SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO TIỀN GIANG Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam TRƯỜNG THPT VĨNH BÌNH Độc lập – Tự do – Hạnh phúc GVHD : Huỳnh Văn Phước Giáo sinh : Nguyễn Thị Xuân An Ngày soạn : Thứ sáu 19/03/2010 Ngày dạy : Thứ hai 22/03/2010(Tiết 3) §8. HÀM SỐ LIÊN TỤC (2 tiết) I. Mục tiêu 1. Về kiến thức : Giúp HS nắm được định nghĩa của hàm số liên tục tại một điểm, trên một khoảng và trên một đoạn, tính liên tục của các hàm số thường gặp trên tập xác định của chúng và hiểu được định lý về giá trị trung gian của hàm số liên tục cũng như ý nghĩa hình học của định lý này. 2. Về kỹ năng : Giúp HS biết cách chứng minh hàm số liên tục tại một điểm, trên một khoảng, trên một đoạn và áp dụng định lý về giá trị trung gian của hàm số liên tục để chứng minh sự tồn tại nghiệm của một số phương trình đơn giản. 3. Về tư duy thái độ : Có tinh thần tích cực tham gia bài học, rèn luyện tư duy logic. II. Chuẩn bị 1. Giáo viên: giáo án, bài giảng, SGK, dụng cụ dạy học 2. Học sinh: SGK, tập ghi chép, xem bài trước ở nhà III. Phương pháp dạy học Gợi mở, vấn đáp. IV. Tiến trình dạy học 1. Ổn định lớp. 2. Nội dung bài mới HĐ1: Hàm số liên tục tại một điểm Hoạt động của GV Hoạt động của HS Nội dung chính - Hoạt động gợi ý vào bài mới: (có minh họa bằng đồ thị) 1) Cho các hàm số 2 ( )f x x= 2 2 2, 1 ( ) 3, 1 1 2, 1 x x g x x x x  − + ≤ −  = − < <   − + ≥  a) Tính f(1), g(1), so sánh với 1 1 lim ( ),lim ( ) x x f x g x → → b) Nhận xét về đồ thị mỗi hàm số tại 1x = 2) Xét hàm số 2 2 2 , 1 ( ) 1 1, 1 x x x h x x x  − ≠  = −   =  Ta có Thực hiện theo gợi ý của GV I. Hàm số liên tục tại một điểm Đại số - Giải tích 11 NC 1 2 1 1 2 2 lim ( ) lim 2 1 x x x x h x x → → − = = − (1) 1h = Vậy 1 lim ( ) (1) x h x h → ≠  Ta có các kết quả sau 1 lim ( ) (1) x f x f → = 1 lim ( ) x g x → không tồn tại 1 lim ( ) (1) x h x h → ≠ Ta nói hàm số ( )f x liên tục tại 1x = , còn các hàm số ( )g x và ( )h x không liên tục tại 1x = - Nêu định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm.  Vậy để xét tính liên tục của hàm số tại điểm 0 x ta tiến hành các bước sau: B1: tính 0 ( )f x B2: tính 0 lim ( ) x x f x → B3: so sánh 0 lim ( ) x x f x → với 0 ( )f x  Khi nào hàm số ( )f x gián đoạn tại điểm 0 x ? - Thực hiện H1, minh họa bằng đồ thị Xét tính liên tục của hàm số ( ) | |f x x= tại điểm 0x = - Hướng dẫn HS theo dõi Ví dụ 2 SGK trang 169. - Thực hiện H2, minh họa bằng đồ thị Xét tính liên tục của hàm số 2 1, 1 ( ) 1, 1 x x f x x x  + ≤ =  − >  tại điểm 1x = . Ghi bài Hàm số gián đoạn khi không tồn tại 0 lim ( ) x x f x → hoặc 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x → ≠ Theo dõi Theo dõi Theo dõi và ghi bài Định nghĩa Hàm số ( )f x xác định trên khoảng ( ; )a b và 0 ( ; )x a b∈ Hàm số f liên tục tại điểm 0 x nếu 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x → = Hàm số không liên tục tại điểm 0 x gọi là gián đoạn tại điểm 0 x . Giải (0) 0f = 0 0 lim ( ) lim | | 0 x x f x x → → = = Do 0 lim ( ) (0) x f x f → = nên ( )f x liên tục tại 0x = . Giải (1) 2f = 2 1 1 lim ( ) lim( 1) 2 x x f x x − − → → = + = 1 1 lim ( ) lim( 1) 0 x x f x x + + → → = − = Suy ra không tồn tại 1 lim ( ) x f x → Vậy hàm số gián đoạn tại 1x = . Hoạt động 2: Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn Hoạt động của GV Hoạt động của HS Nội dung chính II. Hàm số liên tục trên một khoảng, trên Đại số - Giải tích 11 NC 2 - Nêu định nghĩa hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn.  