Paul Dawkins Người dịch LÊ LỄ (CĐSP NINH THUẬN) Complex Numbers Primer SỐ PHỨC Complex Numbers Primer- Paul Dawkins Lê Lễ-suphamle2341@gmail.com - SỐ PHỨC- Page Complex Numbers Primer- Paul Dawkins - SỐ PHỨC- Contents1 LỜI NGƯỜI DỊCH 1.Tập số phức phép toán 1.1Định nghĩa tập số phức 1.2.Các phép toán 2.Bất đẳng thức tam giác 2.1 Số phức liên hợp 2.2 Môđun số phức 10 2.3 Bất đẳng thức tam giác 12 3.Dạng lượng giác dạng mũ 13 3.1 Biểu diễn hình học số phức 13 3.2 Dạng lượng giác 14 3.3 Dạng mũ số phức 15 4.Lũy thừa khai 16 4.1 Lũy thừa với số mũ n nguyên dương 16 4.2 Căn bậc n số phức 17 Có thể click chuột vào tiêu đề để nhảy đến nội dung tương ứng Lê Lễ-suphamle2341@gmail.com Page Complex Numbers Primer- Paul Dawkins Lê Lễ-suphamle2341@gmail.com - SỐ PHỨC- Page Complex Numbers Primer- Paul Dawkins - SỐ PHỨC- LỜI NGƯỜI DỊCH Hiện trường sô phức ℂ xây dựng theo nhiều cách, có hai cách đại số thường sử dụng : ℂ trường phân rã đa thức bất khả quy ℂ , tức tồn i∈ ℂ , i2 x2 1(trên ℝ) x2 có nghiệm Xem ℂ = R ={(a;b)}, xây dựng phép tốn cộng nhân thích hợp, chứng minh (ℂ ,+,x) trường Tác giả xây dựng ℂ tinh thần Phần lớn quy tắc tính thao tác ví dụ cách hình thức Tiếp theo định nghĩa cuối kiểm chứng kết Việc xây dựng ℂ tác giả vừa đảm bảo xác vừa dễ hiểu, dễ áp dụng Tài liệu dành phần đầu nêu định nghĩa số phức phép tốn Phần hai nói bất đẳng thức tam giác Dạng lượng giác mũ số phức nêu phần ba Phần cuối dùng trình bày lũy thừa bậc n số phức Đọc tài liệu này: Học sinh, sinh viên có nhu cầu thực hành phép tốn số phức, tìm thấy hướng dẫn rõ ràng, chi tiết; Nếu muốn tìm lời giải đáp tập số phức có nhiều tính chất đẹp mà ℝ khơng có, thỏa mãn; Nếu biết số phức thấy thú vị Cịn tơi thời gian mà ham nhiều việc, nghĩ thiếu sót không tránh khỏi Nước đầm Nại đủ sạch, xin rửa tai nghe giáo Lê Lễ-suphamle2341@gmail.com Page Complex Numbers Primer- Paul Dawkins - SỐ PHỨC- 1.Tập số phức phép toán 1.1Định nghĩa tập số phức Cho a,b∈ ℝ Mỗi biểu thức dạng a+bi gọi số phức2 a: phần thực z b: phần ảo z Tập số phức ký hiệu ℂ a∈ ℝ , a= a+0i=z Vậy ℝ⊂ ℂ Ta cần định nghĩa phép cộng nhân hai số phức Cho hai số phức z1 Tổng z1 z2 Tích z1.z2 a bi, z2 c di (a c) (b d )i (ac bd ) (ad bc)i Công thức cho trường hợp hai số thực z1 Thật z1 z1.z2 z2 (a 0i) (c 0i) (a 0i)(c 0i) a 0i, z2 c 0i a c ac Điều cuối phần này, ta phải chứng minh i 1như hệ phép nhân Thật vậy: i2 i.i (0 1i)(0 1i) (0.0 1.1) (0.1 1.0)i 1.2.Các phép toán Khi thực hành cộng nhân hai số phức, cần thực theo quy tắc cộng nhân đa thức với ý i 2 