"Những nhà toán học chúng tôi tất cả đều hơi điên rồ." Bạn đang ở: Trang chủ Toán Olympic Đề thi, Kiểm tra Đề thi chọn đội tuyển HSG QG trường PTNK ĐHQG TP Hồ Chí Minh năm học 2013-2014 Chuyên mục: Đề thi, Kiểm tra Olympic Đề thi chọn đội tuyển HSG QG trường PTNK ĐHQG TP Hồ Chí Minh năm học 2013-2014 Ban Biên Tập Thứ hai, 30 Tháng 9 2013 07:08 Ngày 1: Ngày 24 tháng 9 năm 2013 Thời gian làm bài: 180 phút. Bài 1.Tìm tất cả các hàm số thoả mãn Bài 2. Cho dãy thoả mãn . Tìm tất cả các số nguyên tố là ước của và . Bài 3.Trong một hội nghị khoa học có đại biểu tham dự, mỗi một đại biểu biết ít nhất một thứ tiếng. Một uỷ ban gồm một số đại biểu được gọi là uỷ ban làm việc nếu tất cả thành viên trong uỷ ban đều biết chung một thứ tiếng và được gọi là uỷ ban thách thức nếu không có hai thành viên nào của uỷ ban biết chung một thứ tiếng (uỷ ban có thể gồm thành viên; uỷ ban này gọi là làm việc cũng được, thách thức cũng được). Chứng minh rằng có thể chia các đại biểu thành đúng uỷ ban rời nhau (mỗi đại biểu thuộc đúng một uỷ ban) sao cho các uỷ ban này hoặc là uỷ ban làm việc hoặc là uỷ ban thách thức. Bài 4. Tam giác có cố định còn di động sao cho và . Đường thẳng đối xứng với qua cắt tại . Trên đoạn lấy sao cho . Gọi là giao điểm của với phân giác ngoài góc . Chứng minh luôn đi qua một điểm cố định. Ngày thi thứ hai: 26/9/2013 Thời gian làm bài 180 phút, k hông kể thời gian phát đề Bài 5. Cho số thực thỏa mãn điều kiện và . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức . Bài 6. Cho dãy số xác định bởi: , . Tìm . Bài 7. Cho là số nguyên dương và A là tập con khác rỗng của . Tính giá trị của tổng , trong đó lấy trên tất cả các tập con của (kể cả tập rỗng). Cho , xét tập con khác rỗng của là và m số nguyên khác là sao cho . Chứng minh rằng tồn tại tập con của sao cho . (Ký hiệu chỉ số phần tử của tập hợp , số phần tử của tập rỗng là 0). Bài 8. Tam giác nhọn có trực tâm và là điểm di động bên trong tam giác sao cho . Đường thẳng qua vuông góc với cắt tại , đường thẳng qua vuông góc với cắt tại . Chứng minh trung điểm của luôn thuộc một đường thằng cố định. Hết Chuyên mục Tin tức và Sự kiện Toán học và đời sống Lịch sử Toán học Toán học lý thú Phương pháp học Toán Dành cho giáo viên Nghiên cứu Trung học Cơ sở Trung học Phổ thông Thi Đại học Toán Olympic Toán cao cấp Sách báo, Tài liệu Nhịp sống diễn đàn Trang nhất Diễn đàn Tin tức Giới thiệu Cộng tác viên Trợ giúp