Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Niên khóa 2003-2004 Phương pháp phân tích Bài đọc Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng Chương 2: Ôn lại xác suất và thống kê Ramu Ramanathan 1 Thục Đoan/Hào Thi CHƯƠNG 2 Ôn Lại Xác Suất và Thống Kê Trong chương này, chúng ta tóm tắt các khái niệm của xác suất và thống kê được sử dụng trong kinh tế lượng. Bởi vì một số kiến thức trước đây của xác suất và thống kê cơ bản được giả sử trong sách này, việc ôn lại này được thiết kế để phục vụ chỉ như là một sự hướng dẫn lại các chủ đề được sử dụng trong các chương sau này. Điều đó không có nghóa là một sự nghiên cứu chặt chẽ và trọn vẹn về chủ đề này. Vì lý do này, chúng ta trình bày rất ít các chứng minh. Để thay thế, chúng ta đònh nghóa các khái niệm quan trọng dưới tiêu đề “Đònh nghóa” và tóm tắt các kết quả hữu dụng dưới tiêu đề “Các tính chất.” Muốn có sự thảo luận chi tiết của các chủ đề, bạn nên tham khảo các cuốn sách tuyệt hảo được liệt kê trong mục lục sách tham khảo ở cuối chương. Các phần được đánh dấu hoa thò (*) có tính chất cao cấp hơn và có thể bỏ qua mà không mất đi ý nghóa chính của nội dung chủ đề: Chương này ôn lại tất cả chủ đề có liên quan trong xác suất và thống kê. Nếu đã có lúc do bạn đã học chủ đề này rồi, bạn nên lướt nhanh qua chương này để gợi nhớ lại. Tuy nhiên, nếu bạn vừa mới hoàn thành một khóa học về các tài liệu này, chúng tôi đề nghò bạn đọc Phần 2.1 đến 2.5 (đặc biệt chú trọng về đồng phương sai và sự tương quan được thảo luận trong Phần 2.3) và tiếp đến đi vào trực tiếp Chương 3 hơn là đọc phần còn lại của chương này. Bạn có thể quay lại để ôn những phần có liên quan của chương này khi cần. Các phần trong Chương 2 song song với các phần trong Chương 3, và sự tham khảo chéo này được chỉ đònh nhằm giúp cho một sự hoán đổi suôn sẻ giữa các phần có thể thực hiện được. Điều này cho phép bạn hiểu lý thuyết kinh tế lượng cơ bản tốt hơn và đánh giá đúng sự hữu ích của xác suất và thống kê một cách dễ dàng hơn. } 2.1 Các Biến Ngẫu Nhiên và các Phân Phối Xác Suất Một cách điển hình, một nhà nghiên cứu thực hiện một thí nghiệm có thể đơn giản như tung đồng xu hay quay cặp súc sắc hoặc có thể phức tạp như làm một khảo sát các tác nhân kinh tế hay thực hiện một chương trình điều trò y học thực nghiệm. Dựa trên kết quả của thí nghiệm, một nhà phân tích có thể đo được các giá trò của các biến quan tâm mà chúng mô tả đặc điểm của kết quả. Các biến như vậy được biết đến như biến ngẫu nhiên và thường ký hiệu là X. Các ví dụ bao gồm nhiệt độ tại một thời điểm nào đó, số cuộc gọi đến qua một tổng đài điện thoại trong một khoảng 5 phút, thu nhập của một hộ gia đình, tồn kho của một công ty, và giá bán của một căn nhà cũng như các đặc điểm của nó, như diện tích sinh hoạt hay kích thước lô đất. Một biến ngẫu nhiên là rời rạc nếu Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Niên khóa 2003-2004 Phương pháp phân tích Bài đọc Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng Chương 2: Ôn lại xác suất và thống kê Ramu Ramanathan 2 Thục Đoan/Hào Thi nó chỉ mang các giá trò lựa chọn. Số đèn điện tử TV theo lô 20 và số mặt ngửa trong 10 lần tung một đồng xu là các ví dụ của các biến ngẫu nhiên rời rạc. Một biến ngẫu nhiên là liên tục nếu nó có thể mang bất kỳ giá trò nào trong một khoảng số thực. Khi được đo lường chính xác, chiều cao của một người, nhiệt độ tại một lúc riêng biệt nào đó, và lượng năng lượng tiêu thụ trong một giờ là các ví dụ của các biến ngẫu nhiên liên tục. Quy ước sử dụng trong sách này là ký hiệu một biến ngẫu nhiên bằng mẫu tự hoa (như X hay Y) và các kết quả cụ thể của nó bởi mẫu tự thường (như x hay y). Để giữ cho sự trình bày được đơn giản, ta minh họa các khái niệm khác nhau sử dụng hầu hết các biến ngẫu nhiên rời rạc. Các mệnh đề dễ dàng mở rộng tới trường hợp của biến ngẫu nhiên liên tục. Liên kết với mỗi biến ngẫu nhiên là một phân phối xác suất [ký hiệu bởi hàm f(x)] nó xác đònh xác suất mà biến ngẫu nhiên sẽ mang các giá trò trong các khoảng xác đònh cụ thể. Đònh nghóa chính thức của một biến ngẫu nhiên không được trình bày ở đây nhưng có thể tìm thấy trong mọi cuốn sách liệt kê trong mục lục sách tham khảo. Trong cuốn sách này ta chỉ thảo luận những phân phối có sử dụng trực tiếp trong kinh tế lượng. Ramanathan (1993) có nhiều ví dụ của cả các phân phối liên tục và rời rạc không được trình bày ở đây. } VÍ DỤ 2.1 Như là một minh họa, Cục Thuế Nội Bộ Mỹ có thông tin về tổng thu nhập có hiệu chỉnh từ tất cả tiền thu thuế thu nhập cá nhân (kể cả tính trả chung) cho toàn nước Mỹ. Giả sử ta thiết lập các khoảng thu nhập 1 – 10.000, 10.000 – 20.000, 20.000 – 30.000, v.v… và tính toán tỷ lệ tiền thu thuế thuộc vào mỗi nhóm thu nhập. Điều này tạo ra một phân phối tần suất. Tỷ lệ tiền thu thuộc vào nhóm thu nhập 40.000 – 50.000 có thể được xem là xác suất mà một khoản thu thuế được rút ngẫu nhiên sẽ có thu nhập thuộc vào khoảng đó. Trong Hình 2.1 tỷ lệ của tiền thu thuế được vẽ đồ thò dựa vào các trung điểm của các khoảng dưới dạng biểu đồ thanh (được biết là biểu đồ tần suất) trong đó diện tích của các hình chữ nhật bằng với các tỷ lệ tương ứng. Nếu kích thước mẫu là đủ lớn và các khoảng đủ nhỏ, ta có thể làm gần đúng các tần suất với một đường cong trơn (như trình bày trong biểu đồ), đó là phân phối xác suất của thu nhập. } VÍ DỤ 2.2 Điểm trung bình (GPA) của một sinh viên thay đổi từ 0 đến 4. Bảng 2.1 có một ví dụ của phân phối xác suất của GPA. Hình 2.2 là một sự trình bày bằng hình vẽ của phân phối xác suất. Xác suất mà một sinh viên được chọn ngẫu nhiên có GPA ở giữa 2 và 2,5 là 0,244. Sự diễn giải của các con số khác là tương tự. } Bảng 2.1 Phân Phối Xác Suất Của Điểm Trung Bình (GPA) Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Niên khóa 2003-2004 Phương pháp phân tích Bài đọc Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng Chương 2: Ôn lại xác suất và thống kê Ramu Ramanathan 3 Thục Đoan/Hào Thi Khoảng 0 – 0,5 0,5 – 1,0 1,0 – 1,5 1,5 – 2,0 2,0 – 2,5 2,5 – 3,0 3,0 – 3,5 3,5 – 4,0 x 0,25 0,75 1,25 1,75 2,25 2,75 3,25 3,75 f(x) 0 0,002 0,010 0,049 0,244 0,342 0,255 0,098 } Hình 2.1 Biểu Đồ Tần Suất Đối Với Thu Nhập Hàng Năm } Hình 2.2 Phân Phối Xác Suất Của Điểm Trung Bình (GPA) 5 15 25 35 45 55 Thu nhập theo ngàn đô la Tỷ lệ tiền thu thuế 0,25 0,75 1,25 1,75 2,25 2,75 3,25 3,75 X f(x) 0,342 0,300 0,200 0,100 f(x) } Hình 2.3 Đồ Thò Mật Độ Chuẩn Chuẩn Hóa Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Niên khóa 2003-2004 Phương pháp phân tích Bài đọc Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng Chương 2: Ôn lại xác suất và thống kê Ramu Ramanathan 4 Thục Đoan/Hào Thi Người sử dụng chương trình GRELT nên thử Phần Máy Tính Thực Hành trong Phụ lục C. Những người khác được khuyến khích dùng chương trình hồi qui của chính họ để thu được phân phối tần suất cho DATA2-1 và DATA2-2 (xem Phụ lục D). Phân Phối Chuẩn Phân phối liên tục được dùng rộng rãi nhất là phân phối chuẩn (còn được biết là phân phối Gaussian). Dạng đơn giản nhất của nó, được biết đến là phân phối chuẩn chuẩn hóa (hoặc chuẩn chuẩn hóa), hàm mật độ xác suất (PDF) của phân phối này là )2/xexp( 2 1 f(x) 2 − π = – ∞ < x < ∞ trong đó exp là hàm mũ. Mật độ chuẩn f(x) là đối xứng xung quanh tọa đôï gốc và có hình chuông (xem Hình 2.3). P(a ≤ X ≤ b) được xác đònh bởi vùng tô màu giữa a và b. } VÍ DỤ 2.3 Bảng Phụ lục A.1 có diện tích dưới đường cong chuẩn chuẩn hóa giữa 0 và điểm bất kỳ z. Như vậy, lấy ví dụ, diện tích từ 0 đến 1,72 là 0,4573. Bởi vì đường cong chuẩn là đối xứng xung quanh tọa độ gốc, diện tích từ 0 đến –1,72 cũng bằng 0,4573. Diện tích từ 0,65 đến 1,44 có được là độ chênh lệch của các diện tích tính từ 0 và do đó bằng 0,4251 – 0,2422 = 0,1829. Dùng kỹ thuật này và tính chất đối xứng, dễ dàng xác minh rằng P(– 0,65 ≤ X ≤ 1,44) = 0,2422 + 0,4251 = 0,6673 và P(–1,44 ≤ X ≤ –0,65) = 0,1829. Để tính Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Niên khóa 2003-2004 Phương pháp phân tích Bài đọc Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng Chương 2: Ôn lại xác suất và thống kê Ramu Ramanathan 5 Thục Đoan/Hào Thi P(X > 1,12), ta dùng sự quan hệ P(X > 1,12) = P(X> 0) – P(0 < X < 1,12) = 0,5 – 0,3686 = 0,1314. } Bảng 2.2 Phân Phối Xác Suất cho Số Mặt Ngửa trong Ba Lần Tung Một Đồng Xu. x 0 1 2 3 f(x) 1/8 3/8 3/8 1/8 Phân Phối Nhò Thức Như một ví dụ của một hàm xác suất rời rạc, gọi X là số mặt ngửa xuất hiện trong ba lần tung một đồng xu. X có thể có các giá trò 0, 1, 2, hay 3. Tám kết quả riêng biệt lẫn nhau, mỗi kết quả có xác suất như nhau là 1/8, được xác đònh bởi (HHH), (HHT), (HTH), (THH), (HTT), (THT), TTH), và (TTT). Từ đó có P(X=2) = P(HHT) + P(HTH) + P(THH) = 3/8. Tiến hành theo cách tương tự, ta có thể thu được các xác suất cho mỗi giá trò có thể có của X. Bảng 2.2 cung cấp hàm xác suất f(x) cho bốn giá trò của X. Phân phối là một phần tử của một họ phân phối được biết đến như phân phối nhò thức. Nó phát sinh khi chỉ có 2 kết quả có thể xảy ra đối với một thí nghiệm, một được mệnh danh là “thành công” và một là “thất bại”. Gọi p là xác suất của thành công trong một thí nghiệm cho trước. Xác suất của thất bại là 1 – p. Hơn nữa giả sử rằng xác suất của thành công là như nhau cho mỗi thí nghiệm và các thí nghiệm là độc lập. Gọi X là số lần thành công trong n thí nghiệm độc lập. Vậy f(x) có thể trình bày là [xem Freund (1992), trang 184-185] xnxxnx qp )!xn(!x !n qp x n f(x) −− − =       = x = 0, 1, . . . , n trong đó 1 – p = q và n! = n(n –1) … 1 (0! được đònh nghóa là 1) } VÍ DỤ 2.4 Một sự điều trò bệnh bạch hầu đặc biệt có 25 phần trăm xác suất chữa khỏi hoàn toàn. Nếu 40 bệnh nhân được chọn ngẫu nhiên được đem điều trò, xác suất để có ít nhất 15 bệnh nhân sẽ được chữa khỏi là gì? Gọi X = số lần thành công trong 40 lần thử. Vậy ta cần P(X > 15) với p = 0,25. Bảng Phụ Lục A.6 có xác suất tích lũy cận trên mong muốn là 0,0544. Thử làm Bài tập 2.1 đến 2.5 và nghiên cứu các đáp án cho Bài tập 2.4 trong Phụ lục B. Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Niên khóa 2003-2004 Phương pháp phân tích Bài đọc Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng Chương 2: Ôn lại xác suất và thống kê Ramu Ramanathan 6 Thục Đoan/Hào Thi } 2.2 Kỳ Vọng, Trung Bình và Phương Sai Toán Học Xét thí nghiệm nhò thức đã mô tả trước đây trong đó một đồng xu được tung ba lần. Giả sử ta được trả 3$ nếu kết quả là ba mặt ngửa, 2$ nếu có hai mặt ngửa, 1$ nếu chỉ có một ngửa, và không có gì hết nếu cả ba lần tung đều cho kết quả mặt sấp. Về mặt trung bình, mỗi thí nghiệm tung ba lần, ta kỳ vọng thắng bao nhiêu? Từ Bảng 2.2 ta lưu ý rằng trong 8 lần thí nghiệm ta có thể kỳ vọng, về mặt trung bình, có một lần có ba mặt đều ngửa (dẫn đến được trả 3$), ba lần có hai mặt ngửa (tổng tiền được trả là 6$, tính 2$ cho mỗi lần), và ba lần với một mặt ngửa (tổng tiền được trả là 3$). Vậy ta có thể kỳ vọng tổng tiền được trả là 12$ (3+6+3) trong 8 lần thử, thành ra tiền được trả trung bình là 1,5 $ cho mỗi lần thử. Trung Bình Của Một Phân Phối Giá trò trung bình được tính trong phần trước được gọi là trung bình của phân phối (cũng được biết đến như kỳ vọng toán học của X và giá trò kỳ vọng của X). Nó cũng được biết đến như momen bậc nhất xung quanh giá trò gốc, hay momen đònh tâm bậc nhất, và là một đại lượng của đònh vò. Nó được ký hiệu bởi E(X) hay µ. E(X) là một trung bình có trọng số của X, với trọng số là các xác suất tương ứng. Trong trường hợp tổng quát, giả sử một biến ngẫu nhiên rời rạc có thể có các giá trò x 1 , x 2 , . . ., x n . P(X = x i ) = f(x i ) là hàm xác suất của biến đó. Nếu tiền được trả cho kết quả X = x i là x i đô-la, tiền được trả trung bình sẽ là x 1 f(x 1 ) + x 2 f(x 2 ) + . . . + x n f(x n ) = ∑[x i f(x i )], trong đó ∑ ký hiệu cho phép lấy tổng các số hạng, với i = 1 đến n. (Xem Phụ lục 2.A.1 về phép tổng.) Vậy ta có đònh nghóa sau đây. ĐỊNH NGHĨA 2.1 (Trung Bình Của Một Phân Phối) Với một biến ngẫu nhiên rời rạc, trung bình của phân phối (µ) được đònh nghóa là µ = E(X) = ])x(fx[ ni 1i ii ∑ = = (2.1) Bởi