Dạng đại số số phức(ND) Tồn đơn cấu trường :ℝ→ ℂ (ND) Hai phép toán cộng, nhân cảm sinh ℝ thành hai phép tốn cộng nhân thơng thường (ND) Lê Lễ-suphamle2341@gmail.com Page Complex Numbers Primer- Paul Dawkins - SỐ PHỨC- Ví dụ: Tính a (58-i)+(2-17i) b (6+3i)(10+8i) c (4+2i)(4-2i) Bài giải a (58-i)+(2-17i)=58-i+2-17i=60-18i b (6+3i)(10+8i)=60+48i+30i+24i2=60+78i+24(-1)=36+78i c (4+2i)(4-2i)=16-(2i)2=16+4=20 Phép nhân hai số phức , cho ta hệ thức : (a bi)(a bi) a b2 Hê thức sử dụng chia hai số phức phần sau Bây xét đến phép trừ chia hai số phức Thử làm cách hình thức ví dụ sau Ví dụ : a (58 i) (2 17i) b 58 i 17i 56 16i 3i (6 3i) (10 8i) = = 10 8i (10 8i) (10 8i) 60 48i 30i 24i 100 64 c 84 18i 164 5i 5i(1 7i) = 7i (1 7i)(1 7i) 35 5i 50 84 18 21 i= i 164 164 41 82 i 10 10 Trước định nghĩa phép trừ phép chia hai số phức, ta cần số chuẩn bị: Số đối số phức z ký hiệu –z , thỏa mãn z+(-z)=0 Trong trường đại số tổng qt nói chung khơng có hệ thức Rất may mắn, trường ℂ ta có Lê Lễ-suphamle2341@gmail.com z ( 1).z z ( 1).z a bi Page Complex Numbers Primer- Paul Dawkins Hiệu hai số phức z1 , z2 : z1 Nên z1 z2 z2 - SỐ PHỨC- z1 ( z2 ) z1 ( z2 ) (a bi) ( c di) (a c) (b d )i Điều cần chuẩn bị cho định nghĩa thương hai số phức số nghịch đảo số phức Số nghịch đảo số phức z (≠ 0) số phức ký hiệu z-1 cho z.z-1=1 Số nghịch đảo số phức làm rõ qua đoạn sau: Giả sử z-1=u+vi số nghịch đảo z=a+bi , z.z-1=(a+bi)(u+vi)=(au-bv)+(av+bu)i=1 au bv ⇒ av bu Nên ⇒ z a a2 a u a2 b2 b a b2 v b b2 a2 b2 i Mọi số phức z khác tồn số nghịch đảo z-1 Định nghĩa thương hai số phức Cho hai số phức z1, z2 (z2≠ 0) z1 z2 z1.z2 Theo định nghĩa , ta có Ví dụ : 3i 10 8i (10 8i ) (6 3i)(10 8i ) , Lê Lễ-suphamle2341@gmail.com 10 102 82 102 i 10 8i 164 Page Complex Numbers Primer- Paul Dawkins 3i 10 8i (6 3i)(10 8i ) 60 48i 30i 24i 164 (6 3i ) - SỐ PHỨC- 10 8i 164 21 i 41 82 Ta có lại kết trước tiến hành chia hai số phức cách hình thức Dựa vào nhận xét này, ta tiến hành chia hai số phức mà không cần bận tâm đến cơng thức tìm số nghịch đảo số phức Chẳng hạn i i hay (10 8i) (3 i )(1 i ) (1 i)(1 i) 4i 2i 10 8i 10 8i (10 8i) 10 8i 102 82 82 i 41 2.Bất đẳng thức tam giác 2.1 Số phức liên hợp Số phức liên hợp z=a+bi , ký hiệu z , z a bi (nói cách khác cần đối dấu phần ảo z, ta z ) Một số tính chất số phức liên hợp z z1 z z2 z1 z1.z2 Lê Lễ-suphamle2341@gmail.com z1.z2 z1 z2 z2 z1 z2 Page Complex Numbers Primer- Paul Dawkins - SỐ PHỨC- Ví dụ : Tính (a) z , z 15i (b) z1 z2 , z1 i, z2 3i (c) z1 z2 , z1 i, z2 3i Bài giải (a) z 