Đang tải... (xem toàn văn)
Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Đạo hàm Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Đạo hàm Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Đạo hàm Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Đạo hàm Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Đạo hàm Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Đạo hàm Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Đạo hàm Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Đạo hàm Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Đạo hàm Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Đạo hàm Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Đạo hàm Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Đạo hàm Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Đạo hàm Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Đạo hàm Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Đạo hàm Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Đạo hàm Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Đạo hàm Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Đạo hàm Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Đạo hàm Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Đạo hàm Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Đạo hàm Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Đạo hàm Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Đạo hàm Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Đạo hàm Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Đạo hàm Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Đạo hàm Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Đạo hàm Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Đạo hàm Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Đạo hàm Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Đạo hàm Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Đạo hàm Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Đạo hàm Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Đạo hàm Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Đạo hàm Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Đạo hàm
Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt CHỦ ĐỀ: ĐẠO HÀM KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM Đạo hàm điểm Hàm số y f(x) liên tục (a;b) , gọi có đạo hàm f(x) f(x0) x0 �(a;b) giới hạn sau tồn (hữu hạn): lim giá trị x�x0 x x0 giới hạn gọi giá trị đạo hàm hàm số điểm x0 Ta kí hiệu f '(x0) Vậy f '(x0) lim f(x) f(x0) x x0 Đạo hàm bên trái, bên phải f(x) f(x0) f(x) f(x0) f '(x0 ) lim f '(x0 ) lim x x0 x x0 x�x x�x x�x0 0 Hệ : Hàm f(x) có đạo hàm x0 � f(x0 ) f '(x0 ) đồng thời f '(x0 ) f '(x0 ) Đạo hàm khoảng, đoạn �Hàm số f(x) có đạo hàm (hay hàm khả vi) (a;b) có đạo hàm điểm thuộc (a;b) �Hàm số f(x) có đạo hàm (hay hàm khả vi) [a;b] có đạo hàm điểm thuộc (a;b) đồng thời tồn đạo hàm trái f '(b ) đạo hàm phải f '(a ) Mối liên hệ đạo hàm tính liên tục Định lí: Nếu hàm số f(x) có đạo hàm x0 f(x) liên tục x0 Chú ý: Định lí điều kiện cần, tức hàm liên tục điểm x0 hàm khơng có đạo hàm x0 Chẳng hạn: Xét hàm f(x) x liên tục x khơng liên tục điểm f(x) f(0) f(x) f(0) 1, cịn lim 1 Vì lim x x x�0 x�0 Vấn đề Tính đạo hàm định nghĩa Phương pháp: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 179 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả � f '(x0) lim x�x0 � f '(x0 ) lim x�x0 � f '(x0 ) lim x�x0 