Đang tải... (xem toàn văn)
Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hàm số lượng giác Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hàm số lượng giác Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hàm số lượng giác Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hàm số lượng giác Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hàm số lượng giác Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hàm số lượng giác Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hàm số lượng giác Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hàm số lượng giác Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hàm số lượng giác Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hàm số lượng giác Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hàm số lượng giác Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hàm số lượng giác Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hàm số lượng giác Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hàm số lượng giác Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hàm số lượng giác Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hàm số lượng giác Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hàm số lượng giác Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hàm số lượng giác Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hàm số lượng giác Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hàm số lượng giác Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hàm số lượng giác Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hàm số lượng giác Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hàm số lượng giác Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hàm số lượng giác Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hàm số lượng giác Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hàm số lượng giác Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hàm số lượng giác Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hàm số lượng giác
Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt CHỦ ĐỀ: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A TĨM TẮT LÍ THUYẾT I Các cơng thức lượng giác Các đẳng thức: * sin2 cos2 với k với � * tan .cot * 1 tan * 1 cot cos2 với �k2 với �k sin2 Hệ thức cung đặc biệt a.Hai cung đối nhau: cos() cos tan() tan b Hai cung phụ nhau: cos( ) sin tan( ) cot c Hai cung bù nhau: sin( ) sin tan( ) tan d) Hai cung : sin( ) sin tan( ) tan Các công thức lượng giác sin() sin cot( ) cot sin( ) cos cot( ) tan cos( ) cos cot( ) cot cos( ) cos cot( ) cot http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả a Công thức cộng cos(a �b) cosa.cosbm sina.sin b sin(a �b) sina.cosb �cosa.sinb tana �tanb 1m tana.tanb b) Công thức nhân sin2a 2sinacosa tan(a �b) cos2a cos2 a sin2 a 1 2sin2 a 2cos2 a sin3a 3sina 4sin3 a cos3a 4cos3 a 3cosa c Công thức hạ bậc 1 cos2a 1 cos2a sin2 a cos2 a 2 cos2a tan2 a 1 cos2a d Cơng thức biến đổi tích thành tổng cosa.cosb [cos(a b) cos(a b)] sina.sin b [cos(a b) cos(a b)] sina.cosb [sin(a b) sin(a