15i z 15i 15i (b) z1 z2 13 2i (c) z1 z2 i ( 3i) i ( 3i) 13 2i z1 z2 z 13 2i 13 2i Với số phức z=a+bi, ta có z z a bi (a bi ) 2a, z z a bi (a bi ) 2bi 2.2 Môđun số phức Cho z=a+bi, Môđun z ký hiệu |z|, |z| a2 b2 Môđun số phức số thực không âm z số thực (z=a+0i), | z | a | a | Vậy Mơđun số thực giá trị tuyệt đối số | z |2 a b2 a2 | z | | a | ≥ a Tương tự | z | | b | b Các hệ thức diễn tả mối quan hệ Môđun số liên hợp z: z.z (a bi)(a bi) a b2 ⇒ z.z | z |2 |z| |z | Lê Lễ-suphamle2341@gmail.com Page 10 Complex Numbers Primer- Paul Dawkins - SỐ PHỨC- | z| |z| z1 z2 Ví dụ:Tính z1 z2 | z2 |2 z1 z2 z2 z2 3i 10 8i Bài giải z1 3i, z2 3i 10 8i 10 8i, z2 10 8i,| z |2 164 60 48i 30i 24i 164 (6 3i)(10 8i) 164 21 i 41 82 Tính chất Môđun số phức |z| z | z1 z2 | | z1 || z2 | z1 z2 | z1 | | z2 | Thật vậy: |z| a2 b2 | z1 z2 |2 ( z1 z2 )( z1 z2 ) a b z ( z1 z2 )( z1 z2 ) z1 z1 z2 z2 | z1 |2 | z2 |2 | z1 z2 |2 | z1 |2 | z2 |2 | z1 z2 | | z1 || z2 | Lê Lễ-suphamle2341@gmail.com Page 11 Complex Numbers Primer- Paul Dawkins - SỐ PHỨC- 2.3 Bất đẳng thức tam giác Mối quan hệ Môđun số hạng Môđun tổng hai số phức: | z1 z2 | | z1 | | z2 | Chứng minh z2 |2 ( z1 | z1 z2 |2 z1 z1 ⇒ | z1 Lưu ý z2 z1 z1 z2 z2 z1 z2 z1 z1 z2 z2 )( z1 z2 ) ( z1 z1 z2 z2 z1 z2 )( z1 z2 ) z2 z2 z2 z1 Nên z1 z2 e( z1 z2 ) | z1 z2 | | z1 || z2 | | z1 || z2 | z1 z1 | z1 |2 ; z2 z2 | z2 |2 | z1 z2 |2 z1 z1 z1 z2 z2 z1 | z1 |2 z1 z2 z2 z2 z2 z1 | z2 |2 | z1 |2 | z1 || z2 | | z2 |2 (| z1 | | z2 |) Nên | z1 z2 | | z1 | | z2 | | z1 | | z1 z2 z2 | | z1 z2 | | z2 | | z1 z2 | | z2 | | z1 (giả sử | z1 | | z2 | , | z1 | | z2 | z2 | | z1 | | z2 | đúng) Tương tự Lê Lễ-suphamle2341@gmail.com Page 12 Complex Numbers Primer- Paul Dawkins | z1 z2 | | z2 | | z1 | - SỐ PHỨC- (| z1 | | z2 |) (giả sử | z1 | | z2 |, | z1 | | z2 | ln đúng) Do | z1 z2 | || z1 | | z2 || Bây thay z2 –z2, ta có | z1 z2 | | z1 | | z2 | | z1 z2 | || z1 | | z2 || 3.Dạng lượng giác dạng mũ 3.1 Biểu diễn hình học số phức Xét mặt phẳng Oxy, số phức z=a+bi biểu diễn điểm M(a;b) Vectơ có tọa độ (a;b) Trục Ox gọi trục thực, Oy gọi trục ảo, mặt phẳng gọi mặt phẳng phức Lê Lễ-suphamle2341@gmail.com Page 13 Complex Numbers Primer- Paul Dawkins - SỐ PHỨC- 3.2 Dạng lượng giác Xét số phức z=a+bi≠ 0, M(a;b) mặt phẳng phức Số đo (rađian) góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM gọi acgumen z Cho z=a+bi≠ |z|=r>0, θ acgumen z Khi a r cos b r sin i sin ) : dạng lượng giác số phức z a bi r (cos Lưu ý r |z| z a bi, a a=0, chọn 0: tan b , θ sai khác k2π, thường chọn –π