Đang tải... (xem toàn văn)
Dùng lượng giác để chứng minh bất đẳng thức đại số
G.NTH Các kiến thức cần nắm 1.1 Các hệ thức + cos + sin α = 1 π (α ≠ + kπ) 2 cos α + + cotg2α = (α ≠ kπ) sin α + + tg2α = kπ ) 1.2 C«ng thøc céng gãc + cos(α ± β) = cosα cosβ sinα sinβ + sin(α ± β) = sinα cosβ ± cosα sinβ tgα ± tgβ π + tg (α ± β) = (α ; β ≠ + kπ) tgα tgβ cot gα cot gβ + cotg(α ± β) = (α; β ≠ kπ) cot gα ± cot gβ 1.3 Công thức nhân + sin2 = sin cos + cos2α = cos2α - sin2α = 2cos2α - = - 2sin2α tgα π π + tg2α = (α ≠ + k ) − tg α + tgα cotgα = (α ≠ cot g α − kπ (α ≠ ) cot gα + sin3α = 3sinα - 4sin3α + cos3α = 4cos3α - 3cosα 3tgα − tg 3α π π + tg3α = (α ≠ + k ) − 3tg α 1.4 C«ng thøc h¹ bËc + cos 2α − cos 2α + cos2α = + sin2α = 2 π − cos 2α (α ≠ + kπ) + tg2α = + cos 1.5 Công thức biến đổi tỉng thµnh tÝch: α+β α −β cos + cosα + cosβ = 2cos 2 α +β α β sin + cosα - cosβ = - 2sin 2 α+β α β cos + sinα + sinβ = 2sin 2 α +β α −β sin + sinα - sinβ = = - 2cos 2 + cotg2α = G.NTH sin(α ± β) π (α; β ≠ + kπ) cos cos 1.6 Công thức biến đổi tÝch thµnh tỉng: + cosα.cosβ = [cos(α + β) + cos(α − β)] + sinα.sinβ = [cos(α − β) + cos(α + β)] + sinα.cosβ = [sin(α + β) + sin(α − β)] + tg tg = Biểu thức đại số Biểu thức lượng giác tương tự + x2 + tan2t 4x3 - 3x 2x2 - 2x 1− x2 2x 1+ x2 x+y − xy 4cos3t - 3cost 2cos2t - 1 cos t 4cos3t - 3cost = cos3t 2cos2t - = cos2t tan t − tan t tan t = tan2t − tan t tan t + tan t tan t = sin2t + tan t tan + tan − tan tan tan + tan = tan(α+β) tan tan Công thức lượng giác 1+tan2t = 1 −1 − = tan2α 2 cos α cos α mét sè ph¬ng pháp lượng giác để chứng minh bất đẳng thức đại sè x2 - I D¹ng 1: Sư dơng hƯ thức sin2 + cos2 = 1) Phương pháp: x = sin α a) NÕu thÊy x2 + y2 = đặt với [0, 2] y = cos α x = r sin víi α ∈ [0, 2π] y = r cos b) NÕu thÊy x2 + y2 = r2 (r > 0) đặt Các ví dụ minh hoạ: VD1: Cho số a, b, c, d thoả m·n: a2 + b2 = c2 + d2 = Chøng minh r»ng: − ≤ a(c+d) + b(c-d) ≤ 2 G.NTH Gi¶i: c = sin v a = sin u vµ ⇒ S = sinu(sinv+cosv) + cosu(sinv-cosv) b = cos u d = cos v Đặt ⇒ P = a(c+d) + b(c-d) = (sinucosv+cosusinv) - (cosucosv - sinusinv) = sin(u+v) - cos(u+v) π ⇔ S = sin(u + v) − ∈[− 2, 2] ⇒ − ≤ S = a(c + d) + b(c − d) ≤ (®pcm) 4 2 1 25 VD2: Cho a + b = Chøng minh r»ng: a + + b + ≥ a b 2 Gi¶i: Đặt a = cos b = sin với Thế vào biểu thức vế trái råi biÕn ®ỉi 2 1 a + + b + = cos α + + sin α + a b cos α sin α 1 cos α + sin α + + = cos α + sin α + +4 cos α sin α cos α sin α = cos4α + sin4α + ( ) [( ) = cos α + sin α 1 + +4 4 cos α sin α ] = cos α + sin α − cos α sin α 1 + +4 4 cos α sin α 16 17 25 1 = 1 − sin 2α 1 + (®pcm) + ≥ 1 − (1 + 16) + = + = 2 sin 2α Bây ta đẩy toán lên mức độ cao bước để xuất a2+b2=1 VD3: Cho a2 + b2 - 2a - 4b + = Chøng minh r»ng: A = a − b + 3ab − 2(1 + )a + (4 − )b + Giải: Biến đổi điều kiện: a2 + b2 - 2a - 4b + = 0⇔ (a-1)2 + (b-2)2 = a − = sin a = + sin Đặt ⇒ A = sin α − cos α + sin α cos α b − = cos α b = + cos α A = sin 2α − cos 2α = π sin 2α − cos 2α = sin( 2α − ) ≤ (®pcm) 2 VD4: Cho a, b tho¶ m·n : 5a + 12b + = 13 G.NTH Chøng minh r»ng: a2 + b2 + 2(b-a) - Giải: Biến đổi bất ®¼ng thøc: a2 + b2 + 2(b-a) ≥ - ⇔ (a-1)2 + (b + 1)2 ≥ a − = R sin Đặt với R ⇔ b + = R cos α a = R sin α + ⇔ (a − 1) + (b + 1) = R b = R cos α − Ta cã: 5a + 12b + = 13 ⇔ 5(R sin α + 1) + 12(R cos α − 1) + = 13 ⇔ 5R sin α + 12R cosα = 13 ⇔ = R 12 5 sin α + cosα = R sin α + arccos ≤ R 13 13 13 Tõ ®ã ⇒ (a-1)2 + (b+1)2 = R2 ≥ ⇔ a2 + b2 + 2(b - a) - (đpcm) II Dạng 2: Sử dụng tập giá trị | sin | ; | cos α | ≤ 1 Ph¬ng ph¸p: x = sin ∈ − ; x = cos ∈ [ 0; ] a) NÕu thÊy |x| ≤ đặt x = m sin ∈ − ; b) NÕu thÊy |x| ≤ m ( m ) đặt x = m cos ∈ [ 0; ] Các ví dụ minh hoạ: VD1: Chứng minh r»ng: (1+x)p + (1-x)p ≤ 2p ∀ |x| ≤ ; P Giải: Đặt x = cosα víi α ∈ [0, π], ®ã (1 + x)p + (1 - x)p = (1+cosα)p + (1-cosα)p p p α α α α α α = cos + sin = p cos p + sin p ≤ p cos + sin = p 2 2 2 2 (®pcm) VD2: Chøng minh r»ng: 3−2 3+2 ≤ 3x + x x 2 Giải: Từ đk - x2 ≥ ⇔ |x| ≤ nªn §Ỉt x = cosα víi ≤ α ≤ π ⇒ − x = sinα Khi ®ã ta cã: P= x + x − x = cos + cos sin = (1 + cos 2 ) + sin 2 G.NTH π = 2 cos2α + sin 2α + = sin 2α + + ⇒ − ≤ A ≤ + (®pcm) 3 2 VD3: Chøng minh r»ng: + − a [ (1 + a) ] − (1 − a )3 ≤ 2 + 2a (1) Giải: Từ đk |a| nên Đặt a=cos với [0,] a = sin (1)⇔ + sin α α ; + a = cos ; − a = sin α 2 α α α α α α cos 2 cos − sin ≤ 2 + 2 sin cos 2 2 2 α α α α α α α α α α ⇔ sin + cos cos − sin cos2 + sin cos + sin ≤ + sin cos 2 2 2 2 2 α α α α α α ⇔ sin + cos cos − sin = cos − sin = cos α ≤ ®óng ⇒ (®pcm) 2 2 2 ) ( ( ) VD4: Chøng minh r»ng: S = (1 − a )3 − a + a − a Giải: Từ đk |a| nên: Đặt a = cos với [0, π] ⇒ − a = sinα Khi ®ã biÕn ®æi S ta cã: S= 4(sin α − cos α) + 3(cos α − sin α) = (3 