TRƯỜNG THPT LÊ HỒNG PHONG ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC- CAO ĐẲNG LẦN THỨ BA NĂM HỌC 2008-2009 Môn thi: TOÁN, khối B và D Thời gian làm bài:180 phút, không kể thời gian phát đề Câu I (2 điểm) Cho hàm số 1 2 − = x x y 1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số khi m= 2. 2. Xác định giá trị của m để đồ thị của hàm số có tiệm cận xiên và Câu II (2 điểm) 1. Tìm nghiệm của phương trình cos7x.cos5x- 3 sin2x= 1- sin7x.sin5x trong khoảng (0; π ). 2. Giải hệ bất phương trình sau:      +≤+ −<− −+ 11 3 1 3 1 3322 )3(log5log xxxx xx . Câu III (2 điểm) 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y= cos2x- sin x +1. 2. Tính đạo hàm của hàm số sau tại x=0:      = ≠ − == 0 x nÕu 0 0x nÕu f(x)y x x2cos1 . Câu IV (3 điểm) 1. Cho A(-1; 0), B(1; 2) và một đường thẳng (d) có phương trình x- y- 1= 0 a. Lập phương trình đường tròn đi qua hai điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng (d). b. Xác định tọa độ của M nằm trên đường thẳng (d) sao cho khoảng cách từ M đến A bằng hai lần khoảng cách từ M đến B. 2. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC vuông góc nhau từng đôi một và OA=a, OB= b, OC= c (a, b, c>0) a. Gọi H là hình chiếu của O trên mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng H là trực tâm của tam giác ABC b. Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) theo a, b, c. Câu V (1 điểm) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng: 3≥ −+ + −+ + −+ c b a c b a c b a c b a . Hết Chú ý: Thí sinh khối D không phải làm Câu IV-2-b Họ và tên thí sinh: số báo danh HƯỚNG DẪN CHẤM THI MÔN TOÁN- KHỐI B Câu Ý Nội dung Điểm I 1 Khảo sát hàm số (1 điểm) m=2 ⇒ y= 3 2 x 3 -x 2 + 3 1 . a) Tập xác định: R. b) Sự biến thiên: y'=2x 2 -2x=2x(x-1); y'=0 ⇔ x=0; x=1. 0.25 y CĐ =y(0)= 3 1 , y CT =y(1)=0. y''=4x-2=0 ⇔ x= 2 1 ⇒ y= 6 1 . Đồ thị hàm số lồi trên khoảng (- ∞ ; 2 1 ), lõm trên khoảng ( 2 1 ;+ ∞ ) và có điểm uốn U( 2 1 ; 6 1 ) 0.25 Bảng biến thiên x - ∞ 0 1 + ∞ y' + 0 - 0 + y - ∞ 3 1 0 - ∞ 0.25 c) Đồ thị Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm(1; 0), (- 2 1 ;0) và cắt trục tung tại điểm (0; 3 1 ) 2 -2 -5 5 g x ( ) = 2 3 ( ) ⋅ x 3 -x 2 ( ) + 1 3 2 Tìm m để hàm số có y= 3 1 mx 3 - (m-1)x 2 + 3(m-2)x- 2+ 3 1 'y ⇒ =mx 2 -2(m-1)x+3(m-2). Để hàm số có cực đại cực tiểu thì y'=0 có hai nghiệm phân biệt ⇔    >∆ ≠ 0' 0 'y m ⇔ m ) 2 6 1;0()0; 2 6 1( +∪−∈ (*) 0.5 Khi đó     = = ⇔          − = − =+ =+ 3 2 2 )2(3 )1(2 12 21 21 21 m m m m xx m m xx xx (thỏa mãm điều kiện *) 0.5 1 Tìm nghiệm của phương trình cos7x.cos5x- 3 sin2x= 1- sin7x.sin5x trong khoảng (0; π ) Phương trình ⇔ cos2x- 3 sin2x=1 ⇔ )( 3 Zk kx