b)] e Công thức biến đổi tổng thành tích a b a b cosa cosb 2cos cos 2 a b a b cosa cosb 2sin sin 2 a b a b a b a b sina sin b 2sin cos sina- sin b 2cos sin 2 2 sin(a b) sin(a b) tana tanb tana tan b cosacosb cosacosb II Tính tuần hồn hàm số Định nghĩa: Hàm số y f(x) xác định tập D gọi hàm số tuần hồn có số T �0 cho với x �D ta có x �T �D f(x T) f(x) Nếu có số T dương nhỏ thỏa mãn điều kiện hàm số gọi hàm số tuần hồn với chu kì T III Các hàm số lượng giác Hàm số y sinx �Tập xác định: D R �Tập giác trị: [ 1;1] , tức 1�sinx �1 x �R Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt �Hàm số đồng biến khoảng ( k2; k2) , nghịch biến 2 3 khoảng ( k2; k2) 2 �Hàm số y sinx hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng �Hàm số y sinx hàm số tuần hồn với chu kì T 2 �Đồ thị hàm số y sinx Hàm số y cosx �Tập xác định: D R �Tập giác trị: [ 1;1] , tức 1�cosx �1 x �R �Hàm số y cosx nghịch biến khoảng (k2; k2) , đồng biến khoảng ( k2;k2) �Hàm số y cosx hàm số chẵn nên đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng �Hàm số y cosx hàm số tuần hồn với chu kì T 2 �Đồ thị hàm số y cosx Đồ thị hàm số y cosx cách tịnh tiến đồ thị hàm số y sinx u r theo véc tơ v ( ;0) Hàm số y tan x � � �Tập xác định : D �\ � k , k ��� �2 �Tập giá trị: � �Là hàm số lẻ �Là hàm số tuần hoàn với chu kì T http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả � � �Hàm đồng biến khoảng � k; k � �2 � �Đồ thị nhận đường thẳng x k, k �� làm đường tiệm cận �Đồ thị Hàm số y cotx �Tập xác định : D �\ k, k �� �Tập giá trị: � �Là hàm số lẻ �Là hàm số tuần hồn với chu kì T �Hàm nghịch biến khoảng k; k �Đồ thị nhận đường thẳng x k , k �� làm đường tiệm cận �Đồ thị B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Vấn đề Tập xác định tập giá trị hàm số Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Phương pháp �Hàm số y f(x) có nghĩa ۳ f(x) f(x) tồn có nghĩa ۹ f(x) f(x) tồn f(x) � sinu(x) � �0 u(x) k , k � �Hàm số y � cosu(x) �۹ � u(x) k , k � � 1�sinx, cosx �1 Các ví dụ Ví dụ Tìm tập xác định hàm số sau: y tan(x ) y cot2( 3x) Lời giải ) 0�x۹ k x Điều kiện: cos(x �� 6 �2 � TXĐ: D �\ � k , k ��� �3 2 2 �� 3x) 0 �۹ 3 �2 � TXĐ: D �\ � k , k ��� �9 Điều kiện: sin( 3x k x Ví dụ Tìm tập xác định hàm số sau: tan2x cot(3x ) y sinx tan5x y sin4x cos3x Lời giải � � sinx �1 x � k2 � � � �� Điều kiện: � k sin(3x ) �0 � � x � � � 18 � n � k2, ;k,n ��� Vậy TXĐ: D �\ � 18 �2 2 2 k k � � Ta có: sin4x cos3x sin4x sin � 3x � �2 � http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả �x � �7x � 2cos� � sin � � �2 � �2 � � � cos5x �0 � � � �x � cos� �۹ Điều kiện: � �0 � �2 � � �7x � sin � ��0 � � �2 � � x� k � 10 � � x k2 � � k2 � x � � 14 � � k 2m � , n2 , Vậy TXĐ: D �\ � � 14 �10 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài Tìm tập xác định hàm số sau: 1 sin2x 1 cos3x y y cos3x 1 sin4x y tan(2x ) y 1 cot x 1 sin3x Bài Tìm tập xác định hàm số sau: tan2x y y sin2x cos3x 3sin2x cos2x cotx y y tan(x ).cot(x ) 2sinx Bài Tìm tập xác định hàm số sau: y tan3x.cot5x y tan(2x ) y tan3x cot(x ) sinx y tan4x tan x y cos4x sin3x sin3x y sin8x sin5x Vấn đề Tính chất hàm số đồ thị hàm số Phương pháp Cho hàm số y f(x) tuần hồn với chu kì T * Để khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số, ta cần khảo sát vẽ đồ thị hàm số đoạn có độ dài T sau ta u r u r tịnh tiến theo véc tơ k.v (với v (T;0), k �� ) ta toàn đồ thị hàm số 10 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt * Số nghiệm phương trình f(x) k , (với k số) số giao điểm hai đồ thị y f(x) y k * Nghiệm bất phương trình f(x) �0 miền x mà đồ thị hàm số y f(x) nằm trục Ox Chú ý: �Hàm số f(x) asinux bcosvx c ( với u,v �� ) hàm số tuần hồn với chu kì T 2 (u,v) ( (u,v) ước chung lớn nhất) �Hàm số f(x) a.tanux b.cotvx c (với u,v �� ) hàm tuần hồn với chu kì T (u,v) Các ví dụ Ví dụ Xét tính tuần hồn tìm chu kì sở hàm số : 3x x f(x) cos cos 2 Lời giải Ta có f(x) cosx cos2x � hàm số tuần hồn với chu kì sở T0 2 Ví dụ Xét tính tuần hồn tìm chu kì sở (nếu có) hàm số sau f(x) cosx cos f(x) sinx2 3.x Lời giải Giả sử hàm số cho tuần hồn � có số thực dương T thỏa f(x T) f(x) � cos(x T) cos 3(x T) cosx cos 3x � cosT � Cho x � cosT cos 3T � � cos 3T � � T 2n m � m �� � 3 vơ lí, m,n �� � số hữu tỉ n 3T 2m n � Vậy hàm số cho khơng tuần hồn Giả sử hàm số cho hàm số tuần hoàn � T 0:f(x T) f(x) � sin(x T)2 sinx2 x �� Cho x � sinT � T k � T k � f(x k ) f(x) x �� Cho x 2k ta có: f( 2k ) sin k2 sin(k2) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 11 Các giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả f(x k ) sin k2 k sin 3k 2k �sin(2k 2) � f(x k ) �0 Vậy hàm số cho khơng phải hàm số tuần hồn Ví dụ Cho a,b,c,d số thực khác Chứng minh hàm số c f(x) asincx bcosdx hàm số tuần hoàn số hữu d tỉ Lời giải * Giả sử f(x) hàm số tuần hoàn � T 0: f(x T) f(x) x � asincT bcosdT b � cosdT �� Cho x 0,x T � � asincT bcosdT b � sincT � � dT 2n c m �� � �� cT m d 2n � c c k 2k 2l * Giả sử �� � k,l ��: Đặt T d d l c d Ta có: f(x T) f(x) x �� � f(x) hàm số tuần hồn với chu kì 2k 2l T c d Ví dụ Cho hàm số y f(x) y g(x) hai hàm số tuần hoàn với T chu kỳ T1,T2 Chứng minh số hữu tỉ T2 hàm số f(x) �g(x); f(x).g(x) hàm số tuần hồn Lời giải T Vì số hữu tỉ nên tồn hai số nguyên m,n;n �0 cho T2 T1 T2 m � nT1 mT2 T n Khi f(x T) f(x nT1) f(x) g(x T) g(x mT2) g(x) Suy f(x T) �g(x T) f(x) �g(x) f(x T).g(x T) f(x).g(x) , f(x T) f(x) Từ ta có điều phải chứng minh g(x T) g(x) Nhận xét: Hàm số f(x) asinux bcosvx c ( với u,v �� ) hàm số tuần hồn 2 với chu kì T ( (u,v) ước chung lớn nhất) (u,v) 12 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Hàm số f(x) a.tanux b.cotvx c (với u,v �� ) hàm tuần hồn với chu kì T (u,v) CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài Chứng minh hàm số sau hàm số tuần hồn với chu kì sở T0 Bài Xét tính tuần hồn tìm chu kì sở (nếu có) hàm số sau y sin2x sinx y tanx.tan3x y sin3x 2cos2x Bài Xét tính tuần hồn tìm chu kì sở (nếu có) hàm số sau y sin2x sinx y tan x.tan3x y sin3x 2cos2x y sin x f(x) sinx , T0 2 f(x) tan2x, T0 Vấn đề Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số