sin α − sin α) + (4 cos α − cos α) π = sin 3α + cos 3α = sin 3α + ≤ ⇒ (®pcm) 4 ( ) VD5: Chøng minh r»ng A = a − b + b − a + ab − (1 − a )(1 − b ) Giải: Từ điều kiện: - a2 ≥ ; - b2 ≥ ⇔ |a| ≤ ; |b| ≤ nªn π π §Ỉt a = sinα, b = sin β víi α, β ∈ − ; 2 Khi ®ã A = sin α cos β + cos α sin β − cos(α + β) = π = sin(α + β) − cos(α + β) = sin(α + β) − cos(α + β) = sin(α + β) − ≤ 2 3 (®pcm) VD6: Chøng minh r»ng: A = |4a3 - 24a2 + 45a - 26| ≤ ∀a ∈ [1; 3] G.NTH Gi¶i: Do a ∈ [1, 3] nên |a-2| nên ta đặt a - = cosα ⇔ a = + cosα Ta cã: A = 4(2 + cosα)3 − 24 + cosα)2 + 45 + cosα) − 26 = 4cos α − 3cosα = cos3α ≤1 ( ( (®pcm) VD7: Chøng minh r»ng: A = 2a − a − 3a + ≤ ∀ a ∈[0, 2] Gi¶i: Do a ∈ [0, 2] nªn |a-1| ≤ nªn ta đặt a - = cos với [0, π] Ta cã: A= 2(1 + cos α ) − (1 − cos α ) − (1 + cos α ) + = − cos α − cos α 1 π cos α = sin α + ≤ (®pcm) = sin α − cos α = 2 sin α − 2 3 III Dạng 3: Sử dụng công thức: 1+tg2 = π 1 ⇔tg2α= −1 (α ≠ + kπ) 2 cos α cos α 1) Ph¬ng pháp: a) Nếu |x| toán có chứa biểu thức đặt x = 3π víi α∈ 0; ∪ π, cos α 2 b) NÕu |x| m toán có chứa biểu thức đặt x = x2 x m2 m π 3π víi α∈ 0; ∪ π, cos α 2 Các ví dụ minh hoạ: VD1: Chứng minh r»ng A = a2 −1 + ≤ ∀ a a Giải: Do |a| nên : §Ỉt a = A= π 3π víi α∈ 0; ∪ π, ⇒ cos α 2 a − = tg α = tgα Khi ®ã: a −1 + π = (tgα + 3) cosα = sin α + cosα = sin α + ≤ (®pcm) a 3 − 12 a − VD2: Chøng minh r»ng: - ≤ A = ≤ ∀ a ≥1 a2 Giải: G.NTH Do |a| nên: Đặt a = π 3π víi α∈ 0; ∪ π, ⇒ cos α 2 a − = tg α = tgα Khi ®ã: 5(1+ cos2α) 5−12 a2 −1 − 6sin2α = (5-12tgα)cos2α = 5cos2α-12sinαcosα= 2 a 13 12 5 13 = + cos 2α − sin 2α = + cos 2α + arccos 2 13 13 13 2 A = ⇒-4= 13 13 13 + (−1) ≤ A = + cos 2α + arccos ≤ + = (®pcm) 2 2 13 2 VD3: Chøng minh r»ng: A = a − + b2 − ≤1 ab ∀ a ; b ≥1 Gi¶i: Do |a| 1; |b| nên Đặt a = 1 π 3π ;b= víi α∈ 0; ∪ π, Khi ®ã ta cã: cos β cos α 2 A = ( tgα + tgβ) cos α cos β = sin α cos β + sin β cos α = sin(α + β) ≤ (®pcm) VD4: Chøng minh r»ng: a + a a −1 ≥ 2 a >1 Giải: Do |a| > nên: Đặt a = a+ a 1 π víi α∈ 0; ⇒ Khi ®ã: = = cos α 2 a − cos α tg α sin α a a2 −1 = 1 1 2 + ≥ = ≥ 2 (®pcm) cos α sin α cos α sin α sin 2α VD5: Chøng minh r»ng y x − + y − + ≤ xy 26 ∀ x ; y Giải: Bất đẳng thức x2 + x Do |x|; |y| nên Đặt x = y2 − + ≤ 26 (1) x y y 1 π , ; y= víi α, β∈ 0 cosβ cos α 2 G.NTH Khi ®ã: (1) ⇔ S = sinα + cosα(4sinβ + 3cosβ) ≤ 26 Ta cã: S ≤ sinα + cosα (4 + 32 )(sin β + cos β) = sin α + cos α ≤ (12 + 52 )(sin + cos ) = 26 (đpcm) IV Dạng 4: Sử dụng công thøc 1+ tg2 = cos α Ph¬ng pháp: a) Nếu x R toán chứa (1+x2) đặt x = tg với α ∈ − , 2 b) Nếu x R toán chứa (x2+m2) đặt x = mtg với − , 2 C¸c vÝ dơ minh ho¹: VD1: Chøng minh r»ng: S = 3x + x2 − 4x (1 + x )3 Giải: Đặt x = tgα víi α ∈ − , ⇒ + x = , ®ã biÕn ®ỉi S ta cã: cos α 2 S = |3tgα.cosα - 4tg3α.cos3α| = |3sinα - 4sin3α| = |sin3α| ≤ (đpcm) + 8a + 12a VD2: Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức A = (1 + 2a ) Gi¶i: + tg α + 3tg α Đặt a = tg với , th× ta cã: A = (1 + tg α) 2 cos α + sin α cos α + sin α = = 3(sin α + cos α) − sin α cos α 2 (cos α + sin α) sin 2α sin 2α ⇒ = 3− ≤ A = 3− ≤ 2− =3 2 2 π Víi α = ⇒ a = th× MaxA = ; Víi α = ⇒ a = th× MinA = =3- VD3: Chøng minh r»ng: (a + b)(1 − ab) ≤ ∀ a, b ∈ R (1 + a )(1 + b ) Gi¶i: G.NTH Đặt a = tg, b = tg Khi = cos α cos β (a + b )(1 − ab) (tgα + tgβ)(1 − tgαtgβ) = 2 (1 + a )(1 + b ) (1 + tg α)(1 + tg 2β) sin(α + β) cos α cos β − sin α sin β cos α cos β cos α cos β 1 sin[2(α + β)] ≤ (®pcm) 2 | a −b | | b−c| | c −a | VD4: Chøng minh r»ng: + ≥ ∀ , b,c a (1+a2)( +b2) (1+b2)( +c2) 1 (1+c2)( +a2) = sin(α + β) cos(α + ) = Giải: Đặt a = tg, b = tg, c = tg Khi bất đẳng thức | tg α − tg β | | tg β − tg γ | | tg γ − tg α | ⇔ + ≥ (1 + tg α )(1 + tg β ) (1 + tg β )(1 + tg γ ) (1 + tg γ )(1 + tg α ) ⇔ cos α cos β sin(α − β) sin(β − γ ) sin( γ − α) + cos β cos γ ≥ cos γ cos α cos α cos β cos β cos γ cos γ cos α ⇔ |sin(α-β)|+|sin(β-γ)| ≥ |sin(γ-α)| BiÕn ®ỉi biĨu thøc vÕ ph¶i ta cã: |sin(γ-α)|= |sin[(α-β)+(β-γ)]| = |sin(α-β)cos(β-γ)+sin(β-γ)cos(α-β)| ≤ |sin(α-β)cos(β-γ)|+|sin(β-γ)cos(α-β)|=|sin(α-β)||cos(β-γ)|+|sin(β-γ)||cos(α-β)| ≤ |sin(α-β)|.1 + |sin(β-γ)|.1 = |sin(α-β)| + |sin(β-γ)| ⇒ (®pcm) ab + cd ≤ (a + c)(b + d ) (1) ∀a , b, c, d > VD5: Chøng minh r»ng: Gi¶i: (1) ⇔ ab + ( a + c )( b + d ) cd ≤1⇔ ( a + c )( b + d ) cd ab + ≤1 c b c b + + + + a d a d c d Đặt tg2= , tg2= với , 0, Biến đổi bất đẳng thức a b 2 ⇔ (1 + tg α)(1 + tg β) 2 + tg2α.tg2β (1 + tg α)(1 + tg β) 2 = cos2 α cos2 β + sin2 α sin2 β ≤ ⇔ cosα cosβ + sinα sinβ = cos(α-β) ≤ ®óng ⇒ (®pcm) DÊu b»ng x¶y ⇔ cos(α-β) = ⇔ α=β ⇔ c d = a b 6a + | a | VD6: Tìm giá trị lớn nhá nhÊt cđa biĨu thøc A = a2 +1 G.NTH Giải: Đặt a = tg Khi A = tg α α α α + | tg − | tg tg − 2 + 2 = α α α tg + 1 + tg tg + 2 A = 3sin α + |cosα| ≥ sinα + 4.0 = 3sinα ≥ 3.