Đang tải... (xem toàn văn)
Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Giới hạn dãy số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Giới hạn dãy số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Giới hạn dãy số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Giới hạn dãy số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Giới hạn dãy số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Giới hạn dãy số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Giới hạn dãy số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Giới hạn dãy số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Giới hạn dãy số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Giới hạn dãy số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Giới hạn dãy số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Giới hạn dãy số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Giới hạn dãy số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Giới hạn dãy số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Giới hạn dãy số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Giới hạn dãy số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Giới hạn dãy số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Giới hạn dãy số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Giới hạn dãy số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Giới hạn dãy số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Giới hạn dãy số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Giới hạn dãy số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Giới hạn dãy số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Giới hạn dãy số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Giới hạn dãy số Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Giới hạn dãy số
Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt GIỚI HẠN DÃY SỐ Vấn đề Tìm giới hạn định nghĩa Bài : Với a > nhỏ tùy ý, ta chọn na > nên có lim 1 < < a ∀n > na − ta có n + na + a = n+1 Với a > nhỏ tùy ý, ta chọn na > k có lim nk 1 ta có k < k < a ∀n > na nên n na a = Với a > nhỏ tùy ý, ta chọn na > − ta có a sin2 n 1 < < < a ∀n > na nên có lim sin n = n + n + na + n+ M −1 Với số dương M lớn tùy ý ta chọn nM > Ta có: 2n + > 2nM + > M ∀n > nM ⇒ lim(2n + 1) = +∞ Với số dương M lớn tùy ý ta chọn nM thỏa ⇔ nM > Ta có: nM −1 nM >M M + M2 + n2 − n2 − > M ∀n > nM ⇒ lim = +∞ n n Vậy lim 1− n2 = −∞ n Bài 2 Với a > nhỏ tùy ý, ta chọn na = − 1 + a 2 < a ∀n > na ⇒ lim = Suy n+1 n+1 cosn + sinn cosn + sinn =0 Ta có mà lim = ⇒ lim < 2 n n2 + n n 1 Với số thực a > nhỏ tùy ý, ta chọn na = − 1 + a 125 Các giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả n+1 n+1 < < a ∀n > na ⇒ lim = n+2 n +2 n+1 M Với M > lớn tùy ý, ta chọn nM = + 3 Ta có: Ta có: 3n3 + n n Vậy lim = 3n + 3n3 + n n2 > M ∀n > nM n = +∞ 1 Với M > lớn tùy ý , ta chọn nM > + 3÷ − a n−2 = n + 1− > 1+ n − > M ∀n > nM Ta có: 1+ n n+1 2− n = −∞ Suy lim n+1 Bài Với số thực a > nhỏ tùy ý, ta chọn na > Ta có: + 2> a 2n + 5 −2 = < < a ∀n > na n−2 n n−2 a−2 Vậy A = 2 Với số thực a > nhỏ tùy ý, ta chọn na thỏa 2na + na2 + na ⇒ B = Ta có: n +1 ⇔ na > Với số thực a > nhỏ tùy ý, ta chọn na > Ta có: −1 a n2 + n+2 −1< −1 < < a ∀n > na n+1 n+1 na + Vậy C = Bài 1 A = B = −3 C = Bài Ta có: u2n = 2n → +∞; u2n+1 = −(2n + 1) → −∞ 126 D = Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Do dãy số cho khơng có giới hạn Bài Gọi m số tự nhiên thỏa: m + > a Khi với n > m + n− m m an a a a a a a a Ta có: < = < ÷ n! m m + n m! m + 1÷ n− m a an Mà lim = Từ suy ra: lim ÷ = m + 1÷ n! Nếu a = ta có đpcm ( ) n • Giả sử a > Khi đó: a = 1+ n a − > n a Suy ra: < n a − 1< → nên lim n a = n ( n ) a −1 • Với < a < > 1⇒ lim n = 1⇒ lim n a = a a Tóm lại ta ln có: lim n a = với a > Bài Khơng tính tổng qt ta giả sử a = Với ε > tồn n0 ∈ ¥ u1 + u2 + + un n Từ ta có : < * cho với n ≥ n0 un < ε ε u1 + u2 + + un n < ≤ u1 + u2 + + un n + un 0+1 + + un n ε ( n − n0 ) ε + < ε ∀n ≥ N n u1 + + un = n Ta chứng minh quy nạp bất đẳng thức sau: xn − < ,∀n ≥ 2n Thật ta kiểm tra bất đẳng thức với n = Giả sử bất đẳng thức với n ≥ 3, tức xn − < n Khi ta có: xn+1 − = xn − 2 − − xn Suy ra: lim 127 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả ) ( x − 2 − xn + − 2 n 1 1 < xn − < = n n 22 +1 Do bất đẳng thức đến n + 1 Mặt khác lim n = nên từ bất đẳng thức nguyên lý kẹp ta ≤ ( ) có lim xn − = ⇒ limxn = Chú ý: Ta có kết sau: Cho hàm số f : ¡ → ¡ thỏa: f(x) − f(y) ≤ q x − y với x,y ∈ ¡ q ∈ ( 0;1) Khi dãy số (un ) xác định u0 = c; un = f(un−1), ∀n = 2,3, có giới hạn hữu hạn nghiệm phương trình f(x) = x Sử dụng kết ta có nghiệm phương trình f(x) = x có nghiệm nên ta chứng minh limxn = Vấn đề Tìm giới hạn dãy số dựa vào định lý giới hạn Bài + n n2 = Ta có: A = lim 3− + n n2 2+ Ta có: B = lim n2 + n n = lim 1+ n = 1 1− n − 3n2 + 1− + n2 n n8(2 + ) n (1+ )9 (2 + ) (1+ )9 2 n n n n = lim Ta có: C = lim 1 17 n (1+ ) 1+ n17 n17 Suy C = 16 n 1+ − 3+ ÷ n2 n3 ÷ = 1− Ta có: D = lim 2−1 n 2+ + − 1÷ ÷ n3 n4 Bài 128 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 2 n + 6n − n Ta có A = lim n + 6n − n ÷ = lim n2 + 6n + n 6n = lim n2 + 6n + n = lim 6 1+ + n =3 3 2 Ta có: B = lim n + 9n − n ÷ 9n2 = lim (n + 9n2 ) + n n3 + 9n2 + n2 = lim 1+ =3 9 + 1+ + n÷ n n 2 3. ÷ − 3.2n − 3n 3 =− Ta có: C = lim n+1 n+1 = lim n +3 2 2. ÷ + 3 3 Ta có: D = lim n + 2n − n ÷− lim n + 2n − n ÷ = lim 2n n2 + 2n + n = lim 1+ +1 n − lim 2n2 3 (n3 + 2n2)2 + n n3 + 2n2 + n2 − lim (1+ 22 ) + 1+ + n n = Bài 2 = +∞ Ta có A = limn 1+ + + 1÷ ÷ n n 2 = Do limn = +∞;lim 1+ + + 1÷ ÷ n n = +∞ Ta có: B = limn + − 1÷ ÷ n Chia tử mẫu cho n2 ta có 129 Các giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả C = lim n + n − 1 n 2+ + + n n n = Ta xét ba trường hợp sau • k > p Chia tử mẫu cho nk ta có: a a ak + k−1 + + +∞ if a b > k p n nk = D = lim bp b0 −∞ if ak bp < + + nk np−k • k = p Chia tử mẫu cho nk ta có: a a ak + k−1 + + n nk = ak D = lim b bk bk + + k n ak a + + p− k np = • k < p Chia tử mẫu cho np : D = lim n b0 bp + + np 1 3 5.Ta có: A = limn 1− + ÷ = +∞ n n B = +∞ ak > ak−1 a +∞ k + + ÷ = C = limn ak + n nk −∞ ak < D = +∞ 1 3+ − n n3 = 9.Ta có: E = lim 2 3 − n ÷ 1+ n ÷ 10 Ta có: 130 2 1− n ÷ F = lim 1 2+ n ÷ =8 5 1+ ÷ n Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 1 n = lim = 11 Ta có: H = lim 2 1 n + n + 1+ n 1+ + +1 n n 1+ n+1 12 Ta có: M = lim 1− n2 3 (1− n2 − 8n3)2 − 2n 1− n2 − 8n3 + 4n2 =− 12 3 13 Ta có: N = lim 4n + − 2n ÷− lim 8n + n − 2n ÷ =0 Mà: lim 4n + − 2n ÷ = lim 4n2 + + 2n n lim 8n2 + n − 2n ÷ = lim =0 2 (8n + n) + 2n 8n2 + n + 4n2 Vậy N = 3 2 14 Ta có: K = lim n + n − − n ÷− 3lim 4n + n + − 2n ÷ 3 2 Mà: lim n + n − − n ÷ = ; lim 4n + n + − 2n ÷ = Do đó: K = − = − 12 Bài 4 1 A = − B = C = 4 D = E = +∞ F = 3−1 6n M = lim =3 n2 + 6n + n N = lim 3n2 + 3 (n3 + 3n2 + 1)2 + n n3 + 3n2 + + n2 = 3 H = limn 8n + n − 2n ÷− limn 4n + − 2n ÷ = − n 2 3 ÷ − 1 3 =− 10 K = lim n 2 2 ÷ + 3 Bài 131 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả sin2n − 2+ A = lim 1+ Ta có: n n3 =2 n3 n! n3 + 2n n < nn n3 + 2n = n n3 + 2n → 0⇒ B = D = F = +∞ Xét trường hợp TH1: k > p ⇒ H = −∞ TH 2: k < p ⇒ H = +∞ TH 3: k = p ⇒ H = C = K = E = −∞ Bài Ta có: (k + 1) k + k k + 1 Suy un = 1− n+1 = k Suy un = Ta có: 1− 3 n(n + 1)2 k+1 ⇒ limun = n(n + 1) Ta có: + + + n = − 3(3n + n + 2) ⇒ limun = (k − 1)(k + 2) = 1− = Tk k(k + 1) k(k + 1) n+2 ⇒ limun = Suy un = n Ta có k3 − = (k − 1)(k2 + k + 1) k3 + (k + 1)[(k − 1)2 + (k − 1) + 1] n2 + n + Suy ⇒ un = ⇒ limun = (n − 1)n 1 1 1 2n − Ta có: un − un = + + + + n−1 ÷− n+1 2 2 2 ⇒ 2n + un = − ⇒ limun = 2 2n+1 132 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Ta có: un − qun = q + q2 + q3 + + qn − nqn+1 ⇒ (1− q)un = q Ta có: n q 1− qn − nqn+1 Suy limun = 1− q ( 1− q ) n ≤ un ≤ n n ⇒ −n n +n n +1 n +1 n ⇒ un − ≤ → ⇒ limun = n2 + ≤ un − 1≤ −1 n +1 Bài Ta chia làm trường hợp sau TH 1: n = k , chia tử mẫu cho nk , ta a a ak + k−1 + + n nk = ak A = lim bp−1 b0 bp bp + + + n nk TH 2: k > p , chia tử mẫu cho nk , ta a a ak + k−1 + + +∞ ak bp > n nk A = lim = bp bp−1 b −∞ ak bp < + + + nk nk− p nk−p+1 TH 3: k < p , chia tử mẫu cho np , ta ak a a + k−1 + + p− k np− k+1 np = A = lim n bp−1 b0 bp + + + n np Chia tử mẫu cho n2 ta có được: 1 1+ + − 1+ − n n n n4 = 1− = − B = lim 4 3 2+ n ÷ 1 n = lim = Ta có: C = lim 1 4n2 + n + + 2n 4+ + +2 n n n+1 1+ 3 Ta có: D = lim n + n + − n ÷− 2lim n + n − − n ÷ 133 Các giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả n+1 Mà: lim n + n + − n ÷ = lim n2 + n + + n 1 n = lim = 1 1+ + +1 n n2 1+ n2 − lim n3 + n2 − − n ÷ = lim 3 (n + n2 − 1)2 + n n3 + n2 − + n2 1− = lim 1+ 1 n2 = − 1 1 + 1+ − +1 6÷ n n3 n n4 Vậy D = − = − Bài Ta có 1,a,a2 , ,an cấp số nhân cơng bội a 1+ a + a2 + + an = Tương tự 1+ b + b2 + + bn = 1− an+1 1− a 1− bn+1 1− b 1− an+1 1− b Suy lim I = lim 1− na+1 = 1− a 1− b 1− b ( Vì a < 1, b < ⇒ liman+1 = limbn+1 = ) Từ công thức truy hồi ta có: xn+1 > xn , ∀n = 1,2, Nên dãy (xn ) dãy số tăng Giả sử dãy (xn ) dãy bị chặn trên, tồn limxn = x Với x nghiệm phương trình : x = x2 + x ⇔ x = < x1 vơ lí Do dãy (xn ) không bị chặn, hay limxn = +∞ Mặt khác: Suy ra: 134 1 1 = = − xn+1 xn (xn + 1) xn xn + 1 1 = − xn + xn xn+1 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt = −2x ( x2 + 2x + x2 + x + x)( x2 + 2x + x + 1) −2x2 Nên B = lim x→+∞ ( x2 + 2x + x2 + x + x)( x2 + 2x + x + 1) −2 = lim x→+∞ ( 1+ 2 + 1+ + 1)( 1+ + 1+ ) x x x x =− Bài a1 a a + + n−1 + n ) n −1 x x xn Ta có: A = lim b b b x→+∞ m x (b0 + + + m−1 + m ) m − x x xm xn (a0 + a1 a a + + n−1 + n n − x x xn = a0 • Nếu m = n ⇒ B = lim b1 bm−1 bm b0 x→+∞ b0 + + + + x xm−1 xm a0 + a1 a a + + n−1 + n n − x x xn • Nếu m > n ⇒ B = lim =0 b1 bm−1 bm x→+∞ m− n x (b0 + + + + ) x xm−1 xm a0 + ( Vì tử → a0 , mẫu → ) • Nếu m < n , ta có: a a a xn− m (a0 + + + n−1 + n ) n−1 x x xn = +∞ a0.b0 > B = lim b1 bm−1 bm x→+∞ −∞ a0b0 < b0 + + + + m − m x x x x 4+ Ta có: B = lim x→+∞ 1 1 1 + x.3 + − 4+ + 8+ − x x x x = lim x x3 = x→+∞ 3 1+ x 1+ x x4 x 4− Ta có: C = lim x→−∞ 2 x + x 1+ x 1+ x2 −x x = lim x→−∞ − 4− − 2 − 1+ x3 = 1+ + 1÷ ÷ x2 x 163 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả 1 x2 1+ + + ÷ x x2 ÷ x = +∞ Ta có: D = lim x→+∞ 1 x + + + x3 x5 x6 x ÷ ÷ ∞ − ∞ Bài tốn 04: Dạng vơ định: 0.∞ Bài 1 Ta có: A = lim ( x2 − x + − x)( x2 − x + + x) x→+∞ x2 − x + + x = lim x2 − x + 1− x2 x→+∞ B = lim x − x + 1+ x −x + 1 =− x − x + 1+ x = lim x→+∞ (2x − 4x2 − x + 1)(2x + 4x2 − x + 1) x→−∞ 2x − 4x2 − x + x+1 = lim = x→−∞ 2x − 4x2 − x + Đặt y = n (x − a1)(x − a2) (x − an ) n n ⇒ y − x = (y − x)(y ⇒ lim (y − x) = lim x→+∞ n−1 x→+∞ +y n−1 n−1 ) ⇒ y−x= x + + x yn − xn yn−1 + yn−1x + + xn−1 yn − xn yn−1 + yn−2x + + xn−1 yn − xn ⇒ C = lim x→+∞ y n −1 xn−1 + y x + + xn−1 n −1 xn−1 yn − xn Mà lim x→+∞ n −1 x = lim (a1 + a2 + + an + x→+∞ b2 x + b3 x + + bn xn−1 ) = a1 + a2 + + an lim yk xn−1− k n −1 x→+∞ x Vậy C = = ∀k = 0, ,n − ⇒ lim x→+∞ a1 + a2 + + an n Bài A = lim x→+∞ 164 −x + x2 − x + + x =− yn−1 + yn− 2x + + xn−1 n−1 x =n Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt B = −∞ −2x = −1 lim x − x + − x + x + 1÷ = lim x→+∞ x→+∞ x2 − x + + x2 + x + −2x lim x2 − x + − x2 + x + 1÷ = lim = x→−∞ x→−∞ x2 − x + + x2 + x + D = xlim →+∞ 2x (8x3 + 2x)2 + 2x3 (8x3 + 2x) + 4x2 =0 4 E = lim 16x + 3x + − 2x ÷+ lim 4x + − 2x ÷ = x→+∞ x→+∞ F = −∞ Bài tốn 05: Dạng vơ định hàm lượng giác Bài Ta có: A = lim ax ax sin ÷ = a lim ÷ = a ax x → 2 x ÷ ÷ 2sin2 x→0 Bài mx mx