f(x) f(x0 ) x x0 f(x) f(x0) x x0 f(x) f(x0) x x0 �Hàm số y f(x) có đạo hàm điểm x x0 � f '(x0 ) f '(x0 ) �Hàm số y f(x) có đạo hàm điểm trước hết phải liên tục điểm Các ví dụ Ví dụ Tính đạo hàm hàm số sau điểm chỉ: � x3 x2 � x �0 f(x) 2x x f(x) � x x � x � f(x) x2 x Lời giải f(x) f(2) 2x3 16 lim lim 2(x2 2x 4) 24 � f '(2) 24 x�2 x�2 x x�2 x Ta có lim 2 Ta có : f '(1) lim f(x) f(1) lim x x�1 x x�1 x1 (x 1)(x 1) lim x�1 (x 1)( x 2) Ta có f(0) , đó: f(x) f(0) x3 x2 x1 lim lim x�0 x�0 x � x x x x 1 Vậy f '(0) lim Ví dụ Chứng minh hàm số f(x) 2x2 x x1 liên tục x 1 khơng có đạo hàm điểm Lời giải Vì hàm f(x) xác định x 1 nên liên tục f(x) f(1) 2x lim 1 Ta có: f '(1 ) lim x1 x�1 x�1 x 180 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt f(x) f(1) lim x1 x�1 x�1 f '(1 ) lim � f '(1 ) �f '(1 ) � f(x) khơng có đạo hàm x 1 �x2 � x �1 Ví dụ Tìm a để hàm số f x �x có đạo hàm x � a x � Lời giải Để hàm số có đạo hàm x trước hết f(x) phải liên tục x1 x2 f(1) a x�1 x Hay limf(x) lim x�1 x2 2 Khi đó, ta có: f(x) f(1) lim lim x 1 x�1 x x�1 x Vậy a giá trị cần tìm CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP Bài Tính đạo hàm hàm số sau điểm x 1 f(x) 2x x0 f(x) x1 x0 f(x) x2 x điểm x0 f(x) sin2 x x � x3 2x2 x � x �1 f(x) � điểm x0 x1 � x � Bài Tính đạo hàm hàm số sau điểm f(x) sin2x x0 f(x) tanx x �2 x sin x �0 � f(x) � x x � x � Bài Tính đạo hàm hàm số sau điểm f(x) x3 x0 � 2x x �1 �3 2 f(x) �x 2x 7x x0 x � � x1 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 181 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả �sin2 x � f(x) � x � x x2 � f(x) x x0 x �0 x2 x x x0 1 Bài � x2 x x �1 � Tìm a,b để hàm số f(x) � có đạo hàm x ax b x � � x2 x �0 � Tìm a,b để hàm số f(x) � có đạo hàm � 2x ax b x � �x2 � x �0 Tìm a,b để hàm số f(x) �x có đạo hàm điểm x � ax b x � CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM Quy tắc tính đạo hàm 1.1 Đạo hàm tổng, hiệu, tích, thương hàm số � (k.u(x))' k.u'(x) �(u1 �u2 � �u n )' u1' �u'2 � �u'n �(uvw)' u'vw uv'w uvw ' �(un (x))' nun1(x).u'(x) ' � c � c.u'(x) � � ' ��u(x) � u'(x)v(x) v'(x)u(x) �� � 2 u(x) v(x) u (x) � � v (x) � � 1.2 Đạo hàm hàm số hợp Cho hàm số y f(u(x)) f(u) với u u(x) Khi y'x y'u u'x Bảng công thức đạo hàm hàm sơ cấp Đạo hàm (c)' (x)' (x )' x1 x ' 21x x ' n n n n 1 x (sinx)' cosx 182 Hàm hợp u ' u u' u ' 2u'u u ' n u'u 1 n n n 1 (sinu)' u'.cosu Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt (cosx)' sinx (cosu)' u'sinu (tanx)' tanu ' u' cos2 u u' cotu ' sin u cos x (cotx)' sin2 x Vấn đề Tính đạo hàm cơng thức Phương pháp: Sử dụng quy tắc tính đạo hàm Các ví dụ Ví dụ Tính đạo hàm hàm số sau: y x3 3x2 2x y x3 3x x4 x2 2x y x y 2x4 y x 1 2 y x 2x x Lời giải Ta có: y' x 3x 1 ' Ta có: y' x3 3x 3x2 6x ' 3x2 ' �x4 � Ta có: y' � x2 1� x3 2x �4 � � � ' � � Ta có: y' � 2x x 1� 8x3 3x � � (2x 1)'(x 3) (x 3)'(2x 1) 7 Ta có: y' (x 3) (x 3)2 Ta có: y' (x2 2x 2)'(x 1) (x2 2x 2)(x 1)' (x 1)2 (2x 2)(x 1) (x2 2x 2) (x 1)2 Nhận xét: Với hàm số y x2 2x x 1 ad bc ax b ta có: y' cx d (cx d)2 Ví dụ Giải bất phương trình f '(x) �0 biết: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 183 Các giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả f(x) x x2 f(x) x x2 12 f(x) x2 x x2 x f(x) x2 x Lời giải 2;2� TXĐ: D � � � Ta có: f '(x) x x2 x2 2x2 x2 Do đó: f '(x) �0 � 2x2 �0 � �x � TXĐ: D � Ta có: f '(x) 1 2x x2 12 x2 12 2x x2 12 Suy ra: f '(x) �0 � x2 12 �2x (1) �Với x (1) ln � x �0 � �Với x �0 (1) � �2 x x 12 �4x2 � Vậy bất phương trình f '(x) �0 có nghiệm x �2 TXĐ: D � 2x 2x Ta có: f '(x) x2 x x2 x Suy f '(x) � 1 2x x2 x 1 2x x2 x � (1 2x)(1 2x) �0 � � � �� � 1� 2� (1 2x) x � � � 2� � � � � � � 3� � 1� � 1 2x � x � � � 4� � � � 4� � � � �1 �x � � ��2 � x 2 � (1 2x) (1 2x) � 0; � TXĐ: D � � Ta có: f '(x) x 24 (x2 1)3 f '(x) �۳ ۳x x ۳ x2 x (x2 1)3 x6 (x2 1)3 x2 bất phương trình vơ nghiệm Ví dụ Tính đạo hàm hàm số sau: 184 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt y 2x2 3x y 2x2 3x y 2sin2(2x 1) cos x y tan(sin2 3x) cot2(1 2x3) y sin(tanx) cos(cotx) Lời giải Ta có: y' Ta có y' (2x2 3x 1)' 2x2 3x 1 4x 2x2 3x 5.5 ( 2x2 3x 2)4 ( 2x2 3x 2)' ( ( 2x 3x 2) Ta có: y' (2sin2(2x 1) cos x)' 2sin2(2x 1) cos x 2x 2x2 x sin x 2sin2(2x 1) cos x 2xsin2(2x 1) xcos x 2 Ta có: y' [1 tan (sin 3x)](sin 3x)' Ta có: y' 3) 2sin(4x 2) x sin(4x 2) sin x 3[1 tan2(sin2 3x)]sin6x [cot2(1 2x3) 3]' cot2(1 2x3) 6x2[1 cot2(1 2x3)]cot(1 2x3) cot2(1 2x3) [sin(tanx) cos(cotx)]' [sin(tanx) cos(cotx)]2 (1 tan2 x)cos(tanx) (1 cot2 x)sin(cotx) [sin(tanx) cos(cotx)]2 Ví dụ Tính đạo hàm hàm số sau : � x2 3x x � f(x) � 2x x �1 � �2 x cos x �0 � f(x) � 2x � x � Lời giải Với x 1� f(x) x2 3x 1� f '(x) 2x Với x 1� f(x) 2x � f '(x) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 185 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Với x ta có: lim f(x) lim x 3x 1 �f(1) � hàm số không x�1 x�1 liên tục x 1, suy hàm số khơng có đạo hàm x � 2x x Vậy f '(x) � x � 1 1 � f '(x) 2xcos cos 2x 2x 2x f(x) f(0) lim xcos � f '(0) Với x ta có: lim x�0 x�0 x 2x � � 1� 2x � cos x �0 � � � 2x Vậy f '(x) � � � x � Với x �0 � f(x) x2 cos CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP Bài Tính đạo hàm hàm số sau y x 2x2 x y x4 3x2 2x 2x x ax b , ac �0 y cx d y y x2 x x1 ax2 bx c , aa' �0 a'x b' Bài Tính đạo hàm hàm số sau y y x x2 y y 3 (2x 5)2 2x x2 x2 y 3x 2tanx y sin2(3x 1) y (x 1) x2 x Bài Tính đạo hàm hàm số sau y x7 x y 2x x 1 186 2 y x 3x Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt y x2 2x 1 5x 3 � 5� y � 4x � � x2 � y x3 3x2 y x2 x x 10 y 11 y x x y (x 2)3(x 3)2 y x a2 x2 1 x 12 1 x y sin2 3x 13 y 3tan2 x cot2x 15 y 2sin x 18 y cosx f ' 1 ' 0 16 y cos sin x cotx 3sin3 x Bài Tính 14 y x3 cos4(2x ) 17 y x sinx �3 x sin x �0 � 19 f(x) � x � x � Biết : f(x) x2 (x) 4x sin x Bài Chứng minh hàm số sau có đạo hàm khơng phụ thuộc x y sin6 x cos6 x 3sin2 xcos2 x � � 2 � 2 � 2� 2� 2� 2� 2 y cos �3 x� cos �3 x� cos �3 x� cos �3 x� 2sin x � � � � � � � � Bài Tìm m để hàm số y (m 1)x3 3(m 2)x2 6(m 2)x có y' �0, x �� mx3 mx2 (3m 1)x có y' �0, x �� Bài Tính đạo hàm hàm số sau �2 x sin x �0 � f(x) � x � x � � x2 x x �1 � f(x) � � x x Bài Tìm a,b để hàm số sau có đạo hàm � � x2 x x �1 � f(x) � x ax b x � y http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 187 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả �x2 x x �0 � f(x) � x � x ax b x � Bài Tính đạo hàm hàm số sau y (x3 2x)3 y (x2 1)(3x3 2x) � � y � x � � 3x2 � sin2x x y x cos3x y 2sin3 2x tan2 3x xcos4x y xsin2x x3 x2 y 2sin2 x x3 y x2 2x x1 � � 2x � 10 y sin3 � 3� cotx � Bài 10 Giải bất phương trình : f '(x) �0 với f(x) 2x3 3x2 y xtan2x f '(x) với f(x) 2x4 4x2 2xf '(x) f(x) �0 với f(x) x x2 f '(x) với f(x) x x2 Vấn đề Sử dụng đạo hàm để tìm giới hạn Từ định nghĩa đạo hàm f '(x0) lim f(x) f(x0) x x0 đạo hàm để tìm giới hạn hàm số Cụ thể g(x) �Để