Đang tải... (xem toàn văn)
Hướng dẫn giải toán 11 Hướng dẫn giải toán 11 Hướng dẫn giải toán 11 Hướng dẫn giải toán 11 Hướng dẫn giải toán 11 Hướng dẫn giải toán 11 Hướng dẫn giải toán 11 Hướng dẫn giải toán 11 Hướng dẫn giải toán 11 Hướng dẫn giải toán 11 Hướng dẫn giải toán 11 Hướng dẫn giải toán 11 Hướng dẫn giải toán 11 Hướng dẫn giải toán 11 Hướng dẫn giải toán 11 Hướng dẫn giải toán 11 Hướng dẫn giải toán 11 Hướng dẫn giải toán 11 Hướng dẫn giải toán 11 Hướng dẫn giải toán 11 Hướng dẫn giải toán 11 Hướng dẫn giải toán 11 Hướng dẫn giải toán 11 Hướng dẫn giải toán 11 Hướng dẫn giải toán 11 Hướng dẫn giải toán 11
Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM Vấn đề Tính đạo hàm định nghĩa Bài 1 Ta có: f '(x0) f '(2) lim x�2 f '(x0) 2 x2 x (x 2)(x 3) lim x�2 x (x 2)( x2 x 7) f '( ) f(x) f(1) x3 2x2 x x lim lim x�1 x x�1 x � (x 1) x 2x x 1 Vậy f '(1) lim Bài � � � � x � sin � x � Ta có: f(x) f( ) sin2x sin 2cos� � 2� � 2� � � � � cos� x � sin x � f(x) f( ) 2� � � � � 2 � lim 2lim x� x� x x 2 2 � � Vậy f '� � 1 �2 � � � � � x � Ta có f(x) f � � tanx tan 1 tanx tan � �4 � � 4� � � (1 tanx)tan � x � f(x) f( ) 4� � Suy lim lim 2 x� x� x x 4 4 � � Vậy f '� � �4 � f(x) f(0) lim xsin x�0 x�0 x x Vậy f '(0) Bài 3 Ta có: lim 179 Các giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Ta có: f(x) f(1) x3 (x 1)(x2 x 1) f(x) f(1) lim x2 x x�1 x x�1 Vậy f '(1) Suy ra: lim Ta có lim f(x) lim 2x 3 x�1 x�1 x 2x2 7x lim (x2 3x 4) x x�1 x�1 lim f(x) lim x�1 Dẫn tới lim f(x) �lim f(x) � hàm số không liên tục x nên hàm x�1 x�1 số khơng có đạo hàm x0 sin2 x �sinx � lim � sinx � x � x�0 x�0 � x Ta có lim f(x) lim x�0 lim f(x) lim x x2 nên hàm số liên tục x x�0 x�0 f(x) f(0) sin2 x lim x x�0 x�0 x lim f(x) f(0) x x2 lim 1 x x x�0 x�0 lim Vậy f '(0) Ta có hàm số liên tục x0 1 f(x) f(1) x x x x x(x 1) f(x) f(1) x2 2x lim 0 x x�1 x�1 x(x 1) Nên lim f(x) f(1) x2 lim 2 x1 x�1 x�1 x(x 1) lim f(x) f(1) f(x) f(1) � lim x x x�1 x�1 Do lim Vậy hàm số khơng có đạo hàm điểm x0 1 Nhận xét: Hàm số y f(x) có đạo hàm x x0 phải liên tục điểm Bài Ta có: lim f(x) lim (x x) ; lim f(x) lim (ax b) a b x�1 x�1 x�1 x�1 Hàm có đạo hàm x hàm liên tục x � a b (1) 180 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt f(x) f(1) x2 x lim lim (x 2) x x1 x�1 x�1 x�1 lim lim x�1 f(x) f(1) ax b ax a lim lim a (Do b a ) x x1 x�1 x�1 x � a Hàm có đạo hàm x � � �b 1 Ta thấy với x �0 f(x) ln có đạo hàm Do hàm số có đạo hàm � hàm có đạo hàm x Ta có: lim f(x) 1; lim f(x) b � f(x) liên tục x � b x�0 x�0 Khi đó: f'(0 ) lim x�0 f(x) f(0) f(x) f(0) 0; f '(0 ) lim a x x x�0 � f '(0 ) f '(0 ) � a Vậy a 0,b giá trị cần tìm Ta có lim f(x) 1 f(0); lim f(x) b x�0 x�0 Hàm số liên tục x � b f(x) f(0) x1 f(x) f(0) lim lim 1 , lim lim a a x x x x�0 x�0 x�0 x�0 Hàm số có đạo hàm điểm x � a 1 Vậy a 1,b giá trị cần