I ÔN KH I ĐA DI N, KH I TRỊN XOAY A:KH I ĐA DI N I/ Các cơng th c v kh i đa di n Th tích kh i h p ch nh t: V= abc ( a,b,c kích thư c) Th tích kh i l p phương : V = a3 (a c nh kh i l p phương) Th tích khơi chóp: V = Bh ( B di n tích đáy, h chi u cao) Th tích kh i lăng tr : V = Bh ( B di n tích đáy,h chi u cao) Chú ý: - N u hai kh i đa di n đ ng d ng theo t s k th tích tương ng t l theo t s k3 II/ Bài t p: 1/ KH I CHĨP Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác đ u c nh b ng a, bi t c nh bên SA vng góc v i m t đáy SA=a a/ Tính th tích kh i chóp S.ABC theo a b/ G i I trung m c a BC Ch ng minh mp(SAI) vng góc v i mp(SBC) Tính th tích c a kh i chóp SAIC theo a c/ G i M trung m c a SB Tính AM theo a Bài 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vng t i A, bi t SA vng góc v i m t đáy · SA=AC , AB=a góc ABC = 450 Tính th tích kh i chóp S.ABC Bài :Cho hình chóp tam giác đ u SABC có đư ng cao SO = đáy ABC có canh b ng Đi m M,N trung m c a c nh AC, AB tương ng.Tính th tích kh i chóp SAMN Bài 4: Cho hình chóp đ u S.ABCD có đáy ABCD hình vng c nh b ng a c nh bên g p hai l n c nh đáy a/ Tính th tích kh i chóp S.ABCD theo a b/ Tính th tích kh i chóp S.ABC theo a c / M t ph ng (SAC) chia kh i chóp S.ABCD thành kh i chóp Hãy k tên kchóp Bài 5:Cho hình chóp t giác đ u SABCD đ nh S, đ dài c nh đáy AB=a góc SAB=60o Tính th tích hình chóp SABCD theo a Bài 6: Cho hình chóp t giác đ u S.ABCD, đáy ABCD hìnhvng c nh a, SA = SB = SC = SD = a Tính đư ng cao th tích kh i chóp theo a 2/ KH I LĂNG TR , H P Bài : Cho hình l p phương ABCD.A’B’C’D’ có c nh b ng a a/ Tính th tích kh i LP theo a b/ Tính th tích c a kh i chóp A A’B’C’D’ theo a Bài : Cho hình lăng tr đ u ABC.A’B’C’ có c nh bên b ng c nh đáy b ng a a/ Tính th tích kh i lăng tr theo a b/ Tính th tích c a kh i chóp A’ ABC theo a B:KH I TRỊN XOAY I/Tóm t t lý thuy t: 1/Cơng th c tính di n tích th tích kh i nón Sxq= π.R.l v i R bán kính đáy, l đ dài đư ng sinh V= s d.cao = πR2.h đ v i R bán kính đáy, h chi u cao c a hình chóp 2/ Cơng th c tính di n tích th tích kh i tr Sxq= π.R.l v i R bán kính đáy, l đ dài đư ng sinh V= S d.cao = πR h v i R bán kính đáy, h chi u cao c a hình tr đ 3/ Cơng th c tính di n tích th tích kh i c u: SMC = 4π R2 V = π.R3 v i R bán kính c a hình c u II/ BÀI T P: 1- KH I NÓN Bài 1: Thi t di n qua tr c c a m t kh i nón m t tam giác vng cân có c nh huy n b ng a a tính th tích kh i nón di n tích xung quanh c a hình nón b tính th tích c a kh i nón Bài 2: Thi t di n qua tr c c a m t hình nón m t tam giác vng cân có c nh góc vng b ng a a/Tính di n tích xung quanh c a hình nón b/Tính th tích c a kh i nón Bài 3: M t hình nón có đư ng sinh l=1 góc gi a đư ng sinh đáy 450 a Tình di n tích xung quanh c a hình nón b tính th tích c a kh i nón Bài 4: Trong không gian cho tam