tính A lim , biết g(x0) x�x0 x x0 x�x0 ,ta thấy sử dụng Ta viết g(x) f(x) f(x0) Khi f(x) có đạo hàm x0 : A lim x�x0 �Để tính: B lim F(x) x�x0 G(x) f(x) f(x0) x x0 f '(x0) , biết F(x0 ) G(x0) Ta viết F(x) f(x) f(x0 ) G(x) g(x) g(x0) Nếu hai hàm số f(x),g(x) có đạo hàm x x0 g'(x0) �0 thì: 188 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Gọi (Cm) đồ thị hàm số y x4 3 m 1 x2 3m , m tham số Tìm giá trị dương tham số m để (Cm) cắt trục hoành bốn điểm phân biệt tiếp tuyến (Cm) giao điểm có hoành độ lớn hợp với hai trục toạ độ tam giác có diện tích 24 Bài 17: Viết phương trình tiếp tuyến d với đồ thị C , để: d tạo với đường tiệm cận với I 1;1 tạo thành tam giác có chu vi 2 , biết C : y x x1 d cắt tiệm cận A , B cho IA IB2 40 với I 1;2 , biết C : y 2x x 2x 3 Cho hàm số y có đồ thị C ,giao điểm hai tiệm cận I x Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị C cho tiếp tuyến cắt đường tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị C E, F chu vi IEF 17 Cho hàm số : y 2x có đồ thị C Tìm điểm M thuộc x1 C cho tiếp tuyến C M với đường tiệm cận C tạo thành tam giác có chu vi 10 Bài 18: 2x có đồ thị C Viết phương trình tiếp tuyến x đồ thị C , để khoảng cách từ tâm đối xứng đồ thị C đến tiếp tuyến lớn 2x Cho hàm số y có đồ thị C Tìm C điểm M x cho tiếp tuyến M C cắt hai tiệm cận C A,B Cho hàm số y cho AB ngắn Bài 19 : Tìm m để tiếp tuyến đồ thị y x3 mx m điểm M có hồnh độ x 1 cắt đường trịn (C) có phương trình (x 2)2 (y 3)2 theo dây cung có độ dài nhỏ 224 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Vấn đề Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số tiếp tuyến qua điểm cho trước Phương pháp: Phương trình tiếp tuyến đồ thị C : y f x qua điểm M x1;y1 Cách : � Phương trình đường thẳng d qua điểm M có hệ số góc k có dạng : y k x x1 y1 � d tiếp xúc với đồ thị C N x0;y0 hệ: � f x0 k x0 x1 y1 � có nghiệm x0 � f ' x0 k � Cách : � Gọi N x0;y0 tọa độ tiếp điểm đồ thị C tiếp tuyến d qua điểm M , nên d có dạng y y'0 x x0 y0 � d qua điểm M nên có phương trình : y1 y'0 x1 x0 y0 * � Từ phương trình * ta tìm tọa độ điểm N x0;y0 , từ ta tìm phương trình đường thẳng d Các ví dụ Ví dụ : x3 3x2 Viết phương trình tiếp tuyến d với đồ thị C : y x , biết d song song đường thẳng x y Cho hàm số y 2x3 3x2 có đồ thị (C) Tìm phương trình �19 � đường thẳng qua điểm A � ;4�và tiếp xúc với đồ thị (C) hàm �12 � số Lời giải Hàm số cho xác định D � Cách 1: Tiếp tuyến d song song với đường thẳng x y nên d có dạng y x b http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 225 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả d tiếp xúc với C điểm có hồnh độ x0 hệ phương �x3 3x2 � x0 x0 b 1 � trình �3 có nghiệm x0 � 3x0 x 1 2 � �0 Phương trình 2 � 2x02 3x0 � x0 x0 Với x0 thay vào phương trình 1 , ta b d : y x Với x0 y x thay vào phương trình 1 , ta b d : 16 16 Cách 2: Gọi x0;y x0 tọa độ tiếp điểm tiếp tuyến d C , với y x0 x03 3x02 x0 , tiếp tuyến d có hệ số góc y' x0 x0 d | | x y � y' x0 1 tức x02 3x0 3x0 1 1 1 hay nghiệm x0 Phần lại giành cho bạn đọc 2 Hàm số cho xác định D � Ta có: y' 6x2 6x x0 Gọi M(x0;y0) �(C) � y0 2x03 3x02 y'(x0) 6x02 6x0 Phương trình tiếp tuyến ∆ (C) M có dạng: y y0 y'(x0)(x x0) � y (2x03 3x02 5) (6x02 6x0)(x x0) � y (6x02 6x0)x 4x03 3x02 19 4x03 3x02 � 8x03 25x02 19x0 � x0 12 x0 x0 Với x0 1� : y A � � (6x02 6x0) Với x0 � : y 12x 15 21 645 � :y x 32 128 Ví dụ : Với x0 226 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt x 3x2 có đồ thị C Viết phương trình 2 � 3� 0; � tiếp tuyến đồ thị C biết tiếp tuyến qua điểm M � � 2� Cho hàm số y Cho hàm số: y x có đồ thị x1 C điểm A 0;m Xác định m để từ A kẻ tiếp tuyến đến C cho hai tiếp điểm tương ứng nằm hai phía trục Ox Lời giải � 3� 0; �không phải tiếp tuyến Đường thẳng x qua điểm M � � 2� đồ thị C � 3� 0; �có hệ số góc k có phương d đường thẳng qua điểm M � � 2� trình y kx Đường thẳng d tiếp tuyến đồ thị C tai điểm có hồnh độ �1 3 � x 3x0 kx0 2 x0 x0 nghiệm hệ phương trình : �2 � 2x03 6x0 k � Thay 2 vào 1 1 2 2 rút gọn ta x0 x0 � x0 x0 � Khi x0 k lúc phương trình tiếp tuyến y Khi x0 k 2 lúc phương trình tiếp tuyến y 2x Khi x0 k 2 lúc phương trình tiếp tuyến y 2 2x Vậy, có ba tiếp tuyến y Cách 1: Gọi điểm � 3 , y 2x , y 2 2x 2 m �1 Tiếp tuyến M C có phương trình : http://dethithpt.com – Website chun đề thi, tài liệu file word 227 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả m x0 1 3x0 x0 2 x0 1 (với x0 �1 ) � m 1 x02 2 m 2 x0 m Yêu cầu toán � có hai nghiệm a,b khác cho a 2 b 2 ab 2 a b hay là: a 1 b 1 ab a b � m �1 � � m � � m �1 giá trị cần tìm Cách 2: Đường thẳng d qua A , hệ số góc k có phương trình: y kx m Vậy d tiếp xúc với C điểm có hồnh độ x0 �x0 kx0 m � �x0 � hệ � có 3 � k � x 1 � nghiệm x0 Thế k vào phương trình thứ nhất, ta đươc: x0 3x m � m 1 x02 2 m 2 x0 m x0 x 1 Để từ A kẻ hai tiếp tuyến có hai nghiệm phân biệt khác � ' 3 m 2 � � m 2 ۹�� m i � m �1 � � m 1 2 m 2 m �0 � Khi tọa độ hai tiếp điểm là: M x1;y1 , M x2 ;y2 với x1,x2 nghiệm y1 x1 x 2 ; y2 x1 x2 Để M1, M2 nằm hai phía Ox y1.y2 � Áp dụng định lí Viet: x1 x2 2 m 2 ; x1x2 x1x2 2 x1 x2 x1x2 x1 x2 m m1 m1 9m � 1 � 0� m 3 Kết hợp với i ta m �1 giá trị cần tìm 228 1 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Ví dụ : Tìm tất điểm đường thẳng d : y 5x 61 để từ kẻ 24 x3 x2 2x có tiếp tuyến tương ứng với tiếp 3 điểm có hồnh độ x1,x2 ,x3 thỏa mãn: x1 x2 x3 đến đồ thị y Tìm tất giá trị k để tồn tiếp tuyến với C : y x3 6x2 9x phân biệt có hệ số góc k , đồng thời đường thẳng qua tiếp điểm tiếp tuyến với C cắt trục Ox,Oy tương ứng A ,B cho OB 2012.OA Lời giải � 5m 61 � m; � �d , tiếp tuyến t điểm N x0;y0 qua M : M � � 24 � �1 � 3m x0 � m � x0 mx0 0 24 �2 � � x0 � �� 2 �5 � 3m � x0 � m � x0 � 12 � � � Theo tốn, phương trình có hai nghiệm phân biệt âm, tức : � 7m � m 0 � m ; m � 12 � � �5 � � �m � m0 �18 � 18 �3 � m �2 m � � � 5 xM 18 2 Hoành độ tiếp điểm x0 tiếp tuyến dạng y kx m với C Vậy, điểm M thỏa toán là: xM nghiệm phương trình f ' x0 k � 3x02 12x0 k 1 Để tồn tiếp tuyến với C phân biệt phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt, ' 3k hay k 3 2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 229 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Khi tọa độ tiếp điểm x0;y0 tiếp tuyến với C nghiệm � �y0 x0 6x0 9x0 hệ phương trình: � 3x02 12x0 k � � � �y0 x0 2 3x0 12x0 2x0 3 �� � 3x0 12x0 k � � k6 2k x0 �y0 x0 2 k 2x0 3 �� � 3x0 12x0 k � Vậy phương trình đường thẳng qua tiếp điểm d : k6 2k x 3 Do d cắt trục Ox,Oy tương ứng A B cho OB 2012.OA nên xảy ra: Nếu A �O B �O , trường hợp thỏa d qua y Nếu A �O , tam giác AOB vng O cho OB k6 � tanOAB 2012 � �2012 � k 6042 k 6030 OA ( khơng thỏa 2 ) O Khi k Vậy k , k 6042 thỏa tốn Ví dụ : Cho hàm số y x3 3x 2, có đồ thị C Tìm tọa độ điểm đường thẳng y 4 mà từ kẻ đến đồ thị C hai tiếp tuyến Lời giải Hàm số cho xác định liên