Các ví dụ Ví dụ Xét biến thiên vẽ đồ thị hàm số sau y 2sinx Lời giải Hàm số y 2sinx �TXĐ: D � �Hàm số y 2sinx hàm số lẻ �Hàm số y 2sinx hàm tuần hồn với chu kì T 2 � � �Hàm số đồng biến khoảng � k2; k2 � Nghịch biến � � � � khoảng � k2; k2 � �2 � � � �Đồ thị hàm số quan điểm (k;0), � k2;2� �2 � http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 13 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Ví dụ Xét biến thiên vẽ đồ thị hàm số sau y tan2x Lời giải Hàm số y tan2x � � �TXĐ: D �\ � k ,k ��� �4 �Hàm số y tan2x hàm số lẻ �Hàm số y tan2x hàm tuần hồn với chu kì T � � �Hàm số đồng biến khoảng � k; k � � � �Các đường tiệm cận: x k k �Đồ thị hàm số quan điểm ( ;0) Ví dụ Xét biến thiên vẽ đồ thị hàm số sau y 1 2cos2 x Lời giải Hàm số y 1 2cos2 x Ta có: y cos2x �TXĐ: D � �Hàm số y cos2x hàm số chẵn �Hàm số y cos2x hàm tuần hoàn với chu kì T � � �Hàm số đồng biến khoảng � k; k �, nghịch biến �2 � � � k; k � khoảng � � � 14 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt cosx 2sinx.cosx 4 4 sin x cos x 3sin4x 2cos x sinx Bài 11 Giải phương trình sau: 2sin2x sinx cosx sin2x 12 sinx cosx 12 � � x � sin2x 2sin � � 4� cosx sinx 2sin2x 1 tanx 2sinx cos3 x sin3 x cos2x cos3 x sin3 x 2sin2x sinx cosx 1 10 sinx cosx cosx sinx Bài 12 Giải phương trình sau: 2cos2 x 6sinxcosx 6sin2 x cos2 x 3sin2x 1 sin2 x 2 sinx cosx cosx 2cos2 x tanx cotx 2 sin2x cos2x 2cos3 x sin3x 4sin3 x 3cos3 x 3sinx sin2 xcosx sin2 x tanx 1 3sinx cosx sinx 3 5 cos x sin x cos x sin x sin2 x 3tanx cosx 4sinx cosx 10 2cos3(x ) 3cosx sinx Bài 13 Giải phương trình sau: 2sin2 x 3sinx sin2 x cosx 2cos2x 3sinx 3cos4x sin2 2x cos2x Bài 14 Giải phương trình sau: 4cosx.cos2x 16(sin8 x cos8 x) 17cos2 2x cos4 x cos2x 2sin6 x Bài 15 Giải phương trình sau: cos2x cosx 6sin2x 2sin2 2x 2cos 2x 13cosx cos2x 0 1 tan2 x � 5 � � 7 � 2x x sin � � 3cos� � 1 2sinx 2� � � 2� cos2x 3cosx 4cos2 x 2sin4 x 2cos4 x 2sin2x 2tan2 x cosx 5 1 cosx sin4 x cos4 x 10 7cosx 4cos3 x 4sin2x http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 35 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả 11 cos4x cos2 3x 13 sin6x cos4x cos2x 12 2cos2 3x 4x 3cos 5 � � � � 4 x � cot � x � sin2x 14 sin x cos x cot � � � �6 � Bài 16 Giải phương trình sau: 1 3tanx 2sin2x 2 cotx tanx 4sin2x 6 sin x cos x sin2x sin2x cos4 x sin4 x cos(x )sin(3x ) 4 Bài 17 Giải phương trình sau: 11x 9x sin sin2 2x.cos6x sin2 3x sin 2 2 1 2 sin2x cos2x 6tan2(x ) sin4x 1+sinx cosx sin2x cos2x cos2 x(cosx 1) 2(1 sinx) 3cot2 x 2sin2 x (2 2)cosx sinx cosx 2sin2x cos2x 7sinx 2cosx Bài 18 Giải phương trình sau: sin4 x cos4 x 1 ( A1 – 2002 ) cot2x 5sin2x 8sin2x 2cosx 1 2sinx cosx sin2x sinx ( D – 2004 ) 2(sin6 x cos6 x) sinxcosx 2sinx ( A – 2006 ) x cotx sinx(1 tanxtan ) (B – 2006 ) x � x 2� tan x cos2 ( D – 2003 ) sin � � �2 � cotx tanx sinx cosx sinx.sin4x 2cos( x) 3cosx.sin4x tan4 x (2 sin2 x)sin3x cos4 x x (2 3)cosx 2sin2( ) 1 2cosx x 3 10 4sin2 3cos2x 1 2cos2(x ) 36 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 11 3sinx 2cosx 3tanx 2tan2 x 5tanx 