kx ∈     +−= = π π π Vì x );0( π ∈ nên phương trình có nghiệm là x= 3 2 π 0.25 0.5 II Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x= 3 2 π 0.25 Xét bất phương trình )3(log5log 3 1 3 1 xx −<− Điều kiện :x<3. Bất phương trình ⇔ xx −>− 35 ⇔ 1< x <4. Kết hợp điều kiện suy ra 1< x< 3 là nghiệm 0.5 Xét bất phương trình: 11 3322 −+ +≤+ xxxx ⇔ 9 4 3 2 ≤       x ⇔ 2 ≥ x 0.25 2 Vậy hệ bất phương trình có nghiệm là x [ )3;2∈ 0.25 y= -2sin 2 x-sinx+2. Đặt t= sinx với t [ ] 1;1−∈ y=f(t)=-2t 2 -t+2 với t [ ] 1;1−∈ 0.25 1 f'(t)=-4t-1; f'(t)=0 4 1 −=⇔ t . GTLN = [ ] 8 17 ) 4 1 () 4 1 (),1(),1(max)(max 1;1 =−=       −−= −∈ fffftf t GTNN= [ ] 1)1() 4 1 (),1(),1(min)(min 1;1 −==       −−= −∈ fffftf t 0.75 III 2 Tính được x y x ∆ ∆ →∆ 0 lim = 2 0 )( 2cos1 lim x x x ∆ ∆ − →∆ 0.5 = 2 )( sin2 lim 2 2 0 = ∆ ∆ →∆ x x x . Vậy f'(0)=2 0.5 Gọi I(a; b) là tâm và bán kính của đường tròn ( C ) cần tìm. Phương trình của đường tròn ( C ) là (x-a) 2 +(y-b) 2 =R 2 0.25 ( C ) tiếp xúc với đường thẳng (d): x-y-1=0 khi và chỉ khi d(I; d)=R R ba = −− ⇔ 2 1 (1) 0.25 A, B thuộc ( C ) nên      =−+− =+−− 222 222 )2()1( )1( Rba Rba (2) 0.25 1.a Giải hệ (1), (2) được a=0, b=1, R= 2 . Phương trình đường tròn x 2 +(y-1) 2 =2 0.25 M thuộc d nen M có tọa độ (m; m-1) 0.25 Khoảng cách từ M đến A bằng hai lần khoảng cách từ M đến B nên 2222 )3()1(2)1()1( −+−=−++ mmmm 0.25 Giải ra được m= 3 78+ ; 3 78+ 0.25 IV 1.b Tìm được hai điểm M 1 ( 3 78+ ; 3 75+ ); M 2 ( 3 78− ; 3 75− ) 0.25 2 Ta có AHCBOAHCB CBOA CBOH ⊥⇒⊥⇒    ⊥ ⊥ )( (1) O Tương tự AC ⊥ BH (2) Từ hai điều trên suy ra H là trực tâm của tam giác ABC A H B C 0.5 Khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) Khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC)=OH 2222 1111 OC OB OA OH ++= OH= 222222 accbba abc ++ 0.5 V Đặt            + = + = + = > ⇒      −+= −+= −+= 2 2 2 0,, yx c xz b zy a zyx cbaz bacy acbx 0.25 0.25 Bất đẳng thức trở thành 3 222 ≥ + + + + + z yx y xz x zy VT= VF z y y z z x x z y x x y =≥+++++ 3)( 2 1 . Dờu bằng xảy ra khi x=y=z ⇒ a=b=c 0.25 0.25 HƯỚNG DẪN CHẤM THI MÔN TOÁN- KHỐI D Câu Ý Nội dung Điểm I 1 Khảo sát hàm số (1 điểm) m=2 ⇒ y= 3 2 x 3 -x 2 + 3 1 . a) Tập xác định: R. b) Sự biến thiên: y'=2x 2 -2x=2x(x-1); y'=0 ⇔ x=0; x=1. 0.25 y CĐ =y(0)= 3 1 , y CT =y(1)=0. y''=4x-2=0 ⇔ x= 2 1 ⇒ y= 6 1 . Đồ thị hàm số lồi trên khoảng (- ∞ ; 2 1 ), lõm trên khoảng ( 2 1 ;+ ∞ ) và có điểm uốn U( 2 1 ; 6 1 ) 0.25 Bảng biến thiên x - ∞ 0 1 + ∞ y' + 0 - 0 + y - ∞ 3 1 0 - ∞ 0.25 c) Đồ thị Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm(1; 0), (- 2 1 ;0) và cắt trục tung tại điểm (0; 3 1 ) 2 -2 -5 5 g x ( ) = 2 3 ( ) ⋅ x 3 -x 2 ( ) + 1 3 2 