Để chứng minh hàm số liên tục trên một khoảng ta cần chứng minh hàm số liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng.  Để chứng minh hàm số liên tục trên đoạn [ ; ]a b trước hết chứng minh hàm số liên tục trên khoảng ( ; )a b và kết hợp với lim ( ) ( ) x a f x f a + → = , lim ( ) ( ) x b f x f b − → = .  Vậy chứng minh hàm số liên tục trên nửa khoảng [ ; ),( ; ],a b a b [ ; ),( ; ]a b+∞ −∞ thế nào? - Thực hiện Ví dụ 3 SGK trang 170, minh họa đồ thị. Xét tính liên tục của hàm số 2 ( ) 1f x x= − trên đoạn [ 1;1]− - Yêu cầu HS làm Ví dụ, minh họa bằng đồ thị Chứng minh rằng 1) 2 ( ) 8 2g x x= − liên tục trên đoạn [-2;2] 2) ( ) 2 1h x x= − liên tục trên nửa khoảng 1 [ ; ) 2 +∞ Ghi bài Theo dõi Thực hiện yêu cầu của GV một đoạn Định nghĩa Hàm số f xác định trên tập hợp J, trong đó J là một khoảng hoặc là hợp của nhiều khoảng, gọi là liên tục trên J nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc J. Hàm số f xác định trên đoạn [a;b] gọi là liên tục trên đoạn [a;b] nếu nó liên tục trên khoảng (a;b) và lim ( ) ( ), lim ( ) ( ) x a x b f x f a f x f b + − → → = = Giải 0 ( 1;1)x∀ ∈ − , ta có 0 0 2 2 0 0 lim ( ) lim 1 1 ( ) x x x x f x x x f x → → = − = − = Nên hàm số liên tục trên khoảng ( 1;1)− Ngoài ra ta có 2 ( 1) ( 1) lim ( ) lim 1 0 ( 1) x x f x x f + + → − → − = − = = − 2 1 1 lim ( ) lim 1 0 (1) x x f x x f − − → → = − = = Do đó hàm số liên tục trên đoạn [ 1;1]− . Giải 1) ( )g x xác định trên đoạn [-2;2] 0 ( 2;2),x∀ ∈ − 0 0 2 2 0 0 lim ( ) lim 8 2 8 2 ( ) x x x x g x x x g x → → = − = − = Nên ( )g x liên tục trên khoảng (-2;2) Ngoài ra ta có 2 ( 2) ( 2) lim ( ) lim 8 2 0 ( 2) x x g x x g − − → − → − = − = = − 2 2 2 lim ( ) lim 8 2 0 (2) x x g x x g + + → → = − = = Vậy ( )g x liên tục trên đoạn [-2;2] 2) ( )h x xác định trên nửa khoảng 1 [ ; ) 2 +∞ 0 1 ( ; ) 2 x∀ ∈ +∞ , 0 0 0 0 lim ( ) lim 2 1 2 1 ( ) x x x x h x x x h x → → = − = − = Nên ( )h x liên tục trên khoảng 1 ( ; ) 2 +∞ Đại số - Giải tích 11 NC 3  Hàm số liên tục trên một khoảng hay trên một đoạn thì có đồ thị là đường liền nét. Hàm số gián đoạn tại một điểm thì đồ thị không là đường liền nét. - Nêu nhận xét - Nêu định lý Ghi bài Ghi bài Ngoài ra 1 1 2 2 1 lim ( ) lim 2 1 0 ( ) 2 x x h x x h + +     → →  ÷  ÷     = − = = Vậy ( )h x liên tục trên nửa khoảng 1 [ ; ) 2 +∞ . Nhận xét 1) Tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục tại một điểm là những hàm số liên tục tại điểm đó ( trong trường hợp thương, giá trị của mẫu tại điểm đó phải khác 0) 2) Hàm đa thức và hàm phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) liên tục trên tập xác định của chúng (tức là liên tục tại mọi điểm thuộc tập xác định của chúng). Định lý 1 Các hàm số lượng giác sin , cos , tan , coty x y x y x y x= = = = liên tục trên tập xác định của chúng. Hoạt động 3: Tính chất của hàm số liên tục Hoạt động của GV Hoạt động của HS Nội dung chính - Yêu cầu học sinh làm ví dụ sau đó lên bảng trình bày: 1. Cho hàm số y = f(x) =- x 3 +3x 2 +1 liên tục trên đoạn [- 1;3] có đồ thị như hình vẽ. a. Tính f(-1), f(3). Hãy so sánh f(-1) và f(3). b. Với M=3 nằm giữa f(-1), f(3), hãy tìm c∈(-1;3) sao cho f(c) = M.  