giác OIM vuông t i I, góc IOM b ng 300 c nh IM = a quay tam giác OIM quanh c nh góc vng OI đư ng g p khúc OMI t o thành m t hình nón trịn xoay a/ Tính di n tích xung quanh c a hình nón trịn xoay b/ Tính th tích c a kh i nón trịn xoay Bài 5: Cho hình nón đ nh S đư ng cao SO, A B hai m Thu c đư ng tròn đáy cho kho ng cách t m O đ n AB b ng a SAO = 300 , SAB = 600 a Tính đ dài đư ng sinh di n tích xung quanh theo a b Tính th tích c a kh i nón Bài 6: M t kh i t di n đ u c nh a n i ti p m t kh i nón Tính th tích c a kh i nón Bài 7: Cho hình chóp t giác đ u S.ABCD có chi u cao SO = h góc SAB = α ( α > 450) Tính di n tích xung quanh c a hình nón đ nh S có đtrịn đáy ngo i ti p hình vng ABCD 2/- Kh i tr Bài 1: M t kh i tr có bán kính r = 5cm, kho ng cách hai đáy b ng 7cm C t kh i tr b i m t m t ph ng song song v i tr c cách tr c 3cm a Tính di n tích c a thi t di n di n tích xung quanh b Tính th tích kh i tr Bài 2: Thi t di n ch a tr c c a kh i tr hình vng c nh a a Tính di n tích xung quanh c a hình tr b Tính th tích kh i tr Bài 3: Trong khơng gian cho hình vng ABCD c nh a G i I H l n lư t trung m c a c nh AB CD Khi quay hình vng xung quanh tr c IH ta đư c m t htr trịnxoay a/Tính d tích xung quanh c a hình tr b/Tính th tích c a kh i tr Bài 4: M t kh i lăng tr tam giác đ u có c nh đáy b ng chi u cao b ng n i ti p m t kh i tr Tính th tích kh i tr Bài 5: M t hình h p ch nh t có ba kích thư c a, b, c n i ti p m t kh i tr a Tính th tích c a kh i tr b Tính di n tích xung quanh c a hình tr Bài 6: M t kh i tr có chi u cao b ng 20cm có bán kính đáy b ng 10cm Ngư i ta k hai bán kính OA O’B’ l n lư t hai đáy cho chúng h p v i m t góc 300 C t kh i tr b i m t m t ph ng ch a đư ng th ng AB’ song song v i tr c OO’ c a kh i tr Hãy tính di n tích c a thi t di n Bài 7: M t hình tr có bán kính đáy R đư ng cao b ng R ; A B hai m hai đư ng tròn đáy cho góc h p b i AB tr c c a hình tr 300 a) Tính di n tích xung quanh di n tích tồn ph n c a h tr b) Tính th tích c a kh i tr tương ng Bài 8: M t hình tr có bán kính đáy R có thi t di n qua tr c m t hình vng a/Tính di n tích xung quanh c a h tr b/Tính th tích c a kh i tr tương đương 3/ KH I C U Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng t i B SA ⊥ ( ABC ) a) G i O trung m c a SC Ch ng minh: OA = OB = OC = SO Suy b n m A, B, C, S SC n m m t c u tâm O bán kính R = b) Cho SA = BC = a AB = a Tính bán kính m t c u Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng c nh a, SA ⊥ ( ABCD) SA = a G i O tâm hình vng ABCD Klà hình chi u c a Btrên SC a) Chúng minh ba m O, A, K nhìn đo n SB dư i m t góc vng Suy năm m S, D, A, K B n m m t c u đư ng kính SB b) Xác đ nh tâm bán kính m t c u nói Bài 3: Cho hình chóp t giác đ u S.ABCD có c nh đáy c nh bên đ u b ng a Xác đ nh tâm bán kính c a m t c u qua năm m S, A, B, C, D II