vì E(X) là trọng số theo xác suất, nó có thể khác với trung bình số học, x= (∑x i )/n. Không có lý do vì sao kết quả được mô tả ở trên được giới hạn bằng x. Nó có thể là bất kỳ hàm nào của x. Giả sử kết quả là x 2 . Kết quả trung bình sẽ là ∑[x i 2 f(x i )]. Điều này được gọi là momen bậc hai của phân phối của X xung quanh giá trò gốc. Khái niệm của kỳ vọng toán học có thể mở rộng cho bất kỳ hàm số nào của x. Vậy, ta có sự diễn tả sau đây cho giá trò kỳ vọng của một hàm tổng quát g(X): E[g(X)] = ∑[g(x i )f(x i )] (2.2) } VÍ DỤ 2.5 Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Niên khóa 2003-2004 Phương pháp phân tích Bài đọc Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng Chương 2: Ôn lại xác suất và thống kê Ramu Ramanathan 7 Thục Đoan/Hào Thi Điểm Kiểm Tra Khả Năng Học Thuật Về Từ Vựng (VSAT) đối với một sinh viên nộp đơn xin vào đại học có giá trò trải từ 0 đến 700. Bảng 2.3 có một ví dụ của phân phối xác suất của điểm VSAT cho một tổng thể lớn các sinh viên đại học. Trung bình của phân phối này được tính là 100 × 0 + 225 × 0,003 + … + 675 × 0,063 = 506,25. } Bảng 2.3 Phân Phối Xác Suất Của Điểm VSAT Khoảng x f(x) 0 – 200 100 0 200 – 250 225 0,003 250 – 300 275 0,021 300 – 350 325 0,033 350 – 400 375 0,061 400 – 450 425 0,131 450 – 500 475 0,201 500 – 550 525 0,234 550 – 600 575 0,169 600 – 650 625 0,084 650 – 700 675 0,063 } Bài Tập Thực Hành 2.1 Giả sử có 10.000 vé số 1$ được bán và có ba giải thưởng được đưa ra: giải nhất 5.000$, giải nhì 2.000$, và giải ba 500$. Kỳ vọng thắng giải là bao nhiêu? } Bài Tập Thực Hành 2.2 Một thợ bánh mì có hàm xác suất như sau cho nhu cầu bánh mì (tính theo tá hay 12 đơn vò mỗi ngày). Tồn kho trung bình nên là bao nhiêu? x 0 1 2 3 4 5 6 hay lớn hơn f(x) 0,05 0,10 0,25 0,30 0,20 0,10 0 Chúng ta viết một số kết quả liên quan đến giá trò kỳ vọng mà không có chứng minh. Những kết quả này được kiến nghò nên được nghiên cứu kỹ lưỡng bởi vì chúng sẽ được sử dụng thường xuyên trong các chương sau. (Hãy thử chứng minh chúng.) Tính chất 2.1 a. E(X – µ) = E(X) – µ = 0. b. Nếu c là hằng số hay là biến không ngẫu nhiên, E(c) = c. c. Nếu c là hằng số hay là biến không ngẫu nhiên, E[cg(X)] = cE[g(x)]. Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Niên khóa 2003-2004 Phương pháp phân tích Bài đọc Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng Chương 2: Ôn lại xác suất và thống kê Ramu Ramanathan 8 Thục Đoan/Hào Thi d. E[u(X) + v(X)] = E[u(X)] + E[v(X)]. Diễn tả bằng từ ngữ, giá trò kỳ vọng của độ lệch so với trung bình là 0. Giá trò kỳ vọng của một hằng số hay một biến không ngẫu nhiên chính bằng nó. Giá trò kỳ vọng của một hằng số nhân với một biến ngẫu nhiên bằng hằng số nhân với giá trò kỳ vọng. Giá trò kỳ vọng của tổng các hàm số của X là tổng các kỳ vọng. Đáp án cho Bài tập 2.6 trong Phụ lục B có chứng minh về Tính chất 2.1 cho trường hợp rời rạc. Phương Sai và Độ Lệch Chuẩn của Một Biến Ngẫu Nhiên Đặt µ = E(X) là trung bình của phân phối của X. Một trường hợp đặc