Đang tải... (xem toàn văn)
www.facebook.com/hocthemtoan
[...]... m a1 = 0, a2 = 1 v 1 và an = 2 nan−1 + 1 n (n − 1) an 2 + (−1)n 1 − n 2 2 Với n ≥ 3,tìm một công thức định nghĩa cho hàm : fn = an + 2 (n ) an 1 + 3 (n ) an 2 + + n 1 2 n n−1 a1 Lời giải: Cách giải 1: Viết lại mối quan hệ đệ quy thành : 1 1 an = (−1)n + nan−1 + n((−1)n−1 + (n − 1) an 2 ) 2 2 Nếu (−1)n−1 + (n − 1) an 2 = an 1 Ta có: 1 1 an = (−1)n + nan−1 + nan−1 = (−1)n + nan−1 2 2 34 Nguyễn Hữu Điển,... ACN và AN = AC 2 2 Tương tự, BM = BC Do vậy: 1 AN. BM = 1 AC.BC = [ABC] 2 2 2.17.Cho dãy số (an ): a1 = 43, a2 = 142 và an+ 1 = 3 .an + an 1 với mọi n CMR 2 (a) an và an 1 là nguyên tố cùng nhau với mọi n >= 1 (b) Với mọi số tự nhiên m, tồn tại vô hạn số tự nhiên n sao cho an − 1 và an+ 1 − 1 đều chia hết cho m Lời giải: (a) Giả sử có n, g > 1 sao cho Khi đó g chia hết an 1 = an+ 1 − 3 .an g an và g an+ 1... thi olympic Bungari Nếu n − 1 > 1 thì g chia hết an+ 1 , an , a2 , a1 , nhưng điều này không thể xảy ra vì WCLN (a2 , a1 ) = 1 Do đó, an và an+ 1 là nguyên tố cùng nhau với mọi n 1 (b) Xét dãy (an ) được xác định như sau: a1 , a2 an+ 1 = 3 .an + an 1 với mọi n 2 Dễ thấy: a3 = 4, a4 = 13, a5 = 43, a6 = 142 Tức là a1 = a5 , a2 = a6 Mà hai dãy (an ) và dãy (an ) có cùng công thức truy hồi nên ta có: an = an+ 4... có thể sử dụng mối quan hệ đệ quy và đồng nhất đẳng thức các phần tử để chứng minh công thức là đúng với mọi n 35 Đề thi olympic Trung Quốc Cách giải 2: Chúng tôi giới thiệu 1 phương pháp chứng tỏ rằng an là chuỗi số của hoán vị (1, 2, , n).Với n ≥ 3, ta có : an = nan−1 + (−1)n = an 1 + (n − 1) an 1 + (−1)n = (n − 1) an 2 + (−1)n−1 + (n − 1) an 1 + (−1)n = (n − 1) (an 1 + an 2 ) Gọi bn là chuỗi... thi olympic Bungari 2.13.Có 2000 quả cầu trắng trong một chiếc hộp Bên ngoài chiếc hộp cũng có các quả cầu trắng, xanh và đỏ với số lượng không hạn chế Trong mỗi lần thay đổi , chúng ta có thể thay đổi 2 quả cầu trong hộp bởi 1 hoặc 2 quả cầu theo cách sau: 2 quả trắng bởi 1 quả xanh, 2 quả đỏ bởi 1 quả xanh, 2 quả xanh bởi 1 quả trắng và 1 quả đỏ, 1 quả trắng và 1 quả xanh, bởi 1 quả đỏ hoặc 1 quả xanh... Ta có: 1 1 an = (−1)n + nan−1 + nan−1 = (−1)n + nan−1 2 2 34 Nguyễn Hữu Điển, ĐHKHTN Hà Nội Do đó dùng phương pháp quy nạp từ biểu thức an = (−1)n + nan−1 ta dễ dàng tìm ra được: an = n! − n! n! n! n! + − + + (−1)n 1! 2! 3! n! Vì thế,theo công thức nổi tiếng Euler an là chuỗi số của sự xáo trộn của bộ số (1, 2, , n), nghĩa là số hoán vị của bộ n số mà không có điểm cố định.Để mỗi cặp (π, j)của hoán... BD.O1D = G1 O 1 GD Vì DGB = ACB = π − 2.x, ta thu được F1 H1 = −tan2x.O1 D 27 Đề thi olympic Bungari Gọi I là giao điểm của BC và EF2 Vì BF2 AC, F2 BI = ACB = π − 2x và H2 BF2 = x Để ý rằng BE = AB − AE = 2.(AD − AO1 ) = 2O1 D Từ đó suy ra: F2 H2 = BF2 sin H2 BF2 = BF2 sin x cos F2 BI sin x = BI sin x − cos 2x o BE cos x sin x = −O1 D.tan2x = F1 H1 cos 2x c =− BI m = Ta có điều phải chứng minh a t... a2 , , an ), b = (b1 , b2 , , bn ), c = (c1 , c2 , , cn ) và a+ b+ c = 0 thì ai + bi + ci là chẵn với i = 1, 2, n Với mỗi ej ta có thể chọn ej sao cho f (ei ) = ej Các phần tử thứ j của f (a), f (b), f (c) tương ứng là ai , bi , ci nên tổng v n m a t h c o m của chúng là một số chẵn Do đó, f (a) + f (b) + f (c) có phần tử thứ j là 0 với ∀j và f (a) + f (b) + f (c) = 0 Chương 3 Đề thi olympic Canada... không có quả nào màu xanh thì tích h c các giá trị của chúng sẽ là : ±i, mâu thuẫn Do đó, nếu trong hộp còn lại ba quả, thì phải có ít nhất 1 quả màu xanh, (a) được chứng minh a t Hơn nữa, vì không có quả nào có giá trị 1 nên trong hộp phải chứa ít nhất hai quả cầu Do đó, không thể xảy ra trường hợp trong hộp còn lại 1 quả(Để chứng minh (a), chúng ta có thể gán giá trị 1 cho mỗi quả m xanh, -1 cho mỗi quả... r các chuỗi dịch chuyển, luân phiên nhau dịch về dạng (i) và dạng (ii) cho một vài cặp vectơ ban đầu a) Có thể đạt được cặp ((1, 0), (2, 1)) trong trò chơi với cặp ban đầu ((1, 0), (0, 1)) nếu sự dịch chuyển đầu tiên là dạng (i)? b) Tìm tất cả các cặp ((a, b), (c, d)) có thể đạt được trong trò chơi với cặp ban đầu ((1, 0), (0, 1)) trong đó dịch chuyển đầu tiên là một trong hai dạng trên ? → → Lời giải: