Tài liệu Ôn thi đại học môn Toán phần lượng giác_Chương 11 doc

17 553 3
  • Loading ...
    Loading ...
    Loading ...

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Tài liệu liên quan

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 20/01/2014, 15:20

CHƯƠNG XI: NHẬN DẠNG TAM GIÁC I. TÍNH CÁC GÓC CỦA TAM GIÁC Bài 201: Tính các góc của ABCΔ nếu : ()()()()3sin B C sin C A cos A B *2++ ++ += Do ABC++=π Nên: ()3*sinAsinBcosC2⇔+−= +−⎛⎞⇔−⎜⎟⎝⎠−⇔−=−⇔− +=−−⎛⎞−=⇔−+−⎜⎟⎝⎠−−⎛⎞⇔− + =⎜⎟⎝⎠−⎧=⎪⎪⇔⎨−⎪=⎪⎩==⇔2222222=ABAB C 32 sin cos 2 cos 122 2CAB C12cos cos 2cos22 22CCAB4cos 4cos cos 1 0222CAB AB2cos cos 1 cos 022 2CAB AB2 cos cos sin 022 2CAB2cos cos22ABsin 02C2cos cos0 12A2⎧π⎧⎪=⎪⎪⇔⎨⎨−⎪⎪==⎩⎪⎩π⎧==⎪⎪⇔⎨π⎪=⎪⎩C23BAB02AB62C3 Bài 202: Tính các góc của ABCΔ biết: ()5cos2A 3 cos 2B cos2C 0 (*)2+++= Ta có: () ()()25*2cosA123cosBCcosBC20⇔−+ + − + =⎡⎤⎣⎦ ()() ()() ()()()⇔− −+=⎡⎤⇔−−+−−⎣⎦⎡⎤⇔− −+ −=⎣⎦−=⎧−=⎧⎪⎪⇔⇔⎨⎨==−⎪⎪⎩⎩⎧=⎪⇔⎨==⎪⎩22222004cos A 4 3cosA.cos B C 3 02cosA 3cos B C 3 3cos B C 02cosA 3cos B C 3sin B C 0sin B C 0BC 033cos Acos A cos B C22A30BC75= Bài 203: Chứng minh ABCΔ có nếu : 0C 120=ABCsin A sin B sin C 2sin sin 2sin (*)22 2++− ⋅ = Ta có ABABCC ABC(*) 2sin cos 2sin cos 2sin sin 2sin22 2222CAB CC AB A2cos cos 2sin cos 2cos 2sin sin22 22 2 2CAB C ABcos cos sin cos cos22 2 22CAB AB ABcos cos cos cos cos22 2 22CAB AB2cos cos cos cos cos222 22+−⇔+=−+⇔+=+−⎛⎞⇔+=⋅⎜⎟⎝⎠−+⎡⎤⇔+=⎢⎥⎣⎦⇔=2B2+ C1cos22⇔= (do Acos 02> và Bcos 02> vì AB0;22 2π<<) ⇔=0C120 Bài 204: Tính các góc của CΔΑΒ biết số đo 3 góc tạo cấp số cộng và 33sin A sin B sin C2+++= Không làm mất tính chất tổng quát của bài toán giả sử ABC<< Ta có: A, B, C tạo 1 cấp số cộng nên A + C = 2B Mà ABC++=πnên B3π= Lúc đó: 33sin A sin B sin C2+++= 33sin A sin sin C323sin A sin C2AC AC 32sin cos222BAC32cos cos2223AC32. cos222CA 3cos cos22 6π+⇔++=⇔+=+−⇔=−⇔=⎛⎞−⇔=⎜⎟⎜⎟⎝⎠−π⇔== Do C > A nên có: CΔΑΒ−ππ⎧⎧==⎪⎪⎪⎪ππ⎪⎪+= ⇔ =⎨⎨⎪⎪ππ⎪⎪==⎪⎪⎩⎩CAC2622CA A36BB33 Bài 205: Tính các góc của ABCΔnếu ()()⎧+≤⎪⎨++=+⎪⎩22 2bca 1sin A sin B sin C 1 2 2 Áp dụng đònh lý hàm cosin: 22bcacos A2bc+−=22 Do (1): nên co22bca+≤s A 0≤ Do đó: AA24ππ≤<π⇔≤ <22π Vậy ()A2cos cos242π≤=∗ Mặt khác: sin A sin B sinC++BC BCsin A 2sin cos22+−=+ ABCsin A 2 cos cos22−=+ 212 12⎛⎞≤+⋅⎜⎟⎜⎟⎝⎠ ()−⎛⎞≤⎜⎟⎝⎠BCdo * và cos 12 Mà sin A sin B sin C 1 2 do (2)++=+ Dấu “=” tại (2) xảy ra ⎧=⎪⎪⎪⇔=⎨⎪−⎪=⎪⎩sin A 1A2cos22BCcos 