mx + 2sin cos 2 nx nx nx 2sin2 + 2sin cos 2 mx nx mx mx sin sin + cos m 2 = nx nx nx n mx sin sin + cos 2 2 mx nx mx mx sin sin + cos m lim lim 2 = m A = lim nx x→0 nx nx n x→0 mx x→0 n sin sin + cos 2 2 Ta có: 1− cosx.cos2x.cos3x 1− cosx + cosxcos2x(1− cos3x) + cosx(1− cos2x) = x2 x2 1+ sinmx − cosmx = Ta có: 1+ sinnx − cosnx = 1− cosx x B = lim x→0 + cosx.cos2x 1− cosx x 2sin2 1− cos3x x + limcosx.cos2x x→0 + cosx 1− cos2x 1− cos3x x x2 + limcosx x→0 1− cos2x x2 =3 Bài 165 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả 3x sin sin2 x sinx = = lim x( ) lim Ta có: A = lim 3x x→0 x→0 x x→0 3x sin 2 5x x 5x 2sin sin sin 2 = − lim( ).lim = B = lim 7x x 5x 7x x→0 x→0 x→0 −2xcos sin cos 2 2 tan2 2x tan2 2x(1+ cos2x + cos2 2x) = lim x→0 1− cos2x x→0 1− cos2x C = lim = lim tan2 2x(1+ cos2x + cos2 2x) 2sin2 x tan2x x = 2lim( ) ( ) (1+ cos2x + cos2 2x) x→0 2x sinx ⇒ C = D = lim x→0 1+ xsin3x − cos2x Ta có: x→0 x2 1+ xsin3x − cos2x 1+ xsin3x − 1− cos2x = lim + lim Mà : lim 2 x→0 x→0 x→0 x x x2 sin3x = 3lim( ) + 2= x→0 3x 1+ xsin3x + Vậy: D = Bài Ta có: A = lim sin π(1− xm ) x→1 sin π(1− xn ) = lim 1− xn x→11− xm = lim x→1 = lim sin π(1− xm ) π(1− xm ) lim (1− x)(xn−1 + xn− + + 1) x→1(1− x)(xm−1 + xm− + + 1) = n m π −x lim sinx = π π x→ sin( − x) 2 α Ta có: ≤| xα sin |< xα Mà lim x = x→0 x Nên theo nguyên lí kẹp ⇒ A 39 = Trước hết ta có: sinx < x ∀x > 166 lim 1− xn x→1 sin π(1− xn ) x→11− xm π sinx = lim Ta có: B = lim( − x) π cosx x→ π x→ π(1− xn ) Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Ta có: sin x + − sin x = 2sin x + 1− x x + 1+ x cos 2 < Mà lim x→+∞ Bài 1 x + 1+ x = nên D = x + 1+ x 7x x sin 2 = Ta có: A = lim 11x x 11 x→0 sin sin 2 −2sin2x B = lim =− Ta có x→0 sin3x 1+ 1+ 2sin2x + (1+ 2sin2x)2 ÷ sin sin2 2x x2 = −96 x→0 cosx − 1− cosx + x2 x2 16 Ta có: D = 81 π 1− sin cosx ÷ 2 tanx E = lim =0 sin(tanx) x→0 tanx 3sinx + 2cosx Ta có: ≤ < → x → +∞ x + 1+ x x + 1+ x Vậy F = Ta có: C = lim m Ta có: H = lim x→0 cosax − 1− n cosbx + b a x2 x2 = − 2n 2m sin x x2 n Ta có: 1− cosax = ⇒ M = lim 1− cosax x→0 x 1− cosax 1+ cosax + ( cosax)2 + + (n cosax)n−1 lim x→0 1+ n n n cosax + ( cosax)2 + + (n cosax)n−1 n a a = = n 2n 167 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Bài 7x x sin 2 = Ta có: A = lim 11x x 11 x→0 sin sin 2 −2sin2x B = lim =− Ta có x→0 sin3x 1+ 1+ 2sin2x + (1+ 2sin2x)2 ÷ sin sin2 2x x2 = −96 x→0 cosx − 1− cosx + x2 x2 Ta có: C = lim sin2x Ta có: D = lim ÷ x→0 2x 3x 16 16 ÷ = sin3x 81 81 π 1− sin cosx ÷ 2 Ta có: tanx E = lim sin(tanx) x→0 tanx sin(tanx) = 1; Mà lim x→0 tanx 2x π sin ÷ 2sin ÷ π π ÷ 1− sin cosx ÷ 1− cos (1− cosx) ÷ 2 = lim 2 = lim lim x→0 x→0 x→0 tanx tanx tanx x π sin2 ÷ 2÷ sin2 2x ÷ ÷ sin π x x = = lim x x x→0 tanx π sin2 ( )2 2 Do đó: E = 3sinx + 2cosx Ta có: ≤ < → x → +∞ x + 1+ x x + 1+ x Vậy F = 168 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt m Ta có: H = lim x→0 cosax − 1− n cosbx + b a x2 x2 = − 2n 2m sin x x2 3x + − 2x + x 1− cos2x Ta có: M = lim x→0 1 = 2=− − x2 HÀM SỐ LIÊN TỤC Vấn đề Xét tính liên tục hàm số điểm Bài x−2 1 = lim = = f(4) x→4 x→4 x − x→4 x + Hàm số liên tục điểm x = (x − 1)(x − 2) + 2 = 2 lim f(x) = lim x−1 x→1+ x→1+ Ta có : lim f(x) = lim ( ) lim f(x) = lim 3x2 + x − = ≠ lim f(x) x→1− x→1− x→1+ Hàm số không liên tục x = Hàm số liên tục x = 1, không liên tục điểm x = −1 Bài 2x + − 2x f(x) = lim = lim =1 Ta có : xlim →0 x→0 x(x + 1) x→0 x(x + 1) 2x + + ( Vậy ta chọn f(0) = ( ) ) 3x + + 2 lim f(x) = lim = Ta có : x→0 x→0 3 (2x + 8)2 + 2.3 2x + + 4÷ Vậy ta chọn f(0) = 169 Các giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Bài Ta có: f(−1) = lim− f(x) = lim− ( 2x + 3) = x→−1 lim f(x) = lim x→−1+ x→−1+ x+ x+ x2 − x − = lim x+ x→−1+ (x + 1)(x − x + 2) lim x− x− x+ Suy lim+ f(x) ≠ lim− f(x) x→−1+ x→−1 x→−1 = x→−1 Vậy hàm số không liên tục x0 = −1 Ta có: f(0) = x + 1+ x − 1+ x − = lim 1+ ÷ ÷ x→0 x→0 x x lim f(x) = lim x→0 = lim 1+ ÷ = = f(0) x→0 1− x − + x − 1 Vậy hàm số liên tục x = Ta có : limf(x) = lim x→1 x→4 x−1 1 = lim = = f(1) x − x→4 x2 + x + Hàm số liên tục điểm x = (x + 1)(x − 2) + 2x = 4 Ta có : lim f(x) = lim x− x→2+ x→ 2+ ( ) lim f(x) = lim x2 − x + = ≠ lim f(x) x→ 2− x→2− x→2+ Hàm số không liên tục x0 = Bài Ta có : lim+ f(x) = lim+ (x + x + 1) = x→0 x→0 lim f(x) = lim (x + 2a) = 2a x→0− x→0− Suy hàm số liên tục x = ⇔ a = 4x + − x→0 x ( ax + 2a + 1) Ta có : lim f(x) = lim x→0 = lim x→0 170 ( ax + 2a + 1) ( ) 4x + + = 2a + Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Hàm số liên tục x = ⇔ Ta có : lim f(x) = lim x→1+ lim f(x) = lim x→1− x→1− x→1+ = 3⇔ a = − 2a + 3x + − 2 x −1 = a(x − 2) a = x− Suy hàm số liên tục x = ⇔ a 3 = ⇒ a= Vấn đề Xét tính liên tục hàm số tập Bài 1 TXĐ : D = ¡ \ { 3; −2} Ta có hàm số liên tục x ∈ D hàm số gián đoạn x = −2,x = 1 ; +∞ ÷ TXĐ : D = −∞; − ∪ 3 ; +∞ ÷ Ta có hàm số liên tục điểm x ∈ −∞; − ÷∪ 3 lim f(x) = = f − ÷⇒ − hàm số liên tục trái x = − 1 x→ − ÷ lim 3 f(x) = = f ÷⇒ + hàm số liên tục phải x = 3 ÷ x→ 3 1 ; Hàm số gián đoạn điểm x ∈ − ÷ 3 π π TXĐ : D = ¡ \ + k ,k ∈ ¢ Ta có hàm số liên tục điểm thuộc D gián đoạn điểm π π x = + k ,k ∈ ¢ Bài TXĐ : D = ¡ • Với x < ⇒ f(x) = x − 5x + ⇒ hàm số liên tục 2x3 − 16 • Với x > ⇒ f(x) = − x ⇒ hàm số liên tục 171 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả • Tại x = ta có : f(2) = lim f(x) = lim ( − x) = ; x→2+ x→ 2+ (x − 2)(x − 3) lim f(x) = lim x→ 2− x→2− =− ≠ lim f(x) 24 x→2+ 2(x − 2)(x + 2x + 4) Hàm số không liên tục x = 2 Hàm số xác định với x thuộc ¡ • Với x < 1⇒ f(x) = 1− x + ⇒ hàm số liên tục x+ • Với x > 1⇒ f(x) = x − ⇒ hàm số liên tục x−1 • Tại x = ta có : f(1) = lim f(x) = lim x→1+ x→1+ x −1 x −1 = lim x→1+ (x − 1)( x + 1) (x − 1)( x + x + 1) = ; 1− x + 2 = = lim