tục � Gọi A điểm nằm đường thẳng y 4 nên A a; 4 Đường thẳng qua A với hệ số góc k có phương trình y k x a 230 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Đường thẳng tiếp xúc với đồ thị C hệ phương trình sau có nghiệm: � x3 3x x2 x a x3 3x k x a � � � � � � 3x k � � 3x2 k � � � 2x2 3a 2 x 3a 2� 1 x 1 � � � � �� � 3x k 2 � � x1 Phương trình 1 tương đương với: � g x 2x2 3a 2 x 3a � � Qua A kẻ hai tiếp tuyến đến C 2 có giá trị k khác , 1 có nghiệm phân biệt x1,x2 , đồng thời thỏa k1 3x12 3, k2 3x22 có giá trị k khác Trường hợp 1: g x phải thỏa mãn có nghiệm 1 nghiệm khác 1 hay � g 1 � 6a � �� � a 1 kiểm tra 2 thấy thỏa � 3a a �0 �1 � � � Trường hợp 2: g x phải thỏa mãn có nghiệm kép khác 1 hay �3a 2 3a � 3 3a 2 a 2 � � �� �3a 3a �2 � � � �a a 2, kiểm tra 2 thấy thỏa �2 � ; 4� Vậy, điểm cần tìm A 1; 4 , A 2; 4 A � � � Ví dụ Cho hàm số y 3x x3 có đồ thị C Tìm đường thẳng (d): y x điểm M mà từ kẻ tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C) Lời giải Gọi M(m; m) �d Phương trình đường thẳng qua M có hệ số góc k có dạng: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 231 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả y k(x m) m tiếp xúc (C) điểm có hồnh độ x0 hệ sau có nghiệm x0 : � 3x0 x03 k(x0 m) m (1) � � 3x02 k (2) � � () Thay (2) vào (1) ta được: 2x03 3mx02 4m m 2x03 3x02 () Từ M kẻ tiếp tuyến với (C) () có nghiệm x0 đồng thời (2) tồn giá trị k khác Khi () có nghiệm x0 phân biệt thỏa mãn (2) có giá trị k khác Xét hàm số f(x0) 2x03 3x02 � 3� Tập xác định D �\ � � �1; � � 6x04 24x02 (x0) � x0 x0 �2 f � (3x02 4)2 Dựa vào bảng biến thiên suy m �2 Kiểm tra (2) , ta thấy thỏa mãn Vậy: M(2;2) M(2; 2) (x0) Ta có: f� Ví dụ Lấy điểm M thuộc đồ thị C : y 2x3 3x2 Chứng minh có nhiều hai đường thẳng qua điểm M tiếp xúc với C Lời giải Gọi M a; 2a 3a điểm thuộc đồ thị C hàm số Đường thẳng d qua M có hệ số góc k , có phương trình: y k x a 2a3 3a2 Đường thẳng d tiếp xúc với đồ thị C N x0;y0 hệ � 2x03 3x02 k x0 a 2a3 3a2 1 � phương trình: � có nghiệm 6x02 6x0 k � 2 � x0 Thay 2 vào 1 , biến đổi rút gọn ta phương trình : x0 a 4x0 2a 3 tức 232 x0 a x0 2a Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Vậy hệ phương trình 1 , 2 có nhiều nghiệm, tức có nhiều đường thẳng qua M tiếp xúc với đồ thị C Ví dụ 7: Cho hàm số y 2x3 4x2 , có đồ thị C Gọi d đường thẳng qua A 0;1 có hệ số góc k Tìm k để d C điểm phân biệt B,C khác A cho B nằm A C đồng thời AC 3AB ; Tìm trục tung điểm mà từ kẻ tiếp tuyến đến C cắt Lời giải d : y kx Với k d cắt C điểm phân biệt B C khác A Khi B xB ;kxB 1 , C xC ;kxC 1 , xB xC với xB ,xC nghiệm phương trình 2x2 4x k k suy k 2 y a M 0;m t t Gọi qua M có hệ số góc nên : ax m AC 3AB tức xC 3xB xB xC 2, xB.xC t tiếp xúc C điểm có hồnh độ x0 hệ � 2x03 4x02 kx0 m � có nghiệm x0 suy 4x03 4x02 1 m có � 6x 8x x � 0 � nghiệm x0 Theo tốn phương trình có 11 m 27 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Cho hàm số y x3 2x2 3x có đồ thị (C) Tìm phương trình �4 � đường thẳng qua điểm A � ; �và tiếp xúc với đồ thị (C) �9 � hàm số Bài 2: Cho hàm số y x4 3x2 (C) Tìm phương trình tiếp tuyến 2 � 3� 0; �và tiếp xúc với đồ thị (C) qua điểm A � � 2� nghiệm, từ có m Bài 3: Viết phương trình tiếp tuyến C : http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 233 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả y � 1� x3 0; � x2 3x qua điểm A � � 3� y x4 4x2 qua điểm cực tiểu đồ thị �23 � y x3 3x2 qua điểm A � ; 2� �9 � y x3 2x2 x qua điểm M 4; 24 Bài 4: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y tiếp tuyến qua điểm M(6;4) Viết phương trình tiếp tuyến d với đồ thị C : y qua điểm A 6;5 x2 2x , biết x x , biết d x Cho hàm số y x3 3x2 9x 11 có đồ thị C Lập phương trình �29 � tiếp tuyến đồ thị hàm số biết tiếp tuyến qua điểm I � ;184� �3 � Bài 5: Gọi (C) đồ thị hàm số y x3 3x2 Viết phương trình tiếp tuyến (C) song song với đường thẳng y = 9x – Viết phương trình tiếp tuyến (C) qua điểm A(- 2;7) Bài 6: Cho hàm số y (2 x)2 x2 , có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến giao điểm (C) với Parabol y x2 Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến qua điểm A(2;0) Bài 7: Tìm m để (Cm): y x3 (m 2)x2 2mx tiếp xúc với đường thẳng y = x (0;m) điểm thuộc 2x trục Oy , m �0 Chứng minh ln tồn tiếp tuyến (C) qua M tiếp điểm tiếp tuyến với (C) có hồnh độ dương Bài 8: Cho hàm số y x3 3x Tìm đường thẳng d : y điểm mà từ kẻ tiếp tuyến với (C) Gọi (C) đồ thị hàm số y = 234 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Cho hàm số y x3 3x2 Tìm đường thẳng (d): y = điểm mà từ kẻ tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C) Chứng minh từ điểm thuộc đường thẳng x kẻ tiếp tuyến đến đồ thị hàm số y x3 6x2 9x Viết phương trình tiếp tuyến d tiếp xúc với đồ thị H : y x2 hàm số điểm phân biệt Cho hàm số y x4 2x2 , có đồ thị C a Tìm đồ thị C điểm B mà tiếp tuyến với C điểm song song với tiếp tuyến với C điểm A 1;2 b Tìm đường thẳng y điểm mà qua ta kẻ tiếp tuyến phân biệt với đồ thị C Cho hàm số : y x4 2x2 có đồ thị C a Viết phương trình tiếp tuyến C biết tiếp tuyến qua gốc tọa độ b Tìm điểm M trục Oy để từ M kẻ tiếp tuyến đến C c Tìm điểm N đường thẳng d : y để từ N kẻ tiếp tuyến đến C Bài 9: mx (m 1)x2 (4 3m)x có đồ thị C m Tìm giá trị m cho đồ thị C m tồn điểm có hồnh độ âm mà tiếp tuyến vng góc với đường thẳng d : x 2y Cho hàm số y mx (m 1)x2 (4 3m)x có đồ thị C m Tìm giá trị m cho đồ thị C m tồn hai điểm có hồnh độ dương mà tiếp tuyến vng góc với đường thẳng d : x 2y Cho hàm số y x có đồ thị C Cho điểm A(0;a) Tìm a để x1 từ A kẻ tiếp tuyến tới đồ thị C cho tiếp điểm tương ứng nằm phía trục hồnh Cho hàm số: y http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 235 Các giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả x có đồ thị C Tìm Oy tất điểm x1 từ kẻ tiếp tuyến tới C Cho hàm số y 2x3 x2 4x , gọi đồ thị hàm số (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) có hệ số góc lớn Viết phương trình tiếp tuyến (C) qua điểm A(2;9) Gọi M, N hai điểm thuộc (C) có hồnh độ x1, x2 ( Bài 10: Cho hàm số y x1 �x2 ) , tìm hệ thức x1, x2 cho hai tiếp tuyến (C) M,N song song với nhau, chứng minh đường thẳng M 1M qua điểm cố định x2 2 x Viết phương trình tiếp tuyến (C) vng góc với đường thẳng y x Viết phương trình tiếp tuyến (C) qua điểm A(2; - 2) Gọi M điểm thuộc (C) có khoảng cách từ M đến trục hồnh hai lần khoảng cách từ M đến trục tung, M khơng trùng với gốc tọa độ O Viết phương trình tiếp tuyến (C) M Bài 12: Gọi (Cm) đồ thị hàm số y = 2x3 3(m 1)x2 mx m (d) tiếp tuyến (Cm) điểm có hồnh độ x = - Tìm m để (d) qua điểm A(0;8) (d) tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích Bài 11: Gọi (C) đồ thị hàm số y Bài 13: Cho hàm số y x4 2x2 , có đồ thị ( C ) Tìm tham số m để đồ thị (C) tiếp xúc với parabol P : y x2 m Gọi (d) tiếp tuyến (C) điểm M có hồnh độ x = a Tìm