T A Đ TRONG KHƠNG GIAN *1.TĨM T T LÝ THUY T uuu r AB = ( xB − xA , yB − y A , zB − z A ) r r a ± b = ( a1 ± b1 , a2 ± b2 , a3 ± b3 ) uuu r 2 2 AB = AB = ( xB − x A ) + ( yB − y A ) + ( zB − z A ) r k.a = ( ka1 , ka2 , ka3 )  a1 = b1 r r  a = b ⇔ a2 = b2 a = b  3 r r r r r r r a a a a // b ⇔ a = k b ⇔ a ∧ b = ⇔ = = b1 b2 b3 r 2 a = a12 + a2 + a3 rr a.b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 r r rr a ⊥ b ⇔ a.b = ⇔ a1.b1 + a2 b2 + a3 b3 = ( ) 11 a , b, c đ ng ph ng ⇔ a ∧ b c = r r a 10 a ∧ b =   b2 a3 a3 , b3 b3 a1 a1 , b1 b1 a2   b2  ( ) 12 a , b, c không đ ng ph ng ⇔ a ∧ b c ≠  x − kx B y A − ky B z A − kz B  k ≠ 1: M  A , ,  1− k 1− k   1− k  x + xB y A + y B z A + zB  14 M trung m AB: M  A , ,  2   13 M chia đo n AB theo t s  x + x B + xC y A + y B + y C z A + z B + z C  15 G tr ng tâm tam giác ABC: G  A , , , 3   16 Véctơ đơn v : e1 = (1,0,0); e2 = (0,1,0); e3 = (0,0,1) 17 M ( x,0,0) ∈ Ox; N (0, y,0) ∈ Oy; K (0,0, z ) ∈ Oz 1 2 a12 + a + a3 18 M ( x, y,0) ∈ Oxy; N (0, y , z ) ∈ Oyz; K ( x,0, z ) ∈ Oxz 19 S ∆ABC = AB ∧ AC = 2 20 V ABCD = ( AB ∧ AC ) AD 21 V ABCD A/ B /C / D / = ( AB ∧ AD) AA / 2.CÁC D NG TỐN Dạng 1: Chứng minh A,B,C ba đỉnh tam giác r → → • A,B,C ba đỉnh tam giaùc ⇔ [ AB , AC ] ≠ 2.S ∆ABC → → → → • S∆ABC = [AB , AC] *Đường cao AH = *Shbh = [AB , AC] BC Dạng 2: Tìm D cho ABCD hình bình hành • Chứng minh A,B,C không thẳng hàng • ABCD hbh ⇔ AB = DC Dạng 3: Chứng minh ABCD tứ diện: → → → • [ AB , AC ] AD ≠ • → → → Vtd = [AB , AC] AD Đường cao AH tứ diện ABCD: V = SBCD.AH ⇒ AH = 3V • [ SBCD ] Thể tích hình hộp : V ABCD A/ B /C / D / = AB; AD AA / D ng 4:Hình chi u c a m t m M tr c t a đ mp t a đ : Cho m M ( x , y , z ) Khi đó: + M1 hình chi u c a m M tr c Ox M1 ( x , , ) + M2 hình chi u c a m M tr c Oy M2 ( , y , ) + M3 hình chi u c a m M tr c Oz M3 ( , , z ) + M4 hình chi u c a m M mpOxy M4 ( x , y , ) + M5 hình chi u c a m M mpOxz M5 ( x , , z ) + M6 hình chi u c a m M mpOyz M6 ( , y , z ) H hình chi u c a M mpα § Vi t phương trình đư ng th ng (d) qua M vng góc mp (α) : ta có a d = n α § T a đ H nghi m c a hpt : (d) (α) H hình chi u c a M đư ng th ng (d) nα = a d § Vi t phương trình mpα qua M vng góc v i (d): ta có § T a đ H nghi m c a hpt : (d) (α) D ng : Đi m đ i x ng 1.Đi m M/ đ i x ng v i M qua mpα § Tìm hình chi u H c a M mp (α) (d ng 4.1) § H trung m c a MM/ 2.Đi m M/ đ i x ng v i M qua đư ng th ng d: § Tìm hình chi u H c a M (d) ( d ng 4.2) § H trung m c a MM/ § 3.BÀI T P ÁP D NG → → → B1: Cho ba vectơ a = ( 2;1 ; ), b = ( 1; -1; 2) , → → → c = (2 ; 2; -1 ) → → → → a) Tìm t a đ c a vectơ : u = a - b + c ph ng → → b) Ch ng minh r ng vectơ a , b , c không đ ng → B2: Cho vectơ a = (1; m; 2), b = (m+1; 2;1 ) , c = (0 ; m-2 ; ) Đ nh m đ vectơ đ ng ph ng → → → B3: Cho: a = ( 2; −5;3) , b = ( 0; 2; −1) , c = (1; 7; ) Tìm t a đ → → → → → 1→ → c a vectơ: a) d = a − b + c b) → e = a− b − c → B4: Tìm t a đ c a vectơ x , bi t r ng: → → → → → → → → a) a + x = a = (1; −2;1) b) a + x = a a = ( 0; −2;1) B5: Cho ba m không th ng hàng: A(1;3; 7), B ( −5; 2;0), C (0; −1; −1) Hãy tìm t a đ tr ng tâm G c a tam giác ABC B6: Cho b n di m không đ ng ph ng : A(2;5; −3), B(1;0;0), C(3;0; −2), D(−3; −1;2) Hãy tìm t a đ tr ng tâm G c a t di n ABCD B7; Cho m M(1; 2; 3) Tìm t a đ hình chi u vng góc c a m M: a) Trên m t ph ng t a đ : Oxy, Oxz, Oyz b) Trên tr c t a đ : Ox, Oy, Oz B8: Cho m M(1 ; ; 3) Tìm t a đ c a m đ i x ng v i m M: a) Qua g c t a đ O b) Qua m t ph ng Oxy c) Qua Tr c Oy B9: Cho hình h p ABCD.A'B'C'D', A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), D(1; -1; 1), C'(4; 5; -5) Tìm t a đ c a đ nh l i B10: Cho A(2; -1; 7), B(4; 5; -2) Đư ng th ng AB c t m t ph ng Oyz t i m M a) Đi m M chia đo n th ng AB theo t s ? b) Tìm t a đ m M 4;BÀI T P V NHÀ Bài11 Cho ba m A(1;0;0), B(0;0;1), C(2;1;1) a) Ch ng minh r ng A, B, C ba đ nh c a m t tam giác b) Tính chu vi di n tích ∆ABC c) Tìm t a đ đ nh D đ t giác ABDC hình bình hành d) Tính đ dài đư ng cao c a ∆ABC h t đ nh A e) Tính góc c a ∆ABC Bài12Cho b n m A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1) a) Ch ng minh r ng A, B, C, D b n đ nh c a m t t di n b) Tìm góc t o b i c nh đ i di n c a t di n ABCD c) Tính th tích t di n ABCD tính đ dài đư ng cao c a t di n h t đ nh A Bà1i3 Cho ∆ ABC bi t A(2; -1; 3), B(4; 0; 1), C(-10; 5; 3) Hãy tìm đ dài đư ng phân giác c a góc B Bài14 Trong khơng gian v i h t a đ Oxyz cho b n m A(1; 1; 0), B(0; 2;1), C(1; 0; 2), D(1;1 ;1) a) Ch ng minh r ng A, B, C, D t o thành t di n Tính th tích c a kh i t di n ABCD b) Tính đ dài đư ng cao h t đ nh C c a t di n c) Tính đ dài đư ng cao c a tam giác ABD h t đ nh B d) Tính góc ABC góc gi a hai đư ng th ng AB, CD Bài15 Cho m A ( 3;-4;7 ),B( -5; 3; -2 ) ,C(1; 2; -3 ) a) Xác đ nh m D cho t giác ABCD hình bình hành b) Tìm t a đ giao m c a hai đư ng chéo c) Tính di n tích tam giác ABC, đ dài BC t đư ng cao tam giác ABC v t A Tìm t a đ tr ng tâm c a tam giác ABC Bài16:Cho m A( 2; 0; 0) , B( 0; 4; ) , C( 0; 0; ), D ( 2; ;6 ) a) Ch ng minh m A, B , C , D không đ ng ph ng.Tính th tích t di n ABCD b) Tìm t a đ tr ng tâm c a t di n ABCD c) Tính di n tích tam giác ABC , t suy chi u cao c a t di n v t D d) Tìm t a đ chân đư ng cao c a t di n v t D Bài17:Trong không gian v i h t a đ Oxyz cho ba m A(3;4;-1) , B(2;0;3), C(-3;5;4) a) Tìm đ dài c nh c a tm giác ABC b) Tính cosin góc A,B,C c) Tính di n tích tam giác ABC III PHƯƠNG TRÌNH M T PH NG 1.TĨM T T LÝ THUY T Vectơ pháp n c a mpα : r r r n ≠ véctơ pháp n c a α ⇔ n ⊥ α r r r r C p véctơ ch phương c a mpα : // b c p vtcp c a α ⇔ a , b // α a r r r r r r Quan h gi a vtpt n c p