biệt của hàm g(X), mà kỳ vọng của nó được đònh nghóa trong Phương trình (2.2), được quan tâm đáng kể. Cho g(X) = (X – µ) 2 . X – µ là một đại lượng để xem X lệch bao nhiêu so với trung bình µ. Bình phương đại lượng này sẽ phóng rộng các độ lệch và xử lý các độ lệch dương và âm như nhau. Trung bình có trọng số xác suất của các độ lệch bình phương này (hay, cụ thể hơn, kỳ vọng của chúng) là một đo lường của sự phân tán của các giá trò X xung quanh giá trò trung bình µ. Nó được gọi là phương sai của phân phối (hay momen đònh tâm bậc hai) và được ký hiệu bởi σ 2 hay Var(X). Nó là một đo lường của sự phân tán của X xung quanh µ. Một cách chính thức, ta có đònh nghóa sau. ĐỊNH NGHĨA 2.2 (Phương Sai và Độ Lệch Chuẩn) Phương sai của X được đònh nghóa là σ 2 = Var(X) = E[(X – µ) 2 ] = ∑(x i – µ) 2 f(x i ) (2.3) Căn bậc hai (σ) của biểu thức này được gọi là độ lệch chuẩn (s.d.). Tính chất 2.2 liệt kê vài tính chất của phương sai đúng cho cả phân phối liên tục và rời rạc. Tính chất 2.2 a. σ 2 = E[(X – µ) 2 ] = E[X 2 – 2µX + µ 2 ] = E(X 2 ) – 2µE(X) + µ 2 = E(X 2 ) – µ 2 . b. Theo đó nếu c là một hằng số hay không ngẫu nhiên, Var(c) = 0. c. Nếu a và b là các hằng số hay không ngẫu nhiên, Var(a + bX) = b 2 σ 2 . } VÍ DỤ 2.6 Hàm xác suất của một biến ngẫu nhiên rời rạc được cho như sau: Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Niên khóa 2003-2004 Phương pháp phân tích Bài đọc Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng Chương 2: Ôn lại xác suất và thống kê Ramu Ramanathan 9 Thục Đoan/Hào Thi x 0 1 2 3 f(x) 0,1 0,3 0,4 0,2 Hãy tính trung bình, phương sai, và độ lệch chuẩn. µ = E(X) = ∑x i f(x i ) = (0 × 0,1) + (1 × 0,3) + (2 × 0,4) + (3 × 0,2) = 0 + 0,3 + 0,8 + 0,6 = 1,7 E(X 2 ) = ∑x i 2 f(x i ) = (0 × 0,1) + (1 × 0,3) + (4 × 0,4) + (9 × 0,2) = 0 + 0,3 + 1,6 + 1,8 = 3,7 Var(X) = E(X 2 ) – µ 2 = 3,7 – (1,7) 2 = 0,81 σ = )X(Var = 0,9 } BÀI TẬP THỰC HÀNH 2.3 Hãy tính trung bình, phương sai, và độ lệch chuẩn cho các phân phối trong các Bảng 2.1 và 2.3. } BÀI TẬP THỰC HÀNH 2.4 Hãy chứng tỏ rằng nếu biến ngẫu nhiên X có trung bình µ và độ lệch chuẩn σ, biến ngẫu nhiên biến đổi Z = (X – µ)/σ (thường tham chiếu như là giá trò z) có trung bình 0 và phương sai là 1. Phân Phối Chuẩn Tổng Quát Phân phối chuẩn được trình bày trong Phần 2.1 có trung bình 0 và phương sai đơn vò. Một phân phối chuẩn tổng quát, với trung bình µ và phương sai σ 2 , thường được viết là N(µ, σ 2 ), có hàm mật độ như sau:       σ µ− − πσ = 2 2 2 )x( exp 2 1 f(x) – ∞ < x < ∞ (2.4) trong đó exp ký hiệu của hàm mũ. Nếu X là phân phối chuẩn, nó được viết là X ∼ N(µ, σ 2 ). Ba phân phối xác suất chuẩn được trình bày trong Hình 2.4. Vài tính chất của phân phối chuẩn được liệt kê trong Tính chất 2.3. Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Niên khóa 2003-2004 Phương pháp phân tích Bài đọc Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng Chương 2: Ôn lại xác suất và thống kê Ramu Ramanathan 10 Thục Đoan/Hào Thi Tính chất 2.3 Phân phối chuẩn, với trung bình µ và phương sai σ 2 [được viết là N(µ, σ 2 )], có các tính chất sau: a. Đối xứng xung quanh giá trò trung bình µ và có dạng hình chuông. b. Diện tích dưới đường cong chuẩn giữa µ – σ và µ + σ – nghóa là trong khoảng 1 độ lệch chuẩn tính từ trung bình – hơi lớn hơn 2/3(0,6826). 95,44 phần trăm diện tích nằm trong khoảng 2 độ lệch chuẩn tính từ giá trò trung bình – nghóa là, giữa µ – 2σ và µ + 2σ. 99,73 phần trăm diện tích nằm trong khoảng 3 độ lệch chuẩn tính từ giá trò trung bình. Vậy, gần như toàn bộ phân phối nằm giữa µ – 3σ và µ + 3σ. } Hình 2.4 Ba Phân Phối Chuẩn c. Nếu X có phân phối chuẩn, với trung bình µ và độ lệch chuẩn σ, thì biến ngẫu nhiên “chuẩn hóa” Z = (X – µ)/σ có phân phối chuẩn chuẩn hóa N(0,1). Bởi tính chất này, diện tích giữa hai điểm a và b trong N(µ, σ 2 ) sẽ bằng với diện tích giữa các điểm mút chuẩn hóa (a – µ)/σ và (b – µ)/σ trong N(0, 1). Bảng A.1 có các diện tích theo chuẩn hóa giữa trung bình 0 và các giá trò khác nhau của Z. d. Nếu X được phân phối theo N(µ, σ 2 ), thì Y = a + bX, trong đó a và b là hằng số cố đònh, được phân phối theo N(a + bµ, b 2 σ 2 ). } VÍ DỤ 2.7 10 20 30 X σ = 20 σ = 15 σ = 10 (1) (2) (3) f(x) [...]... ≤ – 1 ,28 2, thì bất đẳng thức trên sẽ thỏa mãn Vậy, N ≤ µ – σ 1 ,28 2σ = 30.000 – (1 ,28 2 )2. 000; nghóa là N ≤ 27 .436 dặm Hình 2. 5 Đồ Thò Mật Độ Chuẩn Chuẩn Hóa f(Z) 40% 40% 10% 10% z = – 1, 828 0 d = 1, 828 Z Hệ Số Biến Thiên Ramu Ramanathan 11 Thục Đoan/Hào Thi Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Niên khóa 20 03 -20 04 Phương pháp phân tích Bài đọc Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng Chương 2: Ôn... Thi Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Niên khóa 20 03 -20 04 Cov(X, Y) E(X) E(Y) E(XY) = = = = Phương pháp phân tích Bài đọc Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng Chương 2: Ôn lại xác suất và thống kê E(XY) – E(X) E(Y) (1 × 0,4) + (2 × 0 ,2) + (3 × 0,4) = 2 (6 × 0,4) + (8 × 0 ,2) + (10 × 0,4) = 8 (6 × 1 × 0 ,2) + (6 × 3 × 0 ,2) + (8 × 2 × 0 ,2) + (10 × 1 × 0 ,2) + (10 × 3 × 0 ,2) = 16 Vì vậy, Cov(X, Y)... Ramanathan 27 Thục Đoan/Hào Thi Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Niên khóa 20 03 -20 04 Phương pháp phân tích Bài đọc Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng Chương 2: Ôn lại xác suất và thống kê Variable MEAN x 2. 7855 y 3.55785 MEDIAN 2. 79 3.59 MIN 0.85 2. 29 MAX 3.97 4.5 Variable S.D x 0.540 82 y 0.419577 C.V 0.194155 0.11793 SKEW -0 .20 3647 -0.40 124 1 EXCSKURT -0.0517458 -0 .22 0107 Min và Max là những... dài Một số tính chất của 2 được tóm tắt trong Tính Chất 2. 12 Hình 2. 11 Phân Phối Chi-Bình Phương Với Các Bậc Tự Do d.f (n) 1, 5, và 10 f( 2) n=1 n=5 n = 10 2 Ramu Ramanathan 35 Thục Đoan/Hào Thi Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Niên khóa 20 03 -20 04 Phương pháp phân tích Bài đọc Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng Chương 2: Ôn lại xác suất và thống kê Tính chất 2. 