(-1) = -3 Sư dơng bÊt ®¼ng thøc Cauchy - Schwarz ta cã: A2 = (3sinα + |cosα|)2 ≤ (32 + 42)(sin2α + cos2α) = 25 ⇒ A ≤ Víi sinα = ⇔ a = th× MinA = - ; víi sin α | cos α | th× MaxA = = V Dạng 5: Đổi biến số đưa bất đẳng thức tam giác 1) Phương pháp: x; y; z > A; B; C ∈ (0; ) a) NÕu th× ∃∆ABC : x + y + z + 2xyz = x = cos A; y = cos B; z = cos C π x; y; z > A; B; C ∈ (0; ) b) NÕu th× ∃∆ABC : x + y + z = xyz x = tgA; y = tgB; z = tgC π A; B; C ∈ (0; ) x; y, z > x = cot gA; y = cot gB; z = cot gC c) NÕu th× ∃∆ABC : A; B; C ∈ (0; π) xy + yz + zx = A B C x = tg ; y = tg ; z = tg 2 Các ví dụ minh hoạ: VD1: Cho x, y, z > vµ zy + yz + zx = Tìm giá trị nhỏ cđa biĨu thøc 1 S = + + − 3( x + y + z) x y z Giải: Từ < x, y, z < nên ®Ỉt x = tg Do xy + yz + zx = nªn tg α β γ π ; y = tg ; z = tg víi α, β, γ ∈ 0, 2 2 α β β γ γ α tg + tg tg + tg tg =1 2 2 2 10 G.NTH β γ tg + tg α β β γ γ = ⇔ tg β + γ = cot g α ⇔ tg tg + tg = - tg tg ⇔ 2 2 − tg β tg γ tg α 2 2 2 2 β γ π α α+β+ γ π β γ π α = ⇔ α+β+ γ = π ⇔ tg + = tg + ⇔ + = − ⇔ 2 2 2 2 2 2 2 S= 1 α β γ α β γ + + − 3( x + y + z) = cotg + cotg + cotg -3 tg + tg + tg 2 x y z 2 2 α α β β γ γ α β γ S = cot g − tg + cot g − tg + cot g − tg − 2 tg + tg + tg 2 2 2 2 2 β γ α S = 2(cotgα+cotgβ+cotgγ) - 2 tg + tg + tg 2 γ α β S = (cotgα+cotgβ-2tg ) + (cotgβ+cotgγ-2tg ) +(cotgα+cotgβ-2tg ) 2 §Ĩ ý r»ng: cotgα + cotgβ = sin(α + β) sin γ sin γ = = sin α sin β sin α sin β cos(α − β) − cos(α + β) γ γ sin cos sin γ sin γ 2 = tg γ ⇒ cot gα + cot gβ − tg γ ≥ = = ≥ γ − cos(α + β) + cos γ 2 cos 2 T ®ã suy S ≥ Víi x = y = z = VD2: Cho < x, y, z < MinS = x y z xyz + + = 2 2 1− x 1− y 1− z (1 − x )(1 − y )(1 z ) Tìm giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc S = x2 + y2 + z2 Gi¶i: Do < x, y, z < nên đặt x = tg Khi tg = ⇔ α β γ π ; y = tg ; z = tg víi α, β, γ ∈ 0, 2 2 2x 2y 2z ; tg = ; tg = đẳng thức gi¶ thiÕt 1− x2 − y2 − z2 2x 2y 2z 8xyz + + = ⇔ tgα+tgβ+tgγ = tgα.tgβ.tgγ 2 2 1− x 1− y 1− z (1 − x )(1 − y )(1 − z ) 11 G.NTH ⇔ tgα + tgβ = - tgγ(1-tgα.tgβ) ⇔ tgα + tgβ = - tgγ ⇔ tg(α+β) = tg(-γ) − tgα.tgβ π Do α, β, γ ∈ 0, nªn α + β = π - γ ⇔ α + β + γ = π Khi ®ã ta cã: 2 tg α β β γ γ α tg + tg tg + tg tg = ⇔ xy + yz + zx = Mặt khác: 2 2 2 (x2 + y2 + z2) - (xy + yz + zx) = [ ] ( x − y) + ( y − z ) + ( z − x ) ≥ ⇒ S = x2 + y2 + z2 ≥ xy + yz + zx = Víi x = y = z = th× MinS = x , y, z > x y z + + ≤ VD3: Cho Chøng minh r»ng: S = x + yz y + zx z + xy x + y + z = Gi¶i: xz β = tg ; y Đặt yz = tg ; x Do π 0, 2 yz zx zx xy xy yz =x+y+z=1 + + x y y z z x nªn tg xy γ = tg víi α, β, γ ∈ z α β β γ γ α tg + tg tg + tg tg =1 2 2 2 α β γ π α π α β γ β γ ⇔ tg + = cotg ⇔ tg + = tg − ⇔ + = 2 2 2 2 2 2 2 2 ⇔ α+β+ γ π = ⇔ α+β+ γ = π 2 S= 2y 2z x y z x + + = − 1 + − 1 + − 1 + x + yz y + zx z + xy x + yz y + zx z + xy yz − zx xy 1− 1− x − yz y − zx z − xy y x + z + + = = + + + x − yz y + zx z + xy 2 + yz + zx + xy x y z = 3 (cos + cosβ + cosγ) + = [(cosα + cosβ).1 − (cosα cosβ − sinα + sinβ)] + 2 2 12 G.NTH ≤ 1 ((cosα + cosβ)2 +1) + (sin2 α + sin2 β) − cosα cosβ + = + = (®pcm) 4 2 Các toán đưa trắc nghiệm Trước dạy thử nghiệm nội dung sáng kiến cho häc sinh cđa líp 11A1 vµ 11A2 ë trường tôi, đà nhà cho em, cho em chuẩn bị trước thời gian tuần Với tập sau: Bài 1:Cho a2 + b2 = CMR: | 20a3 - 15a + 36b - 48b3| ≤ 13 Bµi 2:Cho (a-2)2 + (b-1)2 = CMR: 2a + b ≤ 10 a; b ≥ Bµi 3:Cho CMR: a4 + b4 ≥ a3 + b3 a + b = Bµi 4:Cho a; b ; c ≥ 1 1 CMR: a − b − c − ≥ a − b − c − b c a a b c x; y; z > Bµi 5:Cho 2 x + y + z + xyz = a) xyz ≤ b) xy + yz + zx ≤ c) x2 + y2 + z2 ≥ d) xy + yz + zx ≤ 2xyz + e) CMR: 1− x 1− y 1− z + + ≥ 1+ x 1+ y 1+ z Bµi 6:CMR: 1+ a2 + 1 + b2 ≤ ∀ a, b ∈ (0, 1] + ab Bµi 7:CMR: (a2 + 2)(b2 + 2)(c2 + 2) ≥ (ab + bc + ca) ∀ a, b, c > x , y, z > x y z 3 Bµi 8:Cho CMR : + + ≥ 2 2 1− x 1− y 1− z xy + yz + zx = x , y, z > x y z Bµi 9:Cho CMR : + + ≤ 1+ x2 + y2 + z2 x + y + z = xyz 13 G.NTH x , ,y z>0 1 x y z CMR : + + ≥ + + Bµi 10: Cho xy + = 1+x2 1+y2 1+z2 1+x2 1+y2 1+z2 +yz zx 14 ... tan(α+β) tan tan Công thức lượng giác 1+tan2t = 1 −1 − = tan2α 2 cos α cos α mét sè ph¬ng pháp lượng giác để chứng minh bất đẳng thức đại sè x2 - I D¹ng 1: Sư dơng hƯ thức sin2 + cos2 = 1)... Công thức biến đổi tÝch thµnh tỉng: + cosα.cosβ = [cos(α + β) + cos(α − β)] + sinα.sinβ = [cos(α − β) + cos(α + β)] + sinα.cosβ = [sin(α + β) + sin(α − β)] + tg tg = Biểu thức đại số Biểu thức lượng. .. Víi sinα = ⇔ a = th× MinA = - ; víi sin α | cos α | th× MaxA = = V Dạng 5: Đổi biến số đưa bất đẳng thức tam giác 1) Phương pháp: x; y; z > A; B; C ∈ (0; ) a) NÕu th× ∃∆ABC : x + y +