5cotx 12 sin x 13 sin2 x sin2 3x 3cos2 2x �3 x � � 3x � 14 sin � � sin � � �10 � �10 � (1 sinx cos2x)sin(x ) 15 cosx 1 tanx 16 (sin2x cos2x)cosx 2cos2x sinx 17 sin2x cos2x 3sinx cosx (1 2sinx)cosx 18 (1 2sinx)(1 sinx) 19 sinx cosxsin2x 3cos3x 2(cos4x sin3 x) 20 3cos5x 2sin3xcos2x sinx Bài 19 Giải phương trình sau 2cosx tanx 1 2sin2x 8 3cotx tanx 8sin(x ) 3 sin3x cosx.cos2x(tan2x tan2 x) 2(sinx cosx)2(1 2sin2x) 1 tanx sin3x sin5x sin(2x )cos2x 2sin(x ) 4 cos2 2x cos4x(tan2x.cotx 1) cosx 2cos3x 1 3.sinx � � � � x � sin4x sin � 2x � sinx sin � 3� � 3� � � � 1 cos 2x 2sinx � � 2sinx sinx � � 10 (sinx 2cosx)cos2x sinx (cos4x 1)cosx cos2x 2sinx �cos4x sin2x � � � 11 � x � � 2sin � �cos3x sin3x � � 4� 12 sin4 x cos4 x 3 2 3 sin2x.cos2x cos2 2x 2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 37 Các giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả 13 sin3x 2cos3x cos2x 2sin2x 2sinx � � 14 sinxsin4x 2cos� x � 3cos xsinxcos2x � � 15 2cos2x 1 cosx sinx sinx cosx sin3x 16 tan2 x (1 2sinx)(tanx 2cosx) 1 cosx.cos2x 4sin2 x sinx sin2x cosx Bài 20 Giải phương trình sau: 17 sinx.sin4x 2cos( x) 3cosx.sin4x cosx 2cos3x 1 3.sinx sin3 x.cos3x cos3 xsin3x 3 4 2sin2x (2 3)sinx (2 3)cosx x � 2� sin x 4sin � � sin 3x � � sinx sin2 x sinx sin2 x sin10 x cos10 x sin6 x cos6 x 4cos2 2x sin2 2x 2 cos3x cos 3x 1 sin 2x Bài 21 Giải phương trình sau sin3 x 3cos3 x sinxcos2 x 3sin2 xcosx sin2 x sin2 y sin2 x y 2 1 sin x cosx 1 cos x sinx 1 sin2x 2sin2 2x sin7x sinx � x x� � sin cos � 3cosx 2� � x 1 sin2x cos2x 2sinxsin2x 1 cot2x sin2xcosx sinxcosx cos2x sinx cosx sin2x 2cosx sinx 0 tanx 38 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt � � sin � 3x � 4� � � � 2cot � x � sinx cosx � 4� Bài 22 Giải phương trình sau 1 cosx cosx cos2x sin4x 4sinx 1 cosx 1 cosx cosx sinx sinx sin2 x cosx 1 sinx 1 sinx 2cosx cos2 2x sin2 4x sin4xcos2x sin2 x sin14 x cos13 x tan2 x tan2 y cot2 x y 1 sin2 x sin2 3x sinxsin2 3x 4 � � � tanx cotx � sin4 x cos4 x � � 2 � � � � 10 � cos x sin x 12 siny � � � cos x � � sin x � � Vấn đề Tìm nghiệm phương trình lượng giác Các ví dụ Ví dụ Tìm tổng nghiệm khoảng (; ) phương trình: sin(3x ) cos(2x ) sin2 2x cos2(3x ) Lời giải � � �3 � 3x � sin � 2x � Phương trình � sin � 3� � �4 � � 3x � �� � 3x � � 3 � k2 2x k2 x � � � 12 � 2x k2 x k2 � � 12 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 39 Các giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Do x � ; nên ta có: 43 19 29 53 ,x ,x ,x ,x ,x 60 60 12 60 60 12 Vậy tổng nghiệm ; � � 6x � cos4x cos 4x Phương trình � cos� 4� � x � 5 � x k 6x 4x k2 � � �� �� 3 k � � 6x 4x k2 x � � � 40 � Các nghiệm nằm (; ) phương trình là: 5 7 27 19 11 3 x ,x ,x ,x ,x ,x ,x , 8 40 40 40 40 13 21 29 37 x ,x ,x ,x 40 40 40 40 7 Vậy tổng nghiệm thuộc (; ) là: Ví dụ Tìm nghiệm dương nhỏ nghiệm âm lớn phương trình sau: sin2 2x cos2 5x (sinx cosx)2 2cos2 3x Lời giải 1 cos4x 1 cos10x 1 2 � k x � � 10x 4x k2 � cos10x cos4x � � �� 10x 4x k2 k � � x � � Vậy nghiệm dương nhỏ nghiệm âm lớn phương trình là: x ,x 7 Phương trình � 