Đang tải... (xem toàn văn)
Bài giảng điện tử môn Giải tích 2.Rất bổ ích cho sinh viên
[...]... 2t Chương I – TÍCH PHÂN KÉP VÀ TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Trường ĐH SAO ĐỎ TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 1 Như vậy, 0 ≤ t ≤1 Ngoài ra, do Suy ra I= ∫ ( AB ) x = 1 + 2t x' (t ) = 2 ⇒ y = 2 + 2t y ' (t ) = 2 1 xyds = ∫ (1 + 2t ) (2 + 2t ) 22 + 22 dt 0 1 = 2 2 ∫ (2 + 2t + 4t + 4t 2 )dt 0 1 3t 2t = 4 2 t + + 2 3 0 2 3 38 2 = 3 Chương I – TÍCH PHÂN KÉP VÀ TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Trường ĐH SAO ĐỎ TÍCH PHÂN ĐƯỜNG... 2t cos t sin t + 1 Chương I – TÍCH PHÂN KÉP VÀ TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Trường ĐH SAO ĐỎ TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 1 Suy ra ( x' (t )) 2 + ( y ' (t )) 2 + ( z ' (t )) 2 = 2 + t 2 2π ⇒ N = ∫ (2t − | t |) 2 + t 2 dt 0 2 = ∫ t 2 + t 2 dt 0 [ 1 = (2 + 4π 2 ) 3 / 2 − 2 2 3 ] Chương I – TÍCH PHÂN KÉP VÀ TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Trường ĐH SAO ĐỎ TÍCH PHÂN ĐƯỜNG TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 2 Tính chất: như tích phân đường loại 1 Điểm khác... z 2 ( x, y ) z = z1 ( x, y ) Oxy bằng D prjOxy Ω = D Chương I – TÍCH PHÂN KÉP VÀ TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Trường ĐH SAO ĐỎ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN KÉP Lúc này VΩ = ∫∫ [ z 2 ( x, y ) − z1 ( x, y )] dxdy D x2 + y 2 + z = 4 Ví dụ 8 Tính thể tích vật thể bị giới hạn bởi y z = 2 + mặt trên z =2 O x z = 4 − x2 − y2 + mặt dưới z =2 prjOxy Ω = x 2 + y 2 ≤ 2 z ⇒ VΩ = 2 2 (4 − x 2 − y 2 − 2) dxdy = ∫ dϕ ∫ (2 − r 2 )rdr... nối A(1 ,2) với B (3,4) Chương I – TÍCH PHÂN KÉP VÀ TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Trường ĐH SAO ĐỎ TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 1 y B 4 Phương trình tham số của AB A 2 O 1 AB = ( xB − x A , y B − y A ) = (2, 2) + qua A(1 ,2) là phương trình x = 1 + 2t y = 2 + 2t + có VTCP 3 x có giới hạn tại 2 đầu mút A(1 ,2) và B(3,4) + tại A(1 ,2) + tại B(3,4) thì 1 = 1 + 2t ⇒t =0 2 = 2 + 2t thì 3 = 1 + 2t ⇒ t =1 4 = 2 + 2t Chương... ≤ r ≤ 2 = 2 π /4 π 0 2 π /4 ⇒I= π 0 dϕ ∫ r 2 rdr ∫ dϕ ∫ r 2 dr ∫ 8 π = π − = 2 3 4 x Chương I – TÍCH PHÂN KÉP VÀ TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Trường ĐH SAO ĐỎ TÍCH PHÂN KÉP Ví dụ 5 Tính y O I = ∫∫ (2 x + 3 y )dxdy D 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 , với D : y ≥ 3 x x ≥ 0 2 1 x Lúc này, miền D tương đương với π π ≤ϕ ≤ D:3 2 1 ≤ r ≤ 2 π 2 2 ⇒ I = ∫ dϕ ∫ (2 cos ϕ + 3 sin ϕ )r 2 dr π 3 1 Chương I – TÍCH... I – TÍCH PHÂN KÉP VÀ TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Trường ĐH SAO ĐỎ TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 1 Ví dụ 11 Tính N = ∫ (2 z − x 2 + y 2 )ds ( AB ) x = t cos t , với (AB) là đường cong có pt y = t sin t ;0 ≤ t ≤ 2 z = t x' (t ) = cos t − t sin t ⇒ y ' (t ) = sin t + t cos t z ' (t ) = 1 ⇒ ( x' (t )) 2 + ( y ' (t )) 2 + ( z ' (t )) 2 = cos 2 t + t 2 sin 2 t − 2t cos t sin t + sin 2 t + t 2 cos 2 t + 2t... …cuối……………… Chương I – TÍCH PHÂN KÉP VÀ TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Trường ĐH SAO ĐỎ TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 2 Lúc này, I = t2 ∫ [ P( x(t ), y(t )) x' (t ) + Q( x(t ), y(t )) y' (t )] dt t1 Ví dụ 12 Tính I= ∫ ( x − y)dx + ( x + y)dy ( L) , với (L) là đường tròn x2 + y2 = 4 Ta có pt tham số của (L) là x = 2 cos t ;0 ≤ t ≤ 2 y = 2 sin t Do đó dx = 2 sin tdt ⇒ dy = 2 cos tdt Chương I – TÍCH PHÂN KÉP VÀ TÍCH PHÂN ĐƯỜNG... dx = 2 sin tdt ⇒ dy = 2 cos tdt Chương I – TÍCH PHÂN KÉP VÀ TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Trường ĐH SAO ĐỎ TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 2 I= 2 ∫ [ (2cos t − 2sin t )(−2sin t ) + (2cos t + 2sin t )2cos t ] dt 0 = 2 2 ∫ 4dt = 4t 0 0 = 8π Chương I – TÍCH PHÂN KÉP VÀ TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Trường ĐH SAO ĐỎ TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 2 ĐỊNH LÝ GREEN Cho P(x,y) và Q(x,y) là những hàm có đạo hàm riêng cấp 1 l/tục trên miền D có biên... TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Trường ĐH SAO ĐỎ TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 2 xdx + ydy Ví dụ 14 Tính I = ∫ x2 + y 2 ( AB ) , với A(1,1) và B (3 ,2) đồng thời (AB) không đi qua O Trước hết, ta xét y Q ( x, y ) = 2 và 2 x +y ∂Q 2 xy =− 2 ∂x ( x + y 2 )2 x P ( x, y ) = 2 x + y2 ∂P 2 xy =− 2 ∂y ( x + y 2 )2 ∂P ∂Q = ∂y ∂x ∀( x, y ) ∈ D ∈ R 2 \ (0,0) ... ≤ ϕ 2 D: r1 (ϕ ) ≤ r ≤ r2 (ϕ ) O ⇒ I = ∫∫ f ( x, y )dxdy D 2 x r2 (ϕ ) ϕ1 2 ϕ1 r1 ( ) = ∫ dϕ ∫ϕ f (r cos ϕ , r sin ϕ )rdr Lưu ý Ta áp dụng công thức này khi D có dạng hình tròn , hay một phần hình tròn Ví dụ 4 Tính I = ∫∫ D x2 + y 2 ≤ 4 x 2 + y 2 dxdy , với D : y ≥ 0; y ≥ x Chương I – TÍCH PHÂN KÉP VÀ TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Trường ĐH SAO ĐỎ y TÍCH PHÂN KÉP Lúc này, ta có Dùng PP đổi biến: -2 O 2