a để (d) cắt lại (C) hai điểm E, F khác M trung điểm I đoạn E, F nằm parabol (P’): y x2 Bài 14: Tìm m để đồ thị hàm số y x2 x tiếp xúc với Parabol y x2 m x1 Tìm m để đồ thị hai hàm số sau tiếp xúc với (C1) : y mx3 (1 2m)x2 2mx (C 2) : y 3mx3 3(1 2m)x 4m 236 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Tìm tham số m để đồ thị (Cm) hàm số y x3 4mx2 7mx 3m tiếp xúc với parabol P : y x2 – x x2 x có đồ thị (C) x1 Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng : 3x 4y Viết phương trình tiếp tuyến (C) xuất phát từ M(1;3) Viết phương trình tiếp tuyến (C) qua giao điểm hai đường tiệm cận (C) Biện luận theo m �0 số tiếp tuyến (C) mà tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng m : x my m Bài 16: x Cho hàm số: y có đồ thị (C) điểm A 0;m Xác định x1 m để từ A kẻ tiếp tuyến đến (C) cho hai tiếp điểm tương ứng nằm hai phía trục Ox Tìm tham số m để đồ thị (C) : y x3 2(m 1)x2 5mx 2m hàm số tiếp xúc với trục hoành Gọi C m đồ thị hàm số y = x4 (m 1)x2 4m Tìm tham số Bài 15: Cho hàm số y m để C m tiếp xúc với đường thẳng (d): y = hai điểm phân biệt 2x Bài 17: Cho hàm số y (1) x1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) Gọi (d) tiếp tuyến (C) , A, B giao điểm (d) với trục hoành trục tung Viết phương trình (d) cho i) HB = 4.HA với H hình chiếu vng góc gốc tọa độ O lên (d) ii) Diện tích tam giác OAB x2 3x (1) 1 x Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) Viết phương trình tiếp tuyến (d) (C) biết (d) cắt trục tung điểm A cho OA = 3.Cho hai điểm M(1;0) , N(0;3) a) Chứng tỏ đường thẳng MN (C) khơng có điểm chung b) Viết phương trình tiếp tuyến (D)của (C) song song với đường thẳng MN tìm E (C) cho tam giác EMN có diện tích nhỏ Bài 18: Cho hàm số y http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 237 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Bài 19: Tìm tất điểm Oy cho từ ta vẽ tiếp tuyến đến đồ thị hàm số y x 4x2 2x có đồ thị ( C ) x1 Chứng minh khơng có tiếp tuyến (C) qua giao điểm hai đường tiệm cận (C) Gọi M 1M hai điểm thuộc (C) có hồnh độ x1,x2 Bài 20: Cho hàm số y 2x 1 (x1 �x2) Tìm hệ thức liên hệ x1,x2 cho hai tiếp tuyến (C) M 1M song song với Chứng minh giao điểm I hai đường tiệm cận (C) trung điểm đoạn M 1M Bài 21: Cho hàm số: y 4x3 3x , có đồ thị C Tìm a để phương trình 4x3 3x 2a2 3a có hai nghiệm âm nghiệm dương; Tìm điểm đường thẳng y để từ vẽ ba đường thẳng tiếp xúc với đồ thị C Bài 22: x2 x m với m �0 x cắt trục hoành điểm phân biệt A ,B cho tiếp tuyến điểm A ,B vng góc với Tìm tham số m để đồ thị hàm số C m : y 2x2 có đồ thị C Tìm đường thẳng y x x điểm mà từ kẻ tiếp tuyến đến C , đồng thời tiếp tuyến vng góc với Cho hàm số y x3 3x2 có đồ thị C Cho hàm số y a Viết phương trình tiếp tuyến C kẻ từ điểm 1;5 b Tìm đường thẳng y 9x , điểm kẻ đến C ba tiếp tuyến 238 ... Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Gọi (Cm) đồ thị hàm số y x4 3 m 1 x2 3m , m tham số Tìm giá trị dương tham số m để (Cm) cắt trục hoành bốn điểm phân biệt tiếp tuyến (Cm) giao điểm có hồnh... trình tiếp tuyến (d) (C) điểm A thuộc (C) có hồnh độ x Tìm giao điểm khác A (d) (C) Xác định tham số a để tồn tiếp tuyến (C) có hệ số góc a Chứng minh có tiếp tuyến (C) qua điểm có hồnh độ thỏa... kẻ đến (C) hai tiếp tuyến hai tiếp tuyến vng góc với Bài 8: 2x m Gọi (C) đồ thị hàm số y = ,m tham số khác – x (d) tiếp tuyến (C) Tìm m để (d) tạo với hai đường tiệm cận (C) tam giác có diện