1 sin2x 1 cos6x Phương trình � � k � x 6x 2x k2 � � � � � cos6x sin2x cos� 2x �� � � � 16 k �2 � � � 6x 2x k2 x � � � � 40 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Vậy nghiệm dương nhỏ nghiệm âm lớn phương trình cho là: x ,x 16 Ví dụ Tìm số dương nhỏ phương trình : �� � 1� 2 � x 2x � x 1 � cos � sin x sin � � sin x � � � � � �� � Lời giải (x2 2x)� sin x2 Phương trình sin � � � 2 � � x k �� (x 2x) x k2 �� �� 2x 2x 2k (1) � (x2 2x) x2 k2 � � Từ ta tìm x 1 � 2k � x x2 (x 1)2 k2 � �� 2 Phương trình � � � x (x 1)2 k2 � � x x k � 2k 1 ,k �� x Nghiệm dương nhỏ phương trình x 2 Nghiệm dương nhỏ phương trình x x k là: 1 2 Vậy x nghiệm cần tìm Ví dụ Tìm nghiệm ngun phương trình : � � cos� � 3x 9x2 160x 800 � � � � � �8 � � x Lời giải Phương trình 3x 9x2 160x 800 16k � 16k � 16k x� x� � � � � 3 �� �� 25 8k 25 � � 9x 24k 40 x � 3k 5 � 3k � 25 �� � k � 0, 2, 10 Theo toán suy ra: 3k Thử lại ta có nghiệm ngun phương trình : x 7( k 2), x 31 (k 10) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 41 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Ví dụ Tính tổng nghiệm nằm khoảng (0;2) phương trình sau: sinx cosx 2sin2x Lời giải 7 6 7 6 ; cos 12 12 Nên phương trình cho tương đương với: Ta có sin 31 3 sinx cosx sin2x 2 2 7 7 � sinx.cos cosx.sin sin2x 12 12 � 7 � 7 2x x k2 x k2 � � 7 12 � sin(x ) sin2x � � � � 12 7 5 2 12 � � x k 2x x k2 � � � 12 � 36 Do x � 0;2 nên phương trình có nghiệm là: 7 5 29 53 ; ; ; 12 36 36 36 Vậy tổng nghiệm cần tính là: 3 Chú ý: Ta giải theo cách khác sau Phương trình � 3sinx cosx 3cosx sinx 2sin2x 7 � sin(x ) cos(x ) 2sin2x � sin(x ) sin2x 6 12 Tiếp tục giải ta kết CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP Bài Tìm tổng nghiệm phương trình: 2cos(x ) (; ) sin(5x ) cos(2x ) 3 [0; ] Bài Tìm nghiệm nguyên dương phương trình sau � � � sin � � �3x 9x 16x 80 � � 4� � � � Bài Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: cos(3 2x x2 ) 1 0;14� Bài Tìm x �� � �nghiệm phương trình : cos3x 4cos2x 3cosx 42 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Bài Tìm nghiệm khoảng (; ) phương trình : 2(sinx 1)(sin2 2x 3sinx 1) sin4x.cosx Bài Tìm nghiệm x � 0;2 phương trình : sin3x sinx 1 cos2x sin2x cos2x Vấn đề Phương pháp loại nghiệm giải phương trình lượng giác có điều kiện Phương pháp 1: Biểu diễn nghiệm điều kiện lên đưòng tròn lượng giác Ta loại điểm biểu diễn nghiệm mà trùng với điểm biểu diễn điều kiện Với cách cần ghi nhớ �Điểm biểu diễn cung k2 , k �� trùng 2k �Để biểu diễn cung lên đường tròn lượng giác ta cho k nhận n n giá trị (thường chọn k 0,1,2, ,n 1) nên ta có n điểm phân biệt cách đường tròn tạo thành đa giác n cạnh nội tiếp đường tròn Phương pháp 2: Sử dụng phương trình nghiệm nguyên k l Giả sử ta cần đối chiếu hai họ nghiệm , n m m,n�� biết, k,l �� số chạy k l � ak bl c (*) Ta xét phương trình : n m Với a,b,c số nguyên Trong trường hợp ta quy giải phương trình nghiệm nguyên ax by c (1) Để giải phương trình (1) ta cần ý kết sau: �Phương trình (1) có nghiệm � d (a,b) ước c �Nếu phương trình (1) có nghiệm (x0;y0) (1) có vơ số nghiệm � b x x0 t � � d ,t �� � �y y a � t Phương pháp 3: Thử trực tiếp Phương pháp ta giải phương trình tìm nghiệm thay nghiệm vào điều kiện để kiểm tra Phương pháp 4: Biểu diễn điều kiện nghiệm thông qua hàm số lượng giác: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 43 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Giả sử ta có điều kiện u(x) �0 ( u(x) �0,u(x) �0 ), ta biến đổi phương trình cho phương trình chứa u(x) giải phương trình để tìm u(x) Các ví dụ Ví dụ Giải phương trình sau: cot3x cotx cot4x.cot7x Lời giải Điều kiện: x �k n ,n �� Phương trình � 3x x n � x Loại nghiệm: Để loại nghiệm phương trình ta có cách sau Cách 1: Biểu diễn điểm cuối cung k ta có điểm A 1,A ,A 3,A ,A 5,A Biểu diễn điểm cuối cung n ta có điểm B1,B2 , B3 , B4 Ta thấy A �B1, A �B3 Vậy nghiệm phương trình cho là: x m ,m �� k 3t n k 2k � � n �� n 2t 3 � Do ta cần loại giá trị n chẵn Vậy nghiệm phương trình là: x m ,m �� Cách 2: Ta có 44 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt � k x� � � Điều kiện: � n � x� � Phương trình � cot7x tan4x cot( 4x) � 7x 4x m � x m 22 11 k k2 �Ta có: m � 4m 11k � m 3k 22 11 4 k2 t � k 4t � m 11t Vì m,k �� � m n �Ta có: � 14m 22n � 22n 14m 22 11 Vì 22n 14m số chẵn số lẻ nên phương trình vơ nghiệm Vậy nghiệm phương trình cho là: m x với m �11t , t�� 22 11 Ví dụ Giải phương trình sau: sinxcot5x 1 cos9x Lời giải � m x� � � sin5x � �� Điều kiện: � cos9x � m � � x� � 18 Phương trình � sinxcos5x cos9xsin5x � sin6x sin4x sin14x sin4x � sin14x sin6x � k x � � 14x 6x k2 � � � 14x 6x k2 k � � x � � 20 10 k �Nghiệm x bị loại hai phương trình sau có nghiệm nguyên m,k � � m 5t � k m � � �4 k 4t � 5k 4m � �� �� � k (chẵn) � k m 9k 4m � � k 4t � � � � � �4 18 m 9t � � � http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 45 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả k bị loại hai phương trình 20 10 sau có nghiệm nguyên m,k � k m � � 4m 2k 20 10 �� � ta thấy hai phương trình vơ 18k 10m � k m � � 20 10 18 � nghiệm k k Vậy nghiệm phương trình cho là: x , x 20 10 �Nghiệm x CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Giải phương trình : sinx cos2x Bài 2: Giải phương trình : cos3xtan4x sin5x Bài 3: Giải phương trình sin3x cos3x 1 2sin6x 2sin2x Bài 4: Giải phương trình : tan2xtan3xtan7x tan2x tan3x tan7x Bài 5: Giải phương trình : 4cos2x �x � tanx tanx.tan2 � � sin2x 2cosx �2 � sinx 8cosx cos2x(2cos2x 1) cotx Bài 7: Giải phương trình : sin3x Bài Giải phương trình sau Bài 6: Giải phương trình : sinx sin2x sin3x cosx cos2x cos3x cos2x tan2 x 1 cosx sin2x sin4x tan4 x cos3xtan5x sin7x 46 cos2x 1 sin2x sinx cosx cos2 x (2 sin2 2x)sin3x cos4 x 2(sinx cosx) tanx cot2x cotx Bài Giải phương trình sau 1 2tanx cot2x 2sin2x 2sin2x tan2x tan3x tan5x tan2xtan3xtan5x cosx cos5x � � 8sin2 2� x � 8cos2 x cos3x cosx � 4� cos2 x cos3 x Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Vấn đề Phương trình lượng giác chứa tham số Các ví dụ Ví dụ Giải biện luận phương trình: 2sin(x ) 2m 10 Lời giải � � 2m x � Phương