắc lại: 1) Một số phép biến đổi tương đương phương trình thường sử dụng a) Chuyển vế biểu thức từ vế sang vế (nhớ đổi dấu biểu thức) b) Nhân chia hai vế phương trình với số (khác 0) với biểu thức (khác không) c) Thay biểu thức biểu thức khác với biểu thức Lưu ý: + Chia hai vế phương trình cho biểu thức chứa ẩn đề phịng nghiệm + Bình phương hai vế phương trình đề phịng dư nghiệm 2) Các bước giải phương trình Bước 1: Tìm điều kiện (nếu có) ẩn số để hai vế pt có nghóa Bước 2: Sử dụng phép biến đổi tương đương để biến đổi pt đến pt biết cách giải Bước 3: Giải pt chọn nghiệm phù hợp ( có) Bước 4: Kết luận Chun đề LTĐH Các phương pháp giải phương trình đại số thường sử dụng a) Phương pháp 1: Thầy tốn: 0968 64 65 97 Biến đổi phương trình cho phương trình đđã biết cách giải b) Phương pháp 2: Biến đổi phương trình cho dạng tích số : A.B = 0; A.B.C = A = A = A.B = ⇔ Định lý: ; A.B.C = ⇔ B = B = C = c) Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ đưa phương trình cho dạng biết cách giải PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ I Giải biện luận phương trình bậc nhất: Dạng : x : ẩn số a, b : tham số ax + b = (1) Giải biện luận: Ta có : Biện luận: (1) ⇔ ax = -b (2) b a • Nếu a = (2) trở thành 0.x = -b * Nếu b ≠ phương trình (1) vô nghiệm * Nếu b = phương trình (1) nghiệm với x Tóm lại : b • a ≠ : phương trình (1) có nghiệm x = − a • a = b ≠ : phương trình (1) vô nghiệm • a = b = : phương trình (1) nghiệm với x • Nếu a ≠ (2) ⇔ x = − Điều kiện nghiệm số phương trình: Định lý: Xét phương trình ax + b = (1) ta có: • (1) có nghiệm ⇔ • (1) vô nghiệm ⇔ • (1) nghiệm với x ⇔ a ≠0 a = b ≠ a = b = Chun đề LTĐH II.Giải biện luận phương trình bậc hai: Dạng: Thầy tốn: 0968 64 65 97 x : ẩn số a, b , c : tham soá ax + bx + c = (1) Giải biện luận phương trình : Xét hai trường hợp Trường hợp 1: Nếu a = (1) phương trình bậc : bx + c = • b ≠ : phương trình (1) có nghiệm x = − c b • b = c ≠ : phương trình (1) vô nghiệm • b = c = : phương trình (1) nghiệm với x Trường hợp 2: Nếu a ≠ (1) phương trình bậc hai có ' ' ( ∆ = b ' − ac với b = Biệt số ∆ = b − 4ac Biện luận: Nếu ∆ < pt (1) vô nghiệm Nếu ∆ = pt (1) có nghiệm số kép x1 = x2 = − b 2a Nếu ∆ > pt (1) có hai nghiệm phân biệt x1,2 = LUYỆN TẬP Bài 1: Giải phương trình: Bài 2: Giải phương trình: x2 − 2x ( x − 1) −4 ( x − 2) = ( −6 − x ) + x + = x− −b ± ∆ 2a b' ) a −b' ± ∆ ' ) = a ( x1 = x2 = − ( x1,2 b ) Chun đề LTĐH Điều kiện nghiệm số phương trình bậc hai: Định lý : Xét phương trình : ax + bx + c = (1) a = a ≠ ⇔ b = hoaëc ∆ < c ≠ Pt (1) vô nghiệm Pt (1) có nghiệm kép Pt (1) có hai nghiệm phân biệt Pt (1) có hai nghiệm Thầy tốn: 0968 64 65 97 a ≠ ⇔ ∆ = a ≠ ⇔ ∆ > a ≠ ⇔ ∆ ≥ a = ⇔ b = c = Pt (1) nghiệm với x Đặc biệt Nếu pt(1) có hệ số a,c thoả a.c < pt(1) có hai nghiệm phân biệt LUYỆN TẬP Bài 1: Cho phương trình 3mx + 6mx − m + = (1) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt Kết quả: m < ∨ m > 3x + = x + m (1) x+2 Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt Bài 2: Cho phương trình Kết quả: m < ∨ m > Định lý VIÉT phương trình bậc hai: Định lý thuận: Nếu phương trình bậc hai : ax + bx + c = ( a ≠ ) có hai nghiệm x1, x2 b S = x1 + x = − a P = x x = c a Định lý đảo : Nếu có hai số x , y mà x + y = S vaø x.y = P ( S ≥ P ) x , y nghiệm phương trình X - S.X + P = Chuyên đề LTĐH Thầy toán: 0968 64 65 97 Ý nghóa định lý VIÉT: Cho phép tính giá trị biểu thức đối xứng nghiệm ( tức biểu thức chứa x 1, x2 khoâng x + x2 1 A= + + ) mà không cần thay đổi giá trị ta thay đổi vai trò x1,x2 cho Ví dụ: x1 x x1 x giải pt tìm x1, x2 , tìm hai số biết tổng tích chúng … Chú ý: Nếu pt (1) có hệ số thoả mãn a+b+c=0 pt (1) có hai nghiệm x1 = x = c a Nếu pt (1) có hệ số thoả mãn a-b+c=0 pt (1) có hai nghiệm x1 = −1 x = − c a LUYỆN TẬP 3x + = mx (1) x+2 Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1 + x2 = Bài 1: Cho phương trình Kết quả: m = 3x + = x + m (1) x+2 Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x2 − x1 = Bài 2: Cho phương trình Bài 3: Cho phương trình 2x + = x + m (1) x −2 Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn (x − 2) = (x Dấu nghiệm số phương trình bậc hai: Dựa vào định lý Viét ta suy định lý sau: Định lý: Xét phương trình bậc hai : ax + bx + c = (1) ∆ > Pt (1) coù hai nghiệm dương phân biệt ⇔ P > S > ∆ > P > S < Pt (1) có hai nghiệm âm phân biệt ⇔ Pt (1) có hai nghiệm trái daáu ⇔ P (1) (hoaëc ≥, −b (2) b a b Neáu a < (2) ⇔ x < − a Nếu a = (2) trở thành : 0.x > −b * b ≤ bpt vô nghiệm * b > bpt nghiệm với x Nếu a > (2) ⇔ x > − II Dấu nhị thức bậc nhất: Dạng: Bảng xét dấu nhị thức: x ax+b f ( x) = ax + b (a ≠ 0) −∞ − Trái dấu với a b a +∞ Cùng dấu với a Chun đề LTĐH III Dấu tam thức bậc hai: Thầy toán: 0968 64 65 97 f ( x) = ax + bx + c Daïng: (a ≠ 0) Bảng xét dấu tam thức bậc hai: x f(x) ∆0 Cùng dấu a Cùng dấu a Cùng dấu a f(x) f(x) Cùng dấu a Trái x dấu a Cùng dấu a Chú ý: • Nếu tam thức bậc hai f(x) = ax + bx + c (a ¹ 0) có hai nghiệm x1,x2 tam thức ln phân tích thành f(x) = ax2 + bx + c = a( x - x1) ( x - x2 ) • Mọi tam thức bậc hai f(x) = ax2+bx+c (a≠0) điều biểu diển thành f ( x ) = ax + bx + c = a( x + Điều kiện không đổi dấu tam thức: Định lý: Cho tam thức bậc hai: f ( x ) = ax + bx + c • f (x) > ∀x ∈ R • f (x ) < ∀x ∈ R • f (x ) ≥ ∀x ∈ R • f (x ) ≤ ∀x ∈ R ∆ < ⇔ a > ∆ < ⇔ a < ∆ ≤ ⇔ a > ∆ ≤ ⇔ a < 10 b ∆ ) − 2a 4a (a ≠ 0) Chuyên đề LTĐH LUYỆN TẬP Bài 1: Cho f ( x ) = ( m + ) x − ( m + ) x − 3m + Thầy toán: 0968 64 65 97 Tìm m để f ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ ¡ Kết quả: −2 ≤ m ≤ − Bài 2: Cho f ( x ) = ( m − 1) x − ( m − 1) x + ( 2m − 3) Tìm m để f ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ ¡ Kết quả: m ≤ −1 IV Bất phương trình bậc hai: Dạng: ax + bx + c > ( ≥, a.f(α) > S − α < ⇔ ∆ > a.f(α) > S − α > BÀI TẬP RÈN LUYỆN 11 Chuyên đề LTĐH Bài 1: Cho phương trình: Thầy tốn: 0968 64 65 97 −2 x + = − x + m (1) x +1 Tìm m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn ( x1 − x2 ) = Kết quả: m = 1, m = −7 x+2 = x+m (1) 2x − Tìm m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn 2 37 2 x1 + ( x1 + m ) + x2 + ( x2 + m ) = Bài 2: Cho phương trình: Kết quả: m = 2, m = − Bài 3: Cho phương trình: ( x - 3) ( x + 3x + - m) = (1) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt ì ï m > 15 ï ï Kết quả: í ù m 24 ù ù ợ Bi 4: Cho phương trình: x - 2( m + 1) x + ( 7m - 2) x + - 6m = (1) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm dương phân biệt é ê < m2 m ê ë Bài 5: Cho phương trình: x - 2( m + 1) x +2m+1 (1) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt ì ï m>- ï ï Kết quả: í ï m¹ ï ï ỵ - x2 + x + m = x- (1) x+m Tìm để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt Bài 6: Cho phương trình: é < - 6- m ê Kết quả: ê ê > - 6+ m ë 2 Bài 7: Cho phương trình: 3x + 4( m - 1) x + m - 4m + = (1) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1;x2 thỏa mãn điều kiện 1 + = ( x1 + x2) x1 x2 é =1 m Kết quả: ê ê =5 m ê ë Bài 8: Cho phương trình: x − mx − x + m + = (1) 3 12 Chuyên đề LTĐH Thầy toán: 0968 64 65 97 2 Tìm m để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt x1, x2, x3 thỏa maõn x1 + x + x3 > 15 Kết quả: (m < −1 ∨ m > 1) Bài 9: Cho phương trình x − x + − m = (1) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1 − x2 ( m + 1) = x +1 = kx (1) 2x −1 Tìm k để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1 + x2 = Bài 10: Cho phương trình 2x − = 2x + m (1) x +1 Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn ( x1 − x2 ) = Bài 11: Cho phương trình x −1 = x+2 (1) x+m Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1 − x2 = Bài 12: Cho phương trình Bài 13: Cho phương trình 2x + = m ( x − 1) + 1− x (1) ( ) 2 Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn + m ( x1 + x2 ) − x1 x2 = 90 −x +1 = x+m (1) 2x −1 Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 cho biểu thức 1 A=− − đạt giá trị lớn (2 x1 − 1) (2 x2 − 1) Bài 14: Cho phương trình -Hết 13 ... mãn x1 − x2 ( m + 1) = x +1 = kx (1) 2x ? ?1 Tìm k để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1 + x2 = Bài 10 : Cho phương trình 2x − = 2x + m (1) x +1 Tìm m để phương trình (1) ... biệt x1, x2 thỏa mãn ( x1 − x2 ) = Bài 11 : Cho phương trình x ? ?1 = x+2 (1) x+m Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1 − x2 = Bài 12 : Cho phương trình Bài 13 : Cho phương. .. phương trình 2x + = m ( x − 1) + 1? ?? x (1) ( ) 2 Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn + m ( x1 + x2 ) − x1 x2 = 90 −x +1 = x+m (1) 2x ? ?1 Tìm m để phương trình (1)