Đang tải... (xem toàn văn)
Một quyển sách khác của tác giả Thanh Tùng sau quyển sách về hình giải tích phẳng
GI I ðÁP TOÁN C P – THI ð I H C CÁC HƯ NG TƯ DUY VÀ PHƯƠNG PHÁP GI I TRONG HÌNH H C OXYZ Biên so n: Thanh Tùng THU T TỐN TÌM ðI M CÁCH VI T PHƯƠNG TRÌNH M T PH NG CÁCH VI T PHƯƠNG TRÌNH ðƯ NG TH NG CÁCH VI T PHƯƠNG TRÌNH M T C U BÀI TỐN C C TR (tham kh o thêm) *) Tóm t t lý thuy t đ y đ theo m t trình t logic có h th ng *) ðưa hư ng tư phương pháp gi i khái qt cho t ng l p tốn *) Có tốn m u minh h a kèm *) Ph n t p áp d ng có g i ý *) L i gi i chi ti t cho t ng toán c th (tham kh o thêm http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 ) HÀ N I 2/2013 CÁC HƯ NG TƯ DUY VÀ PHƯƠNG PHÁP GI I TRONG HÌNH H C OXYZ A KI N TH C CƠ B N I CÁC CÔNG TH C CƠ B N II CÁC CÔNG TH C V ð NH LƯ NG III PHƯƠNG TRÌNH M T PH NG, ðƯ NG TH NG, M T C U IV V TRÍ TƯƠNG ð I GI A M T PH NG, ðƯ NG TH NG VÀ M T C U B CÁC D NG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GI I I BÀI TOÁN 1: BÀI TỐN TÌM ðI M CÁC BÀI TỐN M U Trư c làm t p Chuyên ð th y có m t vài quy c sau (ñ em ti n theo dõi) : +) M (t ) ∈ ∆ : ta ràng bu c t a ñ ñi m M theo m t n t r r +) a(t ) : ta ràng bu c t a ñ véc tơ a theo m t n t +) M (t1 , t2 ) : m M có t a đ ph thu c vào hai n t1 t2 r r +) a (t1 , t2 ) : véc tơ a có t a đ ph thu c vào hai n t1 t2 x −1 y +1 z = = hai ñi m A(1; −1; 2) , B (2; −1; 0) Xác ñ nh t a ñ −1 ñi m M thu c d cho tam giác AMB vuông t i M 1) (D – 2012: NC) Cho ñư ng th ng d : uuur MA(t ) Hư ng gi i: +) G i M (t ) ∈ d → uuur MB(t ) uuur uuur +) Khai thác d ki n toán ( tam giác AMB vuông t i M ) : MA.MB = ⇔ f (t ) = ⇔ t = ? ⇒ M Gi i: uuur MA = (−2t; t ; − t ) +) G i M (1 + 2t ; −1 − t ; t ) ∈ d ⇒ uuur MB = (1 − 2t; t; −t ) uuur uuur +) Tam giác AMB vuông t i M nên : MA ⊥ MB M (1; −1; 0) t = 2⇒ ⇔ −2t (1 − 2t ) + t − (2 − t )t = ⇔ 6t − 4t = ⇔ M ; − ; t = 3 3 2 2) ( A – 2011: CB) Cho hai ñi m A(2; 0; 1), B(0; -2; 3) m t ph ng (P) : 2x – y – z + = Tìm t a ñ ñi m M thu c (P) cho MA = MB = Hư ng gi i: +) G i M ( x; y; z ) ∈ ( P ) ⇒ x − y − z + = (1) MA = f ( x, y, z ) = ⇒ MB = g ( x, y, z ) = +) Khai thác d ki n toán (MA = MB = 3) : (2) (3) +) T (1); (2) (3) ⇒ x, y , z = ? ⇒ M Gi i: +) G i M ( x; y; z ) ∈ ( P ) ⇒ x − y − z + = (1) MA2 = ( x − 2) + y + ( z − 1)2 = x + y − z + = (2) ⇒ ⇔ 2 2 2 MB = x + ( y + 2) + ( z − 3) = x + ( y + 2) + ( z − 3) = +) Ta có: MA = MB = ⇒ x = y − (*) z = 3y (3) Thay (*) vào (3) ta ñư c: (2 y − 2) + ( y + 2) + (3 y − 3) = +) T (1) (2) ⇒ y =1 ⇔ y − 11y + = ⇔ ⇒ y = M (0;1;3) M − ; ; 12 7 7 BÀI T P ÁP D NG x −1 y +1 z = = hai ñi m A(1; −1; 2) , B (2; −1; 0) Xác ñ nh t a ñ −1 ñi m M thu c d cho tam giác AMB vuông t i M (ñã gi i) 1) (D – 2012: NC) Cho ñư ng th ng d : 2) ( A – 2011: CB) Cho hai ñi m A(2; 0; 1), B(0; -2; 3) m t ph ng (P) : 2x – y – z + = Tìm t a ñ ñi m M thu c (P) cho MA = MB = (ñã gi i) 3) (B – 2011: CB) Cho ñư ng th ng ∆ : x − y +1 z = = mp (P) : x + y + z – = G i I giao c a ∆ (P) −2 −1 Tìm m M thu c (P) cho MI vng góc v i ∆ MI = 14 4) ( B – 2011: NC) Cho ñư ng th ng ∆ : x + y −1 z + = = hai ñi m A(- 2; 1; 1), B(-3; - 1; 2) Tìm m M −2 thu c ∆ cho tam giác MAB có di n tích b ng 5) (A – 2010: CB) Cho ñư ng th ng ∆ : x −1 y z + = = mp (P): x – 2y + z = G i C giao c a ∆ v i (P), M −1 ñi m thu c ∆ Tính kho ng cách t M đ n (P), bi t MC = 6) (B – 2010: CB) Cho A(1; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c), v i b, c > mp (P): y – z + = Tìm b c, bi t mp (ABC) vng góc v i mp (P) kcách t 7) (B –2010: NC) Cho ñư ng th ng ∆ : O ñ n mp (ABC) b ng x y −1 z = = Xác ñ nh t a ñ ñi m M tr c hoành cho kho ng cách 2 t M ñ n ∆ b ng OM x = + t x − y −1 z = = Xác ñ nh t a ñ ñi m M thu c ∆1 8) (D – 2010:NC) Cho hai ñư ng th ng ∆1 : y = t ∆ : 2 z = t cho kho ng cách t M t i ∆ b ng 9) (A – 2009 - NC) Cho mp (P): x – 2y + 2z – = hai ñư ng th ng ∆1 : x +1 y z + = = , 1 x −1 y −1 z +1 = = Xác ñ nh t a ñ ñiêm M thu c ñư ng th ng ∆1 cho kho ng cách t M ñ n ñư ng −2 th ng ∆ kho ng cách t M ñ n mp (P) b ng ∆2 : 10) (D – 2009: CB) Cho A(2; 1; 0), B(1; 2; 2), C(1; 1; 0) mp (P): x + y + z – 20 = Xác ñ nh t a ñ ñi m D thu c ñư ng th ng AB cho ñư ng th ng CD song song v i mp (P) 11) (A – 2008) Cho ñi m A(2; 5; 3) ñư ng th ng d: x −1 y z − = = Tìm t a đ hình chi u vng góc c a m 2 A ñư ng th ng d 12) (B – 2008): Cho ñi m A(0; 1; 2), B(2; - 2; 1), C(-2; 0; 1) Tìm t a ñ ñi m M thu c m t ph ng 2x + 2y + z – = cho MA = MB = MC 13) (D – 2008) Cho b n ñi m A(3 ; ; 0), B(3 ; ; 3), C(0 ; ; 3), D(3 ; ; 3) Tìm t a đ tâm ñư ng tròn ngo i ti p tam giác ABC 14) (B – 2007) Cho m t c u (S) : x + y + z − x + y + z − = mp (P) : 2x – y + 2z – 14 = Tìm t a đ m M thu c (S) cho kho ng cách t M ñ n mp (P) l n nh t 15) (D – 2007) Cho hai ñi m A(1; 4; 2),B(-1; 2; 4) ñư ng th ng : ∆ : x −1 y + z = = Tìm t a đ m M −1 thu c ∆ cho MA2 + MB nh nh t x = 1+ t x y −1 z + 16) (B – 2006) Cho ñi m A(0; 1; 2) hai ñư ng th ng : d1 : = = , d : y = −1 − 2t −1 z = + t Tìm t a đ m M thu c d1 , N thu c d2 cho ñi m A, M, N th ng hàng 17) (D – 2006) : Cho ñi m A(1; 2; 3) ñư ng th ng : d : x −2 y + z −3 = = −1 Tìm t a đ m A’ đ i x ng v i ñi m A qua ñư ng th ng d 18) (A – 2005) Cho ñư ng th ng d : x −1 y + z − = = mp (P) : 2x + y – 2z + = Tìm t a đ ñi m I thu c d −1 cho kho ng cách t I ñ n m t ph ng (P) b ng x = 3t x −1 y + z + = = 19) (D – 2005) Cho hai ñư ng th ng : d1 : ; d : y = − t mp Oxz c t d1 , d l n lư t t i −1 z = + 2t ñi m A, B Tính di n tích tam giác OAB ( O g c t a ñ ) x = 1+ t 20) ( A – 2002) Cho ñư ng th ng ∆ : y = + t Cho m M(2;1;4) Tìm t a ñ ñi m H thu c ∆ cho ño n z = + 2t th ng MH có đ dài nh nh t 21) Tìm t a ñ ñi m M thu c m t c u (S) : x + y + z − x + z − = cho kho ng cách t M ñ n m t ph ng (P): 2x – 2y + z + = l n nh t, nh nh t x y z 22) Cho hai ñư ng th ng : d1 : = = 1 x = −1 − 2t d2 : y = t z = 1+ t Xác ñinh t a ñ ñi m M,N l n lư t thu c d1 d2 cho ñư ng thăng MN song song v i m t ph ng (P) : x – y + z = ñ dài ño n MN b ng 23) Tìm hình chi u H c a m M(2; -3; 1) m t ph ng (P) : x + 3y – z + 2=0 x = + 2t 24) Tìm hình chi u H c a ñi m M(2 ; -1; 1) ñư ng th ng d : y = −1 − t z = 2t 25) Tìm hình chi u c a d: x y−2 z+6 = = m t ph ng (P) : 2x – y + 2z + = −1 II BÀI TOÁN 2: BÀI TỐN VI T PHƯƠNG TRÌNH BÀI TỐN 2.1: VI T PHƯƠNG TRÌNH M T PH NG CÁC BÀI TOÁN M U x = 1+ t x y −1 z + 1) (B – 2006) Cho ñi m A(0; 1; 2) hai ñư ng th ng : d1 : = , d : y = −1 − 2t = −1 z = + t Vi t phương trình m t ph ng (P) qua A ñ ng th i song song v i d1 , d Phân tích: +) Bài tốn cho qua m A(0; 1; 2) (bi t m t y u t - v n thi u véc tơ pháp n c a (P)) uuur ur uu r ur uu r +) Khai thác d ki n: “(P) ñ ng th i song song v i d1 , d ” ⇒ u1 , u2 c p vtcp c a (P) ⇒ n( P ) = u1 , u2 Như v y theo Hư ng tư TH1 ta s có l i gi i sau: ur uu r Gi i: T phương trình c a ñư ng th ng d1 , d ta có : u1 = (2;1; −1) u = (1; −2;1) uuur ur uu r mà (P) ñ ng th i song song v i d1 , d ⇒ n( P ) = u1 , u2 = (1;3;5) uuur V y phương trình m t ph ng (P) qua A(0; 1; 2) có n( P ) = (1;3;5) là: ( x − 0) + 3( y − 1) + 5( z − 2) = hay x + y + z − 13 = Ki m tra k t qu : ur uu r (vì khai thác tốn chưa tri t đ : d1 ; d có th n m (P) – u1 , u2 c p vtcp c a (P) m i cho ta ñi u ki n c n chưa ñ nên ta ph i có bư c ki m tra l i k t qu ) d1 / /( P) (th a mãn) d / /( P) Ch n M (0;1; −1) ∈ d1 M (1; −1; 2) ∈ d Ta có: M ∉ ( P); M ∉ ( P) ⇒ V y phương trình m t ph ng (P) là: x + y + z − 13 = 2) ( D – 2010) : Cho hai m t ph ng (P) : x + y + z – = m t ph ng (Q) : x – y + z – = Vi t phương trình m t ph ng (R) vng góc v i (P) (Q) cho kho ng cách t O đ n (R) b ng Phân tích: +) Như v y v i d ki n c a đ ta khơng khai thác đư c y u t m Th cịn véc tơ pháp n ? uuur uuur uuur uuur uuur +) D ki n: “mp (R) vng góc v i (P) (Q)” ⇒ n( P ) , n(Q ) c p vtcp c a (R) ⇒ n( R ) = n( P ) , n( Q ) = ( a; b; c ) ⇒ mp (R): ax + by + cz + m = +) C t nghĩa d ki n: O ñ n (R) b ng ⇒ f ( m) = ⇔ m = ? ⇒ mp (R) V i nh ng phân tích ta s theo Hư ng tư Gi i: TH2 Và ta có l i gi i c th sau: uuur uuur T phương trình c a m t ph ng (P) (Q) ta có : n( P ) = (1;1;1) n( Q ) = (1; −1;1) uuur uuur uuur mà mp (R) vuông góc v i (P) (Q)” ⇒ n( R ) = n( P ) , n( Q ) = (2; 0; −2) = 2.(1;0; −1) V y phương trình (R) có d ng: x − z + m = Ta có: d (O;( R )) = ⇔ m 12 + 12 = ⇔ m = 2 ⇔ m = ±2 V y phương trình c a (R): x − z + 2 = ho c x − z − 2 = 3) (B – 2009:CB) Cho t di n A(1 ; ; 1), B(-2 ; ; 3), C(2 ; - ; 1) D(0 ; ; 1) Vi t phương trình m t ph ng (P) ñi qua A, B cho kho ng cách t C ñ n (P) b ng kho ng cách t D đ n (P) Phân tích: +) Như v y v i d ki n c a đ (n u khơng khai thác đư c s li u ñ c bi t c a tốn ) ta khơng tìm đư c y u t véc tơ pháp n Vì v y g i (P) có d ng: ax + by + cz + d = +) Khai thác : “(P) ñi qua A, B kho ng cách t C ñ n (P) b ng kho ng cách t D ñ n (P)” ⇒ a , b, c, d = ? V i phân tích ta s theo Hư ng tư Gi i: TH3 Và ta có l i gi i c th sau: a + 2b + c + d = −2a + b + 3c + d = G i mp (P) có d ng: ax + by + cz + d = Vì (P) qua A(1 ; ; 1), B(-2 ; ; 3) ⇒ 3a + b c = 3a + b 5a + 5b nên (P): ax + by + ⇔ = ⇔ 2ax + 2by + (3a + b) z − (5a + 5b) = (P) z− 2 d = −5a − 5b 2a − 6b 2b − 2a a = 2b = ⇔ a − 3b = b − a ⇔ Mà: d (C ;( P )) = d ( D;( P )) ⇔ 4a + 4b + (3a + b) 4a + 4b + (3a + b) b = +) V i a = 2b ch n a = 4; b = ⇒ c = d = −15 ⇒ mp (P): x + y + z − 15 = +) V i b = ch n a = ⇒ c = d = −5 ⇒ mp (P): x + z − = Chú ý: V i s li u ñ c bi t c a toán em có th có cách gi i khác là: “kho ng cách t C ñ n (P) b ng kho ng cách t D ñ n (P)” ⇔ (P) song song v i CD ho c (P) ñi qua trung ñi m c a CD Và quay v Hư ng tư TH1 (ñây cách gi i c a B Giáo D c – cách gi i hay nh t v i s li u trên) Nhưng n u kho ng cách không b ng ? cách l i khơng làm đư c Hư ng tư TH3 lúc v n phát huy tác d ng 4) (B – 2012: NC) Cho A(0; 0;3), M (1; 2; 0) Vi t phương trình m t ph ng (P) qua A c t tr c Ox, Oy l n lư t t i B, C cho tam giác ABC có tr ng tâm thu c ñư ng th ng AM Phân tích: V i d ki n (P) qua A(0; 0;3) c t tr c Ox, Oy l n lư t t i B, C cho ta hư ng tư c a TH4 Nên theo Hư ng tư c a TH4 ta có l i gi i sau: Gi i: Vì (P) qua A c t Ox, Oy l n lư t t i B, C nên B (b; 0; 0) C (0; c; 0) ⇒ phương trình (P): x y z + + =1 b c x = t uuuu r Ta có: AM = (1; 2; −3) ⇒ phương trình AM : y = 2t G i G (t ; 2t ;3 − 3t ) ∈ AM (1) ( thu t tốn tìm m) z = − 3t b 3 = t t = c b c M t khác: G tr ng tâm tam giác ABC ⇒ G ; ;1 (2) T (1) (2) ⇒ = 2t ⇔ b = 3 3 c = 1 = − 3t x y z ⇒ phương trình (P): + + = ⇔ x + y + z − 12 = BÀI T P ÁP D NG Bài (G i ý: ði theo Hư ng tư TH1) 1) (B – 2008) Cho ñi m A(0; 1; 2), B(2; - 2; 1), C(-2; 0; 1).Vi t phương trình m t ph ng qua ba m A, B, C x = 1+ t x y −1 z + 2) (B – 2006) Cho ñi m A(0; 1; 2) hai ñư ng th ng : d1 : = , d : y = −1 − 2t = −1 z = + t Vi t phương trình m t ph ng (P) qua A ñ ng th i song song v i d1 , d (ñã gi i) 3) (B – 2005) Cho lăng tr ñ ng ABC A1 B1C1 v i A(0 ; - ; 0), B(4 ; ; 0), C(0 ; ; 0), B1 (4; ; 4) G i M trung ñi m c a A1 B1 Vi t phương trình m t ph ng (P) qua hai ñi m A, M song song v i BC1 M t ph ng (P) c t ñư ng th ng A1C1 t i m N Tính ñ dài ño n MN x −1 y + z + 4) ( D – 2005) Cho hai ñư ng th ng d1 : = = −1 x = 3t d : y = − t z = + 2t Ch ng minh d1 d song song v i Vi t phương trình m t ph ng (P) ch a c hai ñư ng th ng d1 d x − y −1 z − 5) (A – 2002) Cho hai ñư ng th ng ∆1 : = = x = 1+ t ∆ : y = + t z = + 2t Vi t phương trình m t ph ng (P) ch a ñư ng th ng ∆1 song song v i ñư ng th ng ∆ 6) Cho ñi m M(1; -1; 1) hai m t ph ng (P): 3x + y – z – 2011 = 0, (Q): x – 3y + = Vi t phương trình m t ph ng (α ) ñi qua M ñ ng th i vng góc v i (P) (Q) 7) Cho ñi m M(0 ; – 2; -1), ñư ng th ng d: x −1 y z + m t ph ng (P): x – y – 2z + 2012 = Vi t phương = = 2 −1 trình m t ph ng (α ) qua M song song v i d vng góc v i (P) Bài (G i ý: ði theo Hư ng tư TH2) 1) ( D – 2010) : Cho hai m t ph ng (P) : x + y + z – = m t ph ng (Q) : x – y + z – = Vi t phương trình m t ph ng (R) vng góc v i (P) (Q) cho kho ng cách t O ñ n (R) b ng (ñã gi i) 2) (TN – 2005) Trong không gian cho m t c u (S): x + y + z − x + y + z − = hai ñư ng th ng x −1 y z x y −1 z = = , ∆2 : = = Vi t phương trình ti p di n v i m t c u (S) song song v i ∆1 , ∆ −1 1 −1 uuu r r r r uuur r r r 3) (TN – 2003) Trong không gian cho b n ñi m A(2; 4; -1), C(2; 4; 3), OB = i + j − k OD = 2i + j − k ∆1 : G i (S) m t c u qua b n ñi m A, B, C, D Vi t phương trình ti p di n c a (S) song song v i (ABD) 4) Trong không gian cho m t c u (S): x + y + z − x + y + z − 10 = hai ñi m A(-1; 2; 1), B(2; 3; -1) Vi t phương trình m t ph ng vng góc v i AB ti p xúc v i m t c u (S) Bài (G i ý: ði theo Hư ng tư TH3) 1) (A – 2011:NC) Cho m t c u ( S ) : x + y + z − x − y − z = ñi m A(4 ; ; 0) Vi t phương trình m t ph ng (OAB), bi t ñi m B thu c (S) tam giác OAB ñ u 10 2) (B – 2009:CB) Cho t di n A(1 ; ; 1), B(-2 ; ; 3), C(2 ; - ; 1) D(0 ; ; 1) Vi t phương trình m t ph ng (P) ñi qua A, B cho kho ng cách t C ñ n (P) b ng kho ng cách t D ñ n (P) (ñã gi i) 3) (A – 2008): Cho ñi m A(2; 5; 3) ñư ng th ng d : x −1 y z − Vi t phương trình m t ph ng (α ) ch a d = = 2 cho kho ng cách t A ñ n (α ) l n nh t 4) (B – 2007) Cho m t c u (S): x + y + z − x + y + z − = mp (P) : 2x – y + 2z – 14 = Vi t phương trình m t ph ng (Q) ch a tr c Ox c t (S) theo m t đư ng trịn có bán kính b ng 5) ( A – 2006) Cho hình l p phương ABCD.A’B’C’D’ v i A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), A’(0; 0; 1) Vi t phương