trình � sin � � 10 � 2m �Nếu 1� �1 � �m � phương trình có nghiệm 2 � 2m x arcsin k2 � 10 � 9 2m � x arcsin k2 � � 10 � m � � phương trình vơ nghiệm �Nếu � � m � � Ví dụ Giải biện luận phương trình: mcos2x m Lời giải m1 �Nếu m �� phương trình có nghiệm m m1 x � arccos k2 m �Nếu m phương trình vơ nghiệm Ví dụ Cho phương trình : (m 1)cosx 2sinx m Giải phương trình m 2 Tìm m để phương trình có nghiệm Lời giải Với m ta có phương trình : 3cosx 2sinx 1 1 � cosx sinx � cos(x ) 13 13 13 13 � � ,cos ; �� 0; � Với sin 13 13 � 2� � x �arccos 1 13 k2 � x �arccos 1 13 k2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 47 Các giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả m Phương trình cho có nghiệm � (m 1)2 �(m 3)2 ۣ Ví dụ Tìm m để phương trình: m 1 cosx m 1 sinx 2m có nghiệm x1,x2 thoả mãn: x1 x2 Lời giải Ta có phương trình cho tương đương với m1 m 2m cosx sinx 2 2m 2m 2m 2m+3 �1 (*) ) � cos x cos (với đk 1� 2m2 m 2m+3 ;cos (Trong cos ) � x � k2 2m 2m2 Do x1,x2 có dạng x1 k12; x2 k2 2 (Vì x1,x2 thuộc họ nghiệm x1 x2 l2 , l �Z ) � 2(k1k2)2 3 � cos 2(k1k2)2 cos � cos2 Mặt khác cos2 2cos2 nên ta có: Do đ ó: x1 x2 � m1 � m 1 � 1� 2� � � 2 2m2 � 2m � � m2 4m � m � (ko thoả mãn (*)) Vậy không tồn m thoả mãn yêu cầu toán CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài Giải biện luận phương trình sau: 4sin2x 2m (m 1)cos2(4x ) 2m 3 tan(2x ) m mcot2(2x ) 2m Bài Giải biện luận phương trình sau: msin2 2x m 1 (2m 1)tan2 3x m Bài Cho phương trình (m 1)sinx mcosx 2m (1) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x , giải phương trình với giá trị m vừa tìm 48 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Tìm m để phương trình cho có nghiệm Bài Tìm tất giá trị tham số m để phương trình cos2x cos2 x 3sinx 2m có nghiệm � � cos2x (2m 1)cosx m có nghiệm � ; � � � Bài 5: Giải biện luận phương trình : 3 8m sin x 4m sinx 2mcos x 2msinxcosx sinx cosx mcot2x cos2 x sin2 x cos6 x sin6 x Bài 6: Tìm m để phương trình : mcos2x sinx cosxcotx có nghiệm thuộc 0;2 (1 m)tan2 x 1 3m có nhiều nghiệm thuộc cosx � � 0; � khoảng � � 2� mtan x 2tanx cos2 x có nghiệm � � 0; � cos4x cos2 3x msin2 x có nghiệm x �� � 12 � Bài 7: Cho phương trình : sin4 x cos4 x – cos2x sin2 2x a Giải a 2 Tìm a để phương trình có nghiệm Bài 8: Tìm m để phương trình sau có nghiệm sin4x cos4x – cos2x sin2 2x m Bài 9: Chứng minh phương trình cosx mcos2x ln có nghiệm với m http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 49 ... 5;5 �� ��� t �� (t 2)2 Vì t �� Do 3 �y �46 Vậy y 3; maxy 46 49 Ví dụ Tìm tất giá trị tham số m để hàm số sau nhận giá trị dương : y (3sinx 4cosx)2 6sinx 8cosx 2m Lời giải... cosx � 4� cos2 x cos3 x Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Vấn đề Phương trình lượng giác chứa tham số Các ví dụ Ví dụ Giải biện luận phương trình: 2sin(x ) 2m 10 Lời giải � � 2m x... vừa tìm 48 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Tìm m để phương trình cho có nghiệm Bài Tìm tất giá trị tham số m để phương trình cos2x cos2 x 3sinx 2m có nghiệm � � cos2x (2m 1)cosx m