tìm CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM Vấn đề Tính đạo hàm cơng thức Bài 1 Ta có: y' 4x3 6x 2 Ta có y' x2 4x Ta có y' Ta có y' Ta có y' (2x 1)'(x 2) (x 2)'(2x 1) (x 2) (2x 1)(x 1) (x2 x 1) (x 1)2 ad cb (cx d) a b c d (x 2)2 x2 2x (x 1)2 (cx d)2 181 Các giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Ta có: y' (2ax b)(a'x b') a'(ax2 bx c) (a'x b')2 aa'x2 2ab'x bb' a'c (a'x b')2 Bài (x2 1)' � � 'x x2 x Ta có: y' x' x � x 1� � � x2 x2 x2 x2 2x2 x2 ' 3� (2x 5)2 � 12(2x 5) 12 � Ta có: y' � 4 (2x 5) (2x 5) (2x 5)3 Ta có y' (2x 2)(x2 1) 2x(x2 2x 2) Ta có: y' (x2 1)2 (3x 2tanx)' 3x 2tanx 2(1 tan2 x) 3x 2tanx 2x2 6x (x2 1)2 2tan2 x 3x 2tanx ' Ta có: y' 2sin(3x 1) � sin(3x 1)� � � 2sin(3x 1).3cos(3x 1) 3sin(6x 2) Ta có y' x x (x 1) 2x x2 x 4x2 5x x2 x Bài y' 2(x x)(7x 1) Ta có: y 3x 2x � y' 12x 4x Ta có: y' 2(x2 1) 2x.2x (x2 1)2 2x2 (x2 1)2 3 Ta có: y 10x x 3x � y' 40x 3x 6x � 10 � � 5� 4 � 4x y' 3� � � � x � � x2 � 2 y' 3(x 5x 6) 2(x 3)(x 2) Ta có: y' 3x2 6x x3 3x2 Ta có y' 2x x 182 x x1 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt x2 a2 x2 a2 a2 x2 (a2 x2) (a2 x2)3 Ta có: y' 10 Ta có: y' (x x)' x 1 x 11 Ta có: y' x2 x 1 x 1 x 1 3x 1 x (1 x)3 12 Ta có: y' 3sin6x 13 Ta có: y' 3tanx(1 tan2 x) (1 cot2 2x) 3tan2 x cot2x 3x2 8cos3(2x )sin(2x ) 4 y' 14 Ta có: �3 � 33 � x cos4(2x ) � 3� � 15 Ta có: y' 4xcos(x 2) 16 Ta có: y' 3sin(2sin x)sin xcosx sinx xcosx 17 Ta có: y' sin2 x 18 Ta có: y cotx(1 cot x) cotx cot x cotx 3 2 Suy y' cot x(1 cot x) 1 cot x cot x 1 19 Với x �0 � f '(x) 3x sin xcos x x f(x) f(0) 0 Với x � f'(0) xlim �0 x � 1 3x sin xcos x �0 � x x Vậy f'(x) � � x � x Bài f '(x) 2x � f '(1) 2; '(x) cos � '(0) 2 f '(1) Suy '(0) Bài 183 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Ta có: y 1� y' Ta có: �2 � �2 � �4 � �4 � y [cos� 2x� cos� 2x� cos� 2x� cos� 2x� ] 2sin2 x 3 3 � � � � � � � � ( cos2x cos2x) 2sin2 x 1� y' 2 Bài (m 1)x2 2(m 2)x 2(m 2)� Ta có: y' 3� � � y Do y' �0 � (m 1)x2 2(m 2)x 2(m 2) �0 (1) � m (1) � ��6x x nên m (loại) � a m 1 � m �1 (1) với x �� � � ' �0 � � m1 �۳� (m 1)(4 m) �0 � m Vậy m �4 giá trị cần tìm Ta có: y' mx2 2mx 3m Nên y' �0 � mx2 2mx 3m �0 (2) � m (1) trở thành: 1�0 với x �� � a m � m �0 , (1) với x �� � � ' �0 � � m � m �� �� � m m(1 2m) �0 � 1 2m �0 � Vậy m �0 giá trị cần tìm Bài 1 Với x �0 ta có: f '(x) 2xsin cos x x f(x) f(0) lim xsin Tại x ta có: lim x�0 x�0 x x � 1 2xsin cos x �0 � Vậy f '(x) � x x � x � Với x ta có: f '(x) 2x 1 Với x ta có: f '(x) x1 Tại x ta có: 184 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt f(x) f(1) x2 x lim 3 x1 x1 x�1 x�1 lim f(x) f(1) x1 lim � suy hàm số khơng có đạo x1 x�1 x�1 x hàm x � 2x x � f '(x) Vậy � x � �2 x Bài Với x �1 hàm số ln có đạo hàm Do hàm số có đạo hàm � � hàm số có đạo hàm x Ta có lim f(x) 1; lim f(x) a b lim x�1 x�1 Hàm số liên