trình m t ph ng ch a A’C t o v i m t ph ng Oxy m t góc α bi t cos α = 6) Cho đư ng th ng ∆ : x−2 = y −1 = z +1 ñi m A(1; 0; 3) Vi t phương trình m t ph ng (P) ñi qua A, song song −4 −1 v i ñư ng th ng ∆ kho ng cách gi a ñư ng th ng ∆ v i m t ph ng (P) b ng Bài (G i ý: ði theo Hư ng tư TH4) 1) (B – 2012 – NC) Cho A(0;0;3), M (1; 2;0) Vi t phương trình m t ph ng (P) qua A c t tr c Ox, Oy l n lư t t i B, C cho tam giác ABC có tr ng tâm thu c đư ng th ng AM (ñã gi i) 2) (B – 2010: CB) Cho A(1; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c), v i b, c > mp (P): y – z + = Tìm b c, bi t mp (ABC) vng góc v i mp (P) kcách t O ñ n mp (ABC) b ng 3) Vi t phương trình m t ph ng ( P ) ñi qua ñi m M (1; 2;3) c t tr c Ox, Oy , Oz l n lư t t i A, B , C cho : a) M tr ng tâm c a tam giác ABC b) M tr c tâm c a tam giác ABC 4) Vi t phương trình m t ph ng ( P ) c t tr c Ox, Oy , Oz l n lư t t i A, B , C cho ABC tam giác đ u có di n tích b ng 5) Vi t phương trình m t ph ng ( P ) ñi qua ñi m M (9;1;1) c t tia Ox, Oy , Oz l n lư t t i A, B , C cho a) OA + OB + OC nh nh t b) Th tích t di n OABC l n nh t 11 BÀI TỐN 2.2: VI T PHƯƠNG TRÌNH ðƯ NG TH NG CÁC BÀI TOÁN M U 1) ( D – 2007) Trong khơng gian v i h t a đ Oxyz, cho hai ñi m A(1; 4; 2), B(-1; 2; 4) Vi t phương trình đư ng th ng d ñi qua tr ng tâm G c a tam giác OAB vng góc v i m t ph ng (OAB) Phân tích: +) Y u t m: G tr ng t m c a tam giác OAB ⇒ t a ñ G uu r uuuuur uuu uuu r r +) Véc t Ch Phương: d ⊥ (OAB) ⇒ ud = n(OAB ) = OA, OB V y theo hư ng tư TH1 ta có l i gi i sau: Gi i: +) Vì G tr ng t m c a tam giác OAB ⇒ G ( 0; 2; ) (v i O (0; 0; 0) ) uuu r uu uuuuur r uuu uuu r r OA = (1; 4; 2) +) Ta có: uuu mà d ⊥ (OAB) ⇒ ud = n( OAB ) = OA, OB = (12; −6;6 ) = ( 2; −1;1) r OB = (−1; 2; 4) x y−2 z−2 V y phương trình c a đư ng th ng d là: = = −1 12 2) (A – 2005) Trong không gian v i h t a ñ Oxyz cho ñư ng th ng d : x −1 y + z − m t ph ng = = −1 (P) : 2x + y – 2z + = Tìm t a ñ giao ñi m A c a ñư ng th ng d m t ph ng (P) Vi t phương trình tham s c a đư ng th ng ∆ n m m t ph ng (P), bi t ∆ qua A vng góc v i d Phân tích: +) Y u t m: d ∩ ( P ) = { A} ⇒ t a ñ ñi m A r uuur uu r ∆ ⊂ ( P ) uu ⇒ u∆ = n( P ) , u∆ ∆ ⊥ d +) Véc tơ ch phương: V y theo hư ng tư TH1 ta có l i gi i sau: Gi i: +) G i A(1 − t ; −3 + 2t ;3 + t ) ∈ d mà A ∈ ( P ) (do d ∩ ( P ) = { A} ) ⇒ 2(1 − t ) − + 2t − 2(3 + t ) + = ⇔ − 2t = ⇔ t = ⇒ A(0; −1; 4) uuur r uuur uu r uu r ∆ ⊂ ( P ) uu +) Ta có: n( P ) = (2;1; −2) ud = (−1; 2;1) Mà ⇒ u∆ = n( P ) , u∆ = (5; 0;5) = 5.(1;0;1) ∆ ⊥ d x = t V y phương trình c a đư ng th ng ∆ là: y = −1 z = + t x +1 y z − , m t ph ng = = 1 ( P) : x + y − z + = ñi m A(1; −1; 2) Vi t phương trình đư ng th ng ∆ c t d ( P) l n lư t t i M N 3) (A, A1 – 2012 :NC) Trong khơng gian v i h t a đ Oxyz, cho ñư ng th ng d : cho A trung ñi m c a ño n th ng MN Phân tích: +) Y u t m: “ ∆ c t d ( P) l n lư t t i M N” → tìm M , N theo TTTð (Thu t Tốn Tìm ði m) uu r uuuu r +) Véc tơ ch phương: u ∆ = MN Như v y v i d ki n c a tốn ta s theo hư ng tư Gi i: +) G i M (−1 + 2t ; t ; + t ) ∈ d TH2 có l i gi i sau: xN = x A − xM = − 2t Vì A(1; −1; 2) trung m c a ño n th ng MN ⇒ yN = y A − yM = −2 − t ⇒ N (3 − 2t ; −2 − t ; − t ) z = 2z − z = − t A M N M t khác: ∆ ∩ ( P ) = { N } ⇒ N ∈ ( P ) ⇒ − 2t − − t − 2(2 − t ) + = ⇔ − t = ⇔ t = ⇒ M (3; 2; 4) N ( −1; −4;0) uu uuuu r r x−3 y −2 z −4 +) V y u ∆ = MN = ( −4; −6; −4) = −2.(2;3; 2) ⇒ Phương trình ∆ : = = CHÚ Ý: Bài toán vi t phương trình ∆ có s l a ch n ñi m (là nh ng m nhìn th y rõ nh t) là: A(1; −1; 2), M (3; 2; 4), N ( −1; −4; 0) (Bài tốn th y ch n ñi m M (3; 2; 4) ) 13 4) ( D – 2011) Trong không gian v i h t a ñ Oxyz, cho ñi m A(1 ; ; 3) ñư ng th ng d : Vi t phương trình đư ng th ng ∆ qua m A, vng góc v i d c t tr c Ox x +1 y z − = = −2 Phân tích: +) Y u t ñi m: ∆ ñi qua ñi m A (1 ; ; 3) uu r uuu r +) Véc tơ ch phương: ∆ c t tr c Ox → g i B ( x; 0; 0) ∈ Ox ∆ ⊥ d ⇒ t a ñ ñi m B ⇒ u∆ = AB Như v y v i d ki n c a toán ta s ñi theo hư ng tư Gi i: TH2 có l i gi i sau: uuu r G i B ( x; 0; 0) ∈ Ox ( v i { B} = ∆ ∩ Ox ) ⇒ AB = ( x − 1; −2; −3) uu r uu uu r r uuu uu r r Ta có: u d = (2;1; −2) Mà ∆ ⊥ d ⇔ u∆ ud = ⇔ AB.ud = ⇔ 2( x − 1) − + = ⇔ x = −1 ⇒ B ( −1;0;0) uu uuu r r x −1 y − z − ⇒ u∆ = AB = (−2; −2; −3) = − ( 2; 2;3) ⇒ Phương trình đư ng th ng ∆ : = = 2 BÀI T P ÁP D NG Bài (G i ý: ði theo Hư ng tư TH1) 1) ( D – 2007) Cho hai ñi m A(1; 4; 2), B(-1; 2; 4) Vi t phương trình đư ng th ng d qua tr ng tâm G c a tam giác OAB vng góc v i m t ph ng (OAB) (đã gi i) x −1 y + z − m t ph ng (P) : 2x + y – 2z + = Tìm t a đ giao = = −1 ñi m A c a ñư ng th ng d m t ph ng (P) Vi t phương trình tham s c a ñư ng th ng ∆ n m m t ph ng (P), bi t ∆ ñi qua A vng góc v i d (đã gi i) x y −1 z 3) Cho ñư ng th ng d : = = hai m t ph ng (P): x + y – 3z + = 0, (Q) : x – y + 2z – = −1 Vi t phương trình đư ng th ng ∆ n m m t ph ng (Q) ñi qua ñi m M song song v i (P), bi t M giao 2) (A – 2005) Cho ñư ng th ng d : ñi m c a ñư ng th ng d m t ph ng (Q) x = + t x −1 y z + 4) Cho ñi m M(- ; ; 1) hai ñư ng th ng d1 : d : y = −2 − t = = −1 z = −2t Vi t phương trình đư ng th ng ∆ qua m M vng góc đ ng th i v i d1 , d 5) Cho ñi m M(0 ; ; -3) hai m t ph ng (P): 2x – y + z – 2011 = 0, (Q): x + 3y – z + 2013 = Vi t phương trình đư ng th ng ∆ ñi qua ñi m M song song v i (P) (Q) x −1 y z + m t ph ng (α ) : x + y – 2z + 2012 = Vi t phương = = 2 −1 trình đư ng th ng ∆ ñi qua M song song v i (α ) vng góc v i d 6) Cho ñi m M(2 ; ; -1), ñư ng th ng d : 7) Cho hai ñi m A(2; 4; -1), B(-5; 2; 4) ñư ng th ng d : uuur uuur x −1 y + z Vi t phương trình đư ng th ng = = −1 qua M song song v i d bi t MA = −2 MB Bài (G i ý: ði theo Hư ng tư TH2) x +1 y z − , mp ( P) : x + y − z + = ñi m A(1; −1; 2) = = 1 Vi t phương trình đư ng th ng ∆ c t d ( P) l n lư t t i M N cho A trung ñi m c a ño n th ng MN 1) (A, A1- 2012:NC) Cho ñư ng th ng d : (ñã gi i) 14 2) ( D – 2011) Cho ñi m A(1 ; ; 3) ñư ng th ng d : x +1 y z − Vi t phương trình đư ng th ng ∆ ñi qua = = 2 m A, vng góc v i d c t tr c Ox (ñã gi i) x+2 y−2 z m t ph ng (P) : x + 2y – 3z + = Vi t phương = = 1 −1 trình đư ng th ng d n m (P) cho d c t vng góc v i đư ng th ng ∆ x = −1 + 2t x y −1 z + 4) (A – 2007) Cho hai ñư ng th ng : d1 : = d : y = + t = −1 z = 3) )(D – 2009 : NC) Cho ñư ng th ng ∆ : Vi t phương trình đư ng th ng d vng góc v i m t ph ng (P): 7x + y – 4z = c t hai ñư ng th ng d1 , d x = −3 + 2t 5) (B – 2004) Cho ñi m A(−4; −2; 4) ñư ng th ng d : y = − t Vi t phương trình đư ng th ng ∆ qua z = −1 + 4t ñi m A, c t vng góc v i đư ng th ng d x −1 y + z − x−2 y −3 z −4 6) Cho ñư ng th ng d1 : , d2 : m t ph ng (α ) : x − y + z − = L p = = = = −2 −1 1 phương trình đư ng th ng ∆ song song v i (α ) c t d1 , d l n lư t t i M N cho MN = x = −1 + 2t x y −1 z + 7) Cho hai ñư ng th ng d1 : = d : y = + t = −1 z = Ch ng minh r ng d1 , d chéo vi t phương trình đư ng vng góc chung c a d1 d BÀI TỐN 2.3: VI T PHƯƠNG TRÌNH M T C U 15 CÁC BÀI TOÁN M U 1) (A, A1 – 2012: CB) Trong không gian v i h t a ñ Oxyz, cho ñư ng th ng d : x +1 y z − ñi m = = I (0;0;3) Vi t phương trình m t c u (S) có tâm I c t d t i hai ñi m A, B cho tam giác IAB vuông t i I Phân tích: +) Y u t Tâm: ð cho tâm I (0;0;3) +) Y u t Bán Kính: Tam giác IAB vng cân t i I ( IA = IB = R) ⇒ R = IH ⇒ c n tính IH : C1: Tìm t a đ m H (dùng Thu t Tốn Tìm ði m) ⇒ IH C2: IH b ng kho ng kho ng cách t I đ n d (Áp d ng cơng th c kho ng cách) V y theo hư ng tư TH1 ta có l i gi i sau: Gi i: uuu r +) G i H (t − 1; 2t ; t + 2) ∈ d hình chi u c a I xu ng đư ng th ng d ⇒ IH = (t − 1; 2t ; t − 1) uu r Ta có véc tơ ch phương c a d : ud = (1; 2;1) uuu uu r r IH ⊥ d ⇒ IH ud = ⇔ t − + 4t + t − = ⇔ 6t − = ⇔ t = 2 2 7 ⇒ H − ; ; 3 3 2 2 2 2 ⇒ IH = + + = 3 3 3 (có th tính IH = d ( I ; AB ) = - Công th c có ban Nâng Cao) +) Vì tam giác IAB vuông t i I IA = IB = R ⇒ tam giác IAB vuông cân t i I 2 = IH = = 3 V y phương trình m t c u (S): x + y + ( z − 3) = ⇒ R = IA = AB cos 450 = IH 2) (D – 2012: CB) Cho m t ph ng (P): x + y − z + 10 = ñi m I(2; 1; 3) Vi t phương trình m t c u tâm I c t (P) theo m t đư ng trịn có bán kính b ng Phân tích: +) Y u t Tâm: ð ñã cho tâm I (2;1;3) +) Y u t Bán Kính: M t c u c t (P) theo m t đư ng trịn có bán kính b ng ⇒ R = r + h → R Gi i: +) G i m t c u c t (P) theo m t ñư ng trịn có tâm I ' bán kính r = Suy II ' ⊥ ( P ) Nên: h = II ' = d ( I ;( P )) = + − + 10 = =3 +1 + +) Theo Pitago ta có: R = r + h = + 32 = 25 ⇒ R = V y phương trình m t c u là: ( x − 2)2 + ( y − 1)2 + ( z − 3)2 = 25 2 2 16 x −1 y z hai ñi m A(2;1; 0) , B ( −2;3; 2) Vi t phương trình m t = = −2 c u qua A, B có tâm thu c ñư ng th ng d 3) (B – 2012: CB) Cho ñư ng th ng d : Phân tích: +) Y u t Tâm: ð cho tâm I ∈ d → D a vào Thu t Tốn Tìm ði m ⇒ I +) Y u t Bán Kính: R = IA V y theo hư ng tư TH2 ta có l i gi i sau: Gi i: +) G i m t c u có tâm I g i I (2t + 1; t ; −2t ) ∈ d +) M t c u ñi qua A, B nên IA = IB = R ⇒ IA2 = IB ⇔ (2t − 1)2 + (t − 1) + 4t = (2t + 3)2 + (t − 3)2 + (2t + 2) ⇔ −6t + = 14t + 22 ⇔ t = −1 Suy ra: I ( −1; −1; 2) bán kính R = IA = 32 + 22 + 22 = 17 V y phương trình m t c u là: ( x + 1) + ( y + 1) + ( z − 2) = 17 4) (D – 2011 - NC) Trong không gian v i h t a ñ Oxyz, cho ñư ng th ng ∆ : x −1 y − z = = m t ph ng (P) : 2x – y + 2z = Vi t phương trình m t c u có tâm thu c đương th ng ∆ , bán kính b ng ti p xúc v i m t ph ng (P) Phân tích: +) Y u t Tâm: ð ñã cho tâm I ∈ ∆ → D a vào Thu t Tốn Tìm ði m ⇒ I +) Y u t Bán Kính: ð cho R = V y theo hư ng tư TH2 ta có l i gi i sau: Gi i: +) G i tâm I (2t + 1; 4t + 3; t ) ∈ ∆ Ta có: M t c u ti p xúc v i m t ph ng (P) ⇔ d ( I , ( P )) = R t = I (5;11; 2) = ⇔ 2t − = ⇔ ⇒ +1 + t = −1 I (−1; −1; −1) +) V y phương trình m t c u là: ( x − 5)2 + ( y − 11) + ( z − 2)2 = ho c ( x + 1) + ( y + 1)2 + ( z + 1)2 = ⇔ 2(2t + 1) − (4t + 3) + 2t 2 BÀI T P ÁP D NG BÀI 1: ((G i ý: ði theo Hư ng tư TH1) 1) (D – 2012) Cho m t ph ng (P): x + y − z + 10 = m I(2; 1; 3) Vi t phương trình m t c u tâm I c t (P) theo m t đư ng trịn có bán kính b ng (ñã gi i) 2) (A, A1 – 2012) Cho ñư ng th ng d : x +1 y z − ñi m I (0;0;3) Vi t phương trình m t c u (S) có tâm I = = c t d t i hai ñi m A, B cho tam giác IAB vng t i I (đã gi i) 3) ( A – 2010 : NC) Cho ñi m A(0 ; ; -2) ñư ng th ng ∆ : x+2 y−2 z+3 Tính kho ng cách t A ñ n ∆ = = Vi t phương trình m t c u tâm A, c t ∆ t i hai ñi m B C cho BC = 4) ( B – 2005) Cho hình lăng tr đ ng ABC A1 B1C1 v i A(0 ; - ; 0), B(4 ; ; 0), C(0 ; ; 0), B1 (4;0; 4) Tìm t a đ đ nh A1 , C1 Vi t phương trình m t c u có tâm A ti p xúc v i m t ph ng ( BCC1 B1 ) 5) Cho ñi m I(1 ; ; -2) m t ph ng (P) : 2x +2y + z + = Vi t phương trình m t c u (S) có tâm I, cho (P) c t (S) theo m t đư ng trịn có chu vi 8π 6) Cho m t ph ng (P) : 5x – 4y + z – = 0, m t ph ng (Q) : 2x – y + z + = ñư ng th ng d : x −1 y z −1 = = −7 −3 17 Vi t phương trình m t c u (S), bi t r ng tâm I c a m t c u giao ñi m c a d v i (P) m t ph ng (Q) c t hình c u (S) theo thi t di n hình trịn v i di n tích 20π 7) L p phương trình m t c u có tâm I(2 ; ; -1) c t ñư ng th ng d : x − 11 y z + 25 t i hai ñi m A, B = = −2 cho AB = 16 x = 2t 8) Cho hai ñư ng th ng d1 , d có phương trình d1 : y = t z = x = + 2t d : y = −t z = a) Ch ng minh d1 , d chéo b) L p phương trình m t c u (S) nh n đo n vng góc chung c a d1 d làm đư ng kính BÀI 2: ((G i ý: ði theo Hư ng tư TH2) 1) Cho hai ñi m A(2 ; -1 ; 0), B(1 ; ; -2) Vi t phương trình m t c u (S) có tâm n m tr c Oy A, B hai ñi m thu c (S) x −1 y z hai ñi m A(2;1; 0) , B (−2;3; 2) Vi t phương trình m t = = −2 c u ñi qua A, B có tâm thu c đư ng th ng d (ñã gi i) 2) (B – 2012: CB): Cho ñư ng th ng d : 3) (D – 2011 - NC) Cho ñư ng th ng ∆ : x −1 y − z = = m t ph ng (P) : 2x – y + 2z = Vi t phương trình m t c u có tâm thu c đương th ng ∆ , bán kính b ng ti p xúc v i m t ph ng (P) (ñã gi i) 4) (D – 2008) Cho b n ñi m A(3 ; ; 0), B(3 ; ; 3), C(0 ; ; 3), D(3 ; ; 3) Vi t phương trình m t c u ñi qua b n ñi m A, B, C, D 5) (D – 2004) Cho ba ñi m A(2 ; ; 1), B(1 ; ; 0), C(1 ; ; 1) m t ph ng (P): x + y + z – = Vi t phương trình m t c u qua ba m A, B, C có tâm thu c m t ph ng (P) 6) (TN – 2004) Trong không gian cho b n ñi m A(1 ; -1 ; 2), B(1 ; ; 2), C(4 ; ; 2) D(4 ; -1 ; 2) G i A’ hình chi u c a A lên m t ph ng Oxy Vi t phương trình m t c u ñi qua A’, B, C, D 7) Cho ñư ng th ng d : x −1 y + z = = m t ph ng (P) : 2x + y – 2z + = 1 Vi t phương trình m t c u (S) có tâm n m d, ti p xúc v i (P) có bán kính b ng 8) Cho hai ñi m A(2 ; -1 ; 0), B(1 ; ; -2) Vi t phương trình m t c u (S) có tâm n m tr c Oy A, B hai ñi m thu c (S) x = t 9) Vi t phương trình m t c u (S) có tâm n m ñư ng th ng d : y = ti p xúc v i hai m t ph ng z = −1 (P) : 3x + 4y + = (Q) : 2x + 2y – z + 39 = 10) Cho hai ñi m A(0 ; ; 4), B(2 ; ; 0) Vi t phương trình m t c u qua O, A, B ti p xúc v i m t ph ng (P) : 2x + y – z – = 18 PH N THAM KH O: CÁC BÀI TỐN C C TR C A HÌNH H C GI I TÍCH TRONG KHƠNG GIAN Ý tư ng cho tốn tìm GTLN ,GTNN nói chung tốn GTLN ,GTNN c a hình h c gi i tích khơng gian nói riêng, ta tìm cách thi t l p bi u th c c n xác ñ nh GTLN, GTNN theo m t n t b ng cách “c t nghĩa” d ki n tốn Sau dùng kĩ thu t, phương pháp tìm GTLN, GTNN ñ gi i quy t (thư ng toán tìm m) Ho c c t nghĩa tốn (không c n thi t l p bi u th c) đ khai thác đư c y u t vng góc, song song (thư ng v i nh ng tốn vi t phương trình đư ng th ng, m t ph ng, m t c u) Và sau ñây s tìm hi u hư ng ñi Bài toán 1: Cho ñư ng th ng d hai m A, B Tìm t a ñ ñi m M ∈ d cho: uuur uuur 1) k1MA2 + k MB nh nh t, l n nh t (n u có) 2) k1 MA + k2 MB nh nh t 3) MA + MB nh nh t (ho c chu vi tam giác MAB nh nh t) 4) MA − MB l n nh t Cách gi i chung: G i M (t ) ∈ d → Câu 1) k1MA2 + k MB = at + bt + c C1: +) Tách ghép theo h ng ñ ng th c f (t ) = at + bt + c = a (t + b −∆ ) + 2a 4a −∆ −∆ 2 a > → f (t ) ≥ 4a → ( k1MA + K MB )min = 4a +) N u: a < → f (t ) ≤ −∆ → ( k MA2 + K MB ) = −∆ max 4a 4a b →M 2a b t = − →M 2a t = − C2: Hàm s b c hai: f (t ) = at + bt + c ñ t c c ti u a > c c ñ i a < t i t = − b →M 2a C3: Dùng hàm s đ tìm (ho c max) c a f (t ) = at + bt + c uuur uuur uuur r uuur uuur MA(t ) Câu 2) uuur → k1 MA + k2 MB = u (t ) → k1 MA + k2 MB = at + bt + c ( v i a > ) (*) MB (t ) uuur uuur −∆ b T (*) → k1 MA + k2 MB = t = − →M 4a 2a Câu 3) MA + MB = at + b1t + c1 + at + b2t + c2 (*) C1: +) T (*) → MA + MB = a ( (t − x1 ) + y12 + (t − x2 )2 + y2 ) (2*) C1.1: +) Trong m t ph ng Oxy xét ñi m N (t ; 0) ∈ Ox , H ( x1 ; y1 ), K ( x2 ; y2 ) (v i y1 y2 < ) (3*) +) T (2*) (3*) → MA + MB = a ( NH + NK ) ≥ a HK = const (4*) → ( MA + MB) = a HK +) D u “=” (4*) x y khi: {N } = HK I Ox → N = ? → t = ? → M C1.2: r r r u(t − x1 ; y1 ) → u + v = ( x2 − x1 ; y1 + y2 ) (v i y1 y2 > ) +) Trong m t ph ng Oxy xét : r v( x2 − t; y2 ) 19 ( r r ) r r +) T (2*) ⇒ MA + MB = a u + v ≥ a u + v = a[( x2 − x1 ) + ( y1 + y2 )2 ] = const r r +) D u “=” (4*) x y khi: u , v hư ng → t − x1 y1 = > →t =?→ M x2 − t y2 C2: Dùng hàm s đ tìm c a f (t ) = at + b1t + c1 + at + b2t + c2 Câu 4) MA − MB = at + b1t + c1 − at + b2t + c2 (*) +) T (*) → MA − MB = a (t − x1 ) + y12 − (t − x2 ) + y2 (2*) +) Trong m t ph ng Oxy xét ñi m N (t ; 0) ∈ Ox , H ( x1 ; y1 ), K ( x2 ; y2 ) (v i y1 y2 > ) (3*) +) T (2*) (3*) → MA − MB = a NH − NK ≤ a HK = const → MA − MB m ax = a HK (4*) +) D u “=” (4*) x y khi: {N } = HK I Ox → N = ? → t = ? → M CHÚ Ý: +) Câu (và Câu 4) ta ph i ch n y1 y2 < (và y1 y2 > ) đ hai m H, K khác phía (và phía) v i Ox +) ph n cách gi i chung Câu Câu ta ñang gi i quy t trư ng h p khó AB đư ng th ng d chéo (khơng đ ng ph ng) Nhưng n u AB d đ ng ph ng (có th c t nhau, song song, trùng nhau) ta s có cách gi i quy t nh nhàng ??? (th y s nói rõ u qua ví d ) +) Câu 1,Câu có th m r ng tốn thành n m A1 , A2 , , An Ví d 1: Cho ñư ng th ng ∆ : x y z = = hai ñi m A(0; 0;3) , B (0;3;3) Tìm t a đ m M ∈ ∆ cho 1 uuur uuur 1) MA + MB nh nh t 2) MA − 3MB nh nh t 3) MA + MB nh nh t 4) MA − MB l n nh t 2 Ví d 2: Cho hai m A(1; 1; 0), B(3; – 1;4) ñư ng th ng d : x +1 y −1 z + = = −1 Tìm m M d cho MA + MB nh nh t x = −1 + 2t Ví d 3: Cho hai m A(1; 5; 0), B(3; 3; 6) ñư ng th ng ∆ : y = − t Xác đ nh v trí m M n m ñư ng z = 2t th ng ∆ ñ chu vi tam giác MAB ñ t giá tr nh nh t Ví d 4: Cho đương th ng d : 1) MA2 + MB nh nh t uuur uuur 3) 2MA − MB nh nh t x y −1 z +1 hai ñi m A(0; 1; 2), B(–1; 2; 3) Tìm M thu c d cho = = −2 2) MA + MB nh nh t uuur uuur 4) 2MA + MB nh nh t Ví d 5: Trong khơng gian v i h t a ñ Oxyz, cho hai ñi m A(1; 2; -1), B(7; - 2; 3) ñư ng th ng d có phương trình: x−2 y z−4 Tìm d nh ng m M cho t ng kho ng cách t M ñ n A B nh nh t = = −2 20 Bài toán 2: Cho m t ph ng (P) ba m A, B, C Tìm t a ñ ñi m M ∈ ( P ) cho: uuur uuur uuuu r 1) k1MA2 + k2 MB + k3 MC nh nh t, l n nh t (n u có) 2) k1 MA + k2 MB + k3 MC nh nh t 3) MA + MB nh nh t (ho c chu vi tam giác MAB nh nh t) 4) MA − MB l n nh t Cách gi i chung: Câu 1) uu r uu r uur r +) Xét ñi m I th a mãn: k1 IA + k2 IB + k3 IC = (*) → t a ñ ñi m I uuur uuur uuuu r +) Ta có: k1MA2 + k2 MB + k3 MC = k1 MA + k MB + k3 MC uuu uu r r uuu uu r r uuu uur r = k1 ( MI + IA) + k2 ( MI + IB)2 + k3 ( MI + IC )2 uuu r uu r uu r uur = (k1 + k2 + k3 ) MI + k1 IA2 + k2 IB + k3 IC + 2MI (k1 IA + k2 IB + k3 IC ) = ( k1 + k2 + k3 ) MI + k1 IA2 + k IB + k3 IC (2*) (do có (*)) +) Mà k1 IA2 + k IB + k3 IC = const ( A, B, C, I m c ñ nh) (3*) k1 + k2 + k3 > → ( k1MA2 + k2 MB + k3 MC ) +) T (2*) (3*) → N u: ↔ MI (4*) 2 k1 + k2 + k3 < → ( k1MA + k2 MB + k3 MC ) max +) T (4*) → M hình chi u c a I (P) → M Câu 2) uu r uu r uur r +) Xét ñi m I th a mãn: k1 IA + k2 IB + k3 IC = (*) → t a ñ ñi m I uuur uuur uuuu r uuu uu r r uuu uu r r uuu uur r +) Ta có: k1 MA + k2 MB + k3 MC = k1 ( MI + IA) + k2 ( MI + IB) + k3 ( MI + IC ) uuu r uu r uu r uur = (k1 + k2 + k3 ) MI + k1 IA + k2 IB + k3 IC uuu r = (k1 + k2 + k3 ) MI (do có (*)) uuur uuur uuuu r uuu r → k1 MA + k2 MB + k3 MC = (k1 + k2 + k3 ) MI = k1 + k2 + k3 MI uuur uuur uuuu r V y k1 MA + k MB + k3 MC MI (2*) → M hình chi u c a I (P) → M CHÚ Ý: Các em có th tìm nhanh m I nh vào cơng th c sau: (k1 xA + k2 xB + k3 xC ) xI = k1 + k2 + k3 uu r uu r uur r uur uuu r uuu r uuur 1 (k1 y A + k2 yB + k3 yC ) k1 IA + k2 IB + k3 IC = ↔ OI = (k1 OA + k2 OB + k3 OC ) → yI = k1 + k2 + k3 k1 + k2 + k3 (k1 z A + k2 zB + k3 zC ) zI = k1 + k2 + k3 21 Câu 3) Xét v trí tương đ i c a A, B so v i m t ph ng (P) ( gi ng m t ph ng ñi m v i ñư ng th ng) N u : TH1 TH2 TH1: A, B khác phía so v i (P) → MA + MB ≥ AB = const → ( MA + MB) = AB M ≡ M = AB I ( P) TH2: A, B phía so v i (P) +) Xác ñ nh ñi m A ' ñ i x ng v i A qua (P) +) Ta có: MA + MB = MA '+ MB ≥ A ' B = const → ( MA + MB) = A ' B {M } = A ' B I ( P ) Câu 4) (v m t ý tư ng ta s làm tương t Câu – song cách gi i ngư c v i Câu 3) Xét v trí tương đ i c a A, B so v i m t ph ng (P) N u : TH1 TH2 TH1: A, B phía so v i (P) → MA − MB ≤ AB = const → MA − MB m ax = AB M ≡ M = AB I ( P) TH2: A, B phía so v i (P) +) Xác ñ nh ñi m A ' ñ i x ng v i A qua (P) +) Ta có: MA − MB = MA '− MB ≤ A ' B = const → MA − MB max = A ' B M ≡ M = A ' B I ( P) CHÚ Ý: Qua Câu Câu ta nh n th y ñ gi i đư c tốn: +) ( MA + MB )min A, B khác phía (n u phía ph i chuy n v khác phía – ph n gi i ñã làm rõ ñi u này) +) MA − MB m ax A, B phía (n u khác phía ph i chuy n v phía) Ví d 1: Cho m t ph ng ( P ) : x + y + z − = Tìm m M ∈ ( P ) cho: 1) MA2 + 3MB nh nh t, bi t A(1; 2;1) , B (0;1; 2) 2) MA2 + 3MB + MC nh nh t , bi t A(1; 2;1), B (0;1; 2), C (0;0;3) 3) MA2 + 3MB − 5MC l n nh t , bi t A(1; 2;1), B (0;1; 2), C (0; 0;3) uuur uuur uuuu r 4) MA + 3MB + 4MC nh nh t, bi t A(1; 2;1), B (0;1; 2), C (0; 0;3) 5) MA + MB nh nh t, bi t A(1; 0; 0) , B (1; 2; 0) 6) MA − MB l n nh t, bi t A(1; 2;1) , B (0;1; 2) Ví d 2: Trong khơng gian Oxyz cho m A(1; 2; -1), B(3; 1; -2), C(1; -2; 1) m t ph ng (α ) : x − y + z = 22 Tìm m M thu c m t ph ng (α ) cho MA2 − MB − MC có giá tr l n nh t Bài toán 3: Bài toán GTLN, GTNN liên quan t i kho ng cách, ñ dài ño n th ng,chu vi tam giác, di n tích tam giác, th tích c a kh i hình đa di n Cách gi i chung: V i d ng toán thư ng ñi theo hai hư ng : +) C t nghĩa tốn đ khai thác đư c y u t vng góc, song song +) Thi t l p bi u th c kho ng cách theo n t Và chuy n v toán tìm t đ kho ng cách l n nh t, nh nh t Ví d 1: Cho m A(10; 2: - 1) ñư ng th ng d : x −1 y z −1 L p phương trình m t ph ng (P) ñi qua A, = = song song v i d kho ng cách t d t i (P) l n nh t Ví d 2: ( t ) Cho ñi m A(2; –1; 0), B(0; 1; – 1) ñư ng th ng ∆ : x −1 y z +1 Vi t phương trình đư ng = = −2 th ng d ñi qua B c t ∆ cho kho ng cách t A t i d l n nh t Ví d 3: Cho ba ñi m A(1; 5; 4), B (0; 1; 1), C(1; 2; 1) Tìm t a đ m ñi m D thu c ñư ng th ng AB cho ñ dài ño n th ng CD nh nh t Ví d 4: Trong khơng gian v i h t a ñ Oxyz, cho M(1;2;3) L p phương trình m t ph ng qua M c t ba tia Ox, Oy, Oz l n lư t t i A, B, C cho th tích t di n OABC nh nh t Ví d 5: Trong khơng gian cho m t c u ( S ) : x + y + z − x − y + z = 16 Vi t phương trình m t ph ng (P) qua M(2; 1; 1) cho (P) c t (S) theo giao n m t đư ng trịn có bán kính nh nh t x = −1 − t x +1 y +1 z − Ví d 6: Cho hai ñư ng th ng ∆1 : ∆ : y = + 2t = = −2 z = −2t Vi t phương trình m t ph ng (P) qua ∆1 cách ∆ m t kho ng l n nh t x = 2t Ví d 7: Cho ñư ng th ng ∆ : y = − t hai ñi m A(2; −1;1), B (0;1; 2) Vi t phương trình đư ng th ng d qua A, z = + t vng góc v i ∆ cách B m t kho ng l n nh t, nh nh t C m ơn em b n ñã ñ c t i li u ! M i ý ki n đóng góp em b n g i qua E- mail: giaidaptoancap3@yahoo.com ho c ñ a ch : s – Ngõ 880 – B ch ð ng – Hai Bà Trưng – Hà N i ði n tho i : 043.9871450 ho c Dð: 0947141139 L i gi i t p em có th tham kh o web: http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 23 ...CÁC HƯ NG TƯ DUY VÀ PHƯƠNG PHÁP GI I TRONG HÌNH H C OXYZ A KI N TH C CƠ B N I CÁC CÔNG TH C CƠ B N II CÁC CÔNG TH C V ð NH LƯ NG III PHƯƠNG TRÌNH M T PH NG, ðƯ NG TH NG, M T C U IV V TRÍ TƯƠNG... THAM KH O: CÁC BÀI TOÁN C C TR C A HÌNH H C GI I TÍCH TRONG KHƠNG GIAN Ý tư ng cho tốn tìm GTLN ,GTNN nói chung tốn GTLN ,GTNN c a hình h c gi i tích khơng gian nói riêng, ta tìm cách thi t l... có cách gi i khác là: “kho ng cách t C ñ n (P) b ng kho ng cách t D ñ n (P)” ⇔ (P) song song v i CD ho c (P) ñi qua trung ñi m c a CD Và quay v Hư ng tư TH1 (ñây cách gi i c a B Giáo D c – cách