f(x) = f(1) x+ x→1+ x→2− x→1− Hàm số liên tục x = Vậy hàm số liên tục ¡ Bài Hàm số liên tục điểm x ≠ gián đoạn x = Hàm số liên tục điểm x ≠ gián đoạn x = Hàm số liên tục điểm x ≠ gián đoạn x = Hàm số liên tục điểm x ≠ ±1và gián đoạn x = ±1 Bài π a + b = a = ⇔ Hàm số liên tục ¡ ⇔ π − π a + b = −1 b = a = Hàm số liên tục ¡ ⇔ b = −1 lim f(x) = lim Bài Với x ≠ ta có f(x) = ¡ \ { 1} x − + 2x − nên hàm số liên tục khoảng x−1 Do hàm số liên tục ¡ hàm số liên tục x = Ta có: f(1) = 3m − 172 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt x→1 x − + 2x − x→1 x−1 x3 + x − = lim 1+ x→1 (x − 1) x2 − x3 x − + (x − 2)2 ÷ x2 + x + =2 = lim 1+ 2 x→1 x − x x − + (x − 2) limf(x) = lim Nên hàm số liên tục x = ⇔ 3m − = ⇔ m = Vậy m = 4 giá trị cần tìm x + 1− • Với x > ta có f(x) = nên hàm số liên tục ( 0; +∞ ) x • Với x < ta có f(x) = 2x2 + 3m + nên hàm số liên tục (−∞;0) Do hàm số liên tục ¡ hàm số liên tục x = Ta có: f(0) = 3m + lim f(x) = lim x→0+ x→0+ ( x + 1− 1 = lim = + x x + 1+ x→0 ) lim f(x) = lim 2x2 + 3m + = 3m + x→0− x→0− Do hàm số liên tục x = ⇔ 3m + = 1 ⇔ m=− hàm số liên tục ¡ Với x > ta có hàm số liên tục Để hàm số liên tục ¡ hàm số phải liên tục khoảng ( −∞;2) liên tục x = Vậy m = − • Hàm số liên tục ( −∞;2) tam thức g(x) = x2 − 2mx + 3m + ≠ 0, ∀x ≤ ∆ ' = m2 − 3m − ≤ − 17 + 17 ⇔ ≤ m≤ TH 1: 2 g(2) = −m + ≠ m2 − 3m − > ∆ ' = m2 − 3m − > ⇔ m > TH 2: x1 = m − ∆ ' > ∆ ' < (m − 2) 173 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả + 17 + 17 m > ⇔ ⇔ < m< 2 m < Nên − 17 ≤ m < (*) g(x) ≠ 0, ∀x ≤ 2 • lim+ f(x) = lim+ x→2 x→ lim f(x) = lim x→2− x→2− ( ) 2x − + = x+1 = 6− m x − 2mx + 3m + = ⇔ m = (thỏa (*)) Hàm số liên tục x = ⇔ 6− m Vậy m = giá trị cần tìm Vấn đề Chứng minh phương trình có nghiệm Bài 1 Xét hàm số f(x) = x3 − 3x + 1, ta có hàm số liên tục R f(−2) = −1; f(0) = 1; f(1) = −1;f(2) = ⇒ f(−2).f(0) = −1 < 0,f(0).f(1) = −1 < 0,f(1).f(2) = −3 < Suy phương trình có ba nghiệm phân biệt thuộc khoảng (−2;0),(0;1),(1;2) Mà f(x) đa thức bậc ba nên f(x) có tối đa nghiệm Vậy phương trình cho có ba nghiệm Phương trình ⇔ 2x − = 63 x − ⇔ (2x − 3)3 − 216(x − 1) = Xét hàm số f(x) = (2x − 3)3 − 216(x − 1) , ta có hàm số liên tục R f(−4) = −251,f(0) = 189,f(1) = −1,f(7) = 35 Suy ⇒ f(−4).f(0) < 0,f(0).f(1) < 0,f(1).f(7) < Suy phương trình có ba nghiệm phân biệt thuộc khoảng (−4;0),(0;1),(1;7) Mà f(x) đa thức bậc ba nên f(x) có tối đa nghiệm Vậy phương trình cho có ba nghiệm Bài Ta có hàm số f(x) = m ( x − 1) ( x + 2) + 2x + liên tục R f(1).f(−2) = −5 < ⇒ phương trình có nghiệm thuộc (−2;1) π Điều kiện : x ≠ k ,k ∈ ¢ π Xét hàm số f(x) = sinx − cosx − msinxcosx ,liên tục 0; 2 174 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt π f(0).f( ) = −1< phương trình f(x) = có nghiệm π π x0 ∈ 0; ÷ ⇒ x0 ≠ k 2 Do phương trình cho có nghiệm Hàm số f(x) = m ( x − a) ( x − c) + n ( x − b) ( x − d ) liên