12π⎧=⎪⎪⇔⎨π⎪==⎪⎩A2BC4 Bài 206: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối A, năm 2004) Cho ABCΔ không tù thỏa điều kiện ()cos2A 2 2cosB 2 2cosC 3 *++= Tính ba góc của ABCΔ * Cách 1: Đặt M = cos2A 2 2cosB 2 2cosC 3++− Ta có: M = 2BC BC2cos A 4 2 cos cos 422+−+− ⇔ M = 2ABC2cos A 4 2sin cos 422−+− Do Asin 02> vàB - Ccos 12≤ Nên 2AM2cosA42sin 42≤+− Mặt khác: ABCΔkhông tù nên 0A2π<≤ ⇒≤ ≤⇒≤20cosA1cos A cos ADo đó: AM2cosA42sin 42≤+ − 222AAM12sin 42sin22AAM4sin 42sin 222AM22sin 1 02⎛⎞⇔≤− + −⎜⎟⎝⎠⇔≤− + −⎛⎞⇔≤− − ≤⎜⎟⎝⎠4 Do giả thiết (*) ta có M=0 Vậy: 200cos A cos AA90BCcos 12BC45A1sin22⎧⎪=⎪⎧=−⎪⎪=⇔⎨⎨==⎪⎩⎪⎪=⎪⎩ * Cách 2: ()* cos2A 22cosB 22cosC 3 0⇔+ + −= ()()()()2222222BC BCcos A 2 2 cos cos 2 022ABCcos A cos A cos A 2 2 sin cos 2 022AABCcos A cos A 1 1 2sin 2 2 sin cos 2 0222ABC BCcos A cos A 1 2 sin cos 1 cos 022 2ABC Bcos A cos A 1 2 sin cos sin22+−⇔+ −=−⇔−++ −=−⎛⎞⇔−+−+ −⎜⎟⎝⎠−−⎛⎞⎛⇔−−−−−⎜⎟⎜⎝⎠⎝−−⎛⎞⇔−−−−⎜⎟⎝⎠=⎞=⎟⎠C0(*)2= Do ABCΔ không tù nên và cocos A 0≥s A 1 0−< Vậy vế trái của (*) luôn ≤ 0 Dấu “=” xảy ra cos A 0ABC2sin cos22BCsin 02⎧⎪=⎪−⎪⇔=⎨⎪−⎪=⎪⎩ ⎧=⎪⇔⎨==⎪⎩00A90BC45Bài 207: Chứng minh ABCΔcó ít nhất 1 góc 600 khi và chỉ khi sin A sin B sin C3(*)cos A cos B cosC++=++ Ta có: ()()()(*) sin A 3 cos A sin B 3 cosB sin C 3 cosC 0⇔− +− +− = sin A sin B sin C 0333AB AB2sin cos sin C 023 2 3πππ⎛⎞⎛⎞⎛⎞⇔−+−+−=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠+π − π⎛⎞ ⎛⇔−+−⎜⎟ ⎜⎝⎠ ⎝⎞=⎟⎠ CABCC2sin cos 2sin cos 022 3 2 26 26CABC2sin cos cos 026 2 26⎡π π⎤ − π π⎛⎞ ⎛⎞⎛⎞⇔−− +− −⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠ ⎝⎠⎝⎠⎣⎦π⎡ − π⎤⎛⎞ ⎛⎞⇔−− +−=⎜⎟ ⎜⎟⎢⎥⎝⎠ ⎝⎠⎣⎦= π− ππ⎛⎞ ⎛⎞⎛⇔−=∨ =−=−⎜⎟ ⎜⎟⎜⎝⎠ ⎝⎠⎝CABCsin 0 cos cos cos26 2 26 3 2+⎞⎟⎠AB π−π+−+π+⇔=∨ =− ∨ =−CABABABA26 2 3 2 2 3 2B ππ⇔=∨=∨=CAB33π3 Bài 208: Cho ABCΔ và V = cos2A + cos2B + cos2C – 1. Chứng minh: a/ Nếu V = 0 thì ABCΔ có một góc vuông b/ Nếu V < 0 thì ABCΔ có ba góc nhọn c/ Nếu V > 0 thì ABCΔ có một góc tù Ta có: ()()211V1cos2A 1cos2B cos 122=++++− ()()()()()(2221V cos2A cos2B cos C2)Vcos A B .cos A B cos CV cosC.cos A B cos CVcosC cos A B cos A BV2cosC cos A cosB⇔= + +⇔= + −+⇔=− −+⇔=− −+ +⎡⎤⎣⎦⇔=− Do đó: a / V 0 cos A 0 cos B 0 cosC 0=⇔=∨=∨= ⇔ABCΔ⊥ tại A hayABCΔ⊥ tại B hayABCΔ⊥ tại C b / V 0 cos A.cos B.cosC 0<⇔> ⇔ABCΔ có ba góc nhọn ( vì trong 1 tam giác không thể có nhiều hơn 1 góc tù nên không có trường hợp có 2 cos cùng âm ) c / V 0 cos A.cosB.cosC 0>⇔ < cos A 0 cos B 0 cos C 0⇔<∨<∨< ⇔ABCΔ có 1 góc tù. II. TAM GIÁC VUÔNG Bài 209: Cho ABCΔ có +=Baccotg2b Chứng minh ABCΔ vuông Ta có: Baccotg2b+= ++⇔= =Bcos2R sin A 2R sin C sin A sin C2B2R sin B sin Bsin2 +−⇔=BACAcos 2 sin . cos22BBsin 2 sin .cos22C2B2 −⇔= >2BBAC Bcos cos . cos (do sin 0)22 2 2 −⇔= >BAC Bcos cos (do cos 0)22 2 −−⇔= ∨=⇔=+∨=+BACBCA2222ABCCAB ππ⇔=∨=⇔Δ ΔAC22 ABC vuông tại A hay ABC vuông tại C Bài 210: Chứng minh ABCΔ vuông tại A nếu bc acos B cosC sin Bsin C+= Ta có: bc acos B cosC sin Bsin C+= ⇔+=+⇔=2R sin B 2R sin C 2R sin AcosB cosC sin Bsin Csin BcosC sin C cos B sin Acos B.cos C sin Bsin C ()+⇔=⇔=sin B Csin Acos B.cos C sin Bsin Ccos B cos C sin Bsin C (do sin A 0)> ()⇔−⇔+=π⇔+=⇔Δcos B.cos C sin B.sin C 0cos B C 0BC2ABC vuông tại A= Bài 211: Cho ABCΔ có: ABC ABC1cos cos cos sin sin sin (*)222 2222⋅⋅−⋅⋅= Chứng minh ABCΔ vuông Ta có: ⇔=++− +−⎡⎤⎡⇔+ =−−⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎤⎥⎦ABC1 ABC(*) cos cos cos sin sin sin2222 2221AB ABC11AB ABcos cos cos cos cos sin22 22222 2C2 −−⎡⎤⎡⎤⇔+ =−−⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦−−⇔+ =−+=−+22CABC CABCsin cos cos 1 sin cos sin222 222CC ABC C C C ABsin cos cos cos 1 sin cos 1 sin cos sin22 2 2 2 2 2 2C2 −−⇔+ =+2C C AB C C AB Csin cos cos cos cos cos sin22 2 2 2 2 2 −⎡⎤⎡⎤⇔−= −⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦−⎡⎤⎡ ⎤⇔− − =⎢⎥⎢ ⎥⎣⎦⎣ ⎦CC C ABC Ccos sin cos cos sin cos22 2 2 2 2CCCABsin cos cos cos 0222 2 −⇔=∨=−−⇔ =∨= ∨=π⇔=∨=+∨=+πππ⇔=∨=∨=CCCAsin cos cos cos222 2CCABCBtg 122222CABCBAC24CAB222BA Bài 212: Chứng minh ABCΔ vuông nếu: 3(cos B 2 sin C) 4(sin B 2 cos C) 15+++= Do bất đẳng thức Bunhiacốpki ta có: 223cosB 4sinB 9 16 cos B sin B 15+≤+ += và 226sin C 8cosC 36 64 sin C cos C 10+≤+ += nên: 3(cos B 2 sin C) 4(sin B 2 cos C) 15+++≤Dấu “=” xảy ra cosB sin B 4tgB34sin C cosC 4cotgC=68⎧⎧==⎪⎪⎪⎪⇔⇔⎨⎨⎪⎪=⎪⎪⎩⎩33 ⇔=π⇔+=tgB cotgCBC2 ABC⇔Δvuông tại A. Bài 213: Cho ABCΔ có: sin 2A sin 2B 4 sin A.sin B+= Chứng minh ABCΔ vuông. Ta có: +=sin 2A sin 2B 4 sin A.sin B[][]⇔+ −=−+−−⇔+=−+ −2sin(A B) cos(A B) 2 cos(A B) cos(A B)cos(A B) 1 sin(A B) cos(A B) []⇔− = − −cos C 1 sin C cos(A B) ⇔− + = − −2cos C(1 sin C) (1 sin C). cos(A B) ⇔− + = −2cos C(1 sin C) cos C.cos(A B) ⇔= −+ = −cos C 0 hay (1 sin C) cos C.cos(A B) (*) ⇔=cos C 0 ( Do nên sin C 0>(1 sin C) 1−+ <−Mà .Vậy (*) vô