Tìm m để hàm số có y= 3 1 mx 3 - (m-1)x 2 + 3(m-2)x- 2+ 3 1 'y ⇒ =mx 2 -2(m-1)x+3(m-2). Để hàm số có cực đại cực tiểu thì y'=0 có hai nghiệm phân biệt ⇔    >∆ ≠ 0' 0 'y m ⇔ m ) 2 6 1;0()0; 2 6 1( +∪−∈ (*) 0.5 Khi đó     = = ⇔          − = − =+ =+ 3 2 2 )2(3 )1(2 12 21 21 21 m m m m xx m m xx xx (thỏa mãm điều kiện *) 0.5 1 Tìm nghiệm của phương trình cos7x.cos5x- 3 sin2x= 1- sin7x.sin5x trong khoảng (0; π ) Phương trình ⇔ cos2x- 3 sin2x=1 ⇔ )( 3 Zk kx kx ∈     +−= = π π π Vì x );0( π ∈ nên phương trình có nghiệm là x= 3 2 π 0.25 0.5 II Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x= 3 2 π 0.25 Xét bất phương trình )3(log5log 3 1 3 1 xx −<− Điều kiện :x<3. Bất phương trình ⇔ xx −>− 35 ⇔ 1< x <4. Kết hợp điều kiện suy ra 1< x< 3 là nghiệm 0.5 Xét bất phương trình: 11 3322 −+ +≤+ xxxx ⇔ 9 4 3 2 ≤       x ⇔ 2 ≥ x 0.25 2 Vậy hệ bất phương trình có nghiệm là x [ )3;2∈ 0.25 y= -2sin 2 x-sinx+2. Đặt t= sinx với t [ ] 1;1−∈ y=f(t)=-2t 2 -t+2 với t [ ] 1;1−∈ 0.25 1 f'(t)=-4t-1; f'(t)=0 4 1 −=⇔ t . GTLN = [ ] 8 17 ) 4 1 () 4 1 (),1(),1(max)(max 1;1 =−=       −−= −∈ fffftf t GTNN= [ ] 1)1() 4 1 (),1(),1(min)(min 1;1 −==       −−= −∈ fffftf t 0.75 III 2 Tính được x y x ∆ ∆ →∆ 0 lim = 2 0 )( 2cos1 lim x x x ∆ ∆ − →∆ 0.5 = 2 )( sin2 lim 2 2 0 = ∆ ∆ →∆ x x x . Vậy f'(0)=2 0.5 Gọi I(a; b) là tâm và bán kính của đường tròn ( C ) cần tìm. Phương trình của đường tròn ( C ) là (x-a) 2 +(y-b) 2 =R 2 0.25 ( C ) tiếp xúc với đường thẳng (d): x-y-1=0 khi và chỉ khi d(I; d)=R R ba = −− ⇔ 2 1 (1) 0.25 A, B thuộc ( C ) nên      =−+− =+−− 222 222 )2()1( )1( Rba Rba (2) 0.25 1.a Giải hệ (1), (2) được a=0, b=1, R= 2 . Phương trình đường tròn x 2 +(y-1) 2 =2 0.25 M thuộc d nen M có tọa độ (m; m-1) 0.25 Khoảng cách từ M đến A bằng hai lần khoảng cách từ M đến B nên 2222 )3()1(2)1()1( −+−=−++ mmmm 0.25 Giải ra được m= 3 78+ ; 3 78+ 0.25 IV 1.b Tìm được hai điểm M 1 ( 3 78+ ; 3 75+ ); M 2 ( 3 78− ; 3 75− ) 0.25 2 Ta có AHCBOAHCB CBOA CBOH ⊥⇒⊥⇒    ⊥ ⊥ )( (1) O Tương tự AC ⊥ BH (2) Từ hai điều trên suy ra H là trực tâm c ủa tam giác ABC A H B C 0.5 0.5 V Đặt            + = + = + = > ⇒      −+= −+= −+= 2 2 2 0,, yx c xz b zy a zyx cbaz bacy acbx Bất đẳng thức trở thành 3 222 ≥ + + + + + z yx y xz x zy VT= VF z y y z z x x z y x x y =≥+++++ 3)( 2 1 . Dấu bằng xảy ra khi x=y=z ⇒ a=b=c 0.25 0.25 0.25 0.25 . TRƯỜNG THPT LÊ HỒNG PHONG ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC- CAO ĐẲNG LẦN THỨ BA NĂM HỌC 2008-2009 Môn thi: TOÁN, khối B và D Thời gian làm bài:180. CHẤM THI MÔN TOÁN- KHỐI B Câu Ý Nội dung Điểm I 1 Khảo sát hàm số (1 điểm) m=2 ⇒ y= 3 2 x 3 -x 2 + 3 1 . a) Tập xác định: R. b) Sự biến thi n: