Đang tải... (xem toàn văn)
www.facebook.com/hocthemtoan
dungtien@gmail.com sent to www.laisac.page.tl MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH – LUYỆN THI NGUYEN VAN RIN MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH I HỆ PHƯƠNG TRÌNH SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG: Đặc điểm chung dạng hệ phương trình sử dụng kỹ biến đổi đồng Đặc biệt, kỹ phân tích nhằm đưa phương trình hệ dạng đơn giản ( rút theo y ngược lại ) vào phương trình cịn lại hệ Dạng 1: Trong hệ có phương trình bậc với ẩn x ẩn y Khi đó, ta tìm cách rút y theo x ngược lại x ( y 1)( x y 1) x x (1) Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: (2) xy x x Giải: Dễ thấy x=0 khơng thỏa mãn phương trình (2) nên từ (2) ta có: y 1 x2 1 thay vào (1) ta được: x x2 1 x2 1 (x ) 3x x ( x 1)(2 x 1) ( x 1)(3x 1) x x ( x 1)(2 x x x 1) ( x 1)(3 x 1) ( x 1)(2 x x x) x x (loại) x 2 x2 Dạng 2: Một phương trình hệ đưa dạng tích phương trình bậc hai ẩn xy x y x y x y y x 1 2x y Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: (1) (2) Giải: Điều kiện: x 1; y (1) x xy y ( x y ) ( x y )( x y ) ( x y ) ( từ ĐK ta có x+y>0) x y x y thay vào phương trình (2) ta được: y x y y ( y 1)( y 2) ( y ) y x Dạng 3: Đưa phương trình hệ dạng phương trình bậc hai ẩn, ẩn lại tham số MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH – LUYỆN THI y (5 x 4)(4 x ) 2 y x xy 16 x y 16 Ví dụ 3: Giải hệ phương trình: (1) (2) Giải: Biến đổi phương trình (2) dạng y (4 x 8) y x 16 x 16 Coi phương trình phương trình ẩn y tham số x ta có ' 9x từ ta y x (3) nghiệm y x (4) x y Thay (3) vào (1) ta được: (5 x 4) (5 x 4)(4 x) x y x y Thay (4) vào (1) ta được: (4 x) (5 x 4)(4 x ) x y 4 Vậy nghiệm hệ là: (0; 4), (4; 0), ( ; 0) II HỆ PHƯƠNG TRÌNH SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Điểm quan trọng hệ dạng phát ẩn phụ a f ( x; y ), b g ( x; y ) có phương trình xuất sau phép biến đổi đẳng thức phép chia cho biểu thức khác x y ( y x) y (1) ( x 1)( y x 2) y (2) Ví dụ 4: Giải hệ phương trình x2 y yx4 Dễ thấy y=1 khơng thỏa mãn phương trình (1) nên HPT x ( y x 2) y x 1 a b ;b y x Đặt a y ab x2 y Giải hệ ta a=b=1 từ ta có hệ phương trình x y Hệ bạn đọc giải dễ dàng xy 4( x y ) 7 ( x y)2 Ví dụ 5: Giải hệ phương trình 2 x x y Giải: Điều kiện x y MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH – LUYỆN THI 2 3( x y ) ( x y ) ( x y )2 HPT x y x y x y Đặt a x y 3a b 13 ( a 2); b x y ta hệ phương trình: x y a b (1) (2) Giải hệ ta a=2; b=1 (do a ) từ ta có hệ: 2 x y 1 x x y x y x y y x y Vậy nghiệm hệ (1;0) III HỆ PHƯƠNG TRÌNH SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ Hệ phương trình loại ta thường gặp hai dạng f ( x ) (1) f ( x ) f ( y ) (2) với f hàm đơn điệu D x, y thuộc D Nhiều cần phải đánh giá ẩn x, y để x, y thuộc tập mà hàm f đơn điệu Dạng 1: Một phương trình hệ có dạng f ( x ) f ( y ) , phương trình cịn lại giúp ta giới hạn x, y thuộc tập D để hàm f đơn điệu x x y y (1) Ví dụ 6: Giải hệ phương trình (2) x y x 1 x8 Giải: Từ PT (2) ta có y 1 y 1 Xét hàm số f (t ) t 5t ; t [ 1;1] Ta có f '(t ) 3t 0;t [ 1;1] f (t ) nghịch biến khoảng (-1;1) Từ (1) x y thay vào PT (2) ta PT x8 x Đặt a x giải phương trình ta a 1 1 x y 4 2 Dạng 2: Là dạng hệ đối xứng loại hai mà thường giải thường dẫn đến hai trường hợp (1) (2) x x x y 1 Ví dụ 7: Giải hệ phương trình x 1 y y y 1 a a 3b (1) Giải: Đặt a x 1; b y ta hệ b b 3a (2) (1)-(2) vế theo vế ta có a a 3a b b 3b (3) MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH – LUYỆN THI Xét hàm số f (t ) t t 3t t2 1 t f '(t ) 3t ln t 1 Vì t t t t t f '(t ) 0, t Do đó, hàm số f (t ) đồng biến Nên PT (3) a b thay vào phương trình (1) ta a a 3a (4) Theo nhận xét a a 1>0 nên PT (4) ln(a+ a 1) a ln (lấy ln hai vế) Xét hàm số g(a)=ln(a+ a 1) a ln g '(a ) a2 ln ln 0, a Do đó, g(a) nghịch biến PT(4) có nghiệm a=0 nên phương trình (4) có nghiệm a=0 Vậy nghiệm hệ phương trình ban đầu ( x; y ) (1;1) IV HỆ PHƯƠNG TRÌNH SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ Phương pháp cần lưu ý biểu thức không âm nắm vững bất đẳng thức xy x2 y x x 2x Ví dụ 8: Giải hệ phương trình xy y y2 x y 2y (1) (2) Giải: Cộng (1) (2) vế theo vế, ta xy x 2x Ta có xy x2 y x x ( x 1)2 xy Tương tự (3) y 2y y2 y xy x 2x xy x 2x xy xy xy Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số dương x ; y ta có x y xy Nên VT (3) VP(3) x y 1 Do đó, dấu “=” xảy x y Thử lại, ta nghiệm hệ phương trình (0;0), (1;1) MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH – LUYỆN THI y x3 x x y y Ví dụ 9: Giải hệ phương trình y ( x x 2) y ( x 1) ( x 2) (1) x 2( y y 2) x 2( y 1) ( y 2) (2) Giải: HPT Nếu x>2 từ (1) suy y-2