tục � � a b � a b f(x) f(1) 1; Khi đó: lim x1 x�1 f(x) f(1) x2 ax 1 a lim a x1 x1 x�1 x�1 lim � a b � a �� Nên hàm số có đạo hàm � � a 2 b 1 � � Tương tự ý ĐS: a 0,b Bài ' 1.Ta có: y' 3(x3 2x)2 x3 2x 3(x3 2x)2(3x2 2) Ta có: y' 2x(3x3 2x) (x2 1)(9x2 2) 15x4 3x2 � � � � 1 3.Ta có: y' 2�x � � � � 3x � � 3x3 � 2 Ta có: y' 12sin 2xcos2x 6tan3x 1 tan 3x cos4x 4xsin4x ' ' �sin2x � 2xcos2x sin2x � x � cos3x 3xsin3x Ta có: � , � � � � x � �cos3x � x2 cos2 3x 2xcos2x sin2x cos3x 3xsin3x Nên y' x2 cos2 3x 6.Ta có: y' sin2x 2xcos2x 3x2 2x x3 x2 185 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Ta có: y' 2sin2x 3x2 2sin2 x x3 x 2 x x2 x Ta có: y' � � 2 x 2x (x 1)� x 2x 1� � � Ta có: xtan2x tan2x 2x 1 tan 2x ' ' �x � ' (x 1)tanx� � � � � � tanx (x 1)(tan 1) cotx � � 2 Nên y' tan2x 2x 1 tan 2x tanx (x 1)(tan 1) � � � � 3sin2 � 2x � cos� 2x � 3� � 3� � 10 Ta có: y' � 3� sin � 2x � 3� � Bài 10 TXĐ: D � � x Ta có: f '(x) 6x2 6x , suy f '(x) �0 � � x �1 � TXĐ: D � � 1 x Ta có: f '(x) 8x3 8x , suy f '(x) � � x1 � TXĐ: D � x f(x) Ta có: f '(x) 1 x 1 x2 Mặt khác: f(x) x x2 x x �0, x �� Nên 2xf '(x) f(x) �0 � ۳�۳ 2x x2 2xf(x) x2 � x �0 � � 3x �1 � x f(x) �0 2;2� TXĐ: D � � � Ta có: f '(x) 1 186 x 4 x � f '(x) � x2 x Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt � 2 �x � 2 �x � � x �0 �� �� � 2 �x � �x � � � 4 x x � � Vấn đề Sử dụng đạo hàm để tìm giới hạn Bài 1 Xét hàm số f(x) (1 3x)3 (1 4x)4 � A f '(0) 25 Xét hàm số f(x) (1 x)(1 2x)(1 3x) 1� B f '(0) Xét hai hàm số f(x) n 1 ax 1,g(x) m 1 bx Suy C f '(0) ma g'(0) nb Xét hàm số f(x) 2x x � D lim f '(1) x�1 x Bài Đặt f(x) 2x 1� f '(x) g(x) 1 x � g'(x) 3.3 (2x 1)2 x x2 � f '(1) � g'(1) f(x) f(1) f(x) f(x) f(1) f '(1) lim lim x Khi đó: A lim x�1 g(x) x�1 g(x) g(1) x�1 g(x) g(1) g'(1) x1 2x Đặt f(x) 2x x � f '(x) 2x 3.3 (x2 1)2 � f '(0) Và g(x) sinx � g'(x) cosx � g'(0) f(x) f(0) f(x) f '(0) x lim Khi đó: B lim x�0 g(x) x�0 g(x) g(0) g'(0) x 1 � g'(1) Đặt g(x) x 1� g'(x) 2 x � f '(1) 26 f(x) 26x3 80x4 � f '(x) (26x3 1)2 80x3 (80x4 1)3 2 27 187 Các giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả f(x) f(1) f(x) f '(1) lim x Khi đó: C lim x�1 g(x) x�0 g(x) g(1) g'(1) 27 x1 Xét hai hàm số f(x) 2x x2 2x x2 g(x) x x Ta có: E f '(0) g'(0) Vấn đề Đạo hàm cấp vao vi phân Bài 1 Ta có y' 2cos2x � y'' 4sin2x Ta có y''' 8cos2x, y(4) 16sin2x 2 Suy y'''( ) 8cos 4; y(4) ( ) 16sin 16 3 Ta có y' 2sin(2x ),y'' 22 sin(2x ) , y''' 23 sin(2x ) 2 Bằng quy nạp ta chứng minh y(n) 2n sin(2x n ) Với n 1� y' 21 sin(2x ) Giả sử y(k) 2k sin(2x k ) , � � (k1) y(k) ' 2k1 cos(2x k ) 2k1 sin � 2x (k 1) � suy y 2� � Theo ngun lí quy nạp ta có điều phải chứng minh Bài ' 3� (x 2)2 � 3.2 � � Ta có y' ,y'' (x 2) (x 2) (x 2)3 y''' 3.2.3 (x 2)4 (n) Ta chứng minh y �Với n 1� y' �Giả sử y(k) 188 (1)0.3 (x 2) (1)k1.3.k! (x 2)k1 (x 2)2 (1)n1.3.n! (x 