tục R f(a).f(c) = n2 ( a − b) ( a − d ) ( c − b) ( c − d ) ≤ ⇒ phuowngt rình cho có nghiệm Bài Đặt f(x) = ax2 + bx + c • c = ⇒ f(x) = có nghiệm x = m + 1 −c • c ≠ ta có f(0) = c;f ÷= m + m ( m + 2) m + 1 −c2 ⇒ f(0).f = < , suy phương trình f(x) = có ÷ m + m ( m + 2) nghiệm Bài Gọi f(x) vế trái phương trình Ta có hàm số y = f(x) liên tục ¡ f(1).f(−1) = −3 < Nên phương trình có nghiệm thuộc (−1;1) Ta có hàm số y = f(x) liên tục ¡ f(−2)f(− ) < 0; 1 f(− )f(−1) < 0;f(−1).f( ) < 0;f( )f(1) < 0;f(1)f(3) < 2 Nên ta có điều phải chứng minh Ta có hàm số y = f(x) liên tục ¡ f(a)f(b)f(c) = −abc (a − b)(b − c)(c − a) < Nên ta có điều phải chứng minh f(x) lim f(x) < Ta có hàm số y = f(x) liên tục ¡ xlim →−∞ x→+∞ Nên ta có điều phải chứng minh Ta có hàm số y = f(x) liên tục ¡ f(1).f(2) < Nên ta có điều phải chứng minh Bài Ta xét f( Mặt khác từ : ⇔ m n2 f( n n2 n )=a + b + c m m m a b c m n2 n m + + =0 ⇒ + b + c÷+ c( − ) = a 2 ÷ m n p m p n2 n m n2 − pm pm − n2 pm − n2 n n ) + c = ⇔ f( ) = c= f(0) m m pm pm pn2 175 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả * Xét c = Nếu a = ⇒ b = ⇒ f(x) đa thức khơng, f(x) có nghiệm (0;1) b n < f(x) = x(ax + b) = Nếu a ≠ 0, từ giả thiết ⇒ − = a m b ⇔ x = − ∈ (0;1) a pm − n2 n f (0) < ⇒ f(x) có nghiệm * Xét c ≠ , ta có: f ÷.f(0) = pm m n x ∈ (0; ) ⊂ (0;1) m Bài Xét hàm số g ( x) = f ( x) − x ,ta có y = g(x) liên tục 0;1 g(0)g(1) < nên tồn c ∈ 0;1 :g(c) = ⇔ f(c) = c • Nếu f(0) = ta chọn c = • Nếu f(0) > Xét hàm số g(x) = f(x) − x , ta có hàm g liên tục [0; +∞) g(0) > f(x) f(a) = L < nên tồn số a > cho < 1⇒ g(a) < Vì lim x→+∞ x a ⇒ g(0).g(a) < nên tồn số thực c ∈ ( 0;a) cho g(c) = Hay f(c) = c x x x Ta có: f(x) = ff ÷ = ÷ = = f n ÷ 3 3 x Cho n → ∞ ⇒ n → 0, ∀x Suy ra: f(x) = f(0) = a, ∀x ∈ ¡ Vậy f hàm 1 Xét hàm số g(x) = f x + ÷ − f(x) , ta có g hàm liên tục n n − 1 0; n Và n −1 k n −1 k + 1 k ÷ − ÷ = f(1) − f(0) = n n k= ∑ g n ÷ = ∑ ff k= i j Suy tồn hai số i,j ∈ { 0,1, ,n − 1} cho : g ÷.g ÷ < n n Hay phương trình : g(x) = ⇔ f(x) − f(x + ) = có nghiệm 0;1 n 176 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Bài Xét hàm số : g(x) = nf(x) − f(x1) − f(x2) − − f(xn ) liên tục [a ;b] Vì f liên tục đoạn [a ;b] nên tồn giá trị lớn M, nhỏ m tồn α ,β ∈ a,b cho f(α) = m,f(β) = M ⇒ g(α).g(β) < Hàm số : f(x) = cosx − x2 liên tục ¡ f(0).f(1) = 1(cos1− 1) < Suy ∃α ∈ ( 0;1) :f(α) = hay cosα = α Mặt khác hàm số y = cosx hàm nghịch biến (0;1) , hàm y = x2 hàm đồng biến ( 0;1) nên α số Hàm số g(x) = xtanx − liên tục ( 0;1) f(0).f(1) = −1(tan1− 1) < , đồng thời hàm số g(x) đồng biến (0;1) nên tồn số thực β ∈(0;1) cho β tan β − = sin α − 1< = f(β) ⇒ α < β Vì sinx < x ∀x > nên g(α) = α 177 ... + ÷ x x2 ÷ x = +∞ Ta có: D = lim x→+∞ 1 x + + + x3 x5 x6 x ÷ ÷ ∞ − ∞ Bài tốn 04: Dạng vơ định: 0.∞ Bài 1 Ta có: A = lim ( x2 − x + − x)( x2 − x + + x) x→+∞ x2 − x + + x = lim