nghiệm.) cosC.cos(A B) 1−≥−Do đó ABCΔ vuông tại C III. TAM GIÁC CÂN Bài 214:Chứng minh nếu ABCΔ có CtgA tgB 2 cotg2+= thì là tam giác cân. Ta có: CtgA tgB 2 cotg2+= C2cossin(A B)2Ccos A.cos Bsin2C2cossin C2Ccos A.cos Bsin2CC C2sin cos 2cos22Ccos A cosBsin2+⇔=⇔=⇔=2 ⇔2CCsin cos A.cos B do cos 022⎛⎞=>⎜⎟⎝⎠ ()()(()()⇔− = ++ −⎡⎤⎣⎦⇔− =− + −⇔−=⇔=111cosC cosAB cosAB221 cosC cosC cos A Bcos A B 1)AB ABC⇔Δ cân tại C. Bài 215: Chứng minh ABCΔ cân nếu: 33ABBsin .cos sin .cos22 22=A Ta có: 33ABBsin .cos sin .cos22 22=A 22ABsin sin1122AA BBcos cos cos cos22 22⎛⎞ ⎛⎞⎜⎟ ⎜⎟⇔=⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟⎝⎠ ⎝⎠ (do Acos2>0 và Bcos2>0 ) 223322AAB Btg 1 tg tg 1 tg2222ABABtg tg tg tg 02222AB A BABtg tg 1 tg tg tg .tg 0 (*)22 2 222⎛⎞⎛⎞⇔+=+⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⇔−+−=⎛⎞⎡ ⎤⇔− +++ =⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣ ⎦ ⇔=ABtg tg22 ( vì 22ABAB1tg tg tg tg 02222+++ >) ⇔=AB ABC⇔Δ cân tại C Bài 216: Chứng minh ABCΔ cân nếu: ()222222cos A cos B 1cotg A cotg B (*)sin A sin B 2+=++ Ta có: (*) 2222 2 2cos A cos B 1 1 12sin A sin B 2 sin A sin B+⎛⎞⇔=+⎜⎟+⎝⎠− 2222 2 2cos A cos B 1 1 11sin A sin B 2 sin A sin B+⎛⎞⇔+=+⎜⎟+⎝⎠ ⎛⎞⇔=+⎜⎟+⎝⎠22 2 221112sin A sin B sin A sin B ()⇔=+222 2 24 sin A sin B sin A sin B ()220sinAsinBsin A sin B⇔= −⇔= Vậy ABCΔ cân tại C Bài 217: Chứng minh ABCΔ cân nếu: ()Ca b tg atgA btgB (*)2+= + Ta có: ()Ca b tg atgA btgB2+= + ()⇔+ = +Ca b cotg atgA btgB2 ⎡⎤⎡⇔− +−⎢⎥⎢⎣⎦⎣CCa tgA cotg b tgB cotg 022⎤=⎥⎦ ++⎡⎤⎡⇔− +−⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎤=⎥⎦ABAa tgA tg b tgB tg 022B −−⇔+++=ABBAa sin b sin220AB ABcos A. cos cos B. cos22 [...]... b + c b/ 3S = 2R 2 ( sin 3 A + sin 3 B + sin 3 C ) c/ sin A + sin B + sin C = 4 sin A sin B sin C 9R d/ m a + m b + m c = vớ i ma , m b , mc là 3 đườ n g trung tuyế n 2 Th.S Phạm Hồng Danh – TT luyện thi Vĩnh Viễn . 12π⎧=⎪⎪⇔⎨π⎪==⎪⎩A2BC4 Bài 206: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối A, năm 2004) Cho ABCΔ không tù thỏa điều kiện ()cos2A 2 2cosB 2 2cosC. CHƯƠNG XI: NHẬN DẠNG TAM GIÁC I. TÍNH CÁC GÓC CỦA TAM GIÁC Bài 201: Tính các góc của ABCΔ nếu :
- Xem thêm -

Xem thêm: Tài liệu Ôn thi đại học môn Toán phần lượng giác_Chương 11 doc, Tài liệu Ôn thi đại học môn Toán phần lượng giác_Chương 11 doc, Tài liệu Ôn thi đại học môn Toán phần lượng giác_Chương 11 doc

Từ khóa liên quan