2)n1 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt (d) tiếp xúc (C) điểm có hoành độ x0 hệ � x2 � k(x0 2) (1) x02 x02 4x0 �2 x0 x (x 2) � có nghiệm � x0 (2 x )2 � x0 4x0 k � �(2 x0) � x0 2 � y x 2 � � xM xM �yM � M �(C) �yM �� xM � � � xM d(M ,Ox) 2d(M ,Oy) � � � �yM �2xM �yM xM � � �yM 2xM xM xM � � y 2x � x �yM � �M � M (*) � �� � �M �� xM � � xM y 2x 3x 4x �M � � M �y M � M xM �yM 2xM � �M �4 � Vì M khơng trùng với gốc tọa độ O nên nhận M � ; � �3 � Phương trình tiếp tuyến (C) M y = 8x – � �yM 2xM xM � � x 4 �yM � �yM 2xM (*) � � �2 � �M (do M � xM � � xM 2xM xM 4xM �yM 8 � � � xM �yM 2xM � O) Phương trình tiếp tuyến (C) M y 8 Bài 6: Ta có y' 6x2 6(m 1)x m , suy phương trình tiếp tuyến (d) y y'(1)(x 1) y(1) (12+7m)(x+1) – 3m – � y (12+7m)x +4m+8 A(0;8) �(d) � = 4m +8 � m Gọi P,Q giao điểm (d) với trục Ox Oy � 4m � P� ;0�, Q(0; 4m+8) � 12 7m � 8m2 32 32m 1 4m Diện tích: OPQ: S OP.OQ 4m 2 12 7m 12 7m S 8 � 8m2 32m 32 12 7m 3 241 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả � � �2 m �m 8m 32m 32 (12 7m) � � m m 3 �� �� �� � � 19 � 73 � 8m2 32m 32 (12 7m) � 3m 19m 24 m � � � � � Bài 7: (C) tiếp xúc (P) điểm có hồnh độ x0 hệ sau có nghiệm x0 �x4 � x 0 � x 6 � 2x02 x02 m � �0 �� �4 m4 � m 20 � � x03 4x0 2x0 � 2.Phương trình tiếp tuyến (d): y y'(a)(x a) a4 a4 2a2 4 (a3 4a)(x a) 2a2 4 3a4 2a2 4 Phương trình hồnh độ giao điểm (C) (d): (a3 4a)x x4 3a4 2x2 (a3 4a)x 2a2 � x4 8x2 4(a3 4a)x 3a4 8a2 4 � xa � (x a)2(x2 2ax 3a2 8) � �2 x 2ax 3a2 (3) � (d) cắt (C) hai điểm E,F khác M � Phương trình (3) có hai nghiệm � 2 a � ' a2 3a2 � � � � (*) phân biệt khác a � � a �� 6a � � � � � Tọa độ trung điểm I E,F : � x xF � xI a xI E a � � � �� � 7a4 6a2 �y (a3 4a)(a) 3a 2a2 (do I �(d)) �yI � � �I I �(P) : y x2 � 7a4 a2 6a2 a2 � 7a2(1 ) � 4 So với điều kiện (*) nhận a = Bài 8: 242 � a � a �2 � Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Hai đường cong cho tiếp xúc điểm có hồnh độ x0 � �x2 x �0 x02 m (1) x � hệ phương trình : � có nghiệm x0 �x0 2x0 2x0 (2) � �(x0 1) Ta có: (2) � x0(2x02 5x0 4) � x thay vào (1) ta m 1 Vậy m 1 giá trị cần tìm (C1) (C 2) tiếp xúc điểm có hồnh độ x0 � hệ phương trình sau có nghiệm x0 : � mx03 (1 2m)x02 2mx0 3mx03 3(1 2m)x0 4m � � 3mx0 2(1 2m)x0 2m 9mx02 3(1 2m) � � � 2mx3 (1 2m)x02 (3 8m)x0 4m (1) � �� có nghiệm x0 6mx 2(1 2m)x 8m (2) � � Ta có : (1) � (x0 1)(2mx02 (1 4m)x0 4m 2) � x0 �� 2mx0 (1 4m)x0 4m � � �Với x0 thay vào (2), ta có: m �Với 2mx02 (1 4m)x0 4m (*) ta có : (2) � 4mx۹ x0 4m � x0 � 1 4m � x �0 4m (m m hệ vô nghiệm) Thay x0 1 4m vào (*) ta được: 4m (1 4m)2 (1 4m)2 4m 8m 4m � 48m2 24m � m Vậy m 3� 12 3� giá trị cần tìm ,m 12 243 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả (Cm) tiếp xúc với (P) điểm có hồnh độ x0 hệ � x03 4mx20 7mx0 3m x02 x0 (1) � (A) có nghiệm x0 � 3x 8mx 7m 2x � 0 � Giải hệ (A), (1) � x03 (4m 1)x02 (7m 1)x0 3m 1 � x0 � (x0 1)(x02 4mx0 3m 1) � �2 x0 4mx0 3m � � Vậy (A) � � x0 x02 4mx0 3m � � �� �� 3x0 2(4m 1)x0 7m (2) � 3x02 2(4m 1)x0 7m (2) � � Thay x0 = vào (2) ta m = � 3x02 2(4m 1)x0 7m (2) � 3x2 2(4m 1)x0 7m (2) � � �� Hệ � x02 4mx0 3m (3) 3x02 12mx0 9m (4) � � � � Trừ hai phương trình (2) (4) ,vế với vế ta 4m x0 – x0 – 2m – = � (2m 1)x0 m (5) m1 Khi m = (5) trở thành = 3/2 (sai) (5) � x0 2m m Thay x0 = vào phương trình (3) ,ta 2m �m � �m � � � 4m � � 3m �2m 1� �2m 1� � 4m3 11m2 5m � m �m �m � � 2; ;1� Vậy giá trị m cần tìm m �� � Bài 9: Ta có y' x2 2x (x 1)2 Gọi M(x0;y0) tọa độ tiếp điểm tiếp tuyến d với (C) d :y x02 2x0 (x0 1)2 (x x0 ) x02 x0 x0 Vì d song song với đường thẳng : y 244 x , nên ta có: 4 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt x02 2x0 (x0 1) � x02 2x0 � x0 1,x0 3 x 4 � x0 � phương trình tiếp tuyến: y x 4 � x0 1phương trình tiếp tuyến: y Cách 1: M �d � x02 2x0 (x0 1)2 (1 x0) x02 x0 x0 � 3(x0 1)2 (x02 2x0)(x0 1) (x0 1)(x02 x0 1) �Với x0 � Phương trình tiếp tuyến y � 2x02 5x0 � x0 2,x0 � Phương trình tiếp tuyến y 3x Cách 2: Gọi d đường thẳng qua M(1;3) , có hệ số góc k, phương trình d có dạng: y k(x 1) d tiếp xúc đồ thị điểm có hồnh độ x0 hệ phương trình sau có �Với x0 �x2 x �0 k(x0 1) (1) � x0 nghiệm x0 : � �x0 2x0 k (2) � �(x0 1) Thế (2) vào (1) ta được: x02 x0 x02 2x0 (x0 1) x0 (x0 1)2 �Với x0 � k � Phương trình tiếp tuyến y � 2x02 5x0 � x0 2,x0 � k 3 � Phương trình tiếp tuyến y 3x Đồ thị có hai tiệm cận x y x suy giao điểm hai tiệm cận I(1;1) �Với x0 Cách 1: I �d � x02 2x0 (x0 1)2 (1 x0) x02 x0 x0 � x0 x02 2x0 x02 x0 � vơ nghiệm Vậy khơng có tiếp tuyến qua I Cách 2: Gọi d đường thẳng qua I, có hệ số góc k 245 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả � d : y k(x 1) d tiếp xúc với đồ thị điểm có hồnh độ x0 hệ �x2 x �0 k(x0 1) � x0 có nghiệm x0 �2 �x0 2x0 k � �(x0 1) Thế k vào phương trình thứ hai ta được: x02 x0 x02 2x0 1 x0 x0 � x02 x0 x02 2x0 x0 phương trình vơ nghiệm Vậy qua I khơng có tiếp tuyến kẻ đến (C) m có hệ số góc km m Số tiếp tuyến thỏa mãn tốn số nghiệm phương trình: y'.km 1 � m(x2 2x) (x 1) 1� (m 1)x2 2(m 1)x (*) ( với điều kiện x �1) * Nếu m 1 � (*) vô nghiệm � khơng có tiếp tuyến * Nếu m �1 : (*) có ' m(m 1) (*) có nghiệm x � m � m �Khi � � (*) có hai nghiệm phân biệt � có hai tiếp tuyến m 1 � �Khi 1 m �0 (*) vơ nghiệm � khơng có tiếp tuyến Bài 10: Cách 1: Gọi điểm M(x0;y0) �(C) Tiếp tuyến M (C) có phương trình y A � � m 3 (x0 1) 3x0 (x0 1) (x x0 ) x0 x0 x0 x0 � m(x0 1)2 3x0 (x0 2)(x0 1) (với x0 �1 ) � (m 1)x02 2(m 2)x0 m (*) Yêu cầu toán � (*) có hai nghiệm a,b khác cho � ' 3(m 2) � m �1 (a 2)(b 2) ab 2(a b) � � hay là: � m �0 �� (a 1)(b 1) ab (a b) � �m 3m � � 246 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt � m �1 � Vậy � giá trị cần tìm m � � Cách 2: Đường thẳng d qua A, hệ số góc k có phương trình: y kx m �x0 kx0 m � �x0 d tiếp xúc đồ thị điểm có hồnh độ x0 hệ � có � 3 k �(x 1)2 � nghiệm x0 Thế k vào phương trình thứ nhất, ta đươc: x0 3x0 m � (m 1)x02 2(m 2)x0 m (*) x0 (x 1)2 Để từ A kẻ hai tiếp tuyến (*) có hai nghiệm phân biệt khác � ' 3(m 2) � m 2 � ۹�� m (i) � m �1 � � m 1 2(m 2) m �0 � Khi tọa độ hai tiếp điểm là: M 1(x1;y1), M 2(x2;y2) với x1,x2 nghiệm (*) y1 x1 x 2 ; y2 x1 x2 Để M1, M2 nằm hai phía Ox y1.y2 � Áp dụng định lí Viet: x1 x2 x1x2 2(x1 x2) (1) x1x2 (x1 x2) 2(m 2) m ; x1x2 m1 m1 9m 0� m 3 � m � Kết hợp với (i) ta có � giá trị cần tìm � m � � � (1) � (C) tiếp xúc với trục hoành điểm có hồnh độ x0 hệ � x03 2(m 1)x02 5mx0 2m � (A) có nghiệm x0 � 3x0 4(m 1)x0 5m � � Giải hệ (A) � � x0 (x 2)(x02 2mx0 m) � � (A ) � � �� 3x0 4(m 1)x0 5m (1) 3x02 4(m 1)x0 5m � � � 247 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả � x02 2mx0 m � Hoặc � Thay x0 = vào (1) ta m 3x02 4(m 1)x0 5m � � � � x02 2mx0 m (2) 3x2 6mx0 3m (3) � � �� Hệ � 3x02 4(m 1)x0 5m � 3x02 4(m 1)x0 5m (1) � � � Trừ hai phương trình (1) (3) , vế với vế ta m (m 2)x0 m � x0 m Thay x0 m2 2m2 m m vào (1), ta : m (m 2)2 m � 4� 0;1;2; � � m3 3m2 2m � m �m 1�m Vậy m �� � C m tiếp xúc với (d) điểm có hồnh độ x0 hệ � x04 (m 1)x02 4m (1) � (A) có nghiệm x0 � 4x 2(m 1)x (2) � � m Giải hệ (A), (2) � x0 x02 Thay x0 = vào (1) ta m = Thay x02 m �m 1� (m 1)2 vào (1) ta � 4m � 2 � � � m2 14m 13 � m �m 13 3 C m tiếp xúc với (d) điểm (0;3) nên m 4 không thỏa mãn u cầu tốn Khi m= x02 � x0 �1 ,suy C m tiếp xúc với (d) hai điểm Khi m ( �1;3 ) Khi m = 13 x02 � x0 � ,suy C m tiếp xúc với (d) hai điểm ( � 7;3) Vậy giá trị m cần tìm m = �m = 13 Bài 11: Tam giác OAB vuông O , H hình chiếu vng góc O lên AB ,suy � OA AH.AB OB2 HB OB � � � 4� � tanOAB � 2 HA OA OA OB BH.BA � � � Hệ số góc đường thẳng (d) : k = �2 Khi k = ,phương trình (d) có dạng y = 2x + m 248 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt �2x0 2x0 m (2) � �x0 (d) tiếp xúc (C) điểm có hồnh độ x0 � � có � (3) �(x 1)2 � � x0 � x 2 � �0 nghiệm x0 (3) � (x0 1) � � x0 1 � x0 � Thay x0 = vào (2) ta m = - Thay x0 = vào (2) ta m = Vậy trường hợp này, phương trình tiếp tuyến (d) y = 2x �4 Khi k = - , phương trình (d) có dạng : y = -2x + m �2x0 2x0 m (4) � �x0 � có (d) tiếp xúc (C) điểm có hồnh độ x0 � � � 2 (5) �(x 1)2 � x nghiệm Phương trình (5) vơ nghiệm nên hệ vơ nghiệm Vậy phương trình tiếp tuyến (d): y = 2x �4 Gọi x0 hoành độ tiếp điểm tiếp tuyến (d) với (C), phương 2x (x x0) trình (d) có dạng y f '(x0)(x x0) f(x0) x0 (x 1) (x0 1)2 x 2x02 8x0 (x0 1)2 A giao điểm (d) với trục hoành � A( x02 4x0 2;0) � 2x2 8x � � 0; B giao điểm (d) với trục tung � B� � (x 1)2 � � � Diện tích tam giác OAB (vng O) : 2 2x 8x0 (x0 4x0 2) 1 S OA.OB x02 4x0 2 (x 1)2 (x 1)2 S 4� (x02 4x0 2) (x0 1) � (x02 4x0 2)2 