Cho hàm số y = f(x) (có đồ thị như hình vẽ) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a) ≠ f(b), một điểm M nằm giữa f(a), f(b). Phán đoán có tồn tại c ∈ (a;b) sao cho f(c) = M? - Nêu định lý 2 (định lý về giá trị Thực hiện theo yêu cầu GV Có Ghi bài Giải a. f(-1) = 5, f(3) = 1 Vậy f(-1) ≠ f(3) b. Ta có f(c) = - c 3 + 3c 2 + 1 M = 3 Và f(c) = M nên : - c 3 + 3c 2 + 1 = 3 ⇔ - c 3 + 3c 2 + 1 – 3 = 0 ⇔ - c 3 + 3c 2 - 2 = 0 ⇔ (c – 1)(- c 2 + 2c + 2) = 0 ⇔    =++− =− 022 01 2 cc c ⇔     −= += = 31 31 1 c c c Vậy có 3 giá trị c thỏa mãn yêu cầu đề bài. Định lý 2 Hàm số f liên tục trên đoạn Đại số - Giải tích 11 NC 4 trung gian của hàm số liên tục) - Hướng dẫn cho HS bằng cách phân tích trên đồ thị để rút ra nhận xét về ý nghĩa hình học.  Hàm f liên tục trên đoạn [a;b], M nằm giữa f(a) và f(b). Khi M = 0, f(a).f(b) < 0. Theo định lí 2: tồn tại ít nhất 1 điểm c ∈ (a;b) sao cho f(c) = 0 - Nêu hệ quả  Ta có: f(c) = 0. Khi đó c được gọi là nghiệm của phương trình f(x) = 0. - Nêu ý nghĩa hình học của hệ quả.  Ứng dụng của hệ quả là chứng minh phương trình có nghiệm thuộc khoảng. - Yêu cầu HS làm Ví dụ 1) Chứng minh hàm số f(x) = x 3 + 2x – 2 có ít nhất một nghiệm dương nhỏ hơn 1. 2) Chứng minh rằng phương trình x 3 + x + 1= 0 có ít nhất một nghiệm. Theo dõi và ghi bài Theo dõi Ghi bài Ghi bài Làm bài [a;b]. Nếu f(a) ≠ f(b) thì với mỗi số thực M nằm giữa f(a) và f(b), tồn tại ít nhất một điểm ( ; )c a b∈ sao cho f(c)=M. Ý nghĩa hình học của định lý Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a;b] và M là một số thực nằm giữa f(a) và f(b) thì đường thẳng y=M cắt đồ thị của hàm số ( )y f x= ít nhất tại một điểm có hoành độ ( ; )c a b∈ Hệ quả Nếu hàm f liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một điểm c∈(a;b) sao cho f(c) = 0. Ý nghĩa hình học của hệ quả Nếu hàm f liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0 thì đồ thị của hàm số ( )y f x= cắt trục hoành ít nhất tại một điểm có hoành độ ( ; )c a b∈ . Giải 1) f(x) = x 3 + 2x – 5 liên tục trên R Đoạn [0;1] ⊂ R nên hàm f liên tục trên đọan [0;1]. Lại có : f(0) = - 2 f(1) = 1 và f(0).f(1) = -2.1 = -2 < 0 Theo hệ quả, tồn tại ít nhất một điểm c∈(0;1) sao cho f(c) = 0. Vậy x = c là một nghiệm của Đại số - Giải tích 11 NC 5 - Yêu cầu HS làm H4 Cho hàm số 2 5 2 ( ) 2 2 x x f x x + − = + Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một điểm ( ; )c a b∈ sao cho ( ) 0.8f c = − Làm bài phương trình f(x)= 0 (đpcm) 2) Xét hàm f(x) = x 3 + x + 1 liên tục trên R Ta có [-1;0] ⊂ R nên hàm f liên tục trên đoạn [-1;0] Lại có : f(0) = 1 f(-1) = -1 và f(-1).f(0) = -1 < 0 Theo hệ quả, tồn tại ít nhất một điểm c∈(-1;0) sao cho f(c) = 0. Vậy x = c là một nghiệm của phương trình f(x)= 0 (đpcm) Giải Hàm số f liên tục trên đoạn [0;2], (0) 1; (2) 2f f= − = Vì 0.8 ( 1;2)− ∈ − nên theo định lý về giá trị trung gian của hàm số liên tục, tồn tại ít nhất một điểm (0;2)c ∈ sao cho ( ) 0.8f c = − Nhận xét của GVDH Người soạn Bài soạn đầy đủ Huỳnh Văn Phước Nguyễn Thị Xuân An Đại số - Giải tích 11 NC 6 . h → ≠ Ta nói hàm số ( )f x liên tục tại 1x = , còn các hàm số ( )g x và ( )h x không liên tục tại 1x = - Nêu định nghĩa hàm số liên tục tại một. chứng minh hàm số liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng.  Để chứng minh hàm số liên tục trên đoạn [ ; ]a b trước hết chứng minh hàm số liên tục trên khoảng