12 2 a E( χ n ) = n, tức là,... Ramanathan 28 Thục Đoan/Hào Thi Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Niên khóa 20 03 -20 04 Phương pháp phân tích Bài đọc Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng Chương 2: Ôn lại xác suất và thống kê ˆ Để có được µ , ước lượng µ bằng cách tối thiểu ESS, viết ESS như sau: ˆ ˆ ˆ ESS ( µ ) = ∑ (xi – µ )2 = ∑ (xi – x + x – µ )2 2 2 ˆ ˆ = ∑ (xi – x ) + ∑ ( x – µ ) + 2 ( x – µ )(xi – x ) 2 2 ˆ = ∑ (xi... fX(x) Bảng 2. 4 Phân phối xác suất kết hợp đối với số lần xuất hiện các con số 3 (X) và số 5 (Y) khi một cặp súc sắc được thảy Ramu Ramanathan 13 Thục Đoan/Hào Thi Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Niên khóa 20 03 -20 04 Phương pháp phân tích Bài đọc X 0 Y 0 1 2 1 16/36 8/36 1/36 Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng Chương 2: Ôn lại xác suất và thống kê 2 8/36 2/ 36 0 1/36 0 0 VÍ DỤ 2. 9 Bảng 2. 4 trình... Ramanathan 15 Thục Đoan/Hào Thi Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Niên khóa 20 03 -20 04 Phương pháp phân tích Bài đọc Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng Chương 2: Ôn lại xác suất và thống kê còn được gọi là giá trò hồi quy của Y theo X Từ bảng 2. 6, chúng ta có thể thấy rằng E(YX = 0) = (0,64 × 0) + (0, 32 × 1) + (0,04 × 2) = 0, 32 + 0,08 = 0,4; E(YX = 1) = 0 ,2; và E(YX = 2) = 0 Trong mô hình hồi... a2Var(X) + b2Var(Y) + 2abCov(X,Y) Một trường hợp đặc biệt của tính chất này là Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X, Y) Tương tự, Var(X – Y) = Var(X) + Var(Y) – 2Cov(X, Y) b Hệ số tương quan ρxy nằm trong khoảng – 1 đến + 1 Ramu Ramanathan 19 Thục Đoan/Hào Thi Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Niên khóa 20 03 -20 04 Phương pháp phân tích Bài đọc Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng Chương 2: ... Ramanathan 22 Thục Đoan/Hào Thi Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Niên khóa 20 03 -20 04 Phương pháp phân tích Bài đọc Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng Chương 2: Ôn lại xác suất và thống kê này rơi vào một khoảng xác đònh Tỷ số này cho chúng ta xác suất mà tại đó trung bình mẫu sẽ nằm trong khoảng xác đònh đó (xem khái niệm tần suất trong xác suất đã được giới thiệu trong Phần 2. 1 và trong Ví dụ 2. 1)... trình (2. 9) sẽ được bàn tiếp ở Phần 2. 7 Các phân phối Mẫu Lớn Khi cỡ mẫu lớn, chúng ta có thể thu được từ một số tính chất khá hữu ích trong thực tế Hai trong số này là luật số lớn và lý thuyết giới hạn trung tâm được phát biểu ở Tính chất 2. 11 Ramu Ramanathan 23 Thục Đoan/Hào Thi Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Niên khóa 20 03 -20 04 Tính chất 2. 11 a Phương pháp phân tích Bài đọc Nhập môn kinh tế . – 2, 0 2, 0 – 2, 5 2, 5 – 3,0 3,0 – 3,5 3,5 – 4,0 x 0 ,25 0,75 1 ,25 1,75 2, 25 2, 75 3 ,25 3,75 f(x) 0 0,0 02 0,010 0,049 0 ,24 4 0,3 42 0 ,25 5 0,098 } Hình 2. 1. ∑[g(x i )f(x i )] (2. 2) } VÍ DỤ 2. 5 Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Niên khóa 20 03 -20 04 Phương pháp phân tích Bài đọc Nhập môn kinh tế lượng với