4(x0 1)2 � � x2 4x0 2(x0 1) x2 6x0 � �0 � �0 � x02 4x0 2(x0 1) � x02 2x0 � � � x �x0 � �0 x0 �x0 � 249 Các giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Suy phương trình tiếp tuyến (d): 4 y x , y x , y 2x+4 , y = 2x – 2 2 2 (2 5) (2 5) Bài 12: � � 9� A� 0; � � A �Oy � � � 2� � � � � OA � 9� � A� 0; � � � � � 2� � 9� 0; � Khi phương trình tiếp tuyến (d) có dạng Trường hợp A � � 2� y kx �x2 3x �0 kx0 (2) � 1 x0 (d) tiếp xúc (C) điểm có hồnh độ x0 � � có �x0 2x0 k (3) � � (1 x0) nghiệm x0 Thay (3) vào (2) ta x02 3x0 1 x0 x02 2x0 (1 x0)2 x0 � x0 �1 � �� 2 2(x0 3x0)(1 x0) 2x03 4x02 6x0 9(1 x0)2 � � x0 � x0 �1 � �� �� x0 5x0 18x0 � � � 27 Thay x0 = vào (3) ta k Vậy trường hợp , phương trình (d) 27 y x ,y x 2 2 � 9� 0; �.Khi phương trình (d) có dạng : y kx Trường hợp 2: A � 2 � � Thay x0 = vào (3) ta k 250 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt �x2 3x �0 kx0 (4) � 1 x0 (d) tiếp xúc (C) điểm có hồnh độ x0 � � có �x0 2x0 k (5) � � (1 x0) nghiệm x0 Thay (5) vào (4), ta được: x02 3x0 1 x0 x02 2x0 (1 x0)2 x0 � x0 �1 � �� 2 2(x0 3x0)(1 x0) 2x03 4x02 6x0 9(1 x0)2 � � x0 �1 � �� 13x0 18x0 (vn) � Do trường hợp khơng có tiếp tuyến (d) thỏa đề 27 Vậy phương trình tiếp tuyến (d) cần tìm y x ,y x 2 2 y yM x xM � y 3x 3 a Phương trình đường thẳng MN: yM yN xM xN Phương trình hồnh độ giao điểm (C) đường thẳng MN � x2 3x 2x2 3x (vn) � 3x � � 1 x x �1 � Suy đường thẳng MN (C) khơng có điểm chung b Tiếp tuyến (D) song song đường thẳng MN suy phương trình (D) có dạng y = - 3x + m (m �3) �x2 3x �0 3x0 m (6) x � (D) tiếp xúc (C) điểm có hồnh độ x0 � � có �x0 2x0 3 (7) � � (1 x0) � x0 �1 x2 2x0 � 3 � � nghiệm x0 � x0 2x0 3(1 x02 2x0) (1 x0)2 � � x0 �1 � x 0 � �� � �0 x0 2x0 4x0 � � Thay x0 = vào (6) ta m = Thay x0 = vào (6) ta m = Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm y 3x ,y 3x Khi m = tiếp điểm tiếp tuyến (D) với (C) O(0;0) Khi m = tiếp điểm tiếp tuyến (D) với (C) K(2;2) Vì đường thẳng MN (C) khơng có điểm chung 251 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả d(O, MN) = < d(K,MN) = điểm thuộc (C) có khoảng 10 10 cách từ đến đường thẳng MN O Mặt khác SEMN MN.d(E,MN) , độ dài MN không đổi ,do SEMN nhỏ � d(E,MN) nhỏ E O Vậy điểm cần tìm gốc tọa độ O Bài 13: Xét M(0;m) �Oy Đường thẳng d qua M, hệ số góc k có phương trình: y kx m d tiếp xúc đồ thị điểm có hồnh đồ x0 hệ � x0 4x02 2x0 kx0 m � � 4x0 có nghiệm x0 � 1 k � 4x02 2x0 � � Thay k vào phương trình thứ ta được: x0 4x02 2x0 x0 4x02 x0 4x02 2x0 m � 4x02 2x0 1 4x02 x0 m 4x02 2x0 � m x0 4x02 2x0 f(x0) (*) Để từ M kẻ tiếp tuyến đến đồ thị � (*) có nghiệm 3x0 � f'(x0) � x0 Xét hàm số f( x0 ), ta có: f '(x0) ( 4x02 2x0 1)3 Mặt khác: lim f(x0) x�� Bảng biến thiên: x0 ; lim f(x0) x�� � � f '(x0) f(x0) 2 (*) có nghiệm � 252 m �1 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Vậy M(0;m) với