vtcp a , b : n = [ a , b ] r Pt mpα qua M(xo ; yo ; zo) có vtpt n = (A;B;C) A(x – xo) + B(y – yo ) + C(z – zo ) = r (α) : Ax + By + Cz + D = ta có n = (A; B; C) 5.Phương trình m t ph ng qua A(a,0,0) B(0,b,0) ; C(0,0,c) : x y z + + =1 a b c Chú ý : Mu n vi t phương trình m t ph ng c n: m véctơ pháp n 6.Phương trình m t ph ng t a đ : (Oyz) : x = ; (Oxz) : y = ; (Oxy) : z = Chùm m t ph ng : Gi s α1 ∩ α2 = d đó: (α1): A1x + B1 y + C1z + D1 = (α2): A2x + B2 y + C2z + D2 = Pt mp ch a (d) có d ng sau v i m2+ n2 ≠ : m(A1x + B1 y + C1z + D1) + n(A2x + B2y + C2z + D2) = V trí tương đ i c a hai mp (α1) (α2) : ° α caét β ⇔ A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B2 : C2 A B C D ° α // β ⇔ = = ≠ A2 B C2 D2 A B C D °α ≡β ⇔ = = = A2 B C2 D2 ª α ⊥ β ⇔ A1 A2 + B1 B2 + C1C = 9.KC t M(x0,y0,z0) đ n (α) : Ax + By + Cz + D = d(M,α ) = r r n n 10.Góc gi a hai m t ph ng: cos( α , β ) = r r2 n1 n Ax o + By o + Cz o + D A + B2 + C 2.CÁC D NG TOÁN D ng 1: M t ph ng qua m A,B,C : → → °α ° C p vtcp: AB , AC qua A ( hay B hay C ) → → r vtpt n = [ AB , AC ] D ng 2: M t ph ng trung tr c đo n AB : ° α qua M trung điểm AB → r = AB D ng 3: M t ph ng (α) qua M ⊥ d (ho c AB) vtpt n qua M ° α r → Vì α ⊥ (d) nên vtpt n = a ( AB ) d D ng 4: Mpα qua M // (β): Ax + By + Cz + D = ° α qua M r Vì α // β nên vtpt n α r = n β D ng 5: Mp(α) ch a (d) song song (d/) § Đi m M ( ch n m M (d)) a d = aα § Mp(α) ch a (d) nên [ Vtpt n = a d , a d / ] D ng Mp(α) qua M,N ⊥ β : Mp(α) song song (d/) nên a d / = bα Mp (α) qua M,N nên MN = aα Mp (α) ⊥ mp (β) nên qua M (hay N) °α → r r vtpt n = [ MN , n ] β nβ = bα Dạng Mp(α) chứa (d) qua M Mp(α) chứa d nên a d = aα qua A Mp(α) qua M ∈ (d ) A nên AM = bα =>°( α → r vtpt n = [ a , AM ] d 3.BÀI T P ÁP D NG Bài tốn Phương trình m t ph ng r Bài 1: L p phươngrtrình m t ph ng (P) qua m M có vtpt n bi t r a, M ( 3;1;1) , n = ( −1;1;2 ) b, M ( −2;7;0 ) , n = ( 3;0;1) r r d, M ( 2;1; −2 ) , n = (1;0;0 ) c, M ( 4; −1; −2 ) , n = ( 0;1;3 ) Bài 2: L p phương trình m t ph ng trung tr c c a AB bi t: a, A(2;1;1), B(2;-1;-1) b, A(1;-1;-4), B(2;0;5)   1    1  c, A  ;−1;0  , B  1;− ;5  c, A  1; ;  , B  −3; ;1    2    2  Bài 3: L p phương trình m t ph ng ( α ) qua m M song song v i m t ph ng ( β ) bi t: a, M ( 2;1;5 ) , ( β ) = ( Oxy ) c, M (1; −2;1) , ( β ) : 2x − y + = b, M ( −1;1;0 ) , ( β ) :x − 2y + z − 10 = d, M ( 3;6; −5 ) , ( β ) : − x + z − = r r Bài L p phương trình c a m t ph ng (P) qua m M(2;3;2) c p VTCP a(2;1; 2); b(3; 2; −1) Bài 5: L p phương trình c a m t ph ng (P) qua M(1;1;1) a) Song song v i tr c 0x 0y b) Song song v i tr c 0x,0z c) Song song v i tr c 0y, 0z Bài 6: L p phương trình c a m t ph ng qua m M(1;-1;1) B(2;1;1) : a) Cùng phương v i tr c 0x b) Cùng phương v i tr c 0y c) Cùng phương v i tr c 0z r r Bài 7: Xác đ nh to đ c a véc tơ n vng góc v i hai véc tơ a(6; −1;3); b(3; 2;1) Bài 8: Tìm m t VTPT c a m t ph ng (P) ,bi t (P) có c p VTCP a(2,7,2); b(3,2,4) Bài 9: L p phương trình t ng quát c a m t ph ng (P) bi t : a) (P) qua m A(-1;3;-2) nh n n(2,3,4); làm VTPT b) (P) qua m M(-1;3;-2) song song v i (Q): x+2y+z+4=0 Bài 10: L p phương trình t ng quát c a m t ph ng qua I(2;6;-3) song song v i m t ph ng to đ Bài1 1:Trong không gian 0xyz cho m A(-1;2;3) hai m t ph ng (P): x-2=0 , (Q) : y-z-1=0 Vi t phương trình m t ph ng (R) qua m A vng góc v i hai m t ph ng (P),(Q) 4;BÀI T P V NHÀ Bài12: Cho t di n ABCD có A(5;1;3) B(1;6;2) C(5;0;4) D(4;0;6) a) Vi t phương trình t ng quát m t ph ng (ABC) (ACD) (ABD) (BCD) b) Vi t phương trình t ng quát c a m t ph ng (P) qua c nh AB song song vói c nh CD Bài13: Vi t phương trình t ng quát c a (P) a) Đi qua ba m A(1;0;0), B(0;2;0) , C(0;0;3) b) Đi qua A(1;2;3) ,B(2;2;3) vng góc v i m t ph ng (Q) : x+2y+3z+4=0 c) Ch a 0x qua A(4;-1;2) , d) Ch a 0y qua B(1;4;-3) Bài 14: Cho hai m A(3;2;3) B(3;4;1) không gian 0xyz a) Vi t phương trình m t ph ng (P) trung tr c c a AB b) Vi t phương trình m t ph ng (Q) qua A vng góc vơi (P) vng góc v i m t ph ng y0z c) Vi t phương trình m t ph ng (R) qua A song song v i m t ph ng (P) IV ĐƯ NG TH NG TRONG KHƠNG GIAN 1.TĨM T T LÝ THUY T 1.Phương trình tham s c a đư ng th ng (d) qua r M(xo ;yo ;zo) có vtcp a = (a1;a2;a3)  x = x o + a 1t  (d) :  y = y o + a t ; t ∈ R z = z + a t o  2.Phương trình t c c a (d) (d) : x − xo a = y − yo a2 = z-z Qui c: M u = Tư = 0 a3 3.PT t ng quát c a (d) giao n c a mp α1 α2  A 1x + B y + C 1z + D = (d) :  A x + B y + C z + D =  B1 C1 C1 A1 A1 B1   Véctơ ch phương a =  B C ,C A , A B  2 2   4.V trí tương đ i c a đư ng th ng : r (d) qua M có vtcp a d ; (d’) qua N có vtcp a d / → r § d chéo d’ ⇔ [ a d , a d / ] MN ≠ (khơng đ ng ph ng) → r § d,d’ đ ng ph ng ⇔ [ a d , a d / ] MN = → r r § d,d’ c t ⇔ [ a d , a d / ] ≠ [ a d , a d / ] MN =0 r / § d,d’ song song ⇔ { a d // a d / M ∉ (d ) } r § d,d’ trùng ⇔ { a d // a d / M ∈ (d / ) } 5.Kho ng cách : r Cho (d) qua M có vtcp a d ; (d’) qua N có vtcp a d / Kc t m đ n đư ng th ng: d ( A, d ) = [a d ; AM ] ad Kc gi a đư ng th ng : d (d ; d / ) = [a d ; a d / ].MN [a d ; a d / ] r r 6.Góc : (d) có vtcp a d ; ∆’ có vtcp a d / ; (α ) có vtpt n Góc gi a đư ng th ng : r a d a d / cos(d, d' ) = r ad ad / Góc gi a đư ng m t : r r ad n sin(d, α ) = r r ad n 2.CÁC D NG TOÁN D ng 1: : Đư ng th ng (d) qua A,B ( hayB )  quaA (d ) a d = AB  Vtcp D ng 2: Đư ng th ng (d) qua A song song (∆) qua A (d ) r Vì (d) // ( ∆ ) neân vtcp a d r = a ∆ D ng 3: Đư ng th ng (d) qua A vng góc mp(α) qua A (d ) r Vì (d) ⊥ (α ) nên vtcp a r = n α d D ng4: PT d’ hình chi u c a d lên α : d/ = α ∩ β § Vi t pt mpβ ch a (d) vng góc mpα quaM ∈ (d )  ( β ) ⊃ (d ) ⇒ a = a β d (β )   (β ) ⊥ (α ) ⇒ nα = bβ  ⇒ nβ = [a d ; nα ]  (α ) ª (d / ) ( β ) D ng 5: Đư ng th ng (d) qua A vng góc (d1),(d2) (d ) qua A r r vtcp a = [ a D ng 6: PT d vng góc chung c a d1 d2 : r r + Tìm a d = [ a d1, a d2] + Mp (α) ch a d1, (d); mp(β) ch a d2 , (d) d1 r ,a d2 ] ⇒ d=α∩β D ng 7: PT qua A d c t d1,d2 : d = (α) ∩ (β) D ng 8: PT d // ∆ c t d1,d2 : d = (α1) ∩ (α2) ∆ v i mp(α) = (A,d1) ; mp(β) = (A,d2) v i mp (α1) ch a d1 // ∆ ; mp (α2) ch a d2 // D ng 9: PT d qua A ⊥ d1, c t d2 : d = AB v i mp (α) qua A, ⊥ d1 ; B = d2 ∩ (α) D ng 10: PT d ⊥ (P) c t d1, d2 : d = (α) ∩ (β) v i mp(α) ch a d1 ,⊥(P) ; mp(β) ch a d2 , ⊥ (P) 3.BÀI T P ÁP D NG Bài 1:Lp phương trình đưng th ng (d) trưng h p sau : r a) (d) qua điĨm M(1;0;1) nhn a(3; 2;3) làm VTCP b) (d) qua điĨm A(1;0;-1) B(2;-1;3) Bài 2: Trong khơng gian Oxyz lp phương trình giao tuyn cđa ( P) : x - y + z - = m t ph ng to đ Bài 3: Vit phương trình cđa đưng th ng qua điĨm M(2;3;-5) song song v i đưng th ng (d) c phương  x = −t  trình: (d ) :  y = + 2t , t ∈ R  z = + 2t   x = −t  Bài 4: Cho đư ng th ng (d) m t ph ng (P) có phương trình : (d ) :  y = + 2t , t ∈ R (P):  z = + 2t  x+y+z+1=0 Tìm phương trình c a đư ng th ng ( < ) qua A(1;1;1) song song v i m t ph ng (P) vng góc v i đư ng th ng (d) Bài 5: Cho m t ph ng (P) qua m A(3;0;0), B(0;6;0), C(0;0;9) Vi t phương trình tham s c a đư ng th ng (d) qua tr ng tâm tam giác ABC vng góc v i m t ph ng ch a tam giác Bài6: L p phương trình tham s , t c c a đư ng th ng (d) qua m A(2;1;3) vuông góc v i m t ph ng ( P) : x + y + z - = 4;BÀI T P V NHÀ Bài 7: L p phương trình tham s , t c c a đư ng th ng (d) qua m A(1;2;3) song song v i  x = + 2t  t∈R đư ng th ng ( ∆ ) cho b i : ( ∆ ) :  y = −3t  z = −3 + t  Bài8: Xét v trí tương đ i c a đư ng th ng (d) m t ph ng (P) ,bi t: x = 1+ t  x = 12 + 4t   a) (d ) :  y = − t , t ∈ R (P): x-y+z+3=0 b) (d ) :  y = + t , t ∈ R (P): y+4z+17=0 z = + t z = + t   Bài 9: Cho m t ph ng (P) đư ng th ng (d) có phương trình (P): 2x+y+z=0 (d ) : x −1 y z + = = −3 a) Tìm to đ giao m A c a (d) (P) b) L p phương trình đư ng th ng (d1) qua A vng góc v i (d) n m m t ph ng (P) Bài 10: Cho hai đư ng th ng (d1),(d2) có phương trình cho b i :  x = + 2t x − y −1 z −1 = = (d ) :  y = t + (t ∈ R ) (d1 ) :   z = −1 + 3t  a) CMR hai đư ng th ng c t nhau.Xác đ nh to đ giao m c a b) Vi t phương trình t ng quát c a m t ph ng (P) ch a (d1),(d2)  x = + t1  x = −7 + 3t  (d ) :  y = −9 + 2t1 Bài1 1): cho hai đư ng th ng (d1),(d2) (d1 ) :  y = − 2t   z = −12 − t  z = + 3t   a) Ch ng t r ng hai đư ng th ng (d1),(d2) chéo b) Vi t phương trình đư ng th ng vng góc chung c a (d1),(d2) (t, t ∈ R ) V M T C U 1.TĨM T T LÝ THUY T 1.Phương trình m t c u tâm I(a ; b ; c),bán kính R S(I, R) : (x − a ) + (y − b ) + (z − c ) = R 2 2 (1) S(I,R) : x + y + z2 − 2ax − 2by − 2cz + d = (2) ( với a2 + b2 + c2 − d > ) • Tâm I(a ; b ; c) R= a + b + c − d 2.V trí tương đ i c a m t ph ng m t c u Cho (S): (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2 (α): Ax + By + Cz + D = G i d = d(I,α) : kh ang cách t tâm mc(S) đ n mp(α) : § d > R : (S) ∩ α = φ § d = R : (α) ti p xúc (S) t i H (H: ti p m, (α): ti p di n) *Tìm ti p m H (là h chi u c a tâm I mpα) 2 ü Vi t phương trình đư ng th ng (d) qua I vng góc mp(α): ta có a d = n α ü T a đ H nghi m c a hpt : (d) (α) 2 2  § d < R : α c t (S) theo đư ng trịn có pt (S): (x − a) + (y − b) + (z − c) = R α : Ax + By + Cz + D = *Tìm bán kính r tâm H c a đư ng tròn: + bán kính r = R2 − d2 (I, α) + Tìm tâm H ( hchi u c a tâm I mp(α)) ü Vi t phương trình đư ng th ng (d) qua I vng góc mp(α) : ta có a d = n α ü T a đ H nghi m c a hpt : (d) (α) 3.Giao m c a đư ng th ng m t c u  x = x o + a 1t  d : y = y o + a t z = z o + a t  (1) (S) : (x − a) + (y − b) + (z − c) = R2 (2) + Thay ptts (1) vào pt mc (2), gi i tìm t, + Thay t vào (1) đư c t a đ giao m 2.CÁC D NG TOÁN D ng 1: M t c u tâm I qua A ª S(I, R) : (x − a )2 + (y − b )2 + (z − c )2 = R (1) D ng 2: M t c u đư ng kính AB § Tâm I trung m AB § Vi t phương trình m t c u tâm I (1) 2 Th t a đ A vào x,y,z tìm R2 Th t a đ A vào x,y,z tìm R2 D ng 3: M t c u tâm I ti p xúc mp(α) Pt mặt cầu tâm I (S ) R = d(I, α ) = A.x + B y + C z + D I I I A2 + B + C D ng 4: M t c u ngo i ti p t di n ABCD Dùng (2) S(I,R) : x + y + z2 − 2ax − 2by − 2cz + d = A,B,C,D ∈ mc(S) ⇒ h pt, gi i tìm a, b, c, d D ng 5: M t c u qua A,B,C tâm I € () S(I,R) : x + y + z2 − 2ax − 2by − 2cz + d = (2) § A,B,C ∈ mc(S): th t a t a A,B,C vào (2) § I(a,b,c)∈ (): th a,b,c vào pt () § Gi i h phương trình tìm a, b, c, d r → Dạng 6: Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu A Ti p di n (α) c a mc(S) t i A : (α) qua A, vtpt n = IA BÀI T P ÁP D NG Bài 1: Trong phương trình sau ,phương trình phương trình c a m t c u ,khi ch rõ to đ tâm bán kính c a ,bi t: a) (S ) : x + y + z − x − y + z + = b) (S ) : x + y + z − x + y − z + = c) (S ) : 3x + y + z − x + y − z + = d) (S ) : − x − y − z + x + y − z − = e) (S ) : x + y + z − x + y − = Bài 2: Cho h m t cong (Sm) có phương trình: (S m ) : x + y + z − 4mx − 2my − z + m + 4m = a) Tìm u ki n c a m đ (Sm) m t h m t c u b) CMR tâm c a (Sm) n m m t đư ng th ng c đ nh Bài 3: Cho h m t cong (Sm) có phương trình: (S m ) : x + y + z − 4mx − 2m y + 8m − = a) Tìm u ki n c a m đ (Sm) m t h m t c u b) Tìm quĩ tích tâm c a h (Sm) m thay đ i c) Tìm m c đ nh M mà (Sm) qua Bài 4: Cho h m t cong (Sm) có phương trình: (S m ) : x + y + z − x sin m − y cos m − = a) Tìm u ki n c a m đ (Sm) m t h m t c u b) CMR tâm c a (Sm) ch y m t đư ng tròn (C) c đ nh m t ph ng 0xy m thay đ i c) Trong m t ph ng 0xy, (C) c t 0y t i A B Đư ng th ng y=m(-1