m �1 điểm cần tìm Bài 14: Tiệm cận đứng (C) : x = 1, tiệm cận xiên (C): y = 2x – 1, suy giao điểm hai đường tiệm cận I(1;1) Phương trình tiếp tuyến (d) (C) qua I : y = k(x – 1) + (d) tiếp xúc với (C) điểm có hồnh độ x0 � 2x 1 k(x 1) (1) � x1 � �� có nghiệm x0 � 2 k (2) � � (x 1) k vào (1) ta Thay (x0 1)2 � � 2 � � 2 (x0 1) � (3) x0 � (x 1) � (x0 1)2 � � Phương trình (3) vơ nghiệm nên không tồn tiếp tuyến (C) qua I Hai tiếp tuyến (C) M 1M song song với 2x0 1 � y'(x1) y'(x2) � 2 2 (x1 1) 2 (x2 1)2 � (x1 1)2 (x2 1)2 � x1 1 x2 (do x1 �x2) � x1 x2 Gọi E trung điểm đoạn M 1M � x x xE � � � � 2 � �y � 2x1 1 2x2 1 � E � � 2� x1 x2 1� � � 1� 2 � yE � 2(x1 x2) � 2� x1 x1 1� Vậy E(1;1) �E I điều phải chứng minh Bài 15: Phương trình: 4x3 3x 2a2 3a tương đương với phương trình : 4x3 3x 2a2 3a Phương trình cho có hai nghiệm âm nghiệm dương đường thẳng y 2a2 3a cắt đồ thị y 4x3 3x ba điểm có hai điểm có hồnh độ âm 253 Các giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả điểm có hồnh độ dương Từ đồ thị suy ra: 2a2 3a � 2a2 3a � tức ta có hệ: � hay a a 2 2a 3a � Giả sử M m;3 điểm cần tìm d đường thẳng qua M có hệ số góc k , phương trình có dạng: y k x m Đường thẳng d tiếp xúc với đồ thị C điểm N x0;y0 hệ : � 4x03 3x0 k x0 m � có nghiệm x0 , từ hệ suy � 4x0 3x0 ' � k x0 m 3� ' � � � � 4x2 2 3m 1 x0 3m 1� 1 có nghiệm x0 2x0 1 � � � M kẻ đường thẳng tiếp xúc với C Qua phương trình 1 có nghiệm x0 , tức phương 4x02 2 3m 1 x0 3m 2 có hai nghiệm phân biệt khác m 1 trình hay 1 m� Bài 16: Hàm số cắt trục hoành thại hai điểm phân biệt A ,B có hệ số góc 2x k x Ta có: y' x2 2x m , đặt g x x2 2x m x 1 Theo toán, g x có hai nghiệm phân biệt khác 1 Theo đề, tiếp tuyến A B vng góc tức kA k B 1, tìm m Đường thẳng d qua điểm M m;m có hệ số góc k , phương trình có dạng: y k x m m d tiếp xúc C điểm có hồnh độ x0 hệ � 2x2 � k x0 m m � �x0 có nghiệm x0 , từ ta tìm m 5 � 23 � �2x0 8x0 k � � x0 2 254 : Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt a y y 9x b Gọi M m;9m 4 điểm đường thẳng y 9x Đường thẳng t qua M có phương trình y k x m 9m t tiếp xúc với C tiếp điểm N x0;y0 hệ sau : � x03 3x02 k x0 m 9m � � 3x0 6x0 k � � có nghiệm x0 Để qua M kẻ tiếp tuyến đến C hệ có nghiệm x0 phân biệt tức 2x2 3m x0 9m� x0 1 � � � có nghiệm m �1 thỏa tốn Gọi M a;b điểm cần tìm M � d � b 3a x0 phân biệt hay m 5 Tiếp tuyến đồ thị C điểm x0;y0 y 3x02 x x0 x03 3x0 Tiếp tuyến qua M a;b tiếp tuyến 3a � 3a 3x02 a x0 x03 3x0 � 2x03 3ax02 � x0 �x0 Có hai qua M với hệ số góc �3a � 27a k1 f ' 0 3,k2 f '� � 3 �2 � Hai tiếp tuyến � k1k2 1 � a2 vng góc với 40 10 � a � 81 � 10 � 10 � ;m 2� Vậy có hai điểm thoả mãn đề : M � � � � � 255 ... trục Ox 450 ,suy hệ số góc (D) k D �1 Trường hợp k D ,khi phương trình